प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

52केंद्रीय सममिति और समांतर चतुर्भुज

किसी आकृति को एक बिंदु के चारों ओर आधा चक्कर घुमा दो: यही केंद्रीय सममिति है, अध्याय 42 के परावर्तन के बाद इस किताब का दूसरा रूपांतरण। इसकी सबसे चमकीली आकृति समांतर चतुर्भुज है — वह चतुर्भुज जो अपने ही विकर्णों के कटान-बिंदु के बारे में सममित होता है।

52.1 केंद्रीय सममिति

परिभाषा 52.1 (किसी बिंदु के बारे में सममित)

किसी बिंदु $M$ का, किसी बिंदु $O$ के बारे में, सममित बिंदु वह $M'$ है जिसके लिए $O$ , $[MM']$ का मध्यबिंदु हो। सममित आकृति वह है जो मूल आकृति को $O$ के चारों ओर आधा चक्कर ( $180^\circ$ ) घुमाने पर बनती है।

O के बारे में सममिति: प्रत्येक बिंदु और उसका प्रतिबिंब O के साथ एक ही रेखा पर होते हैं, दोनों तरफ़ बराबर दूरी पर (निशान देखो)। — $O$ के बारे में सममिति: प्रत्येक बिंदु और उसका प्रतिबिंब $O$ के साथ एक ही रेखा पर होते हैं, दोनों तरफ़ बराबर दूरी पर (निशान देखो)।

विधि 52.2 (किसी बिंदु का सममित बिंदु बनाना)

$O$ के बारे में $M$ का सममित बिंदु $M'$ बनाने के लिए:

रेखा $(MO)$ खींचो और उसे $O$ के आगे बढ़ाओ;
$MO$ नापो (पैमाने या परकार से);
बढ़ी हुई रेखा पर $M'$ इस तरह रखो कि $OM' = OM$ हो।

जाल वाले काग़ज़ पर: $M$ से $O$ तक आड़े और खड़े क़दम गिनो, और उतने ही क़दम $O$ से आगे चलकर $M'$ तक पहुँचो।

उदाहरण 52.3 (जाल वाले काग़ज़ पर)

अगर $M$ , $O$ से $3$ ख़ाने बाईं ओर और $1$ ख़ाना ऊपर है, तो उसका सममित बिंदु $M'$ , $O$ से $3$ ख़ाने दाईं ओर और $1$ ख़ाना नीचे होगा: केंद्रीय सममिति दोनों दिशाएँ एक साथ उलट देती है (परावर्तन सिर्फ़ एक उलटता है)।

प्रतिज्ञप्ति 52.4 (आधा चक्कर क्या-क्या बचाए रखता है)

केंद्रीय सममिति लंबाइयाँ, कोण, परिमाप और क्षेत्रफल बचाए रखती है; किसी रेखा का प्रतिबिंब उसके समांतर रेखा होती है, किसी रेखाखंड का प्रतिबिंब उतनी ही लंबाई का समांतर रेखाखंड, और किसी वृत्त का प्रतिबिंब उतनी ही त्रिज्या का वृत्त (जिसका केंद्र पहले केंद्र का सममित बिंदु होता है)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 52.5

परावर्तन से तुलना करो (प्रतिज्ञप्ति 42.4): दोनों लंबाइयाँ और कोण बचाए रखते हैं; पर परावर्तन आकृति को पलट देता है (अक्षर $b$ से $d$ बन जाता है), जबकि आधा चक्कर उसे पढ़ने लायक़ ही रखता है — बस उलटा ( $b$ से $q$ )। और परावर्तन के उलट, आधा चक्कर प्रत्येक रेखा को उसी के समांतर रेखा पर भेजता है।

परिभाषा 52.6 (सममिति केंद्र)

