Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

71Estadística y probabilidad

Los datos y el azar están por todas partes: resultados deportivos, predicciones del tiempo, juegos. Este capítulo enseña a resumir una serie de números con su media, su mediana y su recorrido, y a calcular la probabilidad de experimentos aleatorios sencillos — incluidos los experimentos en dos pasos, que se tratan con diagramas de árbol. Los dos temas se desarrollan mucho más en el volumen de secundaria superior de esta serie.

71.1 Resumir datos

Definición 71.1 (Media, mediana, recorrido)

Para una serie de $N$ números:

la media es la suma de todos los valores dividida entre $N$ ;
la mediana es un valor que parte la serie ordenada en dos mitades del mismo tamaño: para $N$ impar, el valor central; para $N$ par, el punto medio de los dos valores centrales;
el recorrido es el valor mayor menos el menor.

Ejemplo 71.2

Notas de un alumno: $8,\ 12,\ 9,\ 15,\ 11$ .

media: $\dfrac{8 + 12 + 9 + 15 + 11}{5} = \dfrac{55}{5} = 11$ ;
mediana: ordena la serie: $8, 9, 11, 12, 15$ ; el valor central (el 3.º) es $11$ ;
recorrido: $15 - 8 = 7$ .

Con una sexta nota de $17$ : ordenadas $8, 9, 11, 12, 15, 17$ , la mediana pasa a ser el punto medio de $11$ y $12$ , es decir $11.5$ , y la media pasa a ser $\frac{72}{6} = 12$ .

Ejemplo 71.3 (Media ponderada)

Las tallas de zapato vendidas en un día:

talla	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$
cantidad	$3$	$7$	$6$	$3$	$1$

La talla media es

\frac{3 \times 38 + 7 \times 39 + 6 \times 40 + 3 \times 41 + 1 \times 42} {3 + 7 + 6 + 3 + 1} = \frac{114 + 273 + 240 + 123 + 42}{20} = \frac{792}{20} = 39.6 .

Observación 71.4

La media y la mediana pueden diferir mucho. En la serie $10, 10, 10, 10, 60$ la media es $20$ (arrastrada hacia arriba por el valor $60$ ), mientras que la mediana es $10$ . Pregúntate siempre qué indicador representa mejor la situación.

71.2 La probabilidad

Definición 71.5 (Probabilidad)

Un experimento aleatorio tiene varios resultados posibles; un suceso es un conjunto de resultados. Cada resultado recibe una probabilidad: un número entre $0$ y $1$ , de manera que todas las probabilidades de los resultados sumen $1$ ; la probabilidad $\P(A)$ de un suceso $A$ es la suma de las probabilidades de sus resultados. Cuando los $n$ resultados son todos igual de probables,

\P(A) = \frac{\text{número de casos favorables}}{n}.

Ejemplo 71.6

Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales: $3$ rojos, $3$ azules, $2$ verdes. Cada sector tiene probabilidad $\frac18$ , así que

\P(\text{rojo}) = \frac38, \qquad \P(\text{verde}) = \frac28 = \frac14, \qquad \P(\text{no verde}) = 1 - \frac14 = \frac34 .

Proposición 71.7 (Suceso contrario)

Para todo suceso $A$ , el suceso contrario $\bar A$ (« $A$ no ocurre») cumple

\P(\bar A) = 1 - \P(A).

Demostración. Todo resultado está exactamente en uno de los dos, $A$ o $\bar A$ , así que $\P(A) + \P(\bar A)$ suma las probabilidades de todos los resultados, lo que da $1$ . ∎

71.3 Experimentos en dos pasos

Método 71.8 (Diagramas de árbol)

Para un experimento en dos pasos:

dibuja una rama por cada resultado del primer paso y continúa después cada rama con los resultados del segundo paso, escribiendo cada probabilidad sobre su rama;
multiplica las probabilidades a lo largo de un camino para obtener la probabilidad de ese camino;
suma las probabilidades de todos los caminos que forman un suceso.

Ejemplo 71.9

Una bolsa contiene $2$ fichas rojas y $3$ negras. Saca una ficha, anota su color, devuélvela y saca otra vez. Cada extracción da roja con probabilidad $\frac25$ y negra con probabilidad $\frac35$ .

El árbol de las dos extracciones con devolución: multiplica a lo largo de las ramas y comprueba que los cuatro caminos suman 1. — El árbol de las dos extracciones con devolución: multiplica a lo largo de las ramas y comprueba que los cuatro caminos suman $1$ .

Probabilidad de dos fichas del mismo color: $\frac{4}{25} + \frac{9}{25} = \frac{13}{25}$ . Probabilidad de al menos una roja: $1 - \P(\text{NN}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .

Observación 71.10 (Las frecuencias se acercan a las probabilidades)

Lanzar un dado equilibrado $6000$ veces da alrededor de $1000$ seises — no exactamente. A medida que crece el número de repeticiones, las frecuencias observadas se acercan cada vez más a las probabilidades: eso es lo que hace de la probabilidad la herramienta adecuada para modelizar experimentos repetidos (una historia que se desarrolla en el volumen de secundaria superior de esta serie).

71.4 Ejercicios

Ejercicio 71.1 ★

Calcula la media, la mediana y el recorrido de la serie $14,\ 9,\ 17,\ 9,\ 12,\ 11,\ 12$ .

Solución

Solución de Ejercicio 71.1.

Media: $\dfrac{14 + 9 + 17 + 9 + 12 + 11 + 12}{7} = \dfrac{84}{7} = 12$ .

Mediana: ordenada, