प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

61समानुपात, चाल और औसत

अब समानुपात (अध्याय 49) की मुलाक़ात असली दुनिया से होती है: चाल, बहाव-दर, मात्रक बदलना — यानी ऐसी राशियाँ जो दो और राशियों के भागफल हैं। अध्याय भारित औसतों पर ख़त्म होता है, जहाँ समानुपात वाली सोच एक जानी-पहचानी ग़लती से बचा लेती है।

61.1 औसत चाल

परिभाषा 61.1 (औसत चाल)

किसी सफ़र की औसत चाल यह भागफल है

v = \frac{d}{t} \qquad \left(\text{दूरी बटा अवधि}\right),

और उसका मात्रक किलोमीटर प्रति घंटा (km/h), मीटर प्रति सेकंड (m/s), … होता है। यही सूत्र उलटकर भी चलता है: $d = v \times t$ और $t = \frac{d}{v}$ ।

उदाहरण 61.2

एक रेलगाड़ी $1$ h $30$ min में $270$ km तय करती है। पहले समय बदलो: $1$ h $30$ min $= 1.5$ h। फिर

v = \frac{270}{1.5} = 180 \text{ km/h}.

$90$ km/h से $2$ h $20$ min $= \frac73$ h में तय दूरी: $d = 90 \times \frac73 = 210$ km। और $14$ km/h से $35$ km में लगा समय: $t = \frac{35}{14} = 2.5$ h $= 2$ h $30$ min।

टिप्पणी 61.3 (मिनट दशमलव नहीं होते)

$1$ h $30$ min, $1.5$ h है, पर $1$ h $20$ min, $1.2$ h नहीं है: वह $1 + \frac{20}{60} = \frac43 \approx 1.33$ h है। भाग देने से पहले मिनटों को हमेशा घंटे की भिन्न में बदलो ( $60$ min $= 1$ h)।

एक जैसी चाल पर दूरी समय के समानुपाती होती है: मूलबिंदु से जाती एक सीधी रेखा, जिसकी ढलान ही चाल है।

विधि 61.4 (चाल के मात्रक बदलना)

km/h को m/s में बदलने के लिए: $1$ km $= 1000$ m और $1$ h $= 3600$ s, इसलिए

v \text{ km/h} = \frac{v \times 1000}{3600} \text{ m/s} = \frac{v}{3.6} \text{ m/s}.

m/s को km/h में बदलने के लिए $3.6$ से गुणा करो।

उदाहरण 61.5

$90$ km/h $= \frac{90}{3.6} = 25$ m/s। $100$ m $10$ s में दौड़ने वाला धावक $10$ m/s $= 36$ km/h से चलता है।

61.2 भागफल वाली राशियाँ

उदाहरण 61.6 (बहाव, घनत्व, प्रति किलो दाम)

चाल के कई चचेरे भाई हैं, और सबका बरताव एक जैसा है:

एक नल $4$ min में $48$ L भरता है: बहाव-दर $\frac{48}{4} = 12$ L/min, इसलिए $150$ L की एक टंकी भरने में $\frac{150}{12} = 12.5$ min लगते हैं;
$0.6$ kg पनीर $9$ यूरो का है: दाम $\frac{9}{0.6} = 15$ यूरो प्रति kg;
एक गाड़ी $90$ km में $6.3$ L ख़र्च करती है: खपत $\frac{6.3}{90} \times 100 = 7$ L प्रति $100$ km।

भागफल पहचानो, और तीन तरफ़ा सूत्र ( $q = \frac ab$ , $a = qb$ , $b = \frac aq$ ) बाक़ी काम कर देता है।

61.3 भारित औसत

परिभाषा 61.7 (भारित औसत)

जब मानों $v_1, v_2, \dots$ के साथ गिनतियाँ (या भार) $n_1, n_2, \dots$ आती हों, तो उनका भारित औसत यह है

\bar v = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots} :

यानी मानों का कुल, भारों के कुल से भाग दिया हुआ।

उदाहरण 61.8

एक परीक्षा दो समूहों ने दी: समूह 1 में $12$ विद्यार्थी, औसत $11$ ; समूह 2 में $18$ विद्यार्थी, औसत $14$ । पूरी कक्षा का औसत:

\bar v = \frac{12 \times 11 + 18 \times 14}{12 + 18} = \frac{132 + 252}{30} = \frac{384}{30} = 12.8 .

यह $\frac{11 + 14}{2} = 12.5$ नहीं है: बड़ा समूह औसत को अपनी तरफ़ खींच लेता है — भार मायने रखते हैं।

उदाहरण 61.9 (दो चरणों की औसत चाल)

एक साइकिल सवार $30$ km, $30$ km/h से चलता है, फिर $30$ km, $15$ km/h से। पूरे सफ़र की औसत चाल $\frac{30 + 15}{2} = 22.5$ km/h नहीं है। परिभाषा से निकालो:

समय: $\frac{30}{30} = 1$ h, फिर $\frac{30}{15} = 2$ h; कुल $3$ h;
कुल दूरी $60$ km, इसलिए $v = \frac{60}{3} = 20$ km/h।

धीमा चरण ज़्यादा देर चलता है, इसलिए उसका भार ज़्यादा है — चालों का औसत हमेशा समय के भार से निकालना पड़ता है।

61.4 अभ्यास

अभ्यास 61.1 ★

औसत चाल निकालो: $2$ h में $150$ km; $45$ min में $27$ km; $12.5$ s में $100$ m।

हल

हल — अभ्यास 61.1.

$\frac{150}{2} = 75$ km/h। $45$ min $= 0.75$ h: $\frac{27}{0.75} = 36$ km/h। $\frac{100}{12.5} = 8$ m/s।

अभ्यास 61.2 ★

दूरी निकालो: $85$ km/h से $2$ h; $90$ km/h से $40$ min। समय निकालो: $90$ km/h से $315$ km (h और min में)।

हल

हल — अभ्यास 61.2.

$2 \times 85 = 170$ km। $40$ min $= \frac23$ h: $90 \times \frac23 = 60$ km। $\frac{315}{90} = 3.5$ h $= 3$ h $30$ min।

अभ्यास 61.3 ★

बदलो: $72$ km/h को m/s में; $5$ m/s को km/h में; $108$ km/h को m/s में।

हल

हल — अभ्यास 61.3.

$72 \div 3.6 = 20$ m/s। $5 \times 3.6 = 18$ km/h। $108 \div 3.6 = 30$ m/s।

अभ्यास 61.4 ★

एक नल $15$ L/min देता है। $600$ L की टंकी भरने में कितना समय लगेगा? और $2$ h $30$ में कितने लीटर?

हल

हल — अभ्यास 61.4.

$600 \div 15 = 40$ min। $2$ h $30 = 150$ min: $15 \times 150 = 2250$ L।

अभ्यास 61.5 ★

कौन-सा सौदा बेहतर है: $1.2$ kg सेब $3.30$ यूरो में, या $0.8$ kg $2.16$ यूरो में? प्रति किलोग्राम दाम तुलो।

हल

हल — अभ्यास 61.5.

$\frac{3.30}{1.2} = 2.75$ यूरो/kg बनाम $\frac{2.16}{0.8} = 2.70$ यूरो/kg: दूसरा सौदा (ज़रा-सा) बेहतर है।

अभ्यास 61.6 ★

$25$ विद्यार्थियों की एक कक्षा का किसी परीक्षा में औसत $12.4$ है; $35$ विद्यार्थियों की दूसरी कक्षा का औसत $10$ । दोनों कक्षाओं का मिलाकर औसत निकालो।

हल

हल — अभ्यास 61.6.

\bar v = \frac{25 \times 12.4 + 35 \times 10}{60} = \frac{310 + 350}{60} = \frac{660}{60} = 11 .

अभ्यास 61.7 ★

आवाज़ क़रीब $340$ m/s चलती है। तुम बिजली की कौंध देखते हो और $6$ सेकंड बाद गरज सुनते हो। बिजली कितनी दूर गिरी (नज़दीकी $100$ m तक)?

