प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

42अक्षीय सममिति

काग़ज़ की शीट को किसी रेखा पर मोड़ो: हर बिंदु दूसरे बिंदु पर आ बैठता है, उसका दर्पण-प्रतिबिंब। यही मोड़ना अक्षीय सममिति (या परावर्तन) है, इस पुस्तक का पहला ज्यामितीय रूपांतरण — दूसरा, केंद्रीय सममिति, अध्याय 52 में आता है।

42.1 परावर्तन

परिभाषा 42.1 (सममित बिंदु)

मान लो $d$ एक रेखा है। $d$ के पार किसी बिंदु $M$ का सममित बिंदु वह $M'$ है जिसके लिए $d$ , $[MM']$ का लंब समद्विभाजक हो: रेखाखंड $[MM']$ , $d$ पर लंब है और $d$ उसे उसके मध्यबिंदु पर काटती है। $d$ पर पड़ा बिंदु अपना ही सममित होता है।

रेखा d पर परावर्तन: अक्ष [MM'] पर लंब है और उसके मध्यबिंदु से होकर जाती है (बराबर लकीरें)। अक्ष पर पड़ा बिंदु P हिलता नहीं। — रेखा $d$ पर परावर्तन: अक्ष $[MM']$ पर लंब है और उसके मध्यबिंदु से होकर जाती है (बराबर लकीरें)। अक्ष पर पड़ा बिंदु $P$ हिलता नहीं।

विधि 42.2 (सममित बिंदु बनाना)

रेखा $d$ के पार $M$ का सममित बिंदु $M'$ बनाने के लिए:

$M$ से होकर $d$ पर लंब खींचो (समकोण पट्टिका); जहाँ वह $d$ को काटे उसे $H$ कहो;
परकार या मापपट्टी से $MH$ नापो;
$M'$ को उसी लंब पर, $d$ की दूसरी ओर रखो, जहाँ $HM' = MH$ हो।

जाल वाले काग़ज़ पर यह तेज़ है: $M$ से अक्ष तक के खाने गिनो, और दूसरी ओर उतने ही गिन लो।

उदाहरण 42.3 (जाल पर)

अक्ष जाल की कोई खड़ी रेखा हो और $M$ उससे $3$ खाने बाईं ओर, तो $M'$ उससे $3$ खाने दाईं ओर, उसी पंक्ति में होता है। तिरछी अक्ष के लिए गिनती विकर्णों पर चलती है — हमेशा अक्ष पर लंब।

खड़ी अक्ष पर एक आकृति और उसका परावर्तन: हर शीर्ष खाना-दर-खाना परावर्तित होता है, और बायाँ-दायाँ आपस में बदल जाते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 42.4 (परावर्तन क्या बचाए रखता है)

किसी आकृति का, किसी रेखा के पार, सममित प्रतिबिंब उसी आकार और उसी नाप की आकृति होता है: लंबाइयाँ, कोण, परिमाप और क्षेत्रफल सब बचे रहते हैं। रेखाखंड का सममित रेखाखंड होता है, वृत्त का उसी त्रिज्या वाला वृत्त, रेखा का रेखा।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 42.5

एक चीज़ नहीं बचती: दिशा-क्रम। परावर्तित अक्षर $b$ , अक्षर $d$ बन जाता है — दर्पण-लेखन। अपनी आकृति उतारकर अनुरेखण काग़ज़ पलटने पर वही प्रतिबिंब बने, तो परावर्तन सही है।

42.2 किसी आकृति की सममिति अक्ष

परिभाषा 42.6 (सममिति अक्ष)

कोई रेखा $d$ किसी आकृति की सममिति अक्ष तब होती है जब $d$ पर परावर्तन आकृति को ठीक उसी पर भेज दे — $d$ पर मोड़ने से दोनों आधे मिल जाएँ।

जानी-पहचानी आकृतियों की सममिति अक्ष। आयत से सावधान: उसके विकर्ण सममिति अक्ष नहीं हैं (किसी विकर्ण पर मोड़ो — वर्ग न हो तो आधे नहीं मिलते)। — जानी-पहचानी आकृतियों की सममिति अक्ष। आयत से सावधान: उसके विकर्ण सममिति अक्ष *नहीं* हैं (किसी विकर्ण पर मोड़ो — वर्ग न हो तो आधे नहीं मिलते)।

