Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

71Estadística y probabilidad

Los datos y el azar están por todas partes: resultados deportivos, previsiones meteorológicas, juegos. Este capítulo enseña cómo resumir una serie de números por su significar, mediana y rango, y cómo calcular el probabilidad de simple experimentos aleatorios — incluidos experimentos de dos pasos, manejados con árbol diagramas. Ambas materias se desarrollan mucho más en el Bachillerato. volumen de esta serie.

71.1 Resumiendo datos

Definición 71.1 (Media, mediana, rango)

Para una serie de números $N$ :

el significar es el suma de todos los valores divididos por $N$ ;
el mediana es un valor que divide lo ordenado serie en dos mitades de igual tamaño: para $N$ extraño, la mitad valor; para $N$ incluso, el punto medio de los dos valores medios;
el rango es el valor más grande menos el más pequeño.

Ejemplo 71.2

Notas de un alumno: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$ .

Significar: $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ .
Mediana: ordenar la serie: $8, 9, 11, 12, 15$ ; el medio (3er) El valor es $11$ .
Rango: $15 - 8 = 7$ .

Con una sexta marca de $17$ : ordenado $8, 9, 11, 12, 15, 17$ , el mediana se convierte en el punto medio de $11$ y $12$ , es decir, $11.5$ , y significar se convierte en $\frac{72}{6} = 12$ .

Ejemplo 71.3 (Media ponderada)

Las tallas de zapatos vendidas en un día:

size	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$
count	$3$	$7$	$6$	$3$	$1$

El tamaño significar es

\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 .

Observación 71.4

El significar y el mediana pueden diferir mucho. en la serie $10, 10, 10, 10, 60$ el significar es $20$ (levantado por el valor $60$ ) mientras el mediana es $10$ . Pregunte siempre qué indicador representa la situación. mejor.

71.2 Probabilidad

Definición 71.5 (Probabilidad)

Un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles; un evento es un conjunto de resultados. Cada resultado obtiene un probabilidad: un número entre $0$ y $1$ , con todas las probabilidades de que los resultados sumen $1$ ; el La probabilidad $\P(A)$ de un evento $A$ es la suma de las probabilidades de sus resultados. Cuando todos los resultados $n$ son igualmente probables,

\P(A) = \frac{\text{number of favorable outcomes}}{n}.

Ejemplo 71.6

Una rueda se divide en $8$ sectores iguales: $3$ rojo, $3$ azul, $2$ verde. Cada sector tiene probabilidad $\frac18$ , por lo que

\P(\text{red}) = \frac38, \qquad \P(\text{green}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{not green}) = 1 - \frac14 = \frac34 .

Proposición 71.7 (complemento)

Para cada evento $A$ , el evento contrario $\bar A$ (“ $A$ no ocurrir”) satisface

\P(\bar A) = 1 - \P(A).

Demostración. Cada resultado está exactamente en uno de $A$ y $\bar A$ , por lo que $\P(A) + \P(\bar A)$ sumas las probabilidades de todos los resultados, que es $1$ . ∎

71.3 Experimentos de dos pasos

Método 71.8 (diagramas de arbol)

Para un experimento en dos pasos:

dibuja una rama por resultado del primer paso, luego continúa cada rama con los resultados del segundo paso, escribiendo cada probabilidad en su rama;
multiplica las probabilidades a lo largo de un camino para obtener el probabilidad de ese camino;
suma las probabilidades de que todos los caminos formen un evento.

Ejemplo 71.9

Una bolsa contiene fichas rojas $2$ y negras $3$ . Saca una ficha, observa su color, ponlo de nuevo, dibuja de nuevo. Cada sorteo da rojo con probabilidad $\frac25$ , negro con probabilidad $\frac35$ .

El árbol de los dos sorteos con reposición: multiplicar por la ramas y verifique que las cuatro rutas sumen 1. — El árbol de los dos sorteos con reposición: multiplicar por la ramas y verifique que las cuatro rutas sumen $1$ .

Probabilidad de dos fichas del mismo color: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$ . Probabilidad de al menos uno rojo: $1 - \P(\text{BB}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Observación 71.10 (Probabilidades de aproximación de frecuencias)

Lanzar un dado justo $6000$ veces da acerca de $1000$ seises — no exactamente. A medida que aumenta el número de repeticiones, las frecuencias observadas aumentan. Cada vez más cerca de las probabilidades: esto es lo que hace que probabilidad la herramienta adecuada para modelar experimentos repetidos (una historia desarrollada en el volumen de High School de esta serie).

