प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · कक्षा 1–9

27सममिति

तितलियाँ, चेहरे, बर्फ़ के फाहे: प्रकृति को ऐसी आकृतियाँ पसंद हैं जिनके दोनों आधे मोड़ने पर आपस में मिल जाएँ। यह अध्याय मोड़ों और जाल वाले काग़ज़ से सममिति खोजता है — समकोण पट्टिका से रचनाएँ अध्याय 42 में आएँगी।

27.1 मोड़ना और मिलाना

परिभाषा 27.1 (सममिति अक्ष)

कोई रेखा किसी आकृति की सममिति अक्ष तब होती है जब उस रेखा पर आकृति को मोड़ने से दोनों आधे बिलकुल मिल जाएँ। किसी आकृति की कोई अक्ष न हो, एक हो, या कई हो सकती हैं।

बिंदुदार रेखा पर मोड़ो: दोनों आधे मिल जाते हैं। आख़िरी त्रिभुज में कोई भी मोड़ काम नहीं करता — कोई सममिति अक्ष नहीं।

उदाहरण 27.2 (अनुरेखण काग़ज़ से जाँच)

आकृति को उतारो, अनुरेखण काग़ज़ को मानी हुई अक्ष पर पलटो, और वापस रख दो: अगर उतारी हुई आकृति मूल आकृति को ठीक ढक ले, तो अक्ष सचमुच की है। अकेली आँख अक्सर धोखा खाती है — आयत का विकर्ण अक्ष जैसा दिखता है, पर मोड़ की जाँच मना कर देती है (आज़माओ!)।

27.2 जाल पर आकृतियाँ पूरी करना

विधि 27.3 (जाल की रेखा पर सममित आकृति)

अक्ष जाल की कोई खड़ी (या आड़ी) रेखा है।

आकृति के हर शीर्ष को बारी-बारी लो;
अक्ष से उसकी दूरी खानों में गिनो;
प्रतिबिंब शीर्ष को दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर, उसी पंक्ति (या स्तंभ) में रखो;
प्रतिबिंब शीर्षों को उसी क्रम में जोड़ो, और जाँचो: प्रतिबिंब आकृति का दर्पण-जुड़वाँ है।

लाल अक्ष के दूसरी ओर पूरा करना: हर शीर्ष उतनी ही दूरी पर कूद जाता है। अक्ष को छूने वाले शीर्ष अपनी जगह ही रहते।

उदाहरण 27.4 (वही आकार, वही नाप, पर पलटा हुआ)

प्रतिबिंब की लंबाइयाँ और कोण बिलकुल वही होते हैं जो मूल आकृति के: सममिति आकृति की नक़ल बनाती है — पर उसे पलट देती है, जैसे बायाँ हाथ और दायाँ हाथ। मूल अक्षर F हो, तो उसका दर्पण-प्रतिबिंब उलटा F होता है, दूसरा F नहीं।

27.3 आम आकारों की अक्ष

उदाहरण 27.5 (अक्ष गिनना)

मोड़कर देखने पर:

वर्ग: $4$ अक्ष (दो आमने-सामने की भुजाओं के बीचों से होकर, दो विकर्णों पर);
आयत: $2$ अक्ष (केवल आमने-सामने की भुजाओं के बीचों से!);
समद्विबाहु त्रिभुज: $1$ ; समबाहु त्रिभुज: $3$ ;
वृत्त: उसके केंद्र से होकर जाने वाली हर रेखा — गिनी न जा सकें उतनी अक्ष।

उदाहरण 27.6 (वर्णमाला में सममिति)

A, M, T, U, V में खड़ी अक्ष है; B, C, D, E में आड़ी; H, I, O, X में दोनों। सही अक्षरों से बने शब्द भी सममित हो सकते हैं: MUM में खड़ी अक्ष है; OXO दोनों तरह चलता है।

27.4 अभ्यास

अभ्यास 27.1 ★

उतारो और मोड़ो: इनमें से किनमें सममिति अक्ष है — एक वर्ग; एक (वर्ग न होने वाला) आयत; एक विषमबाहु त्रिभुज (सारी भुजाएँ अलग); एक वृत्त?

हल

हल — अभ्यास 27.1.

वर्ग: हाँ ( $4$ अक्ष)। आयत: हाँ ( $2$ )। विषमबाहु त्रिभुज: कोई मोड़ काम नहीं करता। वृत्त: हाँ — केंद्र से होकर कोई भी रेखा।

अभ्यास 27.2 ★

इनकी सममिति अक्ष खींचो: एक वर्ग; एक आयत; एक समबाहु त्रिभुज। हर एक की कितनी हैं?

हल

हल — अभ्यास 27.2.

वर्ग: $4$ (दो बीच वाली रेखाएँ, दो विकर्ण)। आयत: $2$ (केवल बीच वाली रेखाएँ)। समबाहु त्रिभुज: $3$ (हर शीर्ष से होकर एक)।

अभ्यास 27.3 ★

उदाहरण 27.2 की अनुरेखण-काग़ज़ वाली जाँच से दिखाओ कि $6 \times 4$ के आयत का विकर्ण सममिति अक्ष नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 27.3.

