प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

60समकोण त्रिभुज और कोज्या

दो सुंदर बातें समकोण त्रिभुज को वृत्त से बाँध देती हैं: समकोण त्रिभुज ठीक आधे वृत्त में बैठ जाता है, और उसका कर्ण एक व्यास होता है। और एक अकेली संख्या, किसी कोण की कोज्या, उस कोण वाले हर समकोण त्रिभुज की शक्ल अपने भीतर समेट लेती है — यह पहला त्रिकोणमितीय अनुपात है, अपने भाई-बहनों ज्या और स्पर्शज्या से पहले (अध्याय 69)।

60.1 समकोण त्रिभुज और उसका वृत्त

प्रमेय 60.1 (वृत्त प्रमेय)

अगर किसी त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण हो, तो $A$ उस वृत्त पर पड़ता है जिसका व्यास कर्ण $[BC]$ है।
और उलटे तरफ़ से: अगर $A$ किसी ऐसे वृत्त पर पड़े जिसका व्यास $[BC]$ हो (और $A \neq B, C$ ), तो त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण होता है।

यही बात दूसरे शब्दों में: किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण का मध्यबिंदु तीनों शीर्षों से बराबर दूरी पर होता है — यानी समकोण से खींची माध्यिका कर्ण की आधी नापती है।

1 का प्रमाण. मान लो $O$ , $[BC]$ का मध्यबिंदु है और $D$ , $O$ के बारे में $A$ का सममित बिंदु। $ABDC$ के विकर्ण अपने साझे मध्यबिंदु $O$ पर कटते हैं, इसलिए $ABDC$ एक समांतर चतुर्भुज है (परिभाषा 52.7) — और उसका $A$ पर समकोण है: यानी वह आयत है। आयत के विकर्ण बराबर होते हैं, इसलिए $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : यानी बिंदु $A$ , $O$ से $\frac{BC}{2}$ दूरी पर है, यानी व्यास $[BC]$ वाले वृत्त पर। (बात 2 इसी तर्क को उलटा चलाकर सिद्ध होती है।) ∎

A वृत्त पर चाहे कहीं भी हो, कोण BAC समकोण ही रहता है — वाली अटकल अब प्रमेय बन गई। लाल माध्यिका [OA] एक त्रिज्या है: यानी कर्ण की आधी। — $A$ वृत्त पर चाहे कहीं भी हो, कोण $\widehat{BAC}$ समकोण ही रहता है — अभ्यास 41.10 वाली अटकल अब प्रमेय बन गई। लाल माध्यिका $[OA]$ एक त्रिज्या है: यानी कर्ण की आधी।

उदाहरण 60.2

किसी त्रिभुज का कर्ण $10$ cm है। और कुछ जाने बिना ही: समकोण से खींची माध्यिका $5$ cm नापती है, और त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या $5$ cm है, जिसका केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है।

60.2 किसी न्यून कोण की कोज्या

परिभाषा 60.3 (कोज्या)

किसी समकोण त्रिभुज में, किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए:

\cos\theta = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}}

— यानी $\theta$ को छूती समकोण भुजा, कर्ण से भाग दी हुई। यह अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है, त्रिभुज की नाप पर नहीं: एक ही न्यून कोण वाले सारे समकोण त्रिभुज एक-दूसरे के बढ़े हुए रूप हैं, और बढ़ाने से लंबाइयों के अनुपात नहीं बदलते (अध्याय 59 ने यह कहानी शुरू की थी; अध्याय 68 उसे पूरा करता है)।

एक ही कोण वाले दो समकोण त्रिभुज: छोटा वाला बड़े का घटा हुआ रूप है, इसलिए संलग्न कर्ण दोनों में एक ही रहता है — वही साझा मान है। — एक ही कोण $\theta$ वाले दो समकोण त्रिभुज: छोटा वाला बड़े का घटा हुआ रूप है, इसलिए $\frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}$ दोनों में एक ही रहता है — वही साझा मान $\cos\theta$ है।

