प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

41त्रिभुज और चतुर्भुज

त्रिभुज और चतुर्भुज ज्यामिति के बुनियादी आकार हैं। इस अध्याय का लक्ष्य है उनके ख़ास परिवारों को — समद्विबाहु, समबाहु और समकोण त्रिभुज; आयत, समचतुर्भुज, वर्ग — उनके परिभाषक गुणों से पहचानना, और उन्हें मापपट्टी तथा परकार से ठीक-ठीक बनाना।

41.1 त्रिभुज

परिभाषा 41.1 (ख़ास त्रिभुज)

त्रिभुज $ABC$ के तीन शीर्ष और तीन भुजाएँ होती हैं। वह होता है:

$A$ पर समद्विबाहु, जब $AB = AC$ हो (दो बराबर भुजाएँ);
समबाहु, जब $AB = BC = CA$ हो (तीन बराबर भुजाएँ);
$A$ पर समकोण, जब कोण $\widehat{BAC}$ समकोण हो। समकोण के सामने वाली भुजा $[BC]$ कर्ण कहलाती है।

तीनों ख़ास त्रिभुज। छोटी लकीरें बराबर भुजाएँ बताती हैं; वर्ग समकोण को अंकित करता है।

विधि 41.2 (तीन भुजाओं से त्रिभुज बनाना)

$AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm वाला $ABC$ बनाने के लिए:

मापपट्टी से $5$ cm का रेखाखंड $[AB]$ खींचो;
केंद्र $A$ और त्रिज्या $4$ cm वाले वृत्त का चाप खींचो ( $A$ से $4$ cm दूर के सारे बिंदु);
केंद्र $B$ और त्रिज्या $3$ cm वाले वृत्त का चाप खींचो;
बिंदु $C$ वहीं है जहाँ दोनों चाप काटते हैं; उसे $A$ और $B$ से जोड़ दो।

परकार से त्रिभुज बनाना: शीर्ष C दोनों चापों का कटान-बिंदु है। ( में देखोगे कि ऐसी रचना कब संभव होती है।) — परकार से त्रिभुज बनाना: शीर्ष $C$ दोनों चापों का कटान-बिंदु है। (अध्याय 51 में देखोगे कि ऐसी रचना कब संभव होती है।)

41.2 चतुर्भुज

परिभाषा 41.3 (ख़ास चतुर्भुज)

चतुर्भुज के चार शीर्ष और चार भुजाएँ होती हैं। वह होता है:

आयत, जब उसके चारों कोण समकोण हों;
समचतुर्भुज, जब उसकी चारों भुजाओं की लंबाई एक हो;
वर्ग, जब दोनों हों: चार समकोण और चार बराबर भुजाएँ।

प्रतिज्ञप्ति 41.4 (विकर्णों के गुण)

इन चतुर्भुजों में दोनों विकर्ण एक-दूसरे को उनके साझा मध्यबिंदु पर काटते हैं, और इसके अलावा:

आयत में विकर्णों की लंबाई बराबर होती है;
समचतुर्भुज में विकर्ण आपस में लंब होते हैं;
वर्ग में दोनों बातें एक साथ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

तीनों ख़ास चतुर्भुज, अपने विकर्णों के साथ (लाल में)। वर्ग को आयत और समचतुर्भुज, दोनों के गुण विरासत में मिलते हैं।

टिप्पणी 41.5

वर्ग अपने-आप आयत है (उसके चार समकोण हैं) और अपने-आप समचतुर्भुज (चार बराबर भुजाएँ)। इसलिए “आयत” का मतलब “वर्ग नहीं” नहीं होता! गणित में ज़्यादा ख़ास आकार, ज़्यादा आम परिवार का सदस्य होता है।

उदाहरण 41.6 (गुणों से आकार पहचानना)

किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएँ $4$ cm की हैं और उसमें एक समकोण है। वह क्या है? चार बराबर भुजाएँ उसे समचतुर्भुज बनाती हैं। समचतुर्भुज में आमने-सामने के कोण बराबर होते हैं और चारों कोणों का योग $360^\circ$ है; तब एक समकोण चारों को समकोण बना देता है (यह अध्याय 52 में समांतर चतुर्भुजों के साथ सिद्ध होगा)। तो आकार एक वर्ग है।

विधि 41.7 (रचना के कार्यक्रम)

रचना का कार्यक्रम निर्देशों की ऐसी सूची है जिसका पालन करके कोई भी आकृति हूबहू बना सके। हर पंक्ति में एक निर्देश लिखो, हर बिंदु बनते ही उसका नाम रखो, और केवल इतना कहो: “रेखाखंड / रेखा / वृत्त… खींचो”, “वह बिंदु रखो जहाँ … काटते हैं”। अपना कार्यक्रम शब्द-दर-शब्द पालन करके जाँचो।

उदाहरण 41.8

$4$ cm भुजा वाले वर्ग $ABCD$ का कार्यक्रम:

$AB = 4$ cm वाला रेखाखंड $[AB]$ खींचो।
$A$ पर $(AB)$ पर लंब खींचो; उस पर $A$ से $4$ cm दूर $D$ रखो (रेखा का एक ओर चुनो और उसी पर टिके रहो)।
$B$ पर $(AB)$ पर लंब खींचो; उस पर $B$ से $4$ cm दूर $C$ रखो, $D$ वाली ही ओर।
$C$ और $D$ को जोड़ दो।

मापपट्टी से जाँचो: $DC$ भी $4$ cm ही निकलना चाहिए।

41.3 अभ्यास

अभ्यास 41.1 ★

$AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm और $BC = 4$ cm वाला त्रिभुज $ABC$ बनाओ, विधि 41.2 के अनुसार।

हल

हल — अभ्यास 41.1.

तरीक़े का पालन करो: $6$ cm का रेखाखंड $[AB]$ , $A$ को केंद्र मानकर $5$ cm त्रिज्या का चाप, $B$ को केंद्र मानकर $4$ cm त्रिज्या का चाप; कटान-बिंदु $C$ है।

अभ्यास 41.2 ★

$DE = DF = 5$ cm और $EF = 3$ cm वाला समद्विबाहु त्रिभुज $DEF$ बनाओ। इस त्रिभुज के कौन-से दो कोण बराबर दिखते हैं? जाँचने के लिए उन्हें नापो।

हल

हल — अभ्यास 41.2.

$3$ cm का आधार $[EF]$ , फिर $E$ और $F$ को केंद्र मानकर $5$ - $5$ cm त्रिज्या के दो चाप; उनका कटान $D$ है। दोनों आधार-कोण $\widehat{DEF}$ और $\widehat{DFE}$ बराबर हैं (हर एक लगभग $72.5^\circ$ ) — समद्विबाहु त्रिभुज की सममिति (उदाहरण 42.8)।

अभ्यास 41.3 ★

केवल मापपट्टी और परकार से $4$ cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज बनाओ। उसका कोई एक कोण नापो।

हल

हल — अभ्यास 41.3.

$4$ cm का रेखाखंड, फिर उसके सिरों को केंद्र मानकर $4$ - $4$ cm त्रिज्या के दो चाप। हर कोण $60^\circ$ का है।

अभ्यास 41.4 ★

हर त्रिभुज को उसके आँकड़ों से छाँटो (समद्विबाहु, समबाहु, समकोण — एक से ज़्यादा उत्तर भी हो सकते हैं): (a) भुजाएँ $7$ , $7$ , $7$ ; (b) भुजाएँ $5$ , $5$ , $8$ ; (c) कोण $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) कोण $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ ।

हल

हल — अभ्यास 41.4.

(a) समबाहु (इसलिए समद्विबाहु भी)। (b) समद्विबाहु ( $5 = 5$ )। (c) समकोण और समद्विबाहु ( $45^\circ$ के दो बराबर कोणों के सामने दो बराबर भुजाएँ)। (d) समबाहु (तीन बराबर कोण)।

अभ्यास 41.5 ★

समकोण त्रिभुज में कर्ण कौन-सी भुजा है? $N$ पर समकोण वाला त्रिभुज $MNP$ बनाओ, और उसका कर्ण बताओ। कर्ण किस शीर्ष को कभी नहीं छूता?

हल

हल — अभ्यास 41.5.

कर्ण समकोण के सामने वाली भुजा है, जो हमेशा सबसे लंबी होती है। $N$ पर समकोण वाले $MNP$ में कर्ण $[MP]$ है: वह समकोण वाले शीर्ष $N$ को कभी नहीं छूता।

अभ्यास 41.6 ★

सही या ग़लत? हर उत्तर एक वाक्य में पक्का करो।

हर वर्ग एक आयत है।
हर आयत एक वर्ग है।
हर वर्ग एक समचतुर्भुज है।
समकोण वाला समचतुर्भुज एक वर्ग है।

हल

हल — अभ्यास 41.6.

1. सही: वर्ग के चार समकोण होते हैं, और आयत की परिभाषा यही है।

2. ग़लत: $5 \times 3$ के आयत की भुजाएँ बराबर नहीं हैं।

3. सही: वर्ग की चार बराबर भुजाएँ होती हैं, जो समचतुर्भुज की परिभाषा है।

4. सही: देखो उदाहरण 41.6।

अभ्यास 41.7 ★

$AB = 5$ cm और $BC = 3$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। उसके दोनों विकर्ण नापो: क्या दिखता है?

हल

हल — अभ्यास 41.7.

उदाहरण 41.8 की तरह लंबों से रचना। दोनों विकर्ण लगभग $5.8$ cm के निकलते हैं: आयत के विकर्णों की लंबाई बराबर होती है (प्रतिज्ञप्ति 41.4)।

अभ्यास 41.8 ★

$6$ cm और $4$ cm के विकर्णों वाला समचतुर्भुज बनाओ। (प्रतिज्ञप्ति 41.4 लगाओ: पहले दोनों विकर्ण खींचो — लंब, अपने मध्यबिंदुओं पर कटते हुए — फिर चारों सिरे जोड़ दो।)

हल

हल — अभ्यास 41.8.

$6$ cm का रेखाखंड खींचो; उसका मध्यबिंदु $O$ ; $O$ पर लंब; उस पर $O$ से $2$ cm दूर दोनों ओर एक-एक बिंदु। चारों सिरों को जोड़ने पर समचतुर्भुज बनता है (चारों शीर्ष $O$ से लंब रेखाओं पर $3$ cm और $2$ cm की दूरियों पर हैं, इसलिए सममिति से चारों भुजाएँ बराबर हैं)।

अभ्यास 41.9 ★★

उदाहरण 41.8 की शैली में $4$ cm आधार और $6$ - $6$ cm बराबर भुजाओं वाले समद्विबाहु त्रिभुज की रचना का कार्यक्रम लिखो। किसी सहपाठी से बदलो: क्या वह तुम्हारी आकृति देखे बिना उसका पालन कर पाता है?

हल

हल — अभ्यास 41.9.

एक सही कार्यक्रम: 1. $BC = 4$ cm वाला रेखाखंड $[BC]$ खींचो; 2. $[BC]$ के ऊपर केंद्र $B$ और त्रिज्या $6$ cm का चाप खींचो; 3. $[BC]$ के ऊपर केंद्र $C$ और त्रिज्या $6$ cm का चाप खींचो; 4. दोनों चापों के कटान-बिंदु का नाम $A$ रखो; 5. रेखाखंड $[AB]$ और $[AC]$ खींचो।

अभ्यास 41.10 ★★

केंद्र $O$ वाला एक वृत्त और उसका एक व्यास $[AB]$ बनाओ। वृत्त पर कोई भी बिंदु $M$ रखो और त्रिभुज $AMB$ बनाओ। कोण $\widehat{AMB}$ नापो। $M$ को हिलाकर फिर नापो। तुम्हारा अनुमान क्या है? (यह चौंकाने वाला तथ्य अध्याय 60 में सिद्ध होता है।)

हल

हल — अभ्यास 41.10.

