प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

18आकार और समकोण

वर्ग, आयत, त्रिभुज, वृत्त: ये आकार पुराने दोस्त हैं। यह अध्याय उन्हें ज्यामिति की नज़र से देखता है — वर्ग को वर्ग ठीक-ठीक क्या बनाता है? — और वह औज़ार सामने लाता है जो फ़ैसला करता है: समकोण पट्टिका और उसका समकोण।

18.1 समकोण

परिभाषा 18.1 (समकोण)

समकोण काग़ज़ की शीट का, या समकोण पट्टिका का, कोने वाला कोण है। जो दो रेखाएँ समकोण बनाती हैं वे लंब कहलाती हैं। आकृतियों में समकोण कोने में एक छोटे वर्ग से अंकित किया जाता है।

विधि 18.2 (समकोण की जाँच)

जिस कोने की जाँच करनी है, ठीक उस पर समकोण पट्टिका का कोना रखो;
पट्टिका का एक किनारा कोण की एक भुजा के साथ-साथ सरकाओ;
अगर कोण की दूसरी भुजा ठीक दूसरे किनारे के साथ-साथ चले, तो कोण समकोण है — अगर वह ज़्यादा या कम खुला हो, तो नहीं।

केवल पहला कोण समकोण है — और उसे केवल वह छोटा वर्ग-चिह्न, या समकोण पट्टिका ही प्रमाणित कर सकती है: अकेली आँख आसानी से धोखा खा जाती है।

18.2 आकार और उनके नियम

परिभाषा 18.3 (वर्ग, आयत, त्रिभुज)

आयत की $4$ भुजाएँ और $4$ समकोण होते हैं; उसकी आमने-सामने की भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।
वर्ग वह आयत है जिसकी चारों भुजाओं की लंबाई बराबर हो।
त्रिभुज की $3$ भुजाएँ होती हैं; समकोण त्रिभुज में एक समकोण होता है।
वृत्त परकार से खींचा जाता है: उसके सारे बिंदु केंद्र से एक ही दूरी पर होते हैं, और यह दूरी त्रिज्या कहलाती है।

आकारों का संग्रह, अपने चिह्नों के साथ: समकोणों के लिए छोटे वर्ग, बराबर भुजाओं के लिए छोटी लकीरें।

उदाहरण 18.4 (चिह्न क्यों ज़रूरी हैं)

ज़रा-सा तिरछा बना आकार वर्ग जैसा दिख सकता है, पर हो न। सच चिह्न बताते हैं: $4$ समकोण-चिह्न $+$ $4$ लकीरें $=$ असली वर्ग। बनाते समय चिह्न लगाओ; आकृति पढ़ते समय केवल चिह्नों और दी गई मापों पर भरोसा करो।

18.3 जाल वाले काग़ज़ पर रचना

विधि 18.5 (जाल पर रचनाएँ)

जाल वाला काग़ज़ मुफ़्त में समकोण देता है: उसकी रेखाएँ आपस में लंब हैं।

$5$ गुणा $3$ का आयत बनाने के लिए: एक कटान-बिंदु चुनो, $5$ खाने दाईं ओर, $3$ खाने ऊपर गिनो, और जाल की रेखाओं के साथ आकार बंद कर दो;
बराबर लंबाइयाँ जाँचने के लिए खाने गिनो;
तिरछे कदम तिरछी रेखाएँ बनाते हैं: बार-बार “ $1$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलने पर $45^\circ$ की रेखा बनती है।

जाल पर दो रचनाएँ: जाल की रेखाएँ समकोण पक्के कर देती हैं।

उदाहरण 18.6 (रचना का कार्यक्रम)

किसी आकृति को निर्देशों से बताया जा सकता है: “1. $4$ cm भुजा वाला वर्ग $ABCD$ बनाओ। 2. $A$ को केंद्र मानकर $B$ से होकर जाने वाला वृत्त बनाओ।” कार्यक्रम की एक-एक पंक्ति का पालन करके कोई भी वही आकृति दोबारा बना सकता है — और ऐसा कार्यक्रम लिखने पर हर बिंदु का नाम रखना पड़ता ही है। किसी साथी के साथ आज़माओ: एक लिखे, दूसरा बनाए।

18.4 अभ्यास

अभ्यास 18.1 ★

कक्षा में (बिना नापे) तीन समकोण और एक ऐसा कोण ढूँढ़ो जो समकोण न हो। हर एक की जाँच कैसे करोगे?

हल

हल — अभ्यास 18.1.

आम समकोण: बोर्ड के, काग़ज़ की शीट के, दरवाज़े के कोने। समकोण न होने वाला कोण: कैंची का खुलना, $1$ बजे घड़ी की सुइयों के बीच का कोण। हर एक की जाँच समकोण पट्टिका से होती है (विधि 18.2) — कभी सिर्फ़ आँख से नहीं।

अभ्यास 18.2 ★

मापपट्टी और समकोण पट्टिका से $6$ cm गुणा $4$ cm का आयत बनाओ। उसके समकोण और बराबर भुजाएँ अंकित करो।

हल

हल — अभ्यास 18.2.

रचना: $6$ cm की एक भुजा, दोनों सिरों पर समकोण पट्टिका से समकोण, $4$ cm की भुजाएँ, फिर आकार बंद। चिह्न: कोनों में $4$ छोटे वर्ग, हर $6$ cm भुजा पर एक लकीर, हर $4$ cm भुजा पर दोहरी लकीर।

अभ्यास 18.3 ★

$5$ cm भुजा वाला वर्ग बनाओ। उसमें कितने समकोण हैं? कितनी बराबर भुजाएँ? सब कुछ अंकित करो।

हल

हल — अभ्यास 18.3.

