57अक्षर-गणना और समीकरण

हल — समस्या 57.1.

1. दुहरा वितरण नियम (प्रमेय 57.1) $c = a$, $d = b$ के साथ:

क्योंकि $ab$ और $ba$ एक ही गुणनफल हैं।

2. वही फैलाव, चिह्नों का ध्यान रखते हुए:

इस बार आड़े पद $-ab$ और $+ba$ दुगुने होने के बजाय आपस में कट जाते हैं।

3. भुजा $a + b$ वाला वर्ग चार टुकड़ों में कटता है: एक $a \times a$ का वर्ग (यानी $a^2$), एक $b \times b$ का वर्ग (यानी $b^2$), और $a \times b$ के दो आयत (दोनों मिलकर $2ab$)। सर्वसमिका $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ यही कहती है कि चारों क्षेत्रफल मिलकर बड़ा वर्ग भर देते हैं — यह दुहरे वितरण नियम का चित्र है, जिसमें दोनों तरफ़ एक ही तरह बाँटी गई हैं।

4. सर्वसमिकाओं से:

5. $a = 3$, $b = 4$ पर: $(3 + 4)^2 = 49$ है पर $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$। ज़ोए का सूत्र चित्र वाले $a \times b$ के दोनों आयत भूल जाता है — यानी छूटा हुआ $2ab = 24$, और सचमुच $25 + 24 = 49$।

6. $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$। उत्तर पूरे वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$ हैं।

7. विषम संख्याएँ $1$ से शुरू होती हैं और $2$-$2$ के क़दमों से बढ़ती हैं: $n$-वीं तक पहुँचने में $1$ से $2$ के $n - 1$ क़दम लगते हैं, इसलिए वह $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$ के बराबर है। जाँच: $n = 1, 2, 3$ से $1, 3, 5$ मिलते हैं।

8. पहली सर्वसमिका से,

दो लगातार वर्गों का अंतर ठीक $(n+1)$-वीं विषम संख्या है (सवाल 7 में $n$ की जगह $n + 1$ रखने पर: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$)।

9. वर्गों को एक के बाद एक बनाओ। एक ही ख़ाने से शुरू करो: $1 = 1^2$। भुजा $1$ के वर्ग से भुजा $2$ के वर्ग तक जाने के लिए $2 \times 1 + 1 = 3$ ख़ाने जोड़ो (सवाल 8): $1 + 3 = 2^2$। भुजा $3$ तक जाने के लिए $2 \times 2 + 1 = 5$ ख़ाने जोड़ो: $1 + 3 + 5 = 3^2$। हर नई विषम संख्या ठीक वही L-आकार की परत है जो अगला वर्ग पूरा करती है, इसलिए पहली $n$ विषम संख्याएँ जोड़ने के बाद भुजा $n$ का वर्ग पूरा हो जाता है: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$।

10. $1$ से $99$ तक की विषम संख्याएँ उनमें से पहली $50$ हैं ($2n - 1 = 99$ से $n = 50$), इसलिए

और $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ के लिए $n = 20$ चाहिए: पहली बीस विषम संख्याएँ ($1$ से $39$ तक) जुड़कर $400$ बनाती हैं।

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: यानी $a = x$, $b = 3$ के साथ पहली सर्वसमिका। इसलिए समीकरण $(x + 3)^2 = 0$ बन जाता है। कोई वर्ग शून्य तभी होता है जब संख्या ख़ुद शून्य हो (प्रमेय 54.1: शून्येतर संख्या की दूरी शून्येतर होती है, इसलिए उसके वर्ग की दूरी भी शून्येतर होगी)। इसलिए $x + 3 = 0$: अकेला हल $x = -3$ है।

12. प्रमेय 54.1 से गुणनफल की दूरी दूरियों का गुणनफल होती है। अगर दोनों गुणक शून्येतर हों तो दोनों दूरियाँ शून्येतर हैं, इसलिए गुणनफल की दूरी भी शून्येतर है: तब गुणनफल $0$ हो ही नहीं सकता। इसलिए शून्य गुणनफल कम से कम एक शून्य गुणक माँगता है। $(x - 2)(x + 5) = 0$ के लिए: या तो $x - 2 = 0$ या $x + 5 = 0$, जिससे दो हल मिलते हैं, $x = 2$ और $x = -5$।

13. $x^2 = 49$ से $x^2 - 49 = 0$ बनता है, और तीसरी सर्वसमिका उसके गुणनखंड बना देती है:

सवाल 12 से $x = 7$ या $x = -7$: यानी दो हल। इस अध्याय में अब तक हल किया गया हर समीकरण प्रथम घात का था और उसका ठीक एक हल था; पर समीकरण में वर्ग आते ही दो हल बन सकते हैं।

14. सब कुछ बाईं तरफ़ ले आओ: $x^2 - 6x + 9 = 0$, और दूसरी सर्वसमिका पहचानो: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$। इसलिए समीकरण $(x - 3)^2 = 0$ है, जो $x - 3 = 0$ पर मजबूर कर देता है (सवाल 11 की तरह): $x = 3$ अकेला हल है — अभ्यास 57.3 की जाँच ने उसे ढूँढ़ा था, और गुणनखंड बनाना सिद्ध कर देता है कि और कोई हल नहीं है।

15. तीसरी सर्वसमिका से,

आम तौर पर $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: दो लगातार वर्गों का अंतर उन दोनों संख्याओं का योगफल होता है — वही $2n + 1$ जो सवाल 8 में था, बस अब पहली के बजाय तीसरी सर्वसमिका से निकला हुआ।