71.4 Ceremonias

Ejercicio 71.1 ★

Calcular el significar, mediana y rango de la serie. $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ .

Solución

Solución de Ejercicio 71.1.

Significar: $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$ .

Mediana: ordenado, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; el valor medio ( $4$ th) es $12$ .

Rango: $17 - 9 = 8$ .

Ejercicio 71.2 ★

Las temperaturas al mediodía durante una semana fueron $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (grados). Calcule el significar (hasta una décima) y el mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 71.2.

Significar: $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ grados.

Mediana: ordenado, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; el valor $4$ es $21$ grados.

Ejercicio 71.3 ★

El número de goles marcados por un equipo en partidos $10$ :

goals	$0$	$1$	$2$	$3$
matches	$2$	$4$	$3$	$1$

Calcule el número significar de goles por partido y el mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 71.3.

Significar:

\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ goals per match.}

Mediana: la serie ordenada es $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; el $5$ y $6$ los valores son ambos $1$ : mediana $1$ .

Ejercicio 71.4 ★

Se lanza un dado justo una vez. Calcule el probabilidad de: “rodar un $3$ ”; “enrollando un número par”; “rodando al menos un $3$ ”; “no rodando un $6$ ”.

Solución

Solución de Ejercicio 71.4.

$\P(3) = \frac16$ . $\P(\text{even}) = \frac36 = \frac12$ . $\P(\text{at least } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$ . $\P(\text{not } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$ .

Ejercicio 71.5 ★

Una caja contiene bolas $12$ : $5$ blanca, $4$ roja y $3$ verde; una bola es extraído al azar. Calcular $\P(\text{white})$ , $\P(\text{red or green})$ , y $\P(\text{not white})$ . ¿Qué notas sobre los dos últimos?

Solución

Solución de Ejercicio 71.5.

$\P(\text{white}) = \frac{5}{12}$ .

$\P(\text{red or green}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ .

$\P(\text{not white}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ .

Los dos últimos son iguales: “no blanco” is el evento “rojo o verde”.

Ejercicio 71.6 ★★

Se lanza una moneda y luego se lanza un dado justo. Dibuja el árbol (o cuenta los resultados) y calcular el probabilidad de obtener caras y a $6$ ; luego de sacar caras or a $6$ (o ambas).

Solución

Solución de Ejercicio 71.6.

Los resultados $12$ (rostro de la moneda, valor del dado) son igualmente probable.

Cara y un $6$ : un resultado de $12$ : $\frac{1}{12}$ .

Cara o $6$ : los resultados con cara ( $6$ de ellos) más el resultado (cruz, $6$ ): resultados $7$ , entonces $\frac{7}{12}$ . Contando cada evento y restar la superposición da lo mismo: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ .

Ejercicio 71.7 ★★

En la bolsa de Ejemplo 71.9 ( $2$ roja, $3$ negra), los dos Ahora se realizan sorteos de reemplazo sin. Dibuja el nuevo árbol (cuidado: las probabilidades de segundo nivel cambian) y calcule la probabilidad de sacar dos fichas negras, luego dos fichas de diferente colores.

Solución

Solución de Ejercicio 71.7.

Primer sorteo: rojo $\frac25$ , negro $\frac35$ . Segundo empate sin reemplazo: después de un rojo, $1$ rojo y $3$ negro quedan entre $4$ ; después un negro, $2$ rojo y $2$ negro entre $4$ .

Dos negros: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Diferentes colores (RB o BR): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$ .

Ejercicio 71.8 ★★

Después de $9$ partidos, un jugador de baloncesto promedia $14$ puntos por partido.

¿Cuántos puntos ha obtenido en total?
¿Cuántos puntos debe anotar en el $10$ º partido para promediar? $15$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 71.8.

1. $9 \times 14 = 126$ puntos.

2. Un promedio de $15$ sobre $10$ coincidencias significa $150$ puntos en total: debe sumar $150 - 126 = 24$ puntos.

Ejercicio 71.9 ★★★

Un juego: tira dos dados justos; ganas si los dos resultados son iguales (“un doble”).

Calcula el probabilidad de ganar.
Juegas dos veces (juegos independientes). Usando un árbol, calcule el probabilidad de ganar al menos una vez.

Solución

Solución de Ejercicio 71.9.

1. Entre los pares $36$ igualmente probables, los dobles son $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : seis de ellos, entonces $\P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

2. Dos juegos independientes: árbol con victoria ( $\frac16$ )/pérdida ( $\frac56$ ) en cada nivel. Probabilidad de nunca ganar: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$ . entonces

\P(\text{at least one win}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 .