कोई बिंदु $O$ किसी आकृति का सममिति केंद्र तब होता है जब $O$ के चारों ओर आधा चक्कर उस आकृति को ठीक उसी पर भेज दे। जैसे अक्षर S, N, Z का एक सममिति केंद्र होता है; वृत्त का भी होता है (उसका केंद्र); त्रिभुज का कभी नहीं होता।

52.2 समांतर चतुर्भुज

परिभाषा 52.7 (समांतर चतुर्भुज)

समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज है जिसके विकर्ण अपने साझे मध्यबिंदु पर कटते हैं। तब वही कटान-बिंदु आकृति का सममिति केंद्र होता है: प्रत्येक शीर्ष सामने वाले शीर्ष का आधे चक्कर वाला प्रतिबिंब होता है।

प्रमेय 52.8 (समांतर चतुर्भुज के गुण)

केंद्र $O$ वाले समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में:

आमने-सामने की भुजाएँ समांतर होती हैं: $(AB) \parallel (CD)$ और $(BC) \parallel (AD)$ ;
आमने-सामने की भुजाओं की लंबाई बराबर होती है: $AB = CD$ और $BC = AD$ ;
आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं: $\widehat A = \widehat C$ और $\widehat B = \widehat D$ ।

उपपत्ति. $O$ के चारों ओर आधा चक्कर $A$ को $C$ पर और $B$ को $D$ पर भेजता है (परिभाषा: $O$ दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु है)। इसलिए वह रेखाखंड $[AB]$ को रेखाखंड $[CD]$ पर भेजता है; और प्रतिज्ञप्ति 52.4 से प्रतिबिंब $[AB]$ के समांतर तथा उतनी ही लंबाई का होता है: बातें 1 और 2। वह $A$ वाले कोण को $C$ वाले कोण पर भी भेजता है, और कोण बचे रहते हैं: बात 3। ∎

एक समांतर चतुर्भुज और उसका केंद्र O: विकर्ण (लाल) एक-दूसरे को उनके मध्यबिंदुओं पर काटते हैं, और आमने-सामने की भुजाएँ समांतर तथा बराबर हैं (निशान देखो)। — एक समांतर चतुर्भुज और उसका केंद्र $O$ : विकर्ण (लाल) एक-दूसरे को उनके मध्यबिंदुओं पर काटते हैं, और आमने-सामने की भुजाएँ समांतर तथा बराबर हैं (निशान देखो)।

प्रमेय 52.9 (समांतर चतुर्भुज पहचानना)

कोई चतुर्भुज (जिसकी भुजाएँ आपस में न कटती हों) तभी समांतर चतुर्भुज हो जाता है जब इनमें से कोई एक बात सही हो:

उसके विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही हो (यही परिभाषा है);
उसकी आमने-सामने की भुजाएँ दो-दो करके समांतर हों;
आमने-सामने की दो भुजाएँ समांतर और बराबर लंबाई की हों।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 52.10

$ABCD$ में $(AB) \parallel (CD)$ और $AB = CD = 5$ cm है। कसौटी 3 लागू होती है: $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है — यानी बिना और कुछ नापे हमें यह भी पता चल गया कि $AD = BC$ , $(AD) \parallel (BC)$ , और उसके विकर्ण एक-दूसरे को बीचोंबीच काटते हैं।

टिप्पणी 52.11 (ख़ास समांतर चतुर्भुज)

अध्याय 41 वाले आयत, समचतुर्भुज और वर्ग ठीक वही समांतर चतुर्भुज हैं जिनमें एक गुण और है: बराबर विकर्ण (आयत), लंब विकर्ण (समचतुर्भुज), दोनों (वर्ग)। उदाहरण 41.6 में वादा किया गया कोण वाला तर्क अब चल पड़ता है: समांतर चतुर्भुज में लगातार आने वाले कोण संपूरक होते हैं (समांतर रेखाओं के साथ एकांतर तथा संगत कोण, प्रमेय 51.2), इसलिए एक समकोण चारों को समकोण बना देता है।

52.3 अभ्यास

अभ्यास 52.1 ★

जाल वाले काग़ज़ पर $O$ रखो, फिर $M$ को $O$ से चार ख़ाने दाईं ओर और एक ख़ाना ऊपर। $O$ के बारे में $M$ का सममित बिंदु $M'$ बनाओ, और $O$ से होकर जाती खड़ी जाल-रेखा के बारे में भी $M$ का सममित बिंदु बनाओ। दोनों प्रतिबिंबों की तुलना करो।

हल

हल — अभ्यास 52.1.