प्रतिज्ञप्ति 60.4 (पहले मान और सीमाएँ)

हर न्यून कोण $\theta$ के लिए $0 < \cos\theta < 1$ होता है, और कोण खुलने के साथ कोज्या घटती जाती है: बड़ा कोण, छोटी कोज्या। याद रखने लायक़ पड़ाव: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (ये सिरे वाले मान चपटे पड़ चुके त्रिभुजों के हैं)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 60.5 (कोज्या का इस्तेमाल)

किसी समकोण त्रिभुज में, जब पता और पूछी गई राशियाँ कोई न्यून कोण, उसकी संलग्न भुजा और कर्ण हों:

परिभाषा लिखो: $\cos\theta = \frac{\text{संलग्न}}{\text{कर्ण}}$ , और उसमें पता मान रख दो;
इस छोटे समीकरण को अज्ञात के लिए हल करो (गुणा या भाग करके);
अगर अज्ञात कोई कोण हो, तो निकाले हुए अनुपात पर कैलकुलेटर का $\cos^{-1}$ लगाओ;
मोटी जाँच: कोई लंबाई कर्ण से छोटी ही निकलनी चाहिए; और कोई कोण पक्के तौर पर $0^\circ$ तथा $90^\circ$ के बीच।

उदाहरण 60.6 (कोई भुजा निकालना)

$6$ m का एक ढलान ज़मीन के साथ $20^\circ$ का कोण बनाता है। उससे तय हुई आड़ी दूरी ( $20^\circ$ की संलग्न, कर्ण $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

उदाहरण 60.7 (कोई कोण निकालना)

किसी समकोण त्रिभुज में कोण $\theta$ की संलग्न भुजा $3.5$ नापती है और कर्ण $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 अभ्यास

अभ्यास 60.1 ★

किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण $13$ cm है। समकोण वाले शीर्ष से खींची माध्यिका कितनी लंबी है? और तीनों शीर्षों से गुज़रते वृत्त की त्रिज्या कितनी है?

हल

हल — अभ्यास 60.1.

समकोण से खींची माध्यिका: कर्ण की आधी, यानी $6.5$ cm (प्रमेय 60.1)। परिवृत्त का केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु है और त्रिज्या $6.5$ cm।

अभ्यास 60.2 ★

$8$ cm व्यास का एक वृत्त बनाओ जिसमें $[BC]$ एक व्यास हो, वृत्त पर कोई भी बिंदु $A$ चुनो और $ABC$ बनाओ। कौन-सा कोण समकोण है? प्रमेय का नाम लो। $AB$ और $AC$ नापकर पाइथागोरस जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 60.2.

$A$ पर कोण समकोण है ( $[BC]$ एक व्यास है: प्रमेय 60.1 की बात 2)। नापों से $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ मिलता है, नापने की सटीकता तक।

अभ्यास 60.3 ★

$D$ पर समकोण वाले त्रिभुज $DEF$ में, कोण $\widehat E$ की संलग्न भुजा, उसके सामने वाली भुजा, और कर्ण के नाम बताओ। फिर $\cos \widehat E$ एक अनुपात के रूप में लिखो।

हल

हल — अभ्यास 60.3.

कर्ण: $[EF]$ (समकोण $D$ के सामने)। $\widehat E$ की संलग्न भुजा: $[ED]$ । सामने वाली: $[DF]$ । इसलिए $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ ।

अभ्यास 60.4 ★

छूटी हुई राशि निकालो ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

कर्ण $10$ , कोण $35^\circ$ : संलग्न भुजा?
संलग्न भुजा $6$ , कोण $50^\circ$ : कर्ण?

हल

हल — अभ्यास 60.4.