71.5 El problema: las ruinosas apuestas del Chevalier

Problema 71.1

Problema del fin de semana — la disputa de juego de 1654 que creó la teoría de la probabilidad y la coincidencia del cumpleaños eso engaña a todas las aulas

En 1654, un noble francés aficionado al juego, el Chevalier de Méré, se hizo rico con una apuesta de dados y empezó a perder con otra que él creía equivalente. Desconcertado, le preguntó al matemático. Blaise Pascal; Pascal escribió a Pierre de Fermat; y su El intercambio de cartas fundó la teoría de probabilidad. esto El problema reproduce todo el asunto con las herramientas de este capítulo. — resultados igualmente probables, árboles y la regla del complemento (Proposición 71.7) — y termina con lo más coincidencia contraintuitiva de todos ellos.

Parte I — Dice, honestly counted.

Tira un dado justo dos veces. Usando un árbol (o un $6 \times 6$ tabla), calcule el probabilidad de no seis en el dos tiradas, y deducir el probabilidad de al menos una seis.
Un compañero argumenta: “una probabilidad entre seis por tirada, dos veces, entonces $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ." Comparar con la pregunta 1 y señale los resultados exactos que cuenta su suma dos veces.
Tirar dos dados y sumar: calcular el probabilidad de un suma de $7$ y de un suma de $2$ . ¿Por qué $7$ es el ¿El favorito de los jugadores?
Antigua disputa: con dos dados, es un suma de $9$ o un suma de $10$ ¿Es más probable? Cuente los resultados y resuelva.
Generalice la pregunta 1: explique por qué el probabilidad de al al menos un seis en los rollos $n$ es

$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$

las seis ramas del árbol multiplicándose desde el nivel para nivelar.

Parte II — The two bets of the Chevalier.

Primera apuesta, dinero incluso: al menos uno de cada cuatro tiradas de un dado. calcular $\left(\frac56\right)^4$ como fracción y como decimal, y el probabilidad ganador del Chevalier. fue la apuesta bueno?
El razonamiento del propio Chevalier fue: “cuatro rollos a la $\frac16$ cada uno: $\frac46$ de una oportunidad". la respuesta correcta aquí — pero empújela a $7$ rollos: ¿qué absurdo produce, y qué error de la pregunta 2 ¿se repite?
Segunda apuesta, considerada equivalente por proporcionalidad (“ $24$ rueda en $\frac1{36}$ cada uno: nuevamente $\frac{24}{36} = \frac46$ ”): al menos uno doble seis en tiradas de dos dados de $24$ . Calcular el verdadero ganando probabilidad $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (calculadora). ¿Por qué el Chevalier se fue arruinando poco a poco?
¿Cuántas tiradas de dos dados le habrían restaurado? ventaja? Pruebe $n = 25$ con la calculadora y concluir.
Enuncia la moraleja en dos frases: lo que está mal, en general, multiplicando un probabilidad por el número de intenta — y qué herramienta correcta reemplaza esa tentación?

Parte III — Medio, medianas, birthdays.

Una pequeña empresa paga nueve empleados $2\,000$ euros al mes y el director $20\,000$ . Calcule el significar y el mediana salario (Definición 71.1). ¿Qué número debe ser honesto en el anuncio de trabajo? cita?
Construya una lista de cinco marcas de prueba con significar $12$ y mediana $15$ . ¿Qué dice el par (significar debajo de mediana)? ¿Sobre la forma de las marcas?
El problema del cumpleaños: en una clase de estudiantes $23$ , ¿qué ¿Es el probabilidad que al menos dos comparten cumpleaños? Configura el complemento (todos los cumpleaños $23$ diferentes):

$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$

Calcule el producto de los primeros tres factores, describa cómo evolucionan los factores, y — dado que la totalidad producto se trata de $0.493$ — responde la pregunta. la mayoría la gente espera "muy improbable": ¿qué significa ¿Dicen las matemáticas?
La intuición reparada: ¿cuántos pares de los estudiantes pueden compartir un cumpleaños en una clase de $23$ (¿Recuento de apretones de manos de Problema 37.1)? explica en uno frase por qué este número, no el propio $23$ , impulsa el sorpresa.
Final: describe un experimento para comprobar cualquiera de los resultados. — de Méré la apuesta con un dado real, o el cumpleaños problema en varias clases — y exponga cuidadosamente lo que se espera de las frecuencias observadas como el número de repeticiones crece. (Esa expectativa tiene un nombre, la ley de grandes números; su prueba espera en lo Alto Volumen escolar.)