आधे चक्कर वाला प्रतिबिंब: $M'$ , $O$ से चार ख़ाने बाईं ओर और एक ख़ाना नीचे है (दोनों दिशाएँ उलट गईं)। खड़ी रेखा के बारे में परावर्तन: चार ख़ाने बाईं ओर, पर अब भी एक ख़ाना ऊपर। दोनों प्रतिबिंब अलग हैं: वे एक-दूसरे के खड़े दर्पण-प्रतिबिंब हैं।

अभ्यास 52.2 ★

एक त्रिभुज $ABC$ और उसके बाहर एक बिंदु $O$ बनाओ। $O$ के चारों ओर आधे चक्कर से उसका प्रतिबिंब $A'B'C'$ बनाओ। लंबाइयों $A'B'$ और $AB$ के बारे में तुम क्या कह सकते हो? और रेखाओं $(A'B')$ तथा $(AB)$ के बारे में?

हल

हल — अभ्यास 52.2.

$A'B' = AB$ (आधा चक्कर लंबाइयाँ बचाए रखता है) और $(A'B') \parallel (AB)$ (किसी रेखा का प्रतिबिंब समांतर रेखा होती है, प्रतिज्ञप्ति 52.4)।

अभ्यास 52.3 ★

कैलकुलेटर के परदे पर लिखे जाने वाले किन अंकों ( $0$ से $9$ ) का एक सममिति केंद्र होता है? और H, A, N, S, T, Z, O में से किन बड़े अक्षरों का?

हल

हल — अभ्यास 52.3.

सममिति केंद्र वाले कैलकुलेटर अंक: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (और $1$ भी, अगर वह सादी छड़ की तरह लिखा जाए)। अक्षर: H, N, S, Z, O का सममिति केंद्र है; A और T का नहीं (उनकी जगह एक अक्ष है)।

अभ्यास 52.4 ★

$KLMN$ केंद्र $O$ वाला एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm और $\widehat K = 115^\circ$ है। कारण सहित बताओ: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ , और $[LN]$ का मध्यबिंदु।

हल

हल — अभ्यास 52.4.

आमने-सामने की भुजाएँ बराबर: $MN = KL = 7$ cm और $NK = LM = 4$ cm। आमने-सामने के कोण बराबर: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ । विकर्ण एक-दूसरे को अपने साझे मध्यबिंदु पर काटते हैं, और वही बिंदु $O$ है: इसलिए $[LN]$ का मध्यबिंदु $O$ है।

अभ्यास 52.5 ★

अपने विकर्णों से एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ बनाओ: $AC = 8$ cm और $BD = 5$ cm, जो अपने मध्यबिंदुओं पर $60^\circ$ का कोण बनाते हुए कटते हैं। (पहले विकर्ण खींचो!)

हल

हल — अभ्यास 52.5.

$8$ cm का एक रेखाखंड $[AC]$ खींचो, उसका मध्यबिंदु $O$ अंकित करो, $O$ से होकर $(AC)$ के साथ $60^\circ$ बनाती एक रेखा खींचो, और उस पर $O$ से दोनों तरफ़ $2.5$ cm पर $B$ तथा $D$ रखो। $A$ , $B$ , $C$ , $D$ को जोड़ो: विकर्ण अपने मध्यबिंदुओं पर कटते हैं, इसलिए परिभाषा से ही $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है।

अभ्यास 52.6 ★

किसी समांतर चतुर्भुज का एक कोण $115^\circ$ का है। लगातार आने वाले कोणों के संपूरक होने वाली टिप्पणी से बाक़ी तीनों कोण बताओ।

हल

हल — अभ्यास 52.6.

