Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

16La multiplicación

Tres bolsas de siete canicas: podrías sumar $7 + 7 + 7$ , pero hay un camino más rápido — la multiplicación, la operación de la suma repetida. Este capítulo construye las tablas de multiplicar a partir de dibujos y luego enseña el método en columna.

16.1 Qué significa multiplicar

Definición 16.1 (La multiplicación)

El producto $3 \times 7$ significa «tres veces siete»:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

En un dibujo, $3 \times 7$ es un rectángulo de puntos: $3$ filas de $7$ puntos.

Los mismos 21 puntos, contados por filas o por columnas: el orden de un producto no importa. Saber 3 × 7 regala 7 × 3 — ¡la mitad de las tablas que aprender! — Los mismos $21$ puntos, contados por filas o por columnas: el orden de un producto no importa. Saber $3 \times 7$ regala $7 \times 3$ — ¡la mitad de las tablas que aprender!

Proposición 16.2 (Reglas que ayudan)

el orden no importa: $a \times b = b \times a$ ;
multiplicar por $1$ no cambia nada; multiplicar por $0$ da $0$ .
multiplicar por $10$ añade un cero: $34 \times 10 = 340$ ; por $100$ , dos ceros;
una tabla se puede reconstruir a partir de sus vecinas: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 16.3 (El cuadro de las tablas)

Todas las tablas caben en un solo cuadro. Para leer $6 \times 7$ : fila $6$ , columna $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

El cuadro es simétrico respecto de su diagonal — esa es la regla 1 hecha visible.

16.2 La multiplicación en columna

Método 16.4 (Multiplicar por un número de una cifra)

Para calcular $234 \times 6$ :

multiplica las unidades: $4 \times 6 = 24$ : escribe $4$ y lleva $2$ ;
multiplica las decenas y suma la llevada: $3 \times 6 + 2 = 20$ : escribe $0$ y lleva $2$ ;
multiplica las centenas y suma la llevada: $2 \times 6 + 2 = 14$ : escribe $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Estimación para comprobar: $234$ está cerca de $200$ y $200 \times 6 = 1\,200$ : la respuesta $1\,404$ es verosímil.

Ejemplo 16.5 (Descomponer para multiplicar de cabeza)

El método en columna descompone en secreto el número por lugares. De cabeza, haz lo mismo:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

Y con una vecina amable: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Por qué funciona descomponer: un rectángulo 23 × 4 de cuadraditos unidad es una parte 20 × 4 más una parte 3 × 4 — 80 + 12 = 92 cuadraditos. — Por qué funciona descomponer: un rectángulo $23 \times 4$ de cuadraditos unidad es una parte $20 \times 4$ más una parte $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ cuadraditos.

16.3 La multiplicación en los problemas

Ejemplo 16.6

Un microbús lleva $9$ pasajeros. ¿Cuántos pasajeros pueden llevar $27$ microbuses?

es una multiplicación: $27$ grupos de $9$ ;
$27 \times 9 = 243$ (en columna o $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
frase: los microbuses pueden llevar $243$ pasajeros.

16.4 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

Escribe como multiplicación y calcula: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Ejercicio 16.2 ★

Recita y completa: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Ejercicio 16.3 ★

Dibuja un rectángulo de puntos para $4 \times 6$ y otro para $6 \times 4$ . ¿Qué observas al comparar los dos recuentos?

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

Los dos rectángulos contienen los mismos $24$ puntos — uno es el otro girado de lado: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Ejercicio 16.4 ★

Calcula usando las reglas de la Proposición 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Ejercicio 16.5 ★

Calcula en columna: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Ejercicio 16.6 ★

Calcula de cabeza descomponiendo (como en el Ejemplo 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Ejercicio 16.7 ★

Calcula con una vecina amable: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Ejercicio 16.8 ★

Estima primero y después calcula: $389 \times 5$ (estima con $400$ ); $612 \times 8$ (estima con $600$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

$389 \times 5$ : estimación $400 \times 5 = 2\,000$ ; exactamente $1\,945$ .

$612 \times 8$ : estimación $600 \times 8 = 4\,800$ ; exactamente $4\,896$ .

Ejercicio 16.9 ★

Una huevera lleva $6$ huevos. ¿Cuántos huevos hay en $38$ hueveras? Escribe la operación, calcula y responde con una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . En las hueveras hay $228$ huevos.

Ejercicio 16.10 ★★

Un aula tiene $8$ filas de $4$ pupitres y en cada pupitre se sientan $2$ alumnos. ¿Cuántos alumnos caben en el aula? (Dos multiplicaciones.)

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

Pupitres: $8 \times 4 = 32$ . Alumnos: $32 \times 2 = 64$ . En el aula caben $64$ alumnos.

Ejercicio 16.11 ★★

Busca todas las maneras de colocar $24$ sillas en filas iguales (filas de $1$ , de $2$ , …). ¿Qué disposiciones son posibles? (Usa el cuadro de las tablas: busca el $24$ dentro.)

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

El $24$ aparece en el cuadro de las tablas como $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ y $4 \times 6$ — y las mismas parejas al revés. Disposiciones posibles: $1$ fila de $24$ , $2$ filas de $12$ , $3$ filas de $8$ , $4$ filas de $6$ , $6$ filas de $4$ , $8$ filas de $3$ , $12$ filas de $2$ y $24$ filas de $1$ .

Ejercicio 16.12 ★★

Zoe calcula $47 \times 6$ así: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ y después $240 + 42 = 282$ . Lea calcula $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Explica cada método. ¿Cuál prefieres para $38 \times 4$ ? Calcúlalo de las dos maneras.

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

Zoe descompone $47$ en $40 + 7$ (el método en columna hecho de cabeza); Lea sustituye $47$ por el amable $50$ y corrige quitando el $3 \times 6$ contado de más. Para $38 \times 4$ : al modo de Zoe, $120 + 32 = 152$ ; al modo de Lea, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Las dos funcionan — la de Lea es más rápida aquí porque $38$ está cerca de $40$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81