59मध्यबिंदु और समांतर रेखाएँ

हल — समस्या 59.1.

1. त्रिभुज चाहे जैसा बनाया जाए, तीनों माध्यिकाएँ एक ही बिंदु से गुज़रती दिखती हैं, जो त्रिभुज के भीतर पड़ता है और साफ़-साफ़ हर भुजा के मध्यबिंदु के, सामने वाले शीर्ष से ज़्यादा, पास होता है। बाक़ी समस्या यही सिद्ध करती है।

2. त्रिभुज $ABC$ की माध्यिका $[AK]$ लो: त्रिभुजों $ABK$ और $AKC$ के आधार $BK$ तथा $KC$ बराबर लंबाई के हैं ($K$, $[BC]$ का मध्यबिंदु है) और एक ही रेखा $(BC)$ पर पड़े हैं, और दोनों की ऊँचाई भी एक ही है: $A$ से $(BC)$ तक की दूरी। क्षेत्रफल के सूत्र से हर एक का क्षेत्रफल आधार $\times$ ऊँचाई $\div\ 2$ है, और आधार तथा ऊँचाई दोनों बराबर हैं: इसलिए क्षेत्रफल भी बराबर हैं। $36$ cm$^2$ क्षेत्रफल वाले त्रिभुज के लिए: $18$-$18$ cm$^2$ के दो टुकड़े।

3. $I$ और $J$, त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं $[AB]$ तथा $[AC]$ के मध्यबिंदु हैं, इसलिए प्रमेय 59.1 से: $(IJ) \parallel (BC)$ और $IJ = \frac{BC}{2}$।

4. $M$ और $N$, त्रिभुज $GBC$ की भुजाओं $[GB]$ तथा $[GC]$ के मध्यबिंदु हैं, इसलिए उसी प्रमेय से: $(MN) \parallel (BC)$ और $MN = \frac{BC}{2}$।

5. $(IJ)$ और $(MN)$ दोनों $(BC)$ के समांतर हैं, इसलिए आपस में भी समांतर; और $IJ = \frac{BC}{2} = MN$। इस तरह चतुर्भुज $IJNM$ की आमने-सामने की दो भुजाएँ, $[IJ]$ और $[NM]$, समांतर तथा बराबर लंबाई की हैं: इसलिए प्रमेय 52.9 की कसौटी 3 से $IJNM$ एक समांतर चतुर्भुज है।

6. $G$ माध्यिका $[CI]$ पर पड़ता है, और $N$, $[GC]$ का मध्यबिंदु है, जो उसी माध्यिका-रेखा पर पड़ा रेखाखंड है: इसलिए $I$, $N$ (और $G$, $C$) सब $(CI)$ पर हैं। इसी तरह $J$, $M$ और $G$ माध्यिका-रेखा $(BJ)$ पर हैं। समांतर चतुर्भुज $IJNM$ के विकर्ण $[IN]$ और $[JM]$ हैं; वे उन्हीं दो माध्यिका-रेखाओं पर पड़े हैं, जो $G$ पर कटती हैं — इसलिए विकर्ण $G$ पर कटते हैं। और समांतर चतुर्भुज की परिभाषा से (प्रमेय 52.9 की कसौटी 1: विकर्णों का मध्यबिंदु एक ही होता है) $G$, $[IN]$ का और $[JM]$ का मध्यबिंदु है: यानी $GI = GN$ तथा $GJ = GM$।

7. $M$, $[GB]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $BM = MG$; और सवाल 6 से $MG = GJ$। यानी $BM = MG = GJ$: माध्यिका $[BJ]$ तीन बराबर हिस्सों में कट जाती है, जिनमें से दो $BG$ के हिस्से आते हैं:

इसी तरह $N$, $[GC]$ का मध्यबिंदु है और $GN = GI$, इसलिए $CN = NG = GI$ और $CG = 2 \times GI$: माध्यिका $[CI]$ पर भी कटान-बिंदु शीर्ष से दो-तिहाई दूरी पर बैठता है।

