प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Basisschool en onderbouw
32भाग और गुणज
अध्याय 23 में सीखे लंबे भाग में दो सुधार आते हैं: दो अंकों के भाजक, और ऐसे भागफल जो बिंदु के आगे भी चलते रहते हैं — को आख़िरकार उत्तर मिल जाता है, । अध्याय के अंत में गुणज, भाजक और विभाज्यता की पहली तरकीबें हैं।
32.1 दो अंकों की संख्या से भाग
विधि 32.1 (दो अंकों के भाजक)
तरीक़ा वही पुराना, बस एक हुनर और: यह ताड़ना कि भाजक कितनी बार समाता है। पहले भाजक के गुणजों की एक छोटी सूची लिख लो। के लिए ( के गुणज: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):
32.2 दशमलव भागफल
उदाहरण 32.2 (वह भाग जो शेषफल पर रुकने से मना कर दे)
पिज़्ज़े बच्चों में बाँटो: का भागफल है और शेषफल — किसी काम का नहीं! भाग को बिंदु के आगे बढ़ाओ:
तो : हर बच्चे को पिज़्ज़ा मिलता है — तीन चौथाई, जो भिन्नों की भाषा पहले से जानती थी (प्रतिज्ञप्ति 31.3)।
विधि 32.3 (भाग को बिंदु के आगे बढ़ाना)
जब इकाइयाँ ख़त्म हो जाएँ और शेषफल बचा हो:
- भागफल में दशमलव बिंदु लगाओ;
- शेषफल में एक शून्य जोड़ो (इकाई दसवें भाग बन जाती है, दसवाँ भाग सौवाँ …) और भाग देते रहो;
- तब रुको जब शेषफल हो जाए — या जब अंक हमेशा के लिए दोहराने लगें, जैसे : तब गोल किया हुआ मान दे दो।
उदाहरण 32.4
: भागफल , शेषफल ; बिंदु; दसवें भाग : तो । : , शेषफल ; फिर , शेषफल ; फिर : तो ।
32.3 गुणज और भाजक
परिभाषा 32.5 (गुणज, भाजक)
के गुणज उसके पहाड़े को हमेशा के लिए आगे बढ़ाने पर मिलते हैं: जब , का गुणज है, तब यह भी कहते हैं कि , का भाजक है, या कि , से विभाज्य है: भाग कोई शेषफल नहीं छोड़ता।
प्रतिज्ञप्ति 32.6 (विभाज्यता की तरकीबें)
बिना भाग दिए, कोई संख्या विभाज्य होती है:
- से, जब उसका आख़िरी अंक , , , या हो (सम संख्याएँ);
- से, जब उसका आख़िरी अंक या हो;
- से, जब उसका आख़िरी अंक हो;
- से, जब उसके अंकों का योगफल से विभाज्य हो (जैसे : , विभाज्य — और सचमुच )।
उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎
उदाहरण 32.7
क्या , से विभाज्य है? आख़िर में है: हाँ। से? नहीं। से? : हाँ। तो , से भी विभाज्य है ( और दोनों से) — जाँच: ।
32.4 अभ्यास
अभ्यास 32.1 ★
लंबे भाग करो (पहले गुणजों की सूची बनाओ): ; ।
अभ्यास 32.2 ★
ठीक-ठीक दशमलव भागफल निकालो: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 32.2.
; ; ; ।
अभ्यास 32.3 ★
चार दोस्त का भोजनालय-बिल बराबर बाँटते हैं। हर एक कितना देता है? (बिंदु के आगे बढ़ो।)
हल
हल — अभ्यास 32.3.
: हर एक देता है।
अभ्यास 32.4 ★
निकालो, बिंदु के आगे तीन अंक तक। क्या दिखता है? सौवें भाग तक गोल किया हुआ मान बताओ।
हल
हल — अभ्यास 32.4.
: अंक हमेशा दोहराता रहता है — भाग कभी रुकता ही नहीं। सौवें भाग तक गोल: ।
अभ्यास 32.5 ★
अभ्यास 32.6 ★
से विभाज्य? से? से? से? हर तरकीब इन पर आज़माओ: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 32.6.
: से (अंत में ), से, से; अंकों का योग : से नहीं।
: अंत में : से, या से नहीं; अंकों का योग : से।
: विषम; अंकों का योग : केवल से।
: सम; अंकों का योग : से और से (इसलिए से), से नहीं।
अभ्यास 32.7 ★
और के बीच की वे सारी संख्याएँ ढूँढ़ो जो और दोनों से विभाज्य हैं। (यह किस एक विभाज्यता के बराबर है?)
हल
हल — अभ्यास 32.7.
और दोनों से विभाज्य यानी से विभाज्य: और के बीच संख्याएँ , ।
अभ्यास 32.8 ★
m का रिबन बराबर टुकड़ों में काटा जाता है। हर टुकड़ा कितना लंबा है? (दशमलव में पूर्ण संख्या का भाग: पहले मीटर बाँटो, फिर दसवें भाग।)
हल
हल — अभ्यास 32.8.
: हर टुकड़ा m का है (जाँच: )।
अभ्यास 32.9 ★
कंचे - के थैलों में रखे जाते हैं। कितने थैले पूरे भरते हैं, और कितने कंचे बचते हैं? (दो अंकों का भाजक।)
हल
हल — अभ्यास 32.9.
: इकतालीस थैले पूरे भरते हैं, कंचे बचते हैं।
अभ्यास 32.10 ★★
क्या दोस्त चॉकलेट बराबर बाँट सकते हैं, कुछ बचाए बिना? हर हिस्सा दशमलव में बताओ। वही सवाल दोस्तों के चॉकलेट बाँटने का — वहाँ क्या फ़र्क़ पड़ता है?
हल
हल — अभ्यास 32.10.
: पाँचों दोस्तों में हर एक को चॉकलेट मिलती है — चॉकलेट को दसवें भागों में काटकर यह हो सकता है। के लिए: भाग देता है, जो कभी रुकता नहीं — कोई ठीक-ठीक दशमलव हिस्सा है ही नहीं; केवल भिन्न उसे ठीक-ठीक नाम देती है।
अभ्यास 32.11 ★★
अंकों-के-योग वाली तरकीब से वह सबसे छोटा अंक ढूँढ़ो जिससे (अंत में वाली तीन अंकों की संख्या) से विभाज्य हो। फिर ऐसे सारे अंक ढूँढ़ो।
हल
हल — अभ्यास 32.11.
अंकों का योग: । से विभाज्य तब, जब , , या हो: , या । सबसे छोटा है ()।