54ऋण संख्याओं का गुणा

समस्या 54.1

सप्ताहांत समस्या — वितरण नियम से निकाले गए चिह्न के नियम, और बारी-बारी चिह्न वाला योग $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$

प्रमेय 54.1 के प्रमाण ने एक ढर्रा आगे बढ़ाया था और कहा था कि “कोई भी दूसरा चुनाव वितरण नियम तोड़ देगा”। यह समस्या उस दावे को ठीक-ठीक कर देती है: सिर्फ़ वितरण नियम से शुरू करके (प्रमेय 45.6) तुम चिह्न के नियम सिद्ध करोगे — न कोई चित्र, न कोई ढर्रा, जैसे बीजगणित करता है — और फिर उन्हें $-1$ की घातों पर तथा बारी-बारी चिह्न वाले एक मशहूर योग पर काम में लाओगे। पूरे समय $a$ और $b$ सापेक्ष संख्याएँ हैं; हम अध्याय 46 के जोड़ने के नियम, $1 \times a = a$, और यह मान लेते हैं कि गुणनफल किसी भी क्रम में निकाला जा सकता है (इसलिए वितरण नियम गुणनफल की किसी भी तरफ़ लगता है)।

भाग I — चिह्न के नियम प्रमेय हैं।

1. सिद्ध करो कि प्रत्येक सापेक्ष संख्या $a$ के लिए $0 \times a = 0$ होता है। ($0 = 0 + 0$ लिखो, $(0 + 0) \times a$ फैलाओ, और पूछो कि $0 \times a$ में कौन-सी संख्या जोड़ने पर $0 \times a$ ही वापस मिलता है।)

2. $\bigl(1 + (-1)\bigr) \times a$ फैलाकर दिखाओ कि $(-1) \times a + a = 0$, और नतीजा निकालो कि

   $$(-1) \times a = -a :$$

   $-1$ से गुणा करने पर विपरीत संख्या मिलती है। अभ्यास 54.11 से तुलना करो, जो $a = -1$ वाली स्थिति है।

3. इससे निकालो कि $(-a) \times b = -(a \times b)$: एक ऋण चिह्न गुणनफल में से जस का तस बाहर आ जाता है।
4. इससे निकालो कि $(-a) \times (-b) = a \times b$: दो ऋण चिह्न आपस में कट जाते हैं।
5. प्रत्येक सापेक्ष संख्या शून्य से अपनी दूरी है, आगे एक चिह्न लगा हुआ: $a = +d$ या $a = -d$। समझाओ कि सवाल 3 और 4 मिलकर प्रमेय 54.1 की चिह्न-सारणी के चारों मामले कैसे सिद्ध कर देते हैं, दूरियों समेत।

भाग II — $-1$ की घातें।

6. $(-1)^2$, $(-1)^3$, $(-1)^4$, $(-1)^5$ निकालो, फिर प्रतिज्ञप्ति 54.3 से कारण देते हुए प्रत्येक पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए $(-1)^n$ का मान बताओ।

7. बिना कोई दूरी निकाले

   $$(-1) \times (-2) \times (-3) \times \dots \times (-10),$$

   का चिह्न बताओ, और इस गुणनफल की दूरी को पूर्ण संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखो, हल किए बिना।

8. दिखाओ कि $(-a)^2 = a^2$ और $(-a)^3 = -a^3$। किन घातांकों पर ऋण चिह्न बचा रहता है?
9. चिह्न के नियमों से दिखाओ कि किसी सापेक्ष संख्या का वर्ग कभी ऋण नहीं होता, और इससे निकालो कि कोई भी सापेक्ष संख्या $x$ $x^2 = -4$ नहीं मानती।
10. ज़ोए का दावा है: “$(-1)^{2026} + (-1)^{2027} = 0$, और आम तौर पर $-1$ की दो लगातार घातें हमेशा एक-दूसरे को काट देती हैं।” क्या वह सही है? कारण बताओ।

भाग III — बारी-बारी चिह्न वाला योग। चिह्न के नियम पक्के हो जाने पर हम ऐसे योग निकाल सकते हैं जिनमें दोनों चिह्न मिले हों। किसी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए मान लो

$1$ से $n$ तक की पूर्ण संख्याओं का, बारी-बारी चिह्न लगाकर बना, योग है: आख़िरी पद $+n$ होता है जब $n$ विषम हो, और $-n$ जब $n$ सम हो। तो $A_1 = 1$ और $A_2 = 1 - 2 = -1$।

11. $A_3$, $A_4$, $A_5$, $A_6$ और $A_7$ निकालो। तुम्हारी अटकल क्या है?
12. मान लो $n$ सम है। पदों को दो-दो करके जोड़ो, $(1 - 2) + (3 - 4) + \dots$, जोड़े गिनो, और सिद्ध करो कि $A_n = -\frac{n}{2}$।
13. मान लो $n$ विषम है। समझाओ कि $A_n = A_{n-1} + n$ क्यों है, और पिछले सवाल से निकालो कि $A_n = \frac{n + 1}{2}$।
14. $A_{100}$, $A_{101}$ और $A_{2026}$ निकालो।
15. आल्मा ने $A_{101} - A_{100} = 51 - (-50) = 101$ निकाला और ठीक $101$ पाकर हैरान रह गई। क्या उसे हैरान होना चाहिए था? एक वाक्य में समझाओ, और बिना और कोई गणना किए $A_{2027} - A_{2026}$ का मान बताओ।