उदाहरण 42.7

सममिति अक्ष गिनना:

समद्विबाहु त्रिभुज: $1$ (ऊपर के शीर्ष और आधार के बीच से होकर); समबाहु त्रिभुज: $3$ ;
आयत: $2$ (दोनों “बीच वाली रेखाएँ”, विकर्ण नहीं); समचतुर्भुज: $2$ (उसके विकर्ण!); वर्ग: $4$ ;
वृत्त: केंद्र से होकर जाने वाली हर रेखा — अनगिनत।

उदाहरण 42.8 (सममिति बराबरी सिद्ध कर देती है)

समद्विबाहु त्रिभुज के दोनों आधार-कोण बराबर क्यों होते हैं? त्रिभुज को उसकी सममिति अक्ष पर मोड़ो: बायाँ आधा ठीक दाएँ आधे पर आ बैठता है, इसलिए बायाँ आधार-कोण दाएँ आधार-कोण पर आता है — दोनों की नाप एक ही होनी चाहिए (प्रतिज्ञप्ति 42.4: परावर्तन कोण बचाए रखते हैं)।

42.3 लंब समद्विभाजक

परिभाषा 42.9 (लंब समद्विभाजक)

किसी रेखाखंड $[AB]$ का लंब समद्विभाजक वह रेखा है जो $[AB]$ पर लंब हो और उसके मध्यबिंदु से होकर जाए — यही वह सममिति अक्ष है जो $A$ और $B$ की अदला-बदली करती है।

प्रतिज्ञप्ति 42.10 (समदूरी)

कोई बिंदु $M$ , $[AB]$ के लंब समद्विभाजक पर ठीक तभी होता है जब वह $A$ और $B$ से एक ही दूरी पर हो: $MA = MB$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 42.11 (परकार से रचना)

बिना नापे $[AB]$ का लंब समद्विभाजक खींचने के लिए:

परकार को $AB$ के आधे से ज़्यादा खोलो;
$A$ को केंद्र मानकर रेखाखंड के ऊपर और नीचे दो चाप खींचो;
उसी खुलाव से $B$ को केंद्र मानकर दो चाप खींचो;
दोनों कटान-बिंदुओं को जोड़ दो: यही रेखा लंब समद्विभाजक है (हर कटान-बिंदु $A$ और $B$ से समान दूरी पर है)।

42.4 अभ्यास

अभ्यास 42.1 ★

जाल वाले काग़ज़ पर उतारो: एक खड़ी अक्ष $d$ , उससे दो खाने बाईं ओर एक बिंदु $A$ , और पाँच खाने बाईं ओर तथा एक खाना ऊपर एक बिंदु $B$ । $d$ के पार उनके सममित बिंदु $A'$ और $B'$ बनाओ।

हल

हल — अभ्यास 42.1.

$A'$ , $d$ की दाईं ओर दो खाने पर है, $A$ की ही पंक्ति में; $B'$ पाँच खाने दाईं ओर, एक खाना ऊपर — दर्पण वाली जगहें।

अभ्यास 42.2 ★

एक रेखा $d$ और उससे $3$ cm दूर एक बिंदु $M$ बनाओ (जाल वाले काग़ज़ पर नहीं)। समकोण पट्टिका और मापपट्टी से विधि 42.2 के अनुसार $d$ के पार $M$ का सममित बिंदु $M'$ बनाओ। $M$ और $M'$ कितनी दूर हैं?

हल

हल — अभ्यास 42.2.

$M$ से होकर $d$ पर लंब, जिसका पाद $H$ है; फिर दूसरी ओर $M'$ , जहाँ $HM' = MH = 3$ cm। दूरी $MM'$ , $3 + 3 = 6$ cm है।

अभ्यास 42.3 ★

वर्णमाला के कौन-से बड़े अक्षर, सबसे सादे रूप में लिखने पर, खड़ी सममिति अक्ष रखते हैं (जैसे A)? आड़ी अक्ष (जैसे B)? दोनों?

हल

हल — अभ्यास 42.3.

खड़ी अक्ष (जैसे A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y। आड़ी अक्ष (जैसे B): B, C, D, E, H, I, K, O, X। दोनों: H, I, O, X। (ठीक उत्तर इस पर थोड़ा निर्भर करता है कि अक्षर कैसे लिखे गए हैं।)

अभ्यास 42.4 ★

कितनी सममिति अक्ष हैं: समबाहु त्रिभुज की? (वर्ग न होने वाले) आयत की? (वर्ग न होने वाले) समचतुर्भुज की? वर्ग की? वृत्त की? हर आकृति अपनी अक्षों के साथ बनाओ।

हल

हल — अभ्यास 42.4.

समबाहु त्रिभुज: $3$ अक्ष। आयत: $2$ (उसकी भुजाओं के लंब समद्विभाजक)। समचतुर्भुज: $2$ (उसके विकर्ण)। वर्ग: $4$ । वृत्त: अनगिनत (केंद्र से होकर हर रेखा)।

अभ्यास 42.5 ★

सही या ग़लत? “आयत के विकर्ण उसकी सममिति अक्ष होते हैं।” मोड़ने की दलील या चित्र से समझाओ।

हल

हल — अभ्यास 42.5.

ग़लत। (वर्ग न होने वाले) आयत को उसके विकर्ण पर मोड़ने से दोनों आधे नहीं मिलते: दोनों त्रिभुजों का आकार एक है पर वे अलग-अलग बैठते हैं — काग़ज़ की शीट पर आज़माओ। केवल वर्ग में ही विकर्ण अक्ष का काम करते हैं।

अभ्यास 42.6 ★

त्रिभुज $ABC$ को रेखा $d$ पर परावर्तित करके $A'B'C'$ बनाया गया। $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ और $ABC$ का परिमाप $12$ cm दिया है: बिना कोई रचना किए $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ और $A'B'C'$ का परिमाप बताओ।

हल

हल — अभ्यास 42.6.

परावर्तन लंबाइयाँ, कोण और परिमाप बचाए रखते हैं (प्रतिज्ञप्ति 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , $A'B'C'$ का परिमाप $= 12$ cm।

अभ्यास 42.7 ★

$7$ cm का रेखाखंड $[AB]$ बनाओ और परकार से उसका लंब समद्विभाजक बनाओ (विधि 42.11)। उस पर कोई भी बिंदु $M$ चुनो और मापपट्टी से जाँचो कि $MA = MB$ ।

हल

हल — अभ्यास 42.7.

विधि 42.11 की तरह परकार से रचना। रेखा पर किसी भी $M$ के लिए मापपट्टी $MA = MB$ की पुष्टि कर देती है (प्रतिज्ञप्ति 42.10)।

अभ्यास 42.8 ★★

किसी (समतल) बग़ीचे के बिंदुओं $A$ और $B$ पर दो पेड़ खड़े हैं। फ़व्वारा कहाँ लगाया जाए कि वह दोनों पेड़ों से एक ही दूरी पर हो? सारी संभव जगहों का वर्णन करो।

हल

हल — अभ्यास 42.8.

$A$ और $B$ से समान दूरी वाले सारे बिंदु $[AB]$ का लंब समद्विभाजक बनाते हैं (प्रतिज्ञप्ति 42.10)। फ़व्वारा उस रेखा पर कहीं भी (बग़ीचे के भीतर) लगाया जा सकता है।

अभ्यास 42.9 ★★

जाल वाले काग़ज़ पर अक्ष $d$ (जाल का $45^\circ$ वाला विकर्ण) और उसकी एक ओर L-आकार की एक छोटी आकृति बनाओ। $d$ के पार उसकी सममित आकृति बनाओ। (हर शीर्ष परावर्तित करो: $45^\circ$ वाली अक्ष के लिए, अक्ष से $2$ खाने दाईं ओर का बिंदु उससे $2$ खाने ऊपर आ जाता है।)

हल

हल — अभ्यास 42.9.

हर शीर्ष अक्ष पर लंब दिशा में परावर्तित होता है: $45^\circ$ वाली अक्ष के लिए, अक्ष से $k$ खाने दाईं ओर का बिंदु उससे $k$ खाने ऊपर आ जाता है (और उलटे भी) — आड़े और खड़े खिसकाव आपस में बदल जाते हैं। शीर्षों को एक-एक करके परावर्तित करो, फिर उन्हें क्रम से जोड़ दो।

अभ्यास 42.10 ★★

केंद्र $O$ का एक वृत्त, $O$ से होकर एक रेखा $d$ , और वृत्त पर एक बिंदु $M$ बनाओ। $d$ के पार $M$ का सममित बिंदु कहाँ है? समझाओ कि परावर्तन वृत्त को उसी पर क्यों भेज देता है।

हल

हल — अभ्यास 42.10.

$M$ का सममित बिंदु वह दूसरा बिंदु है जहाँ $M$ से होकर $d$ पर खींचा लंब वृत्त को काटता है — वह वृत्त पर ही पड़ता है। कारण: परावर्तन दूरियाँ बचाए रखता है और $O$ को (जो $d$ पर है) वहीं छोड़ देता है, इसलिए $O$ से $r$ दूरी वाले हर बिंदु का प्रतिबिंब फिर $O$ से $r$ दूरी पर होता है: वृत्त ख़ुद पर आ जाता है।

अभ्यास 42.11 ★★

समदूरी के गुण (प्रतिज्ञप्ति 42.10) से समझाओ कि विधि 42.11 में चापों के दोनों कटान-बिंदु सचमुच $[AB]$ के लंब समद्विभाजक पर ही क्यों पड़ते हैं।

हल

हल — अभ्यास 42.11.

हर कटान-बिंदु $P$ , $A$ और $B$ दोनों से परकार के एक ही खुलाव $\rho$ से खींचा गया था: इसलिए $PA = \rho = PB$ । प्रतिज्ञप्ति 42.10 के अनुसार $A$ और $B$ से समान दूरी वाला बिंदु $[AB]$ के लंब समद्विभाजक पर पड़ता है; ऐसे दो बिंदु उस रेखा को तय कर देते हैं।

अभ्यास 42.12 ★★★

बिंदु $A$ पर रखी बिलियर्ड की गेंद को सीधी दीवार $d$ से टकराकर बिंदु $B$ तक पहुँचना है (दोनों दीवार की एक ही ओर हैं)। $B$ को $d$ के पार परावर्तित करके $B'$ बनाओ, और रेखाखंड $[AB']$ खींचो। समझाओ कि टकराने की सबसे अच्छी जगह वहीं है जहाँ $[AB']$ दीवार को काटता है। (विचार: रास्ता $A \to P \to B$ और $A \to P \to B'$ बराबर लंबे हैं।)

हल

हल — अभ्यास 42.12.

दीवार पर किसी भी टकराव-बिंदु $P$ के लिए $PB = PB'$ ( $d$ पर परावर्तन दूरियाँ बचाए रखता है), इसलिए रास्ते की लंबाई $AP + PB = AP + PB'$ है। टूटी रेखा $A \to P \to B'$ तब सबसे छोटी होती है जब वह सीधी हो, यानी जब $P$ रेखाखंड $[AB']$ पर हो। तो सबसे अच्छा टकराव-बिंदु $[AB']$ और दीवार का कटान है।

42.5 समस्या: फ़व्वारा, टूटी थाली और चलता हुआ दर्पण

समस्या 42.1

सप्ताहांत समस्या — त्रिभुज के तीनों लंब समद्विभाजक एक ही बिंदु पर मिलते हैं: तीन बिंदुओं से होकर जाता वृत्त, और दो दर्पण मिलकर क्या करते हैं

अभ्यास 42.8 में फ़व्वारे को दो पेड़ों से एक ही दूरी पर होना था, और उत्तर जगहों की एक पूरी रेखा थी। यह समस्या तीसरा पेड़ लगाती है — और पूरी रेखा सिमटकर एक ही, पूरी तरह तय बिंदु रह जाती है। उस बिंदु में ज्यामिति का ख़ज़ाना छिपा है: उससे तीन दिए हुए बिंदुओं से होकर जाने वाला इकलौता वृत्त बनता है, टूटे ठीकरे से पूरी थाली दोबारा खड़ी होती है, और वह हर त्रिभुज के पास होता है। आख़िरी भाग में दो दर्पणों का एक प्रयोग है जिसका नतीजा अगले साल की ज्यामिति की घोषणा कर देता है।