लगातार आने वाले कोण संपूरक होते हैं: $115^\circ$ के बग़ल में $180 - 115 = 65^\circ$ बैठता है। आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं, इसलिए चारों कोण $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ हैं (योग $360^\circ$ )।

अभ्यास 52.7 ★★

$A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ और बिंदु $O(2.5, 2.5)$ लगाओ। $O$ के चारों ओर आधे चक्कर से बने प्रतिबिंबों $A'$ और $B'$ के निर्देशांक निकालो (उदाहरण 52.3 वाली ख़ाने गिनने की तरकीब से)।

हल

हल — अभ्यास 52.7.

$A(1,1)$ से $O(2.5, 2.5)$ तक: $1.5$ दाएँ और $1.5$ ऊपर; उतना ही आगे चलने पर: $A'(4, 4)$ । $B(4,2)$ से $O$ तक: $1.5$ बाएँ और $0.5$ ऊपर; आगे चलने पर: $B'(1, 3)$ ।

अभ्यास 52.8 ★★

$ABCD$ एक ऐसा चतुर्भुज है जिसमें $AB = CD$ है। क्या इतने से वह समांतर चतुर्भुज बन जाता है? अगर नहीं, तो एक प्रति-उदाहरण बनाओ (एक समद्विबाहु समलंब मदद करेगा), और बताओ कि शर्त में और क्या जोड़ना पड़ेगा।

हल

हल — अभ्यास 52.8.

नहीं। समद्विबाहु समलंब की दोनों तिरछी भुजाएँ बराबर होती हैं, फिर भी वह समांतर चतुर्भुज नहीं होता (उसकी दोनों समांतर भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है)। जो काफ़ी है वह है प्रमेय 52.9 की कसौटी 3: आमने-सामने की दो भुजाएँ बराबर और समांतर।

अभ्यास 52.9 ★★

मान लो $ABC$ एक त्रिभुज है और $O$ , $[BC]$ का मध्यबिंदु। $O$ के बारे में $A$ का सममित बिंदु $A'$ बनाओ। दिखाओ कि $ABA'C$ एक समांतर चतुर्भुज है। (प्रमेय 52.9 की कौन-सी कसौटी यहाँ मुफ़्त में मिल जाती है?)

हल

हल — अभ्यास 52.9.

$O$ , चुनाव से ही $[BC]$ का मध्यबिंदु है, और सममित बिंदु की रचना से वह $[AA']$ का भी मध्यबिंदु है। चतुर्भुज $ABA'C$ के विकर्ण $[AA']$ और $[BC]$ मध्यबिंदु $O$ साझा करते हैं: कसौटी 1 (यानी परिभाषा) उसे बिना किसी ज़्यादा मेहनत के समांतर चतुर्भुज बना देती है।

अभ्यास 52.10 ★★

सही या ग़लत, कारण के साथ: “जिस चतुर्भुज के आमने-सामने के कोण दो-दो करके बराबर हों वह समांतर चतुर्भुज होता है”; “जिस समांतर चतुर्भुज के विकर्ण लंब हों वह समचतुर्भुज होता है”; “जिस समांतर चतुर्भुज का एक कोण समकोण हो वह आयत होता है”।

हल

हल — अभ्यास 52.10.