हल

हल — अभ्यास 61.7.

$d = 340 \times 6 = 2040$ m $\approx 2$ km।

अभ्यास 61.8 ★★

एक पैदल यात्री $2$ h, $5$ km/h से चलता है, $30$ min सुस्ताता है, फिर $1$ h $30$ , $4$ km/h से चलता है। कुल दूरी और सुस्ताने समेत औसत चाल निकालो (कुल दूरी बटा कुल बीता समय)।

हल

हल — अभ्यास 61.8.

दूरियाँ: $2 \times 5 = 10$ km, फिर $1.5 \times 4 = 6$ km: कुल $16$ km। बीता समय: $2 + 0.5 + 1.5 = 4$ h। औसत चाल: $\frac{16}{4} = 4$ km/h।

अभ्यास 61.9 ★★

गुणांकों वाले अंक: किसी विद्यार्थी को $15$ (गुणांक $3$ ), $9$ (गुणांक $2$ ) और $12$ (गुणांक $1$ ) मिले। भारित औसत निकालो। सादा (बिना भार का) औसत क्या होता, और दोनों अलग क्यों हैं?

हल

हल — अभ्यास 61.9.

भारित: $\frac{3 \times 15 + 2 \times 9 + 1 \times 12}{3 + 2 + 1} = \frac{45 + 18 + 12}{6} = \frac{75}{6} = 12.5$ । बिना भार का: $\frac{15 + 9 + 12}{3} = 12$ । दोनों इसलिए अलग हैं कि गुणांक अंक $15$ को अंक $12$ से तीन गुना भार दे देते हैं।

अभ्यास 61.10 ★★

एक गाड़ी $120$ km, $80$ km/h से चलती है और फिर $120$ km, $120$ km/h से।

हर चरण की अवधि निकालो, फिर पूरे सफ़र की औसत चाल।
समझाओ कि उत्तर दोनों चालों के बीच वाले $100$ km/h से कम क्यों है।

हल

हल — अभ्यास 61.10.

1. समय: $\frac{120}{80} = 1.5$ h और $\frac{120}{120} = 1$ h। औसत चाल: $\frac{240}{2.5} = 96$ km/h।

2. गाड़ी $80$ km/h पर ज़्यादा समय ( $1.5$ h) बिताती है और $120$ km/h पर कम ( $1$ h): इसलिए समय के भार वाले औसत में धीमी चाल का भार ज़्यादा है, और वह औसत को बीच वाले $100$ से नीचे खींच लेती है।

अभ्यास 61.11 ★★★

दो गाँव $18$ km दूर हैं। अन्ना पहले गाँव से $10{:}00$ बजे निकलकर दूसरे की ओर $5$ km/h से चलती है; बोरिस उसी समय दूसरे गाँव से पहले की ओर $4$ km/h से चलता है। वे किस समय मिलेंगे, और अन्ना के गाँव से कितनी दूर? (दोनों मिलकर फ़ासला $5 + 4$ km/h की दर से घटाते हैं।)

हल

हल — अभ्यास 61.11.

$18$ km का फ़ासला $5 + 4 = 9$ km/h की दर से घटता है: वे $\frac{18}{9} = 2$ h बाद, यानी $12{:}00$ बजे, मिलते हैं। तब तक अन्ना $2 \times 5 = 10$ km चल चुकी है: इसलिए वे अन्ना के गाँव से $10$ km दूर मिलते हैं (और बोरिस के गाँव से $8$ km — जाँच: $10 + 8 = 18$ )।

61.5 समस्या: हरात्मक माध्य, यानी वापसी का सफ़र औसत क्यों बिगाड़ देता है

समस्या 61.1

सप्ताहांत समस्या — बराबर दूरियों पर औसत चाल $\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ होती है, और वह दोनों चालों के बीच वाले मान से कभी आगे नहीं निकलती

