प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

25दसवें और सौवें भाग

$3$ और $4$ के बीच पूर्ण संख्याएँ चुप हैं — पर कोई धावक $3$ मीटर और थोड़ा-सा आगे हो सकता है। इकाई को दस में, फिर सौ में काटने पर दशमलव भिन्नें मिलती हैं, और उनके लिए एक शानदार छोटा रूप: दशमलव बिंदु। (दशमलव संख्याओं का पूरा अध्याय अध्याय 29 में है।)

25.1 दशमलव भिन्नें

परिभाषा 25.1 (दसवें और सौवें भाग)

किसी इकाई को $10$ बराबर हिस्सों में काटने पर दसवें भाग मिलते हैं, $\frac{1}{10}$ ; हर दसवें भाग को फिर $10$ में काटने पर सौवें भाग, $\frac{1}{100}$ । तो

1 = \frac{10}{10} = \frac{100}{100}, \qquad \frac{1}{10} = \frac{10}{100}.

सौ का वर्ग: दस-दस ख़ानों के दस स्तंभ। एक स्तंभ दसवाँ भाग है, एक ख़ाना सौवाँ भाग।

उदाहरण 25.2

सौ के वर्ग के $3$ स्तंभ और $7$ अतिरिक्त ख़ाने रँगने पर वर्ग का

\frac{3}{10} + \frac{7}{100} = \frac{30}{100} + \frac{7}{100} = \frac{37}{100}

हिस्सा रँग जाता है — सैंतीस सौवें भाग।

25.2 दशमलव बिंदु

परिभाषा 25.3 (दशमलव लेखन)

संख्या $2 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100}$ को ऐसे लिखते हैं

2.37

— दशमलव बिंदु पूर्ण भाग ( $2$ ) को दशमलव भाग से अलग करता है; बिंदु के बाद पहला अंक दसवें भाग गिनता है, दूसरा सौवें भाग। पढ़ना: “दो दशमलव तीन सात”, या “दो और सैंतीस सौवें भाग”।

उदाहरण 25.4

\frac{7}{10} = 0.7, \qquad \frac{43}{100} = 0.43, \qquad \frac{5}{100} = 0.05, \qquad 3 + \frac{4}{10} = 3.4 .

$\frac{5}{100}$ से सावधान: पाँच सौवें भागों के लिए दसवें स्थान पर $0$ चाहिए — $0.05$ , $0.5$ नहीं।

2 और 2.8 के बीच ज़ूम: हर दसवें भाग पर बड़ा निशान, हर सौवें भाग पर छोटा। संख्या 2.37, 2.3 और 2.4 के बीच, सातवें छोटे निशान पर बैठती है। — $2$ और $2.8$ के बीच ज़ूम: हर दसवें भाग पर बड़ा निशान, हर सौवें भाग पर छोटा। संख्या $2.37$ , $2.3$ और $2.4$ के बीच, सातवें छोटे निशान पर बैठती है।

उदाहरण 25.5 (पैसा सौवें भागों में है)

एक सेंट एक यूरो (या डॉलर, या पाउंड) का सौवाँ भाग है: $4.85$ की क़ीमत का मतलब है $4$ पूरे सिक्के और $85$ सौवें भाग। दशमलव बिंदु तुम रोज़ पैसों में इस्तेमाल करते ही हो: $10$ सेंट $= 0.10$ ; ढाई यूरो $= 2.50$ ; और $0.05$ पाँच सेंट का सिक्का है, पचास का नहीं!

25.3 दसवें भागों से तुलना

विधि 25.6 (दशमलव संख्याओं की तुलना (पहली मुलाक़ात))

पहले पूर्ण भाग की तुलना करो: $3.2 > 2.9$ ।
पूर्ण भाग बराबर हों: दसवें भाग, फिर सौवें भाग देखो: $2.37 < 2.5$ , क्योंकि $3$ दसवें भाग $< 5$ दसवें भाग।
दोनों को दो दशमलव अंकों में लिखने से मदद मिलती है: $2.5 = 2.50$ , और $37 < 50$ सौवें भाग।

जाल यह है: $2.37$ में $2.5$ से ज़्यादा अंक हैं, फिर भी वह छोटी है — ज़्यादा अंक होने का मतलब बड़ा होना नहीं!

उदाहरण 25.7

$0.4$ , $0.35$ और $0.09$ को क्रम में लगाओ: सौवें भागों में $0.40$ , $0.35$ , $0.09$ ; इसलिए

0.09 < 0.35 < 0.4 .

25.4 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

सौ के वर्ग पर कितना रँगा जाएगा: $5$ स्तंभ; $2$ स्तंभ और $3$ ख़ाने; $45$ ख़ाने? उत्तर भिन्नों में दो।

हल

हल — अभ्यास 25.1.

$5$ स्तंभ: $\frac{5}{10}$ (यानी $\frac{50}{100}$ )। $2$ स्तंभ और $3$ ख़ाने: $\frac{23}{100}$ । $45$ ख़ाने: $\frac{45}{100}$ ।

अभ्यास 25.2 ★

दशमलव बिंदु से लिखो: $\frac{9}{10}$ ; $\frac{27}{100}$ ; $\frac{3}{100}$ ; $5 + \frac{6}{10}$ ; $\frac{60}{100}$ ।

हल

हल — अभ्यास 25.2.

$0.9$ ; $0.27$ ; $0.03$ ; $5.6$ ; $0.60 = 0.6$ ।

अभ्यास 25.3 ★

भिन्न के रूप में लिखो (दसवें या सौवें भाग): $0.3$ ; $0.51$ ; $0.07$ ; $1.9$ ।

हल

हल — अभ्यास 25.3.

$0.3 = \frac{3}{10}$ ; $0.51 = \frac{51}{100}$ ; $0.07 = \frac{7}{100}$ ; $1.9 = 1 + \frac{9}{10} = \frac{19}{10}$ ।

अभ्यास 25.4 ★

$6.58$ में: अंक $5$ क्या गिनता है? अंक $8$ ? परिभाषा 25.3 की तरह संख्या को हिस्सों में बाँटो।

हल

हल — अभ्यास 25.4.

$5$ दसवें भाग गिनता है, $8$ सौवें भाग:

6.58 = 6 + \frac{5}{10} + \frac{8}{100}.

अभ्यास 25.5 ★

$4$ से $5$ तक दसवें भागों में अंकित संख्या रेखा पर रखो: $4.2$ ; $4.75$ (किन दो निशानों के बीच?); $4.9$ ।

हल

हल — अभ्यास 25.5.

$4.2$ : $4$ के बाद दूसरे निशान पर। $4.75$ : निशानों $4.7$ और $4.8$ के ठीक बीच। $4.9$ : $5$ से एक निशान पहले।

अभ्यास 25.6 ★

उतार कर $<$ , $>$ या $=$ से पूरा करो:

0.6 \;?\; 0.60, \qquad 2.8 \;?\; 2.75, \qquad 0.09 \;?\; 0.1, \qquad 5.3 \;?\; 5.13 .

हल

हल — अभ्यास 25.6.

$0.6 = 0.60$ ; $2.8 > 2.75$ ( $2.80$ से तुलना करो); $0.09 < 0.1$ ( $9$ सौवें भाग बनाम $10$ ); $5.3 > 5.13$ ।

अभ्यास 25.7 ★

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लिखो: $1.05$ ; $1.5$ ; $0.95$ ; $1.45$ ।

हल

हल — अभ्यास 25.7.

$0.95 < 1.05 < 1.45 < 1.5$ ।

अभ्यास 25.8 ★

दशमलव लेखन में लिखो: तीन यूरो पाँच सेंट; बारह यूरो पचास सेंट; निन्यानवे सेंट। फिर तीनों क़ीमतों को क्रम में लगाओ।

हल

हल — अभ्यास 25.8.

$3.05$ ; $12.50$ ; $0.99$ । क्रम: $0.99 < 3.05 < 12.50$ ।

अभ्यास 25.9 ★

एक दशमलव अंक वाली कौन-सी दशमलव संख्याएँ ठीक $3$ और $4$ के बीच हैं? सब गिनाओ। वे कितनी हैं?

हल

हल — अभ्यास 25.9.

$3.1$ , $3.2$ , $3.3$ , $3.4$ , $3.5$ , $3.6$ , $3.7$ , $3.8$ , $3.9$ — नौ संख्याएँ।

अभ्यास 25.10 ★★

टॉम कहता है: “ $0.25$ , $0.5$ से बड़ी है, क्योंकि $25$ , $5$ से बड़ा है”। सौ के वर्ग से उसकी ग़लती दिखाओ (हर एक कितने ख़ाने रँगती है?)।

हल

हल — अभ्यास 25.10.

सौ के वर्ग पर $0.25$ , $25$ ख़ाने रँगती है पर $0.5 = 0.50$ , $50$ ख़ाने: $0.5$ ही बड़ी है। टॉम ने $25$ और $5$ की तुलना पूर्ण संख्याओं की तरह की; उसे $25$ और $50$ सौवें भागों की तुलना करनी चाहिए।

अभ्यास 25.11 ★★

एक धावक की तीन कूदें $3.6$ m, $3.58$ m और $3.65$ m नापी गईं। कूदों को सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लगाओ। किन दो में ठीक एक मीटर के $\frac{5}{100}$ का अंतर है?

हल

हल — अभ्यास 25.11.

क्रम: $3.58 < 3.6 < 3.65$ । कूदों $3.6$ और $3.65$ में एक मीटर के $0.05 = \frac{5}{100}$ का अंतर है (पाँच सेंटीमीटर)।