“आमने-सामने के कोण बराबर $\Rightarrow$ समांतर चतुर्भुज”: सही (यह पहचानने की एक और कसौटी है; कोणों का योग $360^\circ$ होने से, बराबर आमने-सामने के जोड़े लगातार कोणों को संपूरक होने पर मजबूर करते हैं, और तब प्रमेय 51.2 से भुजाएँ समांतर हो जाती हैं)।

“लंब विकर्ण $\Rightarrow$ समचतुर्भुज”: समांतर चतुर्भुज के लिए सही (उसके विकर्ण पहले से ही मध्यबिंदुओं पर कटते हैं)।

“एक समकोण $\Rightarrow$ आयत”: सही — लगातार आने वाले कोण संपूरक होते हैं, इसलिए चारों समकोण बन जाते हैं।

अभ्यास 52.11 ★★★

मान लो $ABCD$ कोई भी चतुर्भुज है और $I$ , $J$ , $K$ , $L$ उसकी भुजाओं $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ के मध्यबिंदु। कई उदाहरण बनाओ। $IJKL$ हमेशा क्या दिखता है? (मध्यबिंदु प्रमेय वाला प्रमाण अध्याय 59 में आएगा — और सदिशों वाला प्रमाण हाई-स्कूल खंड में।)

हल

हल — अभ्यास 52.11.

चतुर्भुज चाहे जैसा हो — बहुत बेढब भी — मध्यबिंदु $I$ , $J$ , $K$ , $L$ हमेशा एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। मध्यबिंदु प्रमेय वाला प्रमाण अध्याय 59 में है (अभ्यास 59.9)।

52.4 समस्या: केक, माध्यिका, और वह दूसरा केंद्र जो हो ही नहीं सकता

समस्या 52.1

सप्ताहांत समस्या — काम पर लगे आधे चक्कर: केक की इंसाफ़ वाली कटाई, माध्यिकाओं की सीमा, और क्यों किसी आकृति के दो सममिति केंद्र नहीं हो सकते

आधा चक्कर सारे रूपांतरणों में सबसे सीधा-सादा लगता है — फिर भी वह केक को सिद्ध रूप से बराबर हिस्सों में काट देता है, त्रिभुज की माध्यिकाएँ नाप देता है, और शुद्ध गणित का एक नन्हा मोती छिपाए बैठा है: किसी घिरी हुई आकृति का एक सममिति केंद्र हो सकता है, पर दो कभी नहीं। इसका प्रमाण भाग I में की गई एक खोज पर टिका है: एक के बाद एक किए गए दो आधे चक्कर मिलकर एक सरकाव बन जाते हैं।

भाग I — आधे चक्कर की क़वायद।

जाल वाले काग़ज़ पर मूलबिंदु $O(0, 0)$ को केंद्र मानो। उदाहरण 52.3 वाली ख़ाने गिनने की तरकीब से $O$ के चारों ओर आधे चक्कर पर $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ और $P(0, -5)$ के प्रतिबिंब बताओ। $(x, y)$ के लिए आम नियम क्या है?
अब केंद्र $C(2, 1)$ है। $M(5, 3)$ का प्रतिबिंब निकालो, और यह आम नुस्ख़ा जाँचो: प्रतिबिंब का प्रत्येक निर्देशांक केंद्र के दुगुने में से बिंदु का निर्देशांक घटाकर मिलता है।
ताश के पत्ते ऐसे बनाए जाते हैं कि उलटे भी वैसे ही पढ़े जाएँ — यानी केंद्रीय सममिति, ताकि किसी भी खिलाड़ी को पत्ता “उलटा” न दिखे। समझाओ कि जिस पत्ते पर विषम संख्या में निशान हों, उनमें से एक निशान ठीक पत्ते के केंद्र पर क्यों होना ही चाहिए।
एक के बाद एक दो आधे चक्कर: केंद्र $O_1(2, 0)$ और $O_2(5, 0)$ लो। बिंदु $A(1, 1)$ को $O_1$ के चारों ओर आधे चक्कर से भेजो, फिर उस प्रतिबिंब को $O_2$ के चारों ओर आधे चक्कर से। शुरुआत और अंत की तुलना करो। यही $B(0, 3)$ के साथ दोहराओ। दोनों आधे चक्कर मिलकर कौन-सा एक, सीधा-सादा रूपांतरण बन गए?
सवाल 4 वाले सरकाव को दूरी $O_1 O_2$ के सामने नापो, और अपनी खोज लिखो। (समस्या 42.1 के दो समांतर दर्पणों से तुलना करो: वही घटना, नए खिलाड़ी।)