उदाहरण 61.9 और अभ्यास 61.10 दोनों एक ही हैरानी पर ख़त्म हुए थे: एक चाल से जाओ, दूसरी से लौटो, और औसत चाल दोनों के बीच वाले मान से नीचे जा गिरती है। यह समस्या उस हैरानी के पीछे का ठीक-ठीक सूत्र ढूँढ़ती है — एक नई तरह का औसत, हरात्मक माध्य — सिद्ध करती है कि यह हैरानी दरअसल एक प्रमेय है, और उसे उसके तार्किक सिरे तक ले जाती है: एक ऐसी भरपाई जो दुनिया की कोई भी चाल कर ही नहीं सकती।

भाग I — आने-जाने के सफ़र का सूत्र। किसी सफ़र में दूरी $d$ चाल $v_1$ से तय होती है, फिर उतनी ही दूरी $d$ चाल $v_2$ से (सारी संख्याएँ धन हैं)।

दोनों अवधियाँ, फिर कुल अवधि, $d$ , $v_1$ , $v_2$ वाली भिन्नों के रूप में लिखो।
पूरे सफ़र की औसत चाल $\bar v = \dfrac{2d}{\ \dfrac{d}{v_1} + \dfrac{d}{v_2}\ }$ है — यानी एक दुमंज़िला भिन्न (उदाहरण 55.8)। उसे सरल करो और सिद्ध करो:

$\bar v = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .$
ऊपर बताई गई दोनों गणनाओं पर यह सूत्र जाँचो: $v_1 = 30$ , $v_2 = 15$ km/h (उदाहरण 61.9), और $v_1 = 80$ , $v_2 = 120$ km/h (अभ्यास 61.10)।
सूत्र में से दूरी $d$ ग़ायब हो गई है। साइकिल सवार के लिए इसका ठोस मतलब क्या है?
अब मान लो सफ़र में हर चाल पर एक ही समय $T$ बीतता है। दिखाओ कि तब औसत चाल $\frac{v_1 + v_2}{2}$ होती है, यानी सादा बीच वाला मान। परिभाषा 61.7 की भाषा में: चालों का औसत हमेशा किस राशि के भार से निकालना पड़ता है, और दोनों स्थितियों में बदलता क्या है?

भाग II — हरात्मक बनाम समांतर। दो धन संख्याओं $v_1$ , $v_2$ के लिए मान लो

H = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \quad\text{(उनका \emph{हरात्मक माध्य}),} \qquad A = \frac{v_1 + v_2}{2} \quad\text{(उनका \emph{समांतर माध्य})।}

जोड़ों $(30, 15)$ और $(80, 120)$ के लिए $H$ तथा $A$ निकालो। हर बार दोनों माध्यों में से कौन जीतता है?
$A - H$ को उभयनिष्ठ हर $2(v_1 + v_2)$ पर लाओ, अंश को उल्लेखनीय सर्वसमिकाओं (समस्या 57.1) से फैलाओ, और सिद्ध करो:

$A - H = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2\,(v_1 + v_2)} .$
इससे सारी हैरानियों के पीछे बैठी प्रमेय निकालो: धन चालों के लिए हमेशा $H \leq A$ , और बराबरी ठीक तब जब $v_1 = v_2$ । अंश में बैठा एक वर्ग यह मामला क्यों तय कर देता है?
यह सुंदर सर्वसमिका सिद्ध करो: $H \times A = v_1 \times v_2$ — दोनों माध्य गुणा होकर वापस असली गुणनफल बना देते हैं।
एक गाड़ी $60$ km, $40$ km/h से और $60$ km, $60$ km/h से तय करती है। सूत्र से औसत चाल बताओ, फिर लंबे रास्ते से — समय और कुल दूरी निकालकर — उसकी पुष्टि करो।