भाग I — दो पेड़, फिर इलाक़ों का नक़्शा।

$AB = 6$ cm वाले दो बिंदु $A$ और $B$ बनाओ और परकार से $[AB]$ का लंब समद्विभाजक बनाओ (विधि 42.11)। उस पर एक बिंदु $M$ चुनो और मापपट्टी से जाँचो कि $MA = MB$ ।
प्रतिज्ञप्ति 42.10 एक साथ दो बातें कहती है: समद्विभाजक पर पड़ा हर बिंदु $A$ और $B$ से समान दूरी पर है, और समान दूरी वाला हर बिंदु समद्विभाजक पर है। इनमें से कौन-सी बात अभ्यास 42.8 के फ़व्वारे वाले सवाल का उत्तर देती है? समद्विभाजक पर न पड़े बिंदु के बारे में प्रतिज्ञप्ति क्या कहती है?
समद्विभाजक की उसी ओर एक बिंदु $M$ लो जिस ओर $A$ है। रेखाखंड $[MB]$ समद्विभाजक को किसी बिंदु $P$ पर काटता है। रास्ते $M \to P \to B$ की तुलना रास्ते $M \to P \to A$ से करो, और समझाओ कि $M$ , $B$ की तुलना में $A$ के ज़्यादा पास क्यों है: समद्विभाजक शीट को एक “ $A$ -ओर” और एक “ $B$ -ओर” में बाँट देता है।
किसी क़स्बे में दो विद्यालय $A$ और $B$ हैं। हर बच्चा पास वाले विद्यालय तक पैदल जाता है। $A$ और $B$ वाला एक छोटा नक़्शा बनाओ, और क़स्बे का वह ठीक-ठीक इलाक़ा रँगो जिसे विद्यालय $A$ सँभालता है। सीमा कौन-सी रेखा बनाती है?
तीसरा विद्यालय $C$ खुलता है (उसे ऐसे रखो कि तीनों विद्यालय एक त्रिभुज बनाएँ)। $[AB]$ का लंब समद्विभाजक और $[BC]$ का लंब समद्विभाजक बनाओ, और उनके कटान-बिंदु को $O$ कहो। $O$ दूरियों की कौन-सी दो बराबरियाँ पूरी करता है, और क्यों?

भाग II — तीन पेड़, एक बिंदु, एक वृत्त।

प्रश्न 5 से निकालो कि $OA = OC$ — और इसलिए यह भी कि $O$ , $[AC]$ के उस लंब समद्विभाजक पर भी है जिसे तुमने कभी खींचा ही नहीं। निष्कर्ष निकालो: किसी त्रिभुज की भुजाओं के तीनों लंब समद्विभाजक एक ही बिंदु से होकर जाते हैं।
समझाओ कि केंद्र $O$ और त्रिज्या $OA$ वाला वृत्त $B$ और $C$ से होकर भी क्यों जाता है: वही तीनों बिंदुओं से होकर जाने वाला इकलौता वृत्त है — त्रिभुज $ABC$ का परिवृत्त।
$6$ cm, $5$ cm और $4$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाओ (विधि 41.2), फिर उसका परिवृत्त। केंद्र पाने के लिए केवल दो लंब समद्विभाजक खींचना ही काफ़ी क्यों है?
टूटी थाली: एक पुरातत्वविद् को ऐसा ठीकरा मिलता है जिसका केवल थाली की गोल कोर वाला हिस्सा साबुत है। ऐसी विधि बताओ जो मूल थाली का केंद्र और त्रिज्या वापस पा ले — और उसे आज़माओ: परकार से एक चाप खींचो, केंद्र “भूल” जाओ, चाप पर तीन बिंदु अंकित करो, और उसे दोबारा खड़ा करो।
क्या कभी तीन बिंदुओं से होकर कोई वृत्त न जाता हो? मान लो $A$ , $B$ , $C$ संरेख हैं। $[AB]$ और $[BC]$ के लंब समद्विभाजकों के बारे में क्या कहा जा सकता है (प्रतिज्ञप्ति 40.3)? निष्कर्ष निकालो।