भाग II — केक और माध्यिकाएँ।

मान लो $O$ किसी समांतर चतुर्भुज का केंद्र है। समझाओ कि $O$ से होकर जाती कोई भी रेखा सीमा से जिन दो बिंदुओं पर मिलती है वे $O$ के बारे में सममित क्यों होते हैं, और वह रेखा समांतर चतुर्भुज को ऐसे दो टुकड़ों में क्यों बाँटती है जो एक-दूसरे की ठीक आधे चक्कर वाली नक़लें हैं — यानी बराबर क्षेत्रफल के।
हलवाई का प्रमेय: आयताकार केक उसके केंद्र से होकर जाती किसी भी सीधी कटाई से बिलकुल बराबर बँट जाता है। और आगे: मान लो आयताकार केक में एक आयताकार छेद है (किसी भी नाप का, कहीं भी, चाहे तिरछा ही)। वह एक सीधी कटाई बताओ जिससे दोनों हिस्सों में केक बराबर आए — और सवाल 6 से उसका कारण दो।
किसी समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ और $C(8, 5)$ हैं। $D$ और केंद्र $O$ के निर्देशांक निकालो।
अभ्यास 52.9 ने त्रिभुज $ABC$ और $[BC]$ के मध्यबिंदु $O$ से समांतर चतुर्भुज $ABA'C$ बनाया था, जहाँ $A'$ , $O$ के बारे में $A$ का सममित बिंदु है। उसे और त्रिभुज $ABA'$ में त्रिभुज असमिका (प्रमेय 51.6) को मिलाकर माध्यिका की सीमा सिद्ध करो: माध्यिका $[AO]$ के लिए

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(ध्यान दो कि $AA' = 2\,AO$ और $BA' = AC$ ।)
जिस त्रिभुज में $AB = 5$ cm और $AC = 7$ cm है, उसमें $A$ से खींची माध्यिका की लंबाई किन दो मानों के बीच होनी चाहिए? ( $ABA'$ में त्रिभुज असमिका दोनों तरफ़ से लगाओ।)

भाग III — किसी आकृति के कितने केंद्र हो सकते हैं?

प्रत्येक आकृति के बारे में बताओ कि उसका सममिति केंद्र है या नहीं, और कहाँ है: एक रेखाखंड; एक पूरी रेखा; एक समबाहु त्रिभुज; एक वर्ग; एक वृत्त; और अक्षर S तथा Z।
समबाहु त्रिभुज वाला अपना दावा सिद्ध करो: त्रिभुज को उसी पर भेजने वाला आधा चक्कर तीनों शीर्षों के जोड़े बनाएगा — पर तीन विषम है, इसलिए कोई एक शीर्ष अपने ही ऊपर भेजा जाएगा। इससे उस शीर्ष को क्या होना पड़ेगा, और वह असंभव क्यों है?
सवाल 12 को आम बनाओ: समझाओ कि विषम संख्या में शीर्षों वाले किसी भी बहुभुज का सममिति केंद्र क्यों नहीं होता।
वह मोती: मान लो किसी आकृति के दो अलग-अलग सममिति केंद्र $O_1$ और $O_2$ हैं। एक के बाद एक दोनों आधे चक्कर करो और सवाल 5 वाली खोज इस्तेमाल करो: कौन-सी गति आकृति को ठीक उसी पर भेजेगी? समझाओ कि काग़ज़ के एक पन्ने पर समा जाने वाली आकृति इससे क्यों नहीं बच सकती, और नतीजा निकालो।
सवाल 14 का नतीजा एक झिरी छोड़ जाता है: बिना सीमा वाली आकृतियाँ। किसी अनंत पट्टी-नमूने पर जाँचो — जैसे पैरों के निशानों की कभी न ख़त्म होने वाली क़तार: बाएँ, दाएँ, बाएँ, दाएँ … — कि उसके (कम से कम) दो अलग-अलग सममिति केंद्र हैं, और वह स्थानांतरण पहचानो जिसकी भविष्यवाणी सवाल 14 ने की थी।

