38दशमलव संख्याएँ

हल — समस्या 38.1.

1. $3$ बड़ी है: शून्य भरकर, $3.000 > 2.999$। अंतर $3.000 - 2.999 = 0.001$ है, यानी एक हज़ारवाँ भाग।

2. $7.4 = 7.40$ और $7.5 = 7.50$ के ठीक बीच पड़ती हैं

नौ संख्याएँ, हर नए निशान पर एक।

3. वही चित्र, दस गुना छोटा: $7.440$ और $7.450$ के बीच $7.441, 7.442, \dots, 7.449$ पड़ती हैं — फिर नौ संख्याएँ।

4. $7.400$ और $7.500$ के बीच तीन दशमलव अंकों वाली संख्याएँ $7.401, 7.402, \dots, 7.499$ हैं: $401$ से $499$ तक के सारे हज़ारवें भाग, यानी $99$ संख्याएँ।

5. ज़ूम विधि: दोनों संख्याओं को एक ही संख्या में दशमलव स्थानों के साथ लिखो, फिर एक और दशमलव स्थान जोड़ो — छोटी संख्या के बाद $1$ से $9$ तक का कोई अंक लगाने पर वह ठीक दोनों के बीच आ जाती है। सचमुच $5.67 = 5.670$ और $5.68 = 5.680$, और

इसी तरह $0.1999 = 0.19990 < 0.19995 < 0.20000 = 0.2$। दो पड़ोसी निशानों के बीच हमेशा नौ और महीन निशानों की एक पूरी नई परत होती है।

6. $3 < 3.05 < 3.1$; फिर $3 < 3.005 < 3.01$; फिर $3 < 3.0005 < 3.001$। हर उम्मीदवार एक और ज़ूम से हार जाता है।

7. टॉम जो भी संख्या सुझाए — मान लो उसका उम्मीदवार, जो $3$ से ठीक बड़ा है — प्रश्न 5, $3$ और उस उम्मीदवार के ठीक बीच की एक संख्या बना देता है। इसलिए वह उम्मीदवार $3$ के सबसे पास वाली संख्या था ही नहीं: उससे भी पास कोई और है। यह हर उम्मीदवार के साथ बिना अपवाद होता है, इसलिए कोई भी संख्या “$3$ के ठीक बाद वाली संख्या” नहीं हो सकती: वह होती ही नहीं।

8. $2.9 < 2.95 < 3$, $2.99 < 2.995 < 3$, $2.999 < 2.9995 < 3$। और $3 - 2.999 = 0.001$। बीस नौ के साथ अंतर एक दशमलव बिंदु, उसके बाद उन्नीस शून्य और एक $1$ होगा — बीसवें दशमलव स्थान पर एक इकाई: नन्हा-सा, पर शून्य नहीं। टॉम जितने भी नौ लिखे, वह $3$ तक कभी नहीं पहुँचता।

9. पूर्ण संख्याएँ $1$-$1$ के कदमों से चढ़ती हैं: $7$ से ज़्यादा पर $8$ से कम होने का मतलब होता $7$ और $8$ इकाइयों के ठीक बीच इकाइयों की कोई पूर्ण संख्या, और ऐसी कोई है नहीं। ज़ूम इससे केवल बिंदु के बाद अंक लिखकर बचता है — और यही पूर्ण संख्याओं के पास नहीं होता।

10. गोल होकर $3.7$ बनने वाली सबसे छोटी लंबाई $3.65$ cm है: उसका अगला अंक $5$ है, जो ऊपर गोल होता है (परिभाषा 38.9)। और $3.75$ इसी वजह से ऊपर गोल होकर $3.8$ बनती है। तो “दसवें भाग तक $3.7$ cm लंबाई” का मतलब है: कम से कम $3.65$ cm, और $3.75$ cm से ठीक कम — एक गोल किए हुए मान के पीछे संभव असली लंबाइयों का पूरा ज़ूम किया हुआ टुकड़ा छिपा होता है।

11. $0.0999 < 0.123 < 0.58 < 0.6$। एक वाक्य में: बाईं ओर से अंक-दर-अंक तुलना करने पर $0.0999$ में $0$ दसवें भाग हैं जबकि $0.6$ में $6$, और तुलना वहीं तय हो जाती है — लिखे गए अंकों की संख्या आकार के बारे में कुछ नहीं बताती (विधि 38.3)।

12. नहीं: सेंट में $4.99$ यूरो यानी $499$ सेंट और $5$ यूरो यानी $500$ सेंट — लगातार आने वाली पूर्ण संख्याएँ, जिनके बीच कुछ नहीं। क़ीमतें, जिनके ठीक दो दशमलव स्थान होते हैं, असल में भेस बदले सेंटों की पूर्ण संख्याएँ हैं: प्रश्न 9 की पूर्ण संख्याओं की तरह उनके पड़ोसी होते हैं। न रुकने वाले ज़ूम को और-और दशमलव स्थान लिखने का हक़ चाहिए।

13. $6$ के पास वाले उम्मीदवार $5.82$ और $8.25$ हैं ($2$ से, या $58$, $25$, $82$, $85$ से शुरू होने वाली संख्या $6$ से दूर है)। दूरियाँ: $6 - 5.82 = 0.18$ और $8.25 - 6 = 2.25$। सबसे पास $5.82$ है।

14. जैसे $3.1415$, क्योंकि $3.1410 < 3.1415 < 3.1420$; फिर $3.14159$, क्योंकि $3.14150 < 3.14159 < 3.14160$। (दोनों $\pi = 3.14159\dots$ की असली खोज के सच्चे कदम हैं।)

15. मान लो कोई कितनी भी बड़ी संख्या बताए। एक ज़ूम $0$ और $1$ के बीच पड़ोसी निशानों के हर जोड़े को नौ नई संख्याओं में बदल देता है, और ज़ूम हमेशा दोहराया जा सकता है — प्रश्न 2, 3 और 4 केवल पहली दो परतें थीं। उसे इतनी बार दोहराओ कि $0$ और $1$ के बीच बताई गई संख्या से ज़्यादा दशमलव संख्याएँ बन जाएँ। तो कोई भी संख्या उन्हें गिनने के लिए बड़ी नहीं: वे अनगिनत हैं।