65वर्गमूल

हल — समस्या 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$। तीन दशमलव: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$, इसलिए $1.414 < \sqrt2 < 1.415$।

2. $\sqrt2 = \frac ab$ का वर्ग करने पर $2 = \frac{a^2}{b^2}$, यानी $a^2 = 2b^2$: संख्या $a^2$ किसी पूर्ण संख्या की दुगनी है — सम।

3. अगर $a$ विषम होता, तो $a^2$ भी विषम होता (समस्या 58.1); और चूँकि $a^2$ सम है, इसलिए $a$ सम है: $a = 2k$। रखकर देखो: $4k^2 = 2b^2$, यानी $b^2 = 2k^2$ सम है, और उसी सम-विषम तथ्य से $b$ भी सम है।

4. $a$ और $b$ दोनों का सम होना यानी दोनों का $2$ से विभाज्य होना — पर $\frac ab$ सबसे सरल रूप में थी, जिसमें कोई साझा भाजक था ही नहीं। विरोधाभास: मानी हुई भिन्न हो ही नहीं सकती। प्रमेय: $\sqrt2$ अपरिमेय है।

5. सारा विरोधाभास “सबसे सरल रूप” में ही बसता है: उसके बिना “$a$ और $b$ दोनों सम” किसी बात को नहीं काटता। सबसे सरल रूप मान लेना जायज़ है क्योंकि हर भिन्न का सबसे सरल रूप होता है (विधि 64.16: महत्तम समापवर्तक से भाग दो) — सो अगर $\sqrt2$ कोई भिन्न होता भी, तो वह सबसे सरल रूप वाली भिन्न होता, और वैसी भिन्न नामुमकिन है।

6. अभाज्य गुणनखंडनों में वर्गों के घातांक सम होते हैं (समस्या 64.1)। $a^2 = 3b^2$ में $3$ का घातांक बाईं ओर सम है पर दाईं ओर विषम ($b^2$ से आया सम, और उसमें एक और)। किसी संख्या के दो गुणनखंडन नहीं होते (प्रमेय 64.6): विरोधाभास, और $\sqrt3$ अपरिमेय है।

7. $a^2 = n b^2$ में यह तर्क ठीक तभी किसी अभाज्य संख्या का उलटा सम-विषम पकड़ता है जब कोई अभाज्य संख्या $n$ में विषम घातांक के साथ आती हो। अगर $n$ के सारे घातांक सम हों, तो $n$ पूर्ण वर्ग है ($n = m^2$, और $\sqrt n = m$ पूर्ण संख्या)। पूरा नतीजा: हर उस पूर्ण संख्या $n$ के लिए $\sqrt n$ अपरिमेय है जो पूर्ण वर्ग नहीं है — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. $r x = q$ से, जहाँ $r \neq 0$ है: $x = \frac qr$, यानी परिमेय संख्याओं का भागफल, जो परिमेय है। इसलिए अगर $x$ अपरिमेय हो, तो $r x$ परिमेय हो ही नहीं सकता: $2\sqrt2$ और $\frac{\sqrt2}{2}$ अपरिमेय हैं (गुणक $2$ और $\frac12$)।

9. अगर $1 + \sqrt2 = q$ परिमेय होता, तो $\sqrt2 = q - 1$ भी परिमेय होता: विरोधाभास। और अगर $s = \sqrt2 + \sqrt3$ परिमेय होता, तो $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ भी परिमेय होता, जिससे $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ परिमेय बन जाता — पर $\sqrt6$ अपरिमेय है (सवाल 7)। इसलिए $\sqrt2 + \sqrt3$ अपरिमेय है।

10. योगफल: $\sqrt2$ और $-\sqrt2$ (या $\sqrt2$ और $1 - \sqrt2$) दोनों ही अपरिमेय हैं, पर उनके योगफल $0$ और $1$ परिमेय हैं। गुणनफल: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$। अंकगणित में अपरिमेयता उड़ सकती है — इसीलिए हर हालत का अलग प्रमाण चाहिए।

11. $x = 1$ से: $1$ और $\frac21 = 2$ का औसत: $x_1 = \frac32$। फिर $\frac32$ और $\frac{2}{3/2} = \frac43$ का औसत: $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$।

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ और $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ के मुक़ाबले: तीन क़दमों के बाद ही पाँच दशमलव सही — तरकीब हर चक्कर में सही दशमलवों की गिनती क़रीब-क़रीब दुगनी कर देती है।

13. अगर $x^2 > 2$ हो (अंदाज़ा बहुत बड़ा), तो $x > \sqrt2$ और $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$: साथी भुजा बहुत छोटी है। अगर $x^2 < 2$ हो, तो असमिकाएँ उलट जाती हैं। दोनों हालतों में $\sqrt2$, $x$ और $\frac2x$ के बीच बैठता है, इसलिए उनका औसत — यानी अगला अंदाज़ा — दोनों भुजाओं में से बुरी वाली से नज़दीक होता है: क्षेत्रफल $2$ वाला आयत हर क़दम पर और वर्गाकार होता जाता है।

14. $9 - 8 = 1$; $289 - 288 = 1$; $332\,929 - 332\,928 = 1$। हेरॉन का हर अंदाज़ा $\frac ab$ $a^2 - 2b^2 = 1$ पूरा करता है: भाग I ने सिद्ध किया कि $0$ पर पहुँचना नामुमकिन है, और ये भिन्नें उस नामुमकिन से ठीक एक इकाई चूकती हैं — पूर्ण संख्याएँ इससे ज़्यादा पास कभी नहीं आ सकतीं।

15. संख्या रेखा में भिन्नों से आगे की संख्याएँ होनी ही चाहिए — $\sqrt2$ जैसी लंबाइयाँ, जिनका दशमलव लेखन बिना दोहराए हमेशा चलता रहता है: यानी वास्तविक संख्याएँ। उनका ईमानदार निर्माण हाई-स्कूल खंड की कहानी है, और पूरी कड़ाई के साथ विश्वविद्यालय वाले खंडों की।