हल

हल — समस्या 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ । नियम: मूलबिंदु के चारों ओर आधा चक्कर $(x, y)$ को $(-x, -y)$ पर भेजता है — दोनों निर्देशांकों का चिह्न बदल जाता है।

2. $M(5, 3)$ से: $C$ के तीन ख़ाने दाईं ओर होना तीन ख़ाने बाईं ओर हो जाता है, और दो ऊपर होना दो नीचे: प्रतिबिंब $(-1, -1)$ । नुस्ख़े से जाँच: केंद्र का दुगुना घटा बिंदु, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ ।

3. पत्ते के केंद्र के चारों ओर आधा चक्कर निशानों को जोड़ों में बदल देता है। विषम संख्या में निशान होने पर एक निशान जोड़ीदार के बिना रह जाता है: उसे अपना ही प्रतिबिंब होना पड़ेगा, और अपना प्रतिबिंब सिर्फ़ केंद्र ही होता है। इसलिए 3, 5, 7 … के बीच वाला निशान ठीक बीचोंबीच बैठता है (असली पत्ता देखो: सचमुच ऐसा ही है)।

4. $O_1(2,0)$ के बारे में: $A(1,1) \to (3,-1)$ ; $O_2(5,0)$ के बारे में: $(3,-1) \to (7,1)$ । शुरुआत $A(1,1)$ , अंत $(7,1)$ : $6$ दाईं ओर सरका, पलटा नहीं। $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ में भी वही: $6$ दाईं ओर। दोनों आधे चक्कर मिलकर एक स्थानांतरण बन जाते हैं।

5. सरकाव $6$ है और $O_1 O_2 = 3$ : स्थानांतरण दोनों केंद्रों के बीच की दूरी का दुगुना तय करता है ( $O_1$ से $O_2$ की दिशा में) — ठीक वैसे ही जैसे समस्या 42.1 में दो समांतर दर्पण अपने बीच की दूरी के दुगुने से स्थानांतरण करते थे।

6. $O$ के चारों ओर आधा चक्कर समांतर चतुर्भुज को उसी पर भेजता है (उसके लिए “सममिति केंद्र” का यही मतलब है, प्रमेय 52.8)। $O$ से होकर जाती रेखा भी उसी पर भेजी जाती है, इसलिए वह सीमा को जिन दो बिंदुओं पर काटती है वे आपस में बदल जाते हैं: वे $O$ के बारे में सममित हैं। रेखा के दोनों तरफ़ के समांतर चतुर्भुज के दोनों टुकड़े भी आपस में बदल जाते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे की ठीक नक़लें हैं (प्रतिज्ञप्ति 52.4) — यानी बराबर क्षेत्रफल के।

7. दोनों केंद्रों से होकर जाती रेखा के साथ काटो: केक वाले आयत का केंद्र और छेद वाले आयत का केंद्र। केक वाले आयत पर सवाल 6 लगाने से कटाई केक को आधा-आधा कर देती है; छेद वाले आयत पर लगाने से (रेखा उसके केंद्र से भी गुज़रती है) छेद भी आधा-आधा बँट जाता है। दोनों हिस्सों को आधा केक घटा आधा छेद मिलता है: बिलकुल बराबर।

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (विकर्ण अपना मध्यबिंदु साझा करते हैं, इसलिए $D$ , केंद्र के बारे में $B$ का आधे चक्कर वाला प्रतिबिंब है)। केंद्र: $[AC]$ का मध्यबिंदु, $O(4,\ 2.5)$ ।