भाग III — वह भरपाई जो हो ही नहीं सकती।

एक साइकिल सवार $30$ km की दौड़ में $30$ km/h का औसत रखने की उम्मीद से उतरती है। दौड़ ज़्यादा से ज़्यादा कितने समय की हो सकती है? वह पहले $15$ km, $15$ km/h से चलती है: उस समय के बजट में कितना बचा?
दिखाओ कि उम्मीद वाला औसत अब सचमुच नामुमकिन हो चुका है: दूसरा आधा हिस्सा $90$ km/h से चलने पर उसकी औसत चाल निकालो, और समझाओ कि कितनी भी बड़ी चाल क्यों उसे $30$ km/h तक नहीं पहुँचा सकती।
वह अपना लक्ष्य घटाकर $20$ km/h कर देती है। बाक़ी $15$ km पर कौन-सी चाल यह लक्ष्य पूरा करेगी? अपना उत्तर हरात्मक माध्य वाले सूत्र से जाँचो।
अकेला ठंडे पानी का नल एक टब $20$ min में भरता है; अकेला गरम पानी का नल $30$ min में। दोनों नल मिलकर एक मिनट में टब का कितना भाग भरते हैं, और पूरा टब भरने में कितना समय लेते हैं? अपने उत्तर की तुलना $H(20, 30)$ से करो — तुम्हें क्या दिखता है?
एक हवाई जहाज़ एक ही रास्ते पर जाता और लौटता है: हवा के साथ $900$ km/h, हवा के ख़िलाफ़ $700$ km/h। आने-जाने की औसत चाल निकालो, और एक वाक्य में समझाओ कि हवा चाहे जैसी चले, वह आने-जाने के सफ़र को हमेशा लंबा ही क्यों करती है।

हल

हल — समस्या 61.1.

1. परिभाषा 61.1 से $t_1 = \frac{d}{v_1}$ और $t_2 = \frac{d}{v_2}$ ; और पूरा सफ़र $2d$ दूरी के लिए $\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$ चलता है।

2. हर में से $d$ बाहर निकालो और उसे काट दो:

\bar v = \frac{2d}{d\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right)} = \frac{2}{\ \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\ } .

भीतर उभयनिष्ठ हर लेने पर: $\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$ , और भाग देना यानी व्युत्क्रम से गुणा करना (प्रमेय 55.6):

\bar v = 2 \times \frac{v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} .

3. $\dfrac{2 \times 30 \times 15}{30 + 15} = \dfrac{900}{45} = 20$ km/h, ठीक वैसे ही जैसे उदाहरण 61.9 में; और $\dfrac{2 \times 80 \times 120}{80 + 120} = \dfrac{19\,200}{200} = 96$ km/h, जैसा अभ्यास 61.10 में मिला था।

4. औसत सिर्फ़ दोनों चालों पर टिका है, $d$ पर नहीं: उन्हीं दो चालों से $1$ km के और $100$ km के आने-जाने वाले सफ़र की औसत चाल बिलकुल एक ही रहती है। (इसीलिए सूत्र अलग-अलग लंबाई के सफ़रों पर जाँचा जा सका।)

5. हर चाल पर समय $T$ बीतने से दूरियाँ $v_1 T$ और $v_2 T$ होती हैं, इसलिए

\bar v = \frac{v_1 T + v_2 T}{2T} = \frac{(v_1 + v_2)\,T}{2T} = \frac{v_1 + v_2}{2} .

चालों का औसत हमेशा समय के भार से निकलता है (परिभाषा 61.7)। बराबर समय पर दोनों चालों का भार बराबर होता है: सादा बीच वाला मान। और बराबर दूरियों पर धीमी चाल ज़्यादा समय घेरती है, इसलिए उसका भार भी ज़्यादा — और औसत उसी की तरफ़ सरक जाता है।

6. $(30, 15)$ के लिए: $H = 20$ और $A = 22.5$ । $(80, 120)$ के लिए: $H = 96$ और $A = 100$ । दोनों बार समांतर माध्य जीतता है।

7. उभयनिष्ठ हर $2(v_1 + v_2)$ पर:

A - H = \frac{(v_1 + v_2)^2 - 4\, v_1 v_2}{2\,(v_1 + v_2)} ,

और अंश समस्या 57.1 की सर्वसमिकाओं से फैल जाता है:

(v_1 + v_2)^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 + 2 v_1 v_2 + v_2^2 - 4 v_1 v_2 = v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2 = (v_1 - v_2)^2 .

