45संक्रियाओं की प्राथमिकता

समस्या 45.1

सप्ताहांत समस्या — वितरण नियम से निकली मानसिक गणित की तरकीबें, और चार हज़ार साल से चली आ रही दुगुना-आधा वाली गुणा-विधि

कैलकुलेटरों से बहुत पहले — और विद्यालय में पहाड़े रटाए जाने से भी पहले — मिस्र के लिपिक और रूसी किसान किन्हीं दो संख्याओं का गुणा केवल दुगुना करने, आधा करने और जोड़ने से कर लेते थे। उनका तरीक़ा जादू जैसा लगता है; असल में वह पूरी ताक़त से काम करता वितरण नियम (प्रमेय 45.6) है। यह समस्या पहले तुम्हारा मानसिक गणित तेज़ करती है, फिर वह पुरानी विधि सिखाती है, और फिर बोनट खोलकर दिखाती है कि वह चलती क्यों है।

भाग I — न निकालने की कला।

1. उदाहरण 45.7 की तरह फैलाकर मन-ही-मन निकालो: $7 \times 102$ और $9 \times 98$।
2. गुणनखंडन से मन-ही-मन निकालो: $17 \times 13 + 17 \times 7$ और $45 \times 101 - 45$।
3. “$5$ से गुणा” वाली तरकीब: $5$ से गुणा करने के लिए $10$ से गुणा करो और आधा कर दो। $5 \times 87$ इसी तरह निकालो, और समझाओ कि यह तरकीब जायज़ क्यों है।
4. दो और तरकीबें, जिन्हें पक्का करके इस्तेमाल करना है: $25$ से गुणा करने के लिए $100$ से गुणा करके $4$ का भाग दो ($25 \times 32$ निकालो); $99$ से गुणा करने के लिए $100$ से गुणा करके एक बार घटा दो ($99 \times 47$ निकालो)।
5. एक चेतावनी: वितरण नियम किसी गुणनखंड को योगफल पर फैलाता है, गुणनफल पर कभी नहीं। $8 \times (5 + 3)$ की $8 \times 5 + 8 \times 3$ से तुलना करो, और फिर $8 \times (5 \times 3)$ की $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ से: कौन-सी जोड़ी मिलती है, कौन-सी नहीं?

भाग II — दुगुना-आधा वाली विधि। $13 \times 24$ के लिए विधि यह है। दो स्तंभ लिखो। बायाँ स्तंभ: $13$ से शुरू करो और आधा करते जाओ, शेषफल छोड़ते हुए, $1$ तक: $13,\ 6,\ 3,\ 1$। दायाँ स्तंभ: $24$ से शुरू करो और उतनी ही बार दुगुना करो: $24,\ 48,\ 96,\ 192$। जिस पंक्ति की बाईं संख्या सम हो उसे काट दो, और बची हुई दाईं संख्याएँ जोड़ लो।

6. $13 \times 24$ के लिए विधि चलाओ: कौन-सी पंक्ति कटती है, क्या योगफल बचता है, और क्या वह $13 \times 24$ के बराबर है?
7. इसी विधि से $21 \times 17$ निकालो ($21$ को आधा करो, $17$ को दुगुना), और उत्तर आम गुणा से जाँचो।
8. इसी विधि से $16 \times 25$ निकालो। कितनी पंक्तियाँ बचती हैं, और $1$, $2$, $4$, $8$, $16, \dots$ से शुरू होने वाले बाएँ स्तंभ में ख़ास क्या है?

9. अब क्यों चलती है, एक-एक कदम। हर बराबरी को वितरण नियम से पक्का करो:

   $$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$$

   सार: बाएँ को आधा और दाएँ को दुगुना करने से गुणनफल वही रहता है — पर बाईं संख्या विषम हो, तो दाईं संख्या की एक प्रति अलग हो जाती है और उसे जमा कर लेना पड़ता है। सारणी की पहली पंक्ति कौन-सी संख्या जमा करती है?

10. सारणी में नीचे तक हिसाब चलाते जाओ: $6 \times 48 = 3 \times 96$, फिर $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$, फिर $1 \times 192 = 192$। रास्ते में जमा हुआ सब इकट्ठा करो, और समझाओ कि जमा हुई संख्याएँ ठीक उन्हीं पंक्तियों की दाईं संख्याएँ क्यों हैं जिनकी बाईं संख्या विषम है — यानी वे पंक्तियाँ जिन्हें विधि रखती है।

भाग III — बोनट के नीचे: दुगुनों के योगफल।

11. प्रश्न 6 में बची हुई पंक्तियाँ $24$ के $1$, $4$ और $8$ दुगुनों के बराबर थीं: विधि ने चुपचाप $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ लिख दिया। जाँचो कि $1 + 4 + 8 = 13$, और पता करो कि प्रश्न 7 में $21$ के लिए विधि ने कौन-से दुगुने ($1$, $2$, $4$, $8$, $16$) रखे।
12. $25$ और $42$ को दुगुनों की सूची $1, 2, 4, 8, 16, 32$ की संख्याओं के योगफल के रूप में लिखो, हर एक को ज़्यादा से ज़्यादा एक बार लेकर।
13. समझाओ कि हर पूर्ण संख्या ऐसे क्यों लिखी जा सकती है: जो सबसे बड़ी दुगुनी संख्या समा जाए वह लो, घटाओ, दोहराओ — यह रुकना क्यों पड़ेगा? $100$ को ऐसे योगफल के रूप में लिखो।
14. मिस्र के लिपिक चार हज़ार साल पहले ठीक यही करते थे: $19 \times 35$ निकालने के लिए वे $35$ की दुगुनी सारणी बनाते ($1 \to 35$, $2 \to 70$, $4 \to 140$, $8 \to 280$, $16 \to 560$), $19$ बनाने वाली पंक्तियाँ चुनते, और जोड़ लेते। उनके तरीक़े से गणना करो।
15. आख़िरी सवाल: आधुनिक संगणक, जो $0$ और $1$ से गिनते हैं, असल में लिपिकों जैसे ही गुणा करते हैं — दुगुनों और जोड़ों से। $13 \times 24$ के लिए संगणक कौन-से तीन जोड़ करेगा? (हर संख्या दुगुनों में क्यों बँट जाती है, और इसका $0$ तथा $1$ से क्या नाता है, यह घातों वाले अध्याय की सप्ताहांत समस्या है: समस्या 56.1।)