वृत्त पर $M$ कहीं भी हो, कोण $\widehat{AMB}$ हमेशा $90^\circ$ का निकलता है: जब भी $[AB]$ व्यास हो, त्रिभुज $AMB$ $M$ पर समकोण होता है। उपपत्ति अध्याय 60 में मिलेगी।

अभ्यास 41.11 ★★

किसी चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई बराबर है और वे एक-दूसरे को उनके साझा मध्यबिंदु पर काटते हैं। प्रतिज्ञप्ति 41.4 से तय करो कि वह कौन-सा आकार होगा: आयत, समचतुर्भुज या वर्ग? (सावधान: केवल एक ही गुण दिया गया है।)

हल

हल — अभ्यास 41.11.

ऐसे विकर्ण जो एक-दूसरे को मध्यबिंदु पर काटते हों और जिनकी लंबाई बराबर हो: यह आयत की गुण-सूची है (प्रतिज्ञप्ति 41.4)। विकर्णों के लंब होने की कोई बाध्यता नहीं, इसलिए वह समचतुर्भुज या वर्ग होना ज़रूरी नहीं — सही उत्तर आयत है (वर्ग भी शर्त पूरी करेगा, पर उसकी बाध्यता नहीं है)।

अभ्यास 41.12 ★★★

$4 \times 4$ बिंदुओं के जाल पर ऐसे कितने अलग-अलग वर्ग बनाए जा सकते हैं जिनके कोने जाल के बिंदु हों — “तिरछे” वर्ग भी गिनकर? कम से कम एक तिरछा वर्ग बनाओ और समझाओ कि उसकी भुजाएँ बराबर क्यों हैं।

हल

हल — अभ्यास 41.12.

$4 \times 4$ बिंदुओं के साथ $3 \times 3$ जाल-खाने बनते हैं। जाल के साथ सीधे वर्ग: भुजाएँ $1$ , $2$ या $3$ देने पर $9 + 4 + 1 = 14$ वर्ग। तिरछे वर्ग भी होते हैं: छोटे वाले, जिनकी भुजाएँ $1 \times 1$ खानों के विकर्ण हैं (जैसे $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — ऐसे चार; और बड़े वाले, जिनकी भुजाएँ $2 \times 1$ आयतों के विकर्ण हैं, जैसे $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — ऐसे दो। ऐसे वर्ग की चारों भुजाएँ बराबर हैं क्योंकि वे एक जैसे आयतों के विकर्ण हैं। कुल: $14 + 4 + 2 = 20$ वर्ग। (इस स्तर पर तिरछे वर्ग का एक सही उदाहरण और $14$ सीधे वर्ग गिन लेना ही सफलता है।)

41.4 समस्या: विकर्ण क्या जानते हैं

समस्या 41.1

सप्ताहांत समस्या — हर ख़ास चतुर्भुज को केवल उसके विकर्णों से दोबारा खड़ा करना, और किसी भी बहुभुज के विकर्ण गिनना

प्रतिज्ञप्ति 41.4 किसी आकार को पढ़कर उसके विकर्णों के बारे में बताती है। यह समस्या वही खेल उलटा खेलती है: केवल दो कटते हुए रेखाखंड दिए हों — होने वाले विकर्ण — तो उनके चारों सिरे जोड़ने पर कौन-सा आकार बनता है? तुम एक पूरी “विकर्ण-कोशिका” बनाओगे, समझोगे कि अभ्यास 41.8 की समचतुर्भुज-रचना क्यों चलती है, एक ऐसे आकार से मिलोगे जिसका अभी नाम नहीं है, और अंत में चार से कहीं ज़्यादा भुजाओं वाले बहुभुजों के विकर्ण गिनोगे।

भाग I — विकर्ण-कोशिका। हर प्रश्न में बताए अनुसार दोनों रेखाखंड बनाओ, उनके चारों सिरे क्रम से जोड़ो, और जो चतुर्भुज मिले उसे पहचानो।