8. इस तर्क में $[BJ]$, $[CI]$ के जोड़े की कोई ख़ास बात इस्तेमाल नहीं हुई: $[BJ]$, $[AK]$ के जोड़े पर चलाने से वह दिखा देता है कि उनका कटान-बिंदु भी $[BJ]$ पर $B$ से दो-तिहाई दूरी पर पड़ता है। पर रेखाखंड $[BJ]$ पर $B$ से $\frac23 BJ$ दूरी वाला बिंदु एक ही होता है — इसलिए $[BJ]$ और $[AK]$ का कटान-बिंदु वही $G$ है। यानी तीनों माध्यिकाएँ $G$ से गुज़रती हैं: वे संगामी हैं।

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm और $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm।

10. सवाल 8 से वही दो-तिहाई वाली गणना माध्यिका $[AK]$ पर भी चलती है (सवाल 4–7 का तर्क $[AK]$, $[BJ]$ के जोड़े पर चलाओ): $AG = 2 \times GK$।

11. त्रिभुज $GBC$ में बिंदु $K$ भुजा $[BC]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $[GK]$, $GBC$ की एक माध्यिका है; और सवाल 2 से त्रिभुजों $GBK$ तथा $GKC$ के क्षेत्रफल बराबर हैं।

12. माध्यिका $[AK]$, $ABC$ को बराबर क्षेत्रफल वाले $ABK$ और $AKC$ में काटती है (सवाल 2)। दोनों में से सवाल 11 वाला छोटा त्रिभुज हटा दो:

और हटाए गए क्षेत्रफल बराबर हैं, इसलिए $\text{क्षेत्रफल}(ABG) = \text{क्षेत्रफल}(ACG)$। वही गणना माध्यिका $[BJ]$ के साथ — जो $ABC$ को $ABJ$ और $CBJ$ में आधा-आधा करती है, जबकि त्रिभुज $GAC$ की माध्यिका $[GJ]$ उसे $GAJ$ तथा $GCJ$ में आधा-आधा करती है — से मिलता है $\text{क्षेत्रफल}(ABG) = \text{क्षेत्रफल}(CBG)$। इसलिए तीनों त्रिभुजों $ABG$, $BCG$, $CAG$ के क्षेत्रफल बराबर हैं, और चूँकि वे मिलकर $ABC$ को ढकते हैं, हर एक का क्षेत्रफल पूरे का एक तिहाई है।

13. त्रिभुज $ABG$ में बिंदु $I$ भुजा $[AB]$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $[GI]$, $ABG$ की शीर्ष $G$ से खींची माध्यिका है: वह $ABG$ को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में काट देती है (सवाल 2), यानी $AIG$ और $IBG$ में। यही $BCG$ में (माध्यिका $[GK]$) और $CAG$ में (माध्यिका $[GJ]$) होता है। $ABC$ का हर तिहाई आधा-आधा कट जाता है: इसलिए $G$ के चारों ओर की छहों फाँकों में से हर एक का क्षेत्रफल $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ है।

14. माध्यिका $[AK]$ पर, $A(0,0)$ से $K(3,3)$ तक: $G$ दो-तिहाई दूरी पर बैठता है, इसलिए उसके निर्देशांक $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$ हैं। माध्यिका $[BJ]$ पर, $B(6, 0)$ से $J(0, 3)$ तक: दो-तिहाई दूरी का मतलब है खिसकाव का दो-तिहाई जोड़ना (आड़े $-6$, खड़े $+3$):

वही बिंदु — जैसा सवाल 8 ने वादा किया था। और $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: यानी गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक तीनों शीर्षों के निर्देशांकों के औसत हैं।

15. सवाल 2 से किसी माध्यिका के साथ रखी छुरी की धार के दोनों तरफ़ बराबर गत्ता होता है (बराबर क्षेत्रफल), इसलिए त्रिभुज तीनों माध्यिका-रेखाओं में से हर एक पर टिक जाता है। और संतुलन के बिंदु को तीनों संतुलन-रेखाओं पर एक साथ पड़ना पड़ेगा, जबकि सवाल 8 से तीनों माध्यिकाओं का साझा बिंदु ठीक एक ही है: $G$। पेंसिल की नोक वहीं जाती है। (दोनों तरफ़ बराबर क्षेत्रफल इस तर्क का मानने लायक़ रूप है; ईमानदार रूप — जिसमें यह भी तौला जाता है कि गत्ता कहाँ पड़ा है, सिर्फ़ कितना है यह नहीं — विश्वविद्यालय वाले आयतनों का समाकलन गणित माँगता है, और वह $G$ की ही पुष्टि करता है।)