55भिन्नें: चारों संक्रियाएँ

हल — समस्या 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ और $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$। इसलिए $\frac56 = \frac12 + \frac13$ तथा $\frac34 = \frac12 + \frac14$ मिस्री लेखन हैं (दोनों में इकाई भिन्नें अलग-अलग हैं)।

2. उभयनिष्ठ हर $28$ के साथ:

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$, और $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$। आम तौर पर, $\frac{1}{n+1}$ और $\frac{1}{n(n+1)}$ का उभयनिष्ठ हर $n(n+1)$ होता है:

4. $1 = \frac12 + \frac12$ से शुरू करो और सवाल 3 से दूसरे आधे को तोड़ दो:

यानी तीन अलग-अलग इकाई भिन्नें।

5. $\frac56 = \frac12 + \frac13$ में $\frac13$ को तोड़ने पर

कोई भी मिस्री लेखन कभी अकेला नहीं होता: तोड़ने वाली सर्वसमिका सबसे बड़े हर वाली इकाई भिन्न को हमेशा दो नई, और भी छोटी इकाई भिन्नों से बदल सकती है — इसलिए किसी भी लेखन से एक और लेखन बना लिया जाता है।

6. हर $21$ के साथ: $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$। हर $28$ के साथ: $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$। इकाई भिन्नें अपने हर बढ़ने के साथ छोटी होती जाती हैं, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$; और चूँकि $\frac13$ (तथा उससे ऊपर की सब) बहुत बड़ी है और $\frac14$ समा जाती है, इसलिए $\frac27$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई भिन्न $\frac14$ ही है।

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$: लालची तरीक़ा $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ बनाता है, यानी ठीक वही जो सवाल 2 में लिपिकों की प्रविष्टि थी।

8. हर $14$ के साथ: $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$, जबकि इससे बड़ी अकेली इकाई भिन्न, यानी $1$, $\frac57$ से ऊपर निकल जाती है। इसलिए समा जाने वाली सबसे बड़ी $\frac12$ है, और

9. हर $28$ के साथ: $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$, इसलिए $\frac14$ बहुत बड़ी है। हर $70$ के साथ: $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$, इसलिए $\frac15$ समा जाती है: $\frac{3}{14}$ से छोटी सबसे बड़ी इकाई भिन्न वही है। फिर

जाँच: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$।

10. पहला क़दम: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ और $1 > \frac45$, इसलिए $\frac12$ घटाओ: $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$। दूसरा क़दम: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ बहुत बड़ी है, और $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ समा जाती है, इसलिए $\frac14$ घटाओ: $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$। नतीजा:

11. लगातार बचे हुए हिस्सों के अंश ये हैं: $\frac27$ के लिए $2$, फिर $1$; $\frac57$ के लिए $5$, फिर $3$, फिर $1$; $\frac45$ के लिए $4$, फिर $3$, फिर $1$। हर सूची लगातार घटती जाती है।

12. $\frac ab$ और $\frac1n$ का उभयनिष्ठ हर $b \times n$ है:

13. उभयनिष्ठ हर $b \times (n-1)$ पर असमिका $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ अंशों $b$ और $a \times (n - 1)$ की तुलना करती है:

और दोनों तरफ़ $a - b$ जोड़ने पर $a > a \times n - b$ मिलता है। इसलिए हर लालची क़दम के बाद बचे हुए हिस्से का अंश (सवाल 12) पहले वाले से पक्के तौर पर छोटी पूर्ण संख्या होता है। पूर्ण संख्याएँ हमेशा-हमेशा घटती नहीं रह सकतीं: ज़्यादा से ज़्यादा $a$ क़दमों में बचे हुए हिस्से का अंश $1$ हो जाता है — यानी एक इकाई भिन्न — या वह $0$ हो जाता है, और तरीक़ा रुक जाता है।

14. उभयनिष्ठ हर $18$ के साथ:

जो $1$ से कम है: वसीयत झुंड का $\frac{1}{18}$ भूल गई। यही झोल पूरी चाल है। $18$ ऊँटों में से $\frac12$, $\frac13$, $\frac19$ हिस्से पूरी संख्याएँ $9$, $6$ और $2$ बनते हैं, जिनका योग $9 + 6 + 2 = 17$ है: ठीक उतना ही झुंड, और अठारहवाँ ऊँट घर लौट जाता है। और शिकायत कोई नहीं कर सकता: वसीयत ने $17$ ऊँटों में से $\frac{17}{2} = 8.5$, फिर $\frac{17}{3} \approx 5.67$, फिर $\frac{17}{9} \approx 1.89$ ऊँट का वादा किया था, और हर बच्चे को उससे पक्के तौर पर ज़्यादा मिला ($9$, $6$ और $2$)। भूला हुआ $\frac{1}{18}$ ही वह जगह है जिसे पड़ोसी का ऊँट कुछ देर के लिए भरता है।

15. सुधरी हुई वसीयत सवाल 4 से मिल जाती है:

हिस्से तभी पूरी संख्याएँ बनते हैं जब झुंड का आकार $2$ से, $3$ से और $6$ से विभाज्य हो — यानी $6$ से विभाज्य। ऐसा सबसे छोटा झुंड $6$ ऊँटों का है: हिस्से $3$, $2$ और $1$, और कुछ भी बचता नहीं।