$6$ - $6$ cm के दो रेखाखंड, आपस में लंब, अपने साझा मध्यबिंदु पर कटते हुए। बने आकार की चारों भुजाएँ और चारों कोण नापो: वह क्या है?
$8$ cm और $5$ cm के दो रेखाखंड, आपस में लंब, अपने साझा मध्यबिंदु पर कटते हुए। कौन-सा आकार बनता है (अभ्यास 41.8)?
$7$ - $7$ cm के दो रेखाखंड — बराबर, पर आपस में लंब नहीं — अपने साझा मध्यबिंदु पर कटते हुए। भुजाएँ और कोण नापो: तुम्हारा अनुमान क्या है कि यह कौन-सा आकार है?
$8$ cm और $5$ cm के दो रेखाखंड, आपस में लंब नहीं, अपने साझा मध्यबिंदु पर कटते हुए। जो आकार मिलता है वह परिभाषा 41.3 के तीनों में से कोई नहीं — जो दिखे उसका वर्णन करो (कौन-सी भुजाएँ बराबर दिखती हैं? समांतर?)। इस चतुर्भुज को नाम अध्याय 52 में मिलता है।
प्रश्न 1–4 को चार प्रविष्टियों वाली कोशिका में समेटो: विकर्ण बराबर / लंब / दोनों / कोई नहीं (हमेशा अपने मध्यबिंदुओं पर कटते हुए) $\rightarrow$ आकार का नाम (या वर्णन)।

भाग II — रचनाएँ क्यों चलती हैं।

प्रश्न 2 में दोनों विकर्ण आकार को कटान-बिंदु के चारों ओर चार समकोण त्रिभुजों में काट देते हैं। इनमें से हर त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई क्या है? समझाओ कि चारों त्रिभुज एक-दूसरे की हूबहू नक़ल क्यों हैं, और उससे निकालो कि आकार की चारों भुजाएँ बराबर क्यों हैं — अभ्यास 41.8 का यही राज़ है।
इससे केवल परकार वाली एक जाँच निकालो: विकर्णों से कोई भी आकार बनाने के बाद, बिना मापपट्टी से नापे, केवल परकार से कैसे जाँचोगे कि चारों भुजाएँ बराबर हैं?
ऐसे वर्ग की रचना का कार्यक्रम (विधि 41.7) लिखो जिसके विकर्ण $6$ cm के हों — उसकी भुजाएँ नहीं।
प्रश्न 8 के वर्ग में भुजा $3$ cm — यानी विकर्ण के आधे — से लंबी है या छोटी? नापकर पता करो। उत्तर का एक हिस्सा अभी सिद्ध भी किया जा सकता है: एक कोने से अगले कोने तक केंद्र होकर जाना $3 + 3$ cm का चक्कर है, और सीधा रास्ता चक्कर से हमेशा छोटा होता है — इसलिए भुजा $6$ cm से छोटी है। (वह $3$ cm से भी बड़ी है, यह सिद्ध करना और उसका ठीक मान निकालना अध्याय 58 का काम है।)
कोशिका के लिए एक नई प्रविष्टि: $8$ cm का रेखाखंड $[AC]$ खींचो; उस पर $A$ से $3$ cm दूर बिंदु $H$ अंकित करो; $H$ से होकर $5$ cm का लंब रेखाखंड $[BD]$ खींचो, जिसका मध्यबिंदु $H$ ही हो। $ABCD$ जोड़ो। यह आकार एक पतंग है (एक विकर्ण दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करता है)। प्रश्न 6 की तरह कोनों के त्रिभुजों से पता करो कि पतंग की कौन-सी भुजाएँ किनके बराबर हैं।

भाग III — विकर्ण गिनना। किसी बहुभुज का विकर्ण ऐसे दो शीर्षों को जोड़ता है जो पड़ोसी न हों।