1. संलग्न भुजा $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ ।

2. कर्ण $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ ।

अभ्यास 60.5 ★

किसी समकोण त्रिभुज में $\theta$ की संलग्न भुजा $8$ नापती है और कर्ण $10$ । $\cos\theta$ निकालो, फिर $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ )।

हल

हल — अभ्यास 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , इसलिए $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ ।

अभ्यास 60.6 ★

समझाओ कि किसी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के लिए $\cos\theta$ कभी $1.2$ क्यों नहीं हो सकता।

हल

हल — अभ्यास 60.6.

$\cos\theta$ कोई समकोण भुजा कर्ण से भाग देकर मिलता है, और कर्ण समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है: इसलिए यह भागफल हमेशा $1$ से छोटा होता है। $1.2$ का मतलब होता कोई समकोण भुजा कर्ण से भी लंबी — जो असंभव है।

अभ्यास 60.7 ★★

$25$ m की एक ज़िप-लाइन एक मचान से ज़मीन तक उतरती है और आड़ी दिशा से $12^\circ$ का कोण बनाती है ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ )। वह आड़ी दूरी में कितनी लंबी है?

हल

हल — अभ्यास 60.7.

आड़ी दूरी $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m।

अभ्यास 60.8 ★★

बिना कैलकुलेटर के क्रम में लगाओ: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (प्रतिज्ञप्ति 60.4 इस्तेमाल करो)। फिर कैलकुलेटर से जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 60.8.

कोण बढ़ने के साथ कोज्या घटती है (प्रतिज्ञप्ति 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(कैलकुलेटर से: $0.342 < 0.707 < 0.940$ ।)

अभ्यास 60.9 ★★

$L$ लंबाई की एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और सीढ़ी तथा ज़मीन के बीच का कोण $\theta$ है। उसका पैर दीवार से $1.2$ m दूर है और $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ )। $L$ निकालो, फिर वह जितनी ऊँचाई तक पहुँचती है (पाइथागोरस से)।

हल

हल — अभ्यास 60.9.

ज़मीन वाली दूरी $\theta$ की संलग्न है: $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , इसलिए $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m। ऊँचाई (पाइथागोरस से): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m।

अभ्यास 60.10 ★★

$[BC]$ केंद्र $O$ और त्रिज्या $4.5$ cm वाले किसी वृत्त का व्यास है, और $A$ उस वृत्त का एक बिंदु है जिसके लिए $AB = 5.4$ cm है।

$ABC$ का $A$ पर समकोण क्यों है?
$AC$ निकालो, फिर $\cos \widehat B$ ।

हल

हल — अभ्यास 60.10.

1. $A$ व्यास $[BC]$ वाले वृत्त पर है: इसलिए $A$ पर समकोण (प्रमेय 60.1)।

2. $BC = 9$ cm (त्रिज्या का दुगुना)। पाइथागोरस से: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm। और $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ ।

अभ्यास 60.11 ★★★

भुजा $1$ के समबाहु त्रिभुज को उसकी एक ऊँचाई के साथ काटकर आधा करो, और उससे प्रतिज्ञप्ति 60.4 वाले पड़ाव $\cos 60^\circ = \frac12$ का कारण दो। (ऊँचाई का पैर आधार पर कहाँ गिरता है? पूरा त्रिकोणमितीय रूप उदाहरण 69.9 में है।)

हल

हल — अभ्यास 60.11.

भुजा $1$ के समबाहु त्रिभुज में किसी शीर्ष से खींची ऊँचाई सामने वाली भुजा के मध्यबिंदु पर गिरती है (सममिति अक्ष)। त्रिभुज का आधा हिस्सा समकोण त्रिभुज है, जिसका कर्ण $1$ है (यानी पूरी भुजा), आधार वाले शीर्ष पर कोण $60^\circ$ है, और संलग्न भुजा $\frac12$ (यानी आधार की आधी)। इसलिए

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 समस्या: यूक्लिड के संबंध, और पाइथागोरस फिर से

समस्या 60.1

सप्ताहांत समस्या — समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब: $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , पाइथागोरस का दूसरा प्रमाण, और वर्गमूल बनाने वाली एक मशीन