8. कोई वर्ग कभी ऋण नहीं होता, और $2(v_1 + v_2)$ धन है: इसलिए हर धन चालों के जोड़े के लिए $A - H \geq 0$ , यानी $H \leq A$ । बराबरी के लिए $(v_1 - v_2)^2 = 0$ चाहिए, यानी $v_1 = v_2$ : जैसे ही दोनों चालें अलग हुईं, आने-जाने के सफ़र का औसत बीच वाले मान से पक्के तौर पर नीचे गिर जाता है — यानी वह हैरानी दरअसल एक प्रमेय है।

9. गुणा करो:

H \times A = \frac{2\, v_1 v_2}{v_1 + v_2} \times \frac{v_1 + v_2}{2} = v_1 v_2 ,

$2$ और $v_1 + v_2$ के गुणनखंड कट जाने के बाद।

10. सूत्र से: $\bar v = \dfrac{2 \times 40 \times 60} {40 + 60} = \dfrac{4800}{100} = 48$ km/h। लंबे रास्ते से: $\frac{60}{40} = 1.5$ h और $\frac{60}{60} = 1$ h, यानी $2.5$ h में $120$ km: $\frac{120}{2.5} = 48$ km/h। दोनों मिल जाते हैं।

11. $30$ km पर $30$ km/h का औसत रखने का मतलब है कुल समय ज़्यादा से ज़्यादा $\frac{30}{30} = 1$ h। और पहले $15$ km, $15$ km/h से चलने में ही $\frac{15}{15} = 1$ h लग जाता है: यानी पूरा समय-बजट ख़र्च, और आधी दौड़ अभी बाक़ी।

12. $90$ km/h पर दूसरा आधा हिस्सा $\frac{15}{90} = \frac16$ h लेता है, इसलिए दौड़ $\frac76$ h की हुई और

\bar v = \frac{30}{\ 7/6\ } = \frac{180}{7} \approx 25.7 \text{ km/h} < 30 .

दूसरे आधे हिस्से की चाल चाहे जो हो, उसकी अवधि एक धन संख्या ही होगी, इसलिए कुल समय $1$ h से ऊपर निकल जाता है और औसत $30$ km/h से पक्के तौर पर नीचे ही रहता है। (सूत्र से: $\frac{2 \times 15 \times v_2}{15 + v_2} = 30$ रखने पर $30 v_2 = 450 + 30 v_2$ , यानी $0 = 450$ — कोई भी चाल $v_2$ काम नहीं करती।)

13. $20$ km/h का औसत $\frac{30}{20} = 1.5$ h देता है; पहले एक घंटे के बाद $0.5$ h में $15$ km बाक़ी हैं: इसलिए उसे $\frac{15}{0.5} = 30$ km/h चाहिए। जाँच: $H(15, 30) = \frac{2 \times 15 \times 30}{45} = \frac{900}{45} = 20$ km/h।

14. एक मिनट में नल टब का $\frac{1}{20}$ और $\frac{1}{30}$ भाग भरते हैं; दोनों मिलकर

\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}

भाग प्रति मिनट: यानी टब $12$ min में भर जाता है। और $H(20, 30) = \frac{2 \times 600}{50} = 24 = 2 \times 12$ : दोनों नल मिलकर अपने अकेले-अकेले समयों के हरात्मक माध्य का ठीक आधा लेते हैं — दरें जुड़ती हैं, इसलिए यहाँ भी हरात्मक माध्य का ही राज है।

15. दोनों तरफ़ दूरी एक ही है, इसलिए

\bar v = \frac{2 \times 900 \times 700}{900 + 700} = \frac{1\,260\,000}{1\,600} = 787.5 \text{ km/h},

जो बिना हवा वाले $800$ km/h से कम है। एक वाक्य में: जहाज़ हवा के ख़िलाफ़ उड़ने में हवा के साथ उड़ने से ज़्यादा देर लगाता है, इसलिए समय के भार वाले औसत में धीमे चरण का भार बड़ा हो जाता है — हवा आने-जाने के सफ़र को लंबा ही कर सकती है।