भाग III — हर जगह अक्ष, और चलता हुआ दर्पण।

उदाहरण 42.7 ने समबाहु त्रिभुज की $3$ और वर्ग की $4$ अक्ष गिनी थीं। सम पंचभुज और सम षट्भुज के लिए गिनती का अनुमान लगाओ, और हर हाल में बताओ कि अक्ष कहाँ से गुज़रती हैं (भुजाओं की विषम संख्या बनाम सम: दोनों स्थितियाँ अलग हैं)।
काग़ज़ की शीट एक बार मोड़ो और दोनों परतों में से होकर कोई आकार काटो; फिर खोलो। जो भी काटो, छेद की एक सममिति अक्ष हमेशा क्यों होती है, और कौन-सी रेखा वह अक्ष है?
शीट दो बार मोड़ो — दूसरा मोड़ पहले पर लंब — काटो, और खोलो। छेद की कम से कम कितनी सममिति अक्ष होती हैं, और तुम्हारी कटाई की कितनी प्रतियाँ दिखती हैं? (काग़ज़ के बर्फ़-फाहे इसी विचार को और आगे मोड़कर बनते हैं।)
चलता हुआ दर्पण: जाल वाले काग़ज़ पर एक खड़ी अक्ष $d_1$ , उसकी बाईं ओर एक छोटा झंडा $F$ , और $d_1$ से $4$ खाने दाईं ओर दूसरी खड़ी अक्ष $d_2$ बनाओ। $F$ को $d_1$ पर परावर्तित करो (प्रतिबिंब $F'$ ), फिर $F'$ को $d_2$ पर (प्रतिबिंब $F''$ )। $F$ और $F''$ की तुलना करो: दिशा-क्रम वही है या दर्पण जैसा? आकृति कितने खाने खिसकी? अक्षों के बीच की दूरी से तुलना करो।
वही प्रयोग $d_2$ को $d_1$ पर लंब रखकर करो: झंडे को खड़ी अक्ष पर परावर्तित करो, फिर प्रतिबिंब को आड़ी अक्ष पर। बताओ कि $F''$ , $F$ के और दोनों अक्षों के कटान-बिंदु के मुक़ाबले कैसे बैठता है। (तुमने अभी-अभी अगले साल का रूपांतरण खोज लिया: अध्याय 52।)

हल

हल — समस्या 42.1.

1. विधि 42.11 की तरह रचना; रेखा पर किसी भी $M$ के लिए मापपट्टी $MA = MB$ की पुष्टि कर देती है (प्रतिज्ञप्ति 42.10)।

2. फ़व्वारे वाले सवाल को दूसरी दिशा चाहिए: सारे समान-दूरी वाले बिंदु समद्विभाजक पर हैं, इसलिए संभव जगहें ठीक वही रेखा हैं और कुछ नहीं। और समद्विभाजक पर न पड़ा बिंदु इसलिए समान दूरी पर नहीं है: वह दोनों पेड़ों में से किसी एक के ठीक ज़्यादा पास है।

3. दोनों रास्तों में $[MP]$ साझा है, और $P$ के समद्विभाजक पर होने से $PB = PA$ । इसलिए रास्ता $M \to P \to B$ उतना ही लंबा है जितना रास्ता $M \to P \to A$ , यानी $MP + PA$ । अब $MB$ , $B$ तक का सीधा रास्ता है — यहाँ वह $P$ से होकर जाने वाला रास्ता ही है, इसलिए $MB = MP + PA$ ; और $A$ तक का सीधा रास्ता $P$ से होकर जाने वाले चक्कर से छोटा है: $MA < MP + PA = MB$ । समद्विभाजक की $A$ वाली ओर का हर बिंदु $A$ के ज़्यादा पास है।

4. सीमा $[AB]$ का लंब समद्विभाजक है: विद्यालय $A$ ठीक उस रेखा की अपनी ओर वाला आधा क़स्बा सँभालता है (प्रश्न 3), विद्यालय $B$ दूसरा आधा, और रेखा पर ही रहने वाले बच्चे कोई भी चुन सकते हैं।

5. $O$ , $[AB]$ के समद्विभाजक पर है, इसलिए $OA = OB$ ; और $[BC]$ के समद्विभाजक पर, इसलिए $OB = OC$ (प्रतिज्ञप्ति 42.10)।

6. $OA = OB$ और $OB = OC$ से: $OA = OC$ । प्रतिज्ञप्ति 42.10 की दूसरी दिशा से, $A$ और $C$ से समान दूरी वाला बिंदु $[AC]$ के लंब समद्विभाजक पर पड़ता है: तीसरा समद्विभाजक बिना कहे ही $O$ से होकर जाता है। किसी भी त्रिभुज के तीनों लंब समद्विभाजक संगामी होते हैं।