9. समांतर चतुर्भुज $ABA'C$ में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर हैं: $BA' = AC$ । त्रिभुज $ABA'$ में त्रिभुज असमिका से $AA' < AB + BA' = AB + AC$ । और $O$ , $[AA']$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $AA' = 2\,AO$ , यानी $2\,AO < AB + AC$ , यानी $AO < \frac{AB + AC}{2}$ ।

10. ऊपरी सीमा: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm। निचली सीमा: $ABA'$ में $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , इसलिए $AO > 1$ cm। $A$ से खींची माध्यिका ठीक $1$ और $6$ cm के बीच पड़ती है।

11. रेखाखंड: हाँ, उसका मध्यबिंदु। रेखा: हाँ — उसका प्रत्येक बिंदु एक केंद्र है। समबाहु त्रिभुज: कोई नहीं। वर्ग: हाँ, विकर्णों का कटान। वृत्त: हाँ, उसका केंद्र। S और Z: हाँ, उनका बीच वाला बिंदु (पन्ना उलटकर देखो: वे वैसे ही पढ़े जाते हैं)।

12. आधा चक्कर तीनों शीर्षों के आपस में जोड़े बनाएगा; तीन विषम है, इसलिए कोई एक शीर्ष $A$ अपना ही प्रतिबिंब होगा, और तब $A$ को ही आधे चक्कर का केंद्र होना पड़ेगा। तब बाक़ी दोनों शीर्ष $B$ और $C$ , $A$ के बारे में सममित होंगे — यानी $A$ , $[BC]$ का मध्यबिंदु होगा, और तीनों शीर्ष एक ही रेखा पर आ जाएँगे। किसी त्रिभुज के तीन शीर्ष एक रेखा पर नहीं होते: विरोधाभास। ऐसा कोई केंद्र है ही नहीं।

13. वही सम-विषम वाला तर्क: बहुभुज को बचाए रखने वाला आधा चक्कर उसके शीर्षों के जोड़े बनाता है; शीर्षों की विषम संख्या किसी एक शीर्ष को अपनी जगह जमा देती है, और उसे केंद्र होना पड़ता है तथा दो और शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु भी — यानी तीन शीर्ष एक ही रेखा पर, जो किसी बहुभुज में असंभव है … इसलिए विषम संख्या में शीर्षों वाले किसी बहुभुज का सममिति केंद्र नहीं होता।

14. $O_1$ के बारे में और फिर $O_2$ के बारे में आधा चक्कर, दोनों बार आकृति को उसी पर भेजते हैं — इसलिए उनका मेल भी वही करता है। सवाल 5 से वह मेल दूरी $O_1 O_2$ के दुगुने का स्थानांतरण है, जो शून्य नहीं है क्योंकि दोनों केंद्र अलग-अलग हैं। काग़ज़ के एक पन्ने पर समा जाने वाली आकृति किसी तयशुदा, शून्य से बड़ी दूरी तक सरकने पर अपने बराबर नहीं रह सकती (उतनी बार सरकाओ तो वह पन्ना ही छोड़ देगी)। इसलिए किसी घिरी हुई आकृति का ज़्यादा से ज़्यादा एक सममिति केंद्र होता है।

15. कभी न ख़त्म होने वाली पट्टी पर, किसी बाएँ पैर के निशान और उसके बाद वाले दाएँ निशान के ठीक बीच वाले बिंदु के चारों ओर आधा चक्कर पूरे नमूने को उसी पर भेज देता है; और उससे एक पूरा क़दम आगे वाला बिंदु भी यही करता है: दो अलग-अलग केंद्र। दोनों आधे चक्करों का मेल आधे क़दम के दुगुने का स्थानांतरण देता है — यानी ठीक वही एक क़दम का सरकाव जो अनंत पट्टी-नमूने को साफ़-साफ़ उसी पर भेजता है, जैसा सवाल 14 कहता है। बिना सीमा वाले नमूने अलग नियमों से चलते हैं: यही दीवार-काग़ज़ का गणित है।