वर्ग में $4$ समकोण और $4$ बराबर भुजाएँ होती हैं — सब अंकित।

अभ्यास 18.4 ★

जाल वाले काग़ज़ पर बनाओ: $4 \times 4$ का वर्ग; $7 \times 2$ का आयत; $3$ और $5$ खानों की भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज।

हल

हल — अभ्यास 18.4.

जाल पर रचनाएँ; जाल समकोण पक्के करता है, और खाने गिनने से लंबाइयाँ पक्की होती हैं।

अभ्यास 18.5 ★

सही या ग़लत? समझाओ। “हर वर्ग एक आयत है।” “हर आयत एक वर्ग है।” “त्रिभुज में दो समकोण हो सकते हैं।” (बनाकर देखो!)

हल

हल — अभ्यास 18.5.

“हर वर्ग एक आयत है”: सही — उसमें $4$ समकोण हैं, आयत को इतना ही चाहिए।

“हर आयत एक वर्ग है”: ग़लत — $6 \times 4$ के आयत की भुजाएँ बराबर नहीं हैं।

“त्रिभुज में दो समकोण हो सकते हैं”: ग़लत — दोनों समकोणों से खींची गई भुजाएँ एक ही आधार-रेखा पर लंब होंगी, इसलिए वे कभी मिलकर त्रिभुज बंद नहीं करेंगी।

अभ्यास 18.6 ★

$4$ cm त्रिज्या का वृत्त बनाओ। उसका केंद्र $O$ अंकित करो, वृत्त पर एक बिंदु $A$ लो, और त्रिज्या $[OA]$ खींचो। $OA$ कितना लंबा है? और $B$ वृत्त का कोई दूसरा बिंदु हो, तो $OB$ कितना लंबा है?

हल

हल — अभ्यास 18.6.

$OA = 4$ cm (त्रिज्या)। $OB$ भी $4$ cm: वृत्त का हर बिंदु केंद्र से एक ही दूरी पर है।

अभ्यास 18.7 ★

इस कार्यक्रम का पालन करो: “1. $AB = 6$ cm और $BC = 3$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. $[AB]$ के बीच में बिंदु $M$ अंकित करो। 3. $M$ को $C$ और $D$ से जोड़ो।” आयत किन आकारों में कट गया?

हल

हल — अभ्यास 18.7.

आयत तीन त्रिभुजों में कटता है: दो समकोण त्रिभुज ( $AMD$ और $MBC$ , जिनके समकोण $A$ और $B$ पर हैं) और बीच का त्रिभुज $MCD$ ।

अभ्यास 18.8 ★

आकारों को छाँटो: इनमें से किनमें कम से कम एक समकोण है? एक वर्ग; एक (वर्ग न होने वाला) आयत; एक समकोण त्रिभुज; एक वृत्त; मोटी लकीरों से बना अक्षर L।

हल

हल — अभ्यास 18.8.

कम से कम एक समकोण वाले: वर्ग, आयत, समकोण त्रिभुज, और अक्षर L (उसके भीतरी और बाहरी कोने)। वृत्त में कोई कोना ही नहीं।

अभ्यास 18.9 ★★

जाल वाले काग़ज़ पर एक तिरछा वर्ग बनाओ जिसकी भुजाएँ “ $2$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलती हों (और उसी के मुड़े हुए रूप)। खाने गिनकर पक्का करो कि चारों भुजाएँ बराबर लंबी हैं।

हल

हल — अभ्यास 18.9.

हर भुजा “ $2$ दाईं ओर, $1$ ऊपर” चलती है (या उसके घुमे हुए रूप “ $1$ दाईं ओर, $2$ नीचे” आदि): हर भुजा $2 \times 1$ खानों के गुटके का विकर्ण है, इसलिए चारों की लंबाई बराबर है।

अभ्यास 18.10 ★★

एक रचना का कार्यक्रम लिखो (क्रम से निर्देश, नाम वाले बिंदु): $3$ cm $\times$ $2$ cm के आयत के ऊपर $3$ cm भुजा वाला वर्ग, जैसे भूतल पर बना घर। अपना कार्यक्रम किसी सहपाठी पर आज़माओ।

हल

हल — अभ्यास 18.10.

एक सही कार्यक्रम: “1. $AB = 3$ cm (नीचे) और $BC = 2$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. भुजा $[DC]$ के ऊपर, आयत के बाहर की ओर, $3$ cm भुजा वाला वर्ग $DCEF$ बनाओ।” कोई भी साफ़, क्रमबद्ध और पूरा कार्यक्रम सही है — शब्द-दर-शब्द उसका पालन करके जाँच लो।

अभ्यास 18.11 ★★

छोटे वर्गों के $3 \times 3$ जाल में कुल कितने वर्ग ढूँढ़ सकते हो? ( $1 \times 1$ , $2 \times 2$ और $3 \times 3$ वाले गिनो।)

हल

हल — अभ्यास 18.11.

$1 \times 1$ वर्ग: $9$ । $2 \times 2$ वर्ग: $4$ । $3 \times 3$ : $1$ । कुल: $9 + 4 + 1 = 14$ वर्ग।