विकर्ण पर मोड़ने पर दोनों त्रिभुजाकार आधों का आकार तो एक ही होता है, पर वे एक-दूसरे पर नहीं बैठते — एक “उलटी ओर घूमा हुआ” है: उतारी हुई आकृति मूल आकृति के बग़ल में गिरती है, उस पर नहीं। इसलिए विकर्ण अक्ष नहीं है।

अभ्यास 27.4 ★

जाल वाले काग़ज़ पर एक खड़ी अक्ष बनाओ और अक्ष से $2$ खाने दूर अक्षर L (तीन खाने ऊँचा, दो चौड़ा) बनाओ। उसका दर्पण-प्रतिबिंब बनाओ।

हल

हल — अभ्यास 27.4.

प्रतिबिंब वाला L अक्ष की दूसरी ओर $2$ खाने पर है, उलटा लिखा हुआ (दर्पण वाला L), नाप वही।

अभ्यास 27.5 ★

जाल वाले काग़ज़ पर एक आड़ी अक्ष बनाओ और उसके ऊपर एक छोटा झंडा ( $3$ खानों के डंडे पर $1 \times 1$ का त्रिभुज)। अक्ष के नीचे सममिति से आकृति पूरी करो।

हल

हल — अभ्यास 27.5.

पूरी की गई आकृति में झंडा और अक्ष के नीचे उसका उलटा प्रतिबिंब दिखता है, डंडे के नीचे डंडा।

अभ्यास 27.6 ★

कोई आकृति अपनी सममिति अक्ष को बिंदु $P$ पर छूती है। $P$ का प्रतिबिंब कहाँ है? मोड़ वाले चित्र से समझाओ।

हल

हल — अभ्यास 27.6.

$P$ हिलता नहीं: अक्ष पर मोड़ने से अक्ष पर पड़ा हर बिंदु ठीक अपनी जगह रहता है — $P$ अपना ही प्रतिबिंब है।

अभ्यास 27.7 ★

बड़े अक्षर A, B, E, F, H, N, O, T को छाँटो: खड़ी अक्ष? आड़ी अक्ष? दोनों? कोई नहीं?

हल

हल — अभ्यास 27.7.

खड़ी अक्ष: A, H, O, T। आड़ी अक्ष: B, E, H, O। दोनों: H, O। कोई नहीं: F, N।

अभ्यास 27.8 ★

एक त्रिभुज की भुजाएँ $5$ cm, $5$ cm और $3$ cm हैं। क्या उसकी सममिति अक्ष है? मोड़ किन भुजाओं की अदला-बदली करता है?

हल

हल — अभ्यास 27.8.

हाँ: त्रिभुज समद्विबाहु है, और उसकी अक्ष दोनों $5$ cm भुजाओं के बीच वाले शीर्ष से होकर $3$ cm आधार के बीच तक जाती है। मोड़ दोनों बराबर भुजाओं की अदला-बदली करता है।

अभ्यास 27.9 ★★

जाल वाले काग़ज़ पर अपनी एक ऐसी आकृति बनाओ जिसकी ठीक दो सममिति अक्ष हों, और दोनों अक्ष भी खींचो। (संकेत: आयत सोचो, या एक क्रॉस।)

हल

हल — अभ्यास 27.9.

ठीक दो अक्ष वाली कोई भी आकृति चलेगी: एक (वर्ग न होने वाला) आयत, दो अलग-अलग लंबाई की भुजाओं वाला जोड़-चिह्न (लंबी आड़ी, छोटी खड़ी), एक अंडाकार। दोनों अक्ष हमेशा आकृति के केंद्र पर काटती हैं।

अभ्यास 27.10 ★★

एक सममित चित्र का आधा दिया है: घर का बायाँ आधा (एक वर्गाकार दीवार और त्रिभुजाकार छत का आधा), जिसके दाएँ किनारे पर खड़ी अक्ष है। पूरे घर का वर्णन करो या उसे बनाओ। पूरा किया हुआ दायाँ आधा लंबाइयों में बाएँ आधे से कैसा है?

हल

हल — अभ्यास 27.10.

पूरा घर बाएँ आधे और उसके दर्पण-जुड़वाँ से बनता है: आधी दीवार से दुगुनी चौड़ी दीवार, और ऊपर पूरी त्रिभुजाकार छत। दाईं ओर की हर लंबाई बाईं ओर की अपनी साथी लंबाई के बराबर है — सममिति लंबाइयाँ हूबहू उतार लेती है।

अभ्यास 27.11 ★★

आया का दावा है: “दो बराबर भुजाओं वाले हर त्रिभुज की सममिति अक्ष होती है, और सममिति अक्ष वाले हर त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर होती हैं।” उसके दोहरे दावे को चित्रों पर आज़माओ: एक समद्विबाहु त्रिभुज, एक समबाहु, एक विषमबाहु। क्या मोड़ना उसका साथ देता है?

हल

हल — अभ्यास 27.11.

चित्र दोनों दिशाओं का साथ देते हैं: समद्विबाहु त्रिभुज अपने शीर्ष से होकर जाने वाली रेखा पर मुड़ जाता है (दो बराबर भुजाएँ $\to$ अक्ष); समबाहु तीन तरह मुड़ता है; विषमबाहु की कोई अक्ष नहीं (कोई बराबर भुजा नहीं $\to$ कोई अक्ष नहीं)। आया का दोहरा दावा सही है — इसे अध्याय 42 में सिद्ध किया जाएगा।