एक चतुर्भुज, एक पंचभुज (पाँच शीर्ष) और एक षट्भुज (छह शीर्ष) बनाओ, और उनके सारे विकर्ण खींचो। उन्हें गिनो: हर हाल में कितने हैं?
बिना बनाए गिनो, षट्भुज के लिए: एक शीर्ष से कितने विकर्ण निकलते हैं? (छहों शीर्षों में से कितनों से उसे विकर्ण नहीं जोड़ सकता?) छहों शीर्षों से गुणा करने पर हर विकर्ण ठीक दो बार गिना जाता है — क्यों? प्रश्न 11 की अपनी गिनती फिर से पाओ। (यही दोहरी गिनती समस्या 37.1 के हाथ मिलाने में आई थी।)
प्रश्न 12 के तरीक़े से $10$ शीर्षों वाले बहुभुज के, फिर $20$ शीर्षों वाले बहुभुज के विकर्ण गिनो।
किसी बहुभुज के ठीक $44$ विकर्ण हैं। उसके कितने शीर्ष हैं? (प्रश्न 13 का तरीक़ा कुछ उम्मीदवारों पर आज़माओ।)
अपना तरीक़ा सबसे छोटे बहुभुज पर जाँचो: त्रिभुज के कितने विकर्ण होते हैं, और प्रश्न 12 का गिनती-तरीक़ा क्या उत्तर देता है? एक वाक्य में बताओ कि हाथ मिलाने और विकर्णों में क्या समान है।

हल

हल — समस्या 41.1.

1. चारों भुजाएँ एक ही नाप की निकलती हैं (लगभग $4.2$ cm) और चारों कोण समकोण हैं: आकार एक वर्ग है। (बराबर विकर्ण समकोण देते हैं, जैसे आयत में; लंब विकर्ण बराबर भुजाएँ देते हैं, जैसे समचतुर्भुज में; दोनों एक साथ वर्ग देते हैं — प्रतिज्ञप्ति 41.4 उलटी पढ़ी हुई।)

2. एक समचतुर्भुज: चारों भुजाएँ बराबर (लगभग $4.7$ cm), पर कोई समकोण नहीं — ठीक अभ्यास 41.8 वाली रचना।

3. चारों कोण समकोण निकलते हैं पर भुजाएँ दो अलग-अलग लंबाइयों की होती हैं: एक आयत — यही अभ्यास 41.11 वाली स्थिति है।

4. नापने पर बराबर लंबाई का कोई दावा नहीं टिकता और कोई समकोण भी नहीं दिखता; पर आमने-सामने की भुजाएँ दो-दो करके बराबर हैं और समांतर लगती हैं। यह वही आम “तिरछा आयत” है जिसके विकर्ण बस एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं — समांतर चतुर्भुज, जिसका नाम और अध्ययन अध्याय 52 में है।

5. विकर्ण अपने साझा मध्यबिंदु पर कटते हुए:

विकर्ण…	आकार
बराबर और लंब	वर्ग
केवल लंब	समचतुर्भुज
केवल बराबर	आयत
कोई नहीं	बिना नाम वाला (देखो अध्याय 52)

6. कोने के हर त्रिभुज की एक भुजा एक विकर्ण पर है: $8$ cm का आधा और $5$ cm का आधा, यानी $4$ cm और $2.5$ cm की भुजाएँ, और उनके बीच समकोण — चारों के लिए वही आँकड़े। एक ही दो भुजाओं और उनके बीच के समकोण से बने त्रिभुज एक-दूसरे की हूबहू नक़ल होते हैं (उन्हें बनाकर देखो: परकार के खुलाव एक जैसे हैं)। इसलिए उनके चारों कर्ण — यानी आकार की भुजाएँ — बराबर हैं: आकार एक समचतुर्भुज है।

7. परकार को एक भुजा की लंबाई तक खोलो, फिर उसे आकार के चारों ओर चलाओ: अगर उसकी नोक और पेंसिल हर पड़ोसी कोनों की जोड़ी पर ठीक बैठें, तो चारों भुजाएँ उसी खुलाव के बराबर हैं। मापपट्टी की ज़रूरत नहीं।