7. केंद्र $O$ और त्रिज्या $OA$ वाला वृत्त उन सारे बिंदुओं से बनता है जो $O$ से $OA$ दूरी पर हैं (परिभाषा 40.5); चूँकि $OB = OA$ और $OC = OA$ , इसलिए $B$ और $C$ उस पर हैं। एक केंद्र, एक त्रिज्या, तीन बिंदु सधे: यही $A$ , $B$ और $C$ से होकर जाने वाला वृत्त है।

8. दो समद्विभाजक इसलिए काफ़ी हैं कि तीसरा अपने-आप आ जाता है (प्रश्न 6): उनका कटान-बिंदु दूरियों की तीनों बराबरियाँ पहले से पूरी करता है। वृत्त केंद्र $O$ से खींचा जाता है, और परकार $O$ से तीनों में से किसी भी शीर्ष तक खोला जाता है।

9. विधि: बची हुई कोर पर तीन बिंदु $A$ , $B$ , $C$ अंकित करो; जीवाओं $[AB]$ और $[BC]$ के लंब समद्विभाजक खींचो; उनका कटान-बिंदु थाली का केंद्र है, और $A$ तक उसकी दूरी त्रिज्या। यह इसलिए चलता है कि थाली की कोर तीनों अंकित बिंदुओं से होकर जाने वाला वृत्त है — और प्रश्न 8 उनसे होकर जाने वाला इकलौता वृत्त खोज देता है। आज़माया गया चाप हूबहू बन जाता है।

10. $A$ , $B$ , $C$ संरेख हों, तो $[AB]$ का समद्विभाजक और $[BC]$ का समद्विभाजक दोनों एक ही रेखा $(AB) = (BC)$ पर लंब हैं — इसलिए वे आपस में समांतर हैं (प्रतिज्ञप्ति 40.3) और, अलग-अलग होने के कारण, कभी नहीं कटते। कोई बिंदु तीनों से समान दूरी पर नहीं है, और तीन संरेख बिंदुओं से होकर कोई वृत्त नहीं जाता।

11. सम पंचभुज: $5$ अक्ष, हर एक किसी शीर्ष और सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु से होकर (विषम गिनती: हर अक्ष इसी एक तरह की होती है)। सम षट्भुज: $6$ अक्ष — तीन आमने-सामने के शीर्षों से होकर और तीन आमने-सामने की भुजाओं के मध्यबिंदुओं से होकर (सम गिनती: दो तरह की, आधी-आधी)। प्रतिरूप: $n$ भुजाओं वाले सम बहुभुज की $n$ अक्ष होती हैं।

12. कटाई एक साथ दोनों परतों में से होकर जाती है, इसलिए दोनों परतें ठीक मिलते-जुलते टुकड़े खोती हैं; खोलना मोड़-रेखा पर परावर्तन ही है, जो हर परत के किनारे को दूसरी परत के किनारे पर भेज देता है। छेद अपना ही दर्पण-प्रतिबिंब है: मोड़-रेखा उसकी सममिति अक्ष है — चाहे जो भी काटा गया हो।

13. खुले हुए छेद की कम से कम $2$ सममिति अक्ष होती हैं, दोनों मोड़-रेखाएँ, और कटाई $4$ प्रतियों में दिखती है (हर खुलाई चित्र दुगुना कर देती है: $1 \to 2 \to 4$ )। बर्फ़-फाहे की शैली में और बार मोड़ने से प्रतियाँ और अक्ष और बढ़ती जाती हैं।

14. $F''$ का दिशा-क्रम $F$ जैसा ही है (दो दर्पण-पलटाव एक-दूसरे को काट देते हैं), नाप वही और ऊँचाई भी वही — वह बस $F$ को दाईं ओर खिसका देने जैसा है। खिसकाव $8$ खाने का है: ठीक दोनों अक्षों के बीच की दूरी का दुगुना। दो समांतर दर्पण मिलकर दर्पण का काम करते ही नहीं: वे स्थानांतरण करते हैं।

15. $F''$ फिर उसी नाप का है, पर अब वह उलटा दिखता है, दोनों अक्षों के कटान-बिंदु के इर्द-गिर्द आधे घुमाव से घूमा हुआ: $F''$ का हर बिंदु उस केंद्र से होकर $F$ के संगत बिंदु के ठीक सामने पड़ता है। दो लंब दर्पण मिलकर आधा घुमाव बनाते हैं — अध्याय 52 की केंद्रीय सममिति।