66बीजगणित और समीकरण

समस्या 66.1

सप्ताहांत समस्या — विभाज्यता की तरकीबें काम क्यों करती हैं, 1089 वाले खेल का पर्दाफ़ाश, और जादू जैसी लगने वाली मन की गणना

शुरुआती कक्षाओं ने तुम्हें नियम सिखाए (कोई संख्या $9$ से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योगफल विभाज्य हो); जादूगर खेल दिखाते हैं (सबका आख़िर $1089$ पर होता है); बाज़ार छोटे रास्ते जानता है ($35^2 = 1225$, पलक झपकते)। इन सबके पीछे एक ही राज़ है: अंक $a$, $b$, $c$ वाली संख्या दरअसल व्यंजक $100a + 10b + c$ है, और इस अध्याय का बीजगणित (प्रमेय 66.3, फैलाना, गुणनखंडन) उसे खोलकर रख सकता है। इस समस्या के आख़िर तक तुम नियम सिद्ध कर चुके होगे, खेल का पर्दा उठा चुके होगे, और जादू सीख चुके होगे।

भाग I — अंक सूक्ष्मदर्शी के नीचे।

1. दहाई का अंक $a$ और इकाई का अंक $b$ वाली दो अंकों की संख्या $10a + b$ होती है। संख्या और उसके उलटे रूप का अंतर $(10a + b) - (10b + a)$ फैलाओ और उसका गुणनखंड करो, फिर जो मिला वह बताओ। $72 - 27$ पर जाँचो।

2. तीन अंकों की संख्याओं के लिए नौ का नियम सिद्ध करो: सर्वसमिका

   $$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c)$$

   जाँचो, और समझाओ कि इससे क्यों निकलता है कि $9$ का भाग देने पर संख्या और उसके अंकों का योगफल एक ही शेषफल छोड़ते हैं — यानी एक $9$ से विभाज्य ठीक तभी है जब दूसरा हो (प्रतिज्ञप्ति 64.3, अब सिद्ध)।

3. उसी सर्वसमिका से तीन का नियम एक वाक्य में निकालो।
4. “नौ फेंकना”, हिसाब-किताब वालों की जाँच: $47 \times 86 = 4\,042$ जाँचने के लिए हर संख्या की जगह उसके अंकों के योगफल का अंकों वाला योगफल रखो: $47 \to 11 \to 2$, $86 \to 14 \to 5$, और $2 \times 5 = 10 \to 1$; फिर $4\,042 \to 10 \to 1$: मेल खा गया। समझाओ कि सही गुणनफल को यह जाँच क्यों पार करनी ही पड़ती है ($47 = 9k + 2$, $86 = 9l + 5$ लिखकर फैलाओ), और कोई ऐसा ग़लत नतीजा ढूँढ़ो जिसे यह जाँच पकड़ नहीं पाती (आगे-पीछे हुए अंक उसे क्यों नहीं दिखते?)।

5. चार अंकों की संख्याओं के लिए ग्यारह का नियम सिद्ध करो:

   $$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$$

   जाँचो, और उससे तय करो कि $2\,926$, $11$ से विभाज्य है या नहीं।

भाग II — 1089 वाला खेल। खेल यह है: तीन अंकों की कोई संख्या सोचो जिसके पहले और आख़िरी अंक में कम से कम $2$ का फ़र्क़ हो; उसे उलटा लिखो; बड़ी में से छोटी घटाओ; नतीजे को उलटा लिखो; और आख़िरी दोनों संख्याएँ जोड़ो। जादूगर ऐलान करता है: 1089।

6. यह खेल $742$ पर और अपनी पसंद की एक संख्या पर करके देखो।
7. मान लो संख्या के अंक $a$, $b$, $c$ हैं और $a > c$ है। पहले घटाव $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ का गुणनखंड करो, और $a - c$ के $2$ से $9$ तक चलने पर उसके सारे संभव मान लिखो।

8. $99$ के इन गुणजों में से हर एक के अंकों का एक चौंकाने वाला ढर्रा है। $m = a - c$ लिखकर सर्वसमिका

   $$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m)$$

   जाँचो, और $99m$ के तीनों अंक पढ़ लो।

9. सवाल 8 वाले अंकों से $99m$ को उसके अपने उलटे रूप में जोड़ो, और सिद्ध करो कि जोड़ $1089$ ही आता है — $m$ चाहे कुछ भी हो। खेल ख़त्म; बीजगणित ज़िंदाबाद।
10. जादूगर ने पहले और आख़िरी अंक में कम से कम $2$ का फ़र्क़ क्यों माँगा? $a = c$ और $a - c = 1$ वाली हालतें देखो (जहाँ घटाने पर $99$ आता है, और उलटा करने के लिए उसे $099$ लिखना पड़ता है), और वह बारीक शर्त लिखो जो खेल को ईमानदार रखती है।

भाग III — रोज़ के काम का जादू।

11. जन्मदिन वाला खेल: “अपने जन्म के महीने को $5$ से गुणा करो, $7$ जोड़ो, दुगना करो, जन्म की तारीख़ जोड़ो, $14$ घटाओ।” दिखाओ कि नतीजा हमेशा $10m + d$ होता है — यानी महीना और तारीख़, एक नज़र में पढ़ने लायक़। (किसी पर आज़माकर देखो।)
12. अब तुम खेल को यूँ बदलते हो: “महीने को $5$ से गुणा करो, $9$ जोड़ो, दुगना करो, तारीख़ जोड़ो।” वही महीना–तारीख़ पढ़ने के लिए दर्शक को आख़िर में अब कौन-सी संख्या घटानी पड़ेगी?
13. ग़ायब अंक वाला खेल: दर्शक कोई भी संख्या चुनता है, उसमें से उसके अंकों का योगफल घटाता है (सवाल 2 कहता है कि नतीजा हमेशा $9$ का गुणज होता है — तीन अंकों की संख्या के लिए इसका कारण बताओ), फिर एक शून्येतर अंक काट देता है और बाक़ी अंक तुम्हें पढ़कर सुना देता है। समझाओ कि तुम काटा हुआ अंक कैसे वापस निकाल लेते हो, और $0$ को बाहर क्यों रखना पड़ा।
14. बाज़ार का जादू: सर्वसमिका $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ सिद्ध करो, $5$ पर ख़त्म होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग निकालने का नियम लिखो, और $45^2$, $85^2$ तथा $105^2$ मन में निकालो।
15. समापन, अभ्यास 66.10 को आगे बढ़ाते हुए: सिद्ध करो कि लगातार आने वाले पाँच पूर्णांकों का योगफल हमेशा $5$ का गुणज होता है, पर लगातार आने वाले चार पूर्णांकों का योगफल $4$ का गुणज कभी नहीं होता। (दो छोटी गणनाएँ — और एक सीख कि बीजगणित “हमेशा” तथा “कभी नहीं” शब्दों के साथ क्या कर देता है।)