8. कार्यक्रम:

$AC = 6$ cm वाला रेखाखंड $[AC]$ खींचो और उसका मध्यबिंदु $O$ रखो ( $A$ से $3$ cm नापो)।
$O$ पर $(AC)$ पर लंब खींचो।
उस पर $O$ से $3$ cm दूर $B$ और $D$ रखो, हर ओर एक।
$A$ , $B$ , $C$ , $D$ जोड़ दो।

विकर्ण बराबर ( $6$ cm), लंब, और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हुए: कोशिका के अनुसार $ABCD$ एक वर्ग है।

9. नापने पर लगभग $4.2$ cm मिलता है: $3$ cm से लंबा — आम अंदाज़ा “विकर्ण का आधा” ग़लत है। सिद्ध किया जा सकने वाला हिस्सा: कोने $A$ से अगले कोने $B$ तक जाने के लिए या तो भुजा $[AB]$ सीधे चलो, या केंद्र होकर $A \to O \to B$ का चक्कर लो, जिसमें $3 + 3 = 6$ cm लगते हैं; सीधी भुजा छोटी है, इसलिए भुजा $6$ cm से कम है। वह $3$ cm से ज़्यादा भी है, यह मापपट्टी दिखा देती है; अध्याय 58 इसे सिद्ध करेगा और ठीक मान भी देगा ( $3$ cm गुणा $2$ का वर्गमूल, लगभग $4.24$ cm)।

10. $H$ पर कोनों के चारों त्रिभुज अब दो मिलती-जुलती जोड़ियों में आते हैं: दो में भुजाएँ $3$ cm और $2.5$ cm (कर्ण $[AB]$ और $[AD]$ ), दो में भुजाएँ $5$ cm और $2.5$ cm (कर्ण $[CB]$ और $[CD]$ )। तो $AB = AD$ और $CB = CD$ : पतंग में पड़ोसी भुजाओं की दो बराबर जोड़ियाँ होती हैं (समचतुर्भुज वह ख़ास पतंग है जिसमें चारों मिल जाती हैं)।

11. चतुर्भुज: $2$ विकर्ण। पंचभुज: $5$ । षट्भुज: $9$ ।

12. षट्भुज के एक शीर्ष से विकर्ण ख़ुद उसे और उसके दोनों पड़ोसियों को छोड़कर हर शीर्ष तक जाते हैं: $6 - 3 = 3$ विकर्ण। छह शीर्ष मिलकर $6 \times 3 = 18$ विकर्ण-सिरे देते हैं — पर हर विकर्ण अपने दोनों सिरों पर एक-एक बार गिना गया है, ठीक वैसे ही जैसे हाथ मिलाना दोनों मिलाने वालों से गिना जाता है (समस्या 37.1)। असली गिनती: $18 \div 2 = 9$ । यह चित्र से मेल खाती है।

13. दस शीर्ष: हर एक से $10 - 3 = 7$ , इसलिए $10 \times 7 \div 2 = 35$ विकर्ण। बीस शीर्ष: $20 \times 17 \div 2 = 170$ विकर्ण।

14. उम्मीदवार आज़माओ: $10$ शीर्ष $35$ देते हैं (प्रश्न 13); $11$ शीर्ष $11 \times 8 \div 2 = 44$ देते हैं। मिल गया: बहुभुज के $11$ शीर्ष हैं।

15. त्रिभुज का कोई विकर्ण होता ही नहीं: हर शीर्ष के “ग़ैर-पड़ोसी” हैं … कोई नहीं, क्योंकि बाक़ी दोनों शीर्ष उसके पड़ोसी ही हैं। तरीक़ा भी यही कहता है: हर शीर्ष से $3 - 3 = 0$ , कुल $0$ । हाथ मिलाना और विकर्ण अलग कपड़ों में एक ही गिनती हैं: किसी समूह में से चुने गए जोड़े, हर जोड़ा एक बार गिना हुआ — गणित अपने अच्छे विचार दोबारा इस्तेमाल करता है।