46ऋण संख्याएँ

समस्या 46.1

सप्ताहांत समस्या — इतिहास की समय-रेखा पर सापेक्ष संख्याएँ: युग-सीमा के पार अवधियाँ, खगोलविदों की तरकीब, और शुद्ध-परिवर्तन का सिद्धांत

इस अध्याय की संख्या रेखा का असली दुनिया में एक मशहूर जुड़वाँ है: इतिहास की समय-रेखा, जिसमें ईसा-पूर्व के वर्ष बाईं ओर और उसके बाद के वर्ष दाईं ओर फैले हैं। पर इतिहासकारों की रेखा में एक जाल छिपा है जिसने कई गणनाएँ बिगाड़ी हैं: कोई शून्यवाँ वर्ष है ही नहीं — ईसा-पूर्व $1$ के तुरंत बाद ईसा के बाद का $1$ आ जाता है। यह समस्या तापमान, लिफ़्ट और बैंक-खातों की गणना करती है, फिर इतिहास के टूटे शून्य की मरम्मत वैसे ही करती है जैसे खगोलविद करते हैं: सापेक्ष संख्याओं से।

भाग I — शुरुआती अभ्यास, और पहला जाल।

1. मों ब्लां की चोटी $+4\,808$ m की ऊँचाई पर है; मृत सागर का किनारा $-430$ m पर। दोनों की ऊँचाई का अंतर निकालो।
2. किसी बैंक-खाते में $-45$ यूरो हैं (ओवरड्राफ़्ट)। उसका मालिक $120$ यूरो जमा करता है, $60$ यूरो का बिल चुकाता है, फिर $15$ यूरो जमा करता है। शेष को जोड़ों की एक ही कड़ी के रूप में लिखो और निकालो। शुरू के $-45$ को ठीक $0$ पर लाने के लिए एक ही बार में कितना जमा करना पड़ता?
3. जूलियस सीज़र का जन्म ईसा-पूर्व $100$ में हुआ और मृत्यु ईसा-पूर्व $44$ में। ईसा-पूर्व के वर्षों को ऋण संख्याएँ मानकर (ईसा-पूर्व $100$ को $-100$, ईसा-पूर्व $44$ को $-44$), $(-44) - (-100)$ निकालो: सीज़र कितने साल जिया?
4. सम्राट ऑगस्टस का जन्म ईसा-पूर्व $63$ में हुआ और मृत्यु ईसा के बाद $14$ में। वही विधि $14 - (-63) = 77$ साल देती है — पर इतिहासकार कहते हैं कि उसकी मृत्यु $76$ की उम्र में हुई। उनकी आपत्ति: गिनती $77$ ऐसे वर्ष से होकर चलती है जो कभी था ही नहीं। कौन-सा?
5. खगोलविद समय-रेखा की मरम्मत नाम बदलकर करते हैं: ईसा के बाद के वर्ष अपनी संख्या रखते हैं ($+14$, $+14$ ही रहता है), पर ईसा-पूर्व $1$ को $0$, ईसा-पूर्व $2$ को $-1$, और आम तौर पर ईसा-पूर्व $n$ को $-(n - 1)$ बना दिया जाता है। ईसा-पूर्व $63$ को बदलो, और प्रश्न 4 की गणना खगोलविदों की संख्याओं से दोबारा करो। क्या अब उत्तर इतिहासकारों को सही लगता है?

भाग II — युगों के पार गणना। अब से हर गणना में खगोलविदों वाला नामकरण इस्तेमाल करो, और अंत में ईसा-पूर्व/ईसा के बाद में वापस बदल लो ($0$ या ऋण $-m$ नाम वाला वर्ष इतिहासकारों का ईसा-पूर्व $m + 1$ है)।

6. खगोलविदों की संख्याओं में बदलो: ईसा-पूर्व $1$; ईसा-पूर्व $10$; ईसा के बाद $476$; और ईसा-पूर्व $753$, जब कहा जाता है कि रोम बसा था।
7. रोम के बसने (ईसा-पूर्व $753$) से पश्चिमी साम्राज्य के पतन (ईसा के बाद $476$) तक कितने साल बीते?
8. कोई पुच्छल तारा हर $76$ साल बाद लौटता है और ईसा-पूर्व $12$ में दिखा था। उसके अगले तीन दर्शनों के, और ईसा-पूर्व $12$ से ठीक पहले वाले दर्शन के, इतिहासकारों वाले वर्ष बताओ।
9. ईसा-पूर्व $5$ से ईसा के बाद $5$ तक कितने साल बीते? (लुभावना उत्तर $10$ है; समय-रेखा कुछ और कहती है।)
10. ईसा-पूर्व $3$ में जन्मा बच्चा किस वर्ष (ईसा-पूर्व या ईसा के बाद) दस साल का हुआ?

भाग III — शुद्ध-परिवर्तन का सिद्धांत।

11. रेखा पर दो संख्याओं के बीच की दूरी बड़ी में से छोटी घटाने पर मिलती है — और हमेशा धन होती है। $-7$ और $-2$ के बीच की दूरी निकालो, फिर $-3.5$ और $4.5$ के बीच की।
12. एक लिफ़्ट मंज़िल $0$ से शुरू होकर $+3$, $-5$, $+2$, $-1$, $+4$ चालें करती है। चतुराई से समूह बनाकर आख़िरी मंज़िल निकालो (विधि 46.4, जहाँ हो सके वहाँ पहले विपरीत संख्याएँ)। चालें दूसरे क्रम में करने से मंज़िल बदल जाती? क्यों?
13. एक हफ़्ते में दिन-दर-दिन तापमान $+2$, $-4$, $+1$, $0$, $-3$, $+5$, $-2$ डिग्री बदलता है। शुद्ध परिवर्तन निकालो। हफ़्ता $-2$ डिग्री से शुरू हुआ हो, तो कहाँ ख़त्म हुआ? सिद्धांत लिखो: आख़िरी मान $=$ शुरुआती मान $+$ (सारे परिवर्तनों का योगफल)।
14. किसी पैदल यात्री की चाल उसे ठीक उसी ऊँचाई पर वापस ले आती है जहाँ से वह चली थी। उसकी ऊँचाई के सारे परिवर्तनों का योगफल क्या होना चाहिए, और क्यों? उसके छह दर्ज परिवर्तनों में से पाँच हैं $+4$, $-7$, $+2$, $+3$, $-5$ (सैकड़ों मीटर में): छठा निकालो।
15. आख़िरी सवाल, फिर रोम में। एक इतिहासकार गिनता है: “गणतंत्र ईसा-पूर्व $509$ से ईसा-पूर्व $27$ तक चला, फिर साम्राज्य ईसा के बाद $476$ तक; कुल मिलाकर ईसा-पूर्व $509$ से ईसा के बाद $476$ तक, यानी $509 + 476 = 985$ साल का रोमन राज्य।” गणना खगोलविदों की संख्याओं से दोबारा करो। सही कुल क्या है — और इस बार भी किस वर्ष ने ग़लती करवाई?