किसी समकोण त्रिभुज के समकोण से कर्ण पर लंब गिराओ: यह छोटा-सा रेखाखंड — शीर्षलंब — ऐसे संबंध मानता है जो इतने काम के हैं कि यूक्लिड ने उन्हें अपनी एलिमेंट्स के बीचोंबीच रखा। इस समस्या में कोज्या का वही मूल गुण, “अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है” (परिभाषा 60.3), उन सबको सिद्ध कर देता है; रास्ते में तुम पाइथागोरस प्रमेय को बिलकुल अलग राह से फिर से सिद्ध करोगे, और आख़िर में पैमाने-परकार की एक ऐसी मशीन बनाओगे जो हर पूर्ण संख्या $n$ के लिए $\sqrt2$ , $\sqrt5$ , $\sqrt{n}$ बना देती है।

पूरे समय $ABC$ ऐसा त्रिभुज है जिसका $A$ पर समकोण है, और $H$ , $A$ से कर्ण $[BC]$ पर गिराए गए लंब का पैर है, यानी $H$ , $B$ और $C$ के बीच पड़ता है और $AH \perp BC$ है।

भाग I — एक कोण, दो त्रिभुज।

$ABH$ और $ABC$ में त्रिभुज के कोणों के योग (प्रमेय 51.3) से दिखाओ कि $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : यानी शीर्षलंब समकोण त्रिभुज को ऐसे दो छोटे त्रिभुजों में काटता है जिनके कोण असली त्रिभुज जैसे ही हैं।
त्रिभुज $ABC$ ( $A$ पर समकोण) और $ABH$ ( $H$ पर समकोण) में कोण $\widehat B$ साझा है। दोनों में $\cos\widehat B$ लिखो, और परिभाषा 60.3 से निकालो कि

$AB^2 = BH \times BC .$

(बराबर अनुपातों से बराबर गुणनफलों तक जाने के लिए दोनों तरफ़ दोनों हरों से गुणा करो, प्रमेय 57.5।)
शीर्ष $C$ पर वैसा ही जुड़वाँ संबंध लिखो और सिद्ध करो:

$AC^2 = CH \times CB .$
$3$ – $4$ – $5$ वाला त्रिभुज लो: $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ । सवाल 2 और 3 से $BH$ तथा $CH$ निकालो, और जाँचो कि $BH + HC = BC$ ।
आम तौर पर, $BH$ और $CH$ को सिर्फ़ तीनों भुजाओं वाली भिन्नों के रूप में लिखो। किस अर्थ में पैर $H$ कर्ण को “समकोण भुजाओं के वर्गों के समानुपात में” बाँटता है?

भाग II — पाइथागोरस फिर से, और शीर्षलंब।

सवाल 2 और 3 के संबंध जोड़ो और $BH + HC = BC$ इस्तेमाल करके निकालो

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

यानी पाइथागोरस प्रमेय (प्रमेय 58.1), फिर से सिद्ध — और इस बार कहीं कोई क्षेत्रफल वाली पहेली नहीं (अभ्यास 58.11 से तुलना करो)।
छोटे त्रिभुज $ABH$ में पाइथागोरस लगाकर $AH^2 = AB^2 - BH^2$ लिखो, $AB^2$ की जगह $BH \times BC$ रखो, और $BH$ बाहर निकालकर यूक्लिड का शीर्षलंब-संबंध सिद्ध करो:

$AH^2 = BH \times HC .$
$ABC$ का क्षेत्रफल दो तरह से निकालो — समकोण भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानकर, फिर कर्ण को आधार मानकर (प्रमेय 53.3) — और इससे तीसरा संबंध निकालो:

$AB \times AC = BC \times AH .$
फिर $3$ – $4$ – $5$ वाले त्रिभुज पर लौटो: सवाल 8 से $AH$ निकालो, फिर सवाल 4 में मिले $BH$ तथा $CH$ के मानों से सवाल 7 वाला शीर्षलंब-संबंध संख्याओं में जाँचो।
किसी समकोण त्रिभुज में शीर्षलंब का पैर कर्ण को रेखाखंडों $BH = 2$ cm और $HC = 8$ cm में बाँटता है। शीर्षलंब $AH$ निकालो।

भाग III — वर्गमूल बनाने वाली मशीन। एक रेखाखंड $[BC]$ बनाओ जो सिरे से सिरे जोड़े गए दो टुकड़ों से बना हो: $BH = p$ और $HC = q$ । व्यास $[BC]$ वाला आधा वृत्त बनाओ, और मान लो $A$ वह बिंदु है जहाँ $H$ पर $(BC)$ का लंब उस आधे वृत्त से मिलता है।

प्रमेय 60.1 से समझाओ कि त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण क्यों है — और इसलिए सवाल 7 लागू होता है तथा

$AH^2 = p \times q .$

(लंबाई $AH$ को $p$ और $q$ का गुणोत्तर माध्य कहते हैं।)
$p = 1$ और $q = 2$ लो। $AH^2$ क्या है? उदाहरण 58.9 वाली कौन-सी मशहूर लंबाई तुम्हारी पैमाने-परकार वाली आकृति ने अभी-अभी बना दी?
वह नुस्ख़ा बताओ जो किसी भी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए $\sqrt n$ लंबाई का रेखाखंड बना देता है, और बताओ कि $p$ तथा $q$ के किस चुनाव से $\sqrt 5$ बनता है।
मान लो $O$ आधे वृत्त का केंद्र है। समझाओ कि $AH$ त्रिज्या $\frac{p + q}{2}$ से कभी ज़्यादा क्यों नहीं हो सकता, और $H$ की किस जगह पर दोनों बराबर होते हैं।
इससे यह असमिका निकालो: सभी धन संख्याओं $p$ और $q$ के लिए

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

और बराबरी ठीक तब जब $p = q$ हो। फिर उसे बिना किसी ज्यामिति के दोबारा सिद्ध करो: $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ फैलाओ और उसमें कोई उल्लेखनीय सर्वसमिका पहचानो (समस्या 57.1)।

हल

हल — समस्या 60.1.

1. $H$ पर समकोण वाले त्रिभुज $ABH$ में कोणों का योग (प्रमेय 51.3) देता है $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , इसलिए $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ । और $A$ पर समकोण वाले त्रिभुज $ABC$ में: $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , इसलिए $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ । यानी $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : दोनों छोटे त्रिभुज असली त्रिभुज के कोण $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ दोहरा देते हैं।

2. $ABC$ ( $A$ पर समकोण) में $\widehat B$ की संलग्न भुजा $AB$ है और कर्ण $BC$ : इसलिए $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ । और $ABH$ ( $H$ पर समकोण) में $\widehat B$ की संलग्न भुजा $BH$ है और कर्ण $AB$ : इसलिए $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ । यह अनुपात सिर्फ़ कोण पर टिका है (परिभाषा 60.3), इसलिए

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

दोनों तरफ़ $BC \times AB$ से गुणा करने पर (प्रमेय 57.5): $AB^2 = BH \times BC$ ।

3. त्रिभुज $ABC$ ( $A$ पर समकोण) और $ACH$ ( $H$ पर समकोण) में कोण $\widehat C$ साझा है। दोनों में संलग्न भुजा बटा कर्ण:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ यानी $9 = BH \times 5$ , इसलिए $BH = 1.8$ ; और $16 = CH \times 5$ से $CH = 3.2$ । जाँच: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — और ऐसा होना ही था, क्योंकि $H$ कर्ण पर $B$ और $C$ के बीच पड़ता है।

5. दोनों संबंधों को $BC$ से भाग देने पर:

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

यानी $BH$ और $CH$ , $AB^2$ तथा $AC^2$ के समानुपाती हैं: शीर्षलंब का पैर कर्ण को समकोण भुजाओं के वर्गों के अनुपात में बाँटता है (सवाल 4 में $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ )।

6. दोनों संबंध जोड़कर और $BC$ बाहर निकालकर (वितरण नियम से):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

यह प्रमेय 58.1 ही है, और वह सिर्फ़ कोज्या से आ गया — अभ्यास 58.11 वाली चार-त्रिभुज क्षेत्रफल पहेली से सचमुच अलग प्रमाण।

7. $ABH$ में पाइथागोरस ( $H$ पर समकोण, कर्ण $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ । $AB^2$ की जगह $BH \times BC$ रखकर (सवाल 2) और $BH$ बाहर निकालकर:

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. समकोण भुजाओं को आधार और ऊँचाई मानने पर $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{AB \times AC}{2}$ है; और कर्ण $[BC]$ को आधार मानने पर ऊँचाई ठीक $AH$ है, इसलिए क्षेत्रफल $\frac{BC \times AH}{2}$ भी है (प्रमेय 53.3)। दोनों बराबर रखकर और दुगुना करने पर: $AB \times AC = BC \times AH$ ।

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ । सवाल 7 की जाँच: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ और $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ । बराबर।

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , इसलिए $AH = \sqrt{16} = 4$ cm।

11. बिंदु $A$ व्यास $[BC]$ वाले वृत्त पर पड़ता है (और $B$ तथा $C$ से अलग है), इसलिए प्रमेय 60.1 की बात 2 से त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण है। और रचना से $(AH) \perp (BC)$ है, $H$ के $B$ तथा $C$ के बीच होते हुए: यानी रेखाखंड $[AH]$ ठीक सवाल 7 वाला शीर्षलंब है, और $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ ।

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : यह आकृति सिर्फ़ पैमाने और परकार से ऐसा रेखाखंड बना देती है जिसका वर्ग $2$ है — यानी इकाई वर्ग का विकर्ण, $\sqrt2 \approx 1.414$ , जो उदाहरण 58.9 में मिला था।

13. नुस्ख़ा: $p = 1$ और $q = n$ लंबाइयों के दो रेखाखंड सिरे से सिरे रखो; पूरे रेखाखंड (लंबाई $n + 1$ ) को व्यास मानकर आधा वृत्त बनाओ; जोड़ वाले बिंदु पर लंब खड़ा करो; वह आधे वृत्त से जिस बिंदु पर मिलता है उसकी जोड़ वाले बिंदु से दूरी $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ होती है। $\sqrt5$ के लिए: $p = 1$ और $q = 5$ लो (यानी व्यास $6$ का आधा वृत्त)।

14. $A$ केंद्र $O$ वाले वृत्त पर है, इसलिए $OA = \frac{p+q}{2}$ , यानी त्रिज्या। अगर $H \neq O$ हो तो त्रिभुज $AHO$ का $H$ पर समकोण है और उसका कर्ण $[OA]$ है, और कोई समकोण भुजा कर्ण से छोटी होती है: इसलिए $AH < OA$ । और अगर $H = O$ हो तो $AH = OA$ ठीक-ठीक। हर हाल में $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , और बराबरी ठीक तब जब $H$ केंद्र पर हो — यानी जब $p = q$ ।

15. $AH \leq \frac{p+q}{2}$ का वर्ग करके (दोनों तरफ़ धन हैं) और $AH^2 = pq$ इस्तेमाल करके:

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

और बराबरी ठीक $p = q$ पर। बीजगणित से दोबारा प्रमाण, उल्लेखनीय सर्वसमिकाओं से (समस्या 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

जो एक वर्ग है, इसलिए कभी ऋण नहीं होता — और ठीक $p = q$ पर शून्य होता है। यानी दो संख्याओं का गुणोत्तर माध्य उनके आधे योग से कभी ज़्यादा नहीं होता।