Solución

Solución de Problema 71.1.

1. Cada tirada tiene $5$ distintos de seis resultados de $6$ ; el La tabla $6 \times 6$ muestra $5 \times 5 = 25$ seis resultados libres de $36$ : $P(\text{no six}) = \frac{25}{36}$ , entonces $P(\text{at least one}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$ .

2. $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$ . el La suma cuenta el resultado "seis y luego seis" una vez en cada $\frac16$ : una vez demasiadas veces. Probabilidades de eventos que pueden sucede juntos no simplemente agregue.

3. Suma $7$ : los seis resultados $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ : $P = \frac{6}{36} = \frac16$ . Suma $2$ : sólo $(1,1)$ : $\frac{1}{36}$ . Siete tiene la mayor cantidad de formas de suceder — el medio gordo de la tabla sumas.

4. Suma $9$ : $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — cuatro resultados, $\frac{4}{36}$ . Suma $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ — tres, $\frac{3}{36}$ . Nueve es más probable: el conde decide, no el número de “formas de escribir” el suma con desordenado caras.

5. Cada nivel del árbol multiplica el número seis. probabilidad por $\frac56$ , lo que pasó antes: después de $n$ rollos, $P(\text{no six at all}) = \left(\frac56\right)^n$ , y la regla del complemento da la fórmula.

6. $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$ , por lo que el Chevalier ganó con probabilidad $1 - 0.482 = 0.518$ — un borde silencioso y constante de casi $2\,\%$ por partido: una excelente apuesta, y le pagó su carruajes.

7. En $7$ tira su regla y le da $\frac76$ — un probabilidad mayor que $1$ , tonterías. es la pregunta 2 conteo doble, compuesto: los éxitos de las tiradas se superponen y sumando sus posibilidades cuenta las superposiciones una y otra vez.

8. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.491$ : debajo de uno medio. Apostar dinero incluso en un $49.1\,\%$ , el Chevalier perdió alrededor de $2$ juegos en cada $100$ en promedio — lenta, misteriosamente (para él), y inevitablemente.

9. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 = 0.506$ : con tiradas $25$ la apuesta se vuelve favorable. Una tirada separó al Chevalier de la rentabilidad.

10. Multiplicando un probabilidad por el número de intentos cuenta los éxitos superpuestos varias veces y, finalmente, produce respuestas imposibles por encima de $1$ . La ruta correcta es siempre a través del complemento: encadenar las probabilidades de fallo por multiplicación, luego restar de $1$ .

11. Significar: $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} = \frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euros. Mediana: los salarios medios son ambos $2\,000$ : mediana $2\,000$ euros. el anuncio debería citar el mediana — nueve de los diez trabajadores nunca ven algo como $3\,800$ ; el significar es arrastrado hacia arriba uno valor atípico (Ejemplo 71.3 advirtió sobre pesos).

12. Por ejemplo $2, 8, 15, 17, 18$ : mediana $15$ (valor medio), significar $\frac{60}{5} = 12$ . A significar debajo del mediana delata una cola de marcas bajo tirando del promedio hacia abajo mientras que el medio superior permanece alto.

13. Primeros tres factores: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$ . Cada nuevo estudiante debe esquivar una fecha más tomada, por lo que el factores se reducen: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ para el $23$ er. El producto completo cae a aproximadamente $0.493$ — entonces

P(\text{at least one shared birthday}) \approx 0.507 :

mejor que incluso, en una clase de solo $23$ . La intuición dice “ $23$ personas, $365$ días, ninguna posibilidad”; las matemáticas dicen "Lanzar una moneda".

14. $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ pares. Cada par es una nueva oportunidad para una coincidencia, y $253$ oportunidades en $\frac{1}{365}$ cada uno ya no es un asunto menor: el la sorpresa se disuelve una vez que se cuentan las parejas, no las personas.

15. Protocolo de ejemplo: tirar un dado en bloques de cuatro, registrar si cada bloque muestra un seis, para bloques $100$ ; o recopilar las listas de cumpleaños de muchas clases de aproximadamente $23$ y registre la proporción con una coincidencia. lo observado frecuencia se tambaleará, pero a medida que aumente el número de repeticiones debería establecerse cada vez más cerca de las probabilidades calculadas ( $0.518$ ; $0.507$ ) — las frecuencias convergen en probabilidades: la ley de los grandes números, expresada aquí como una expectativa y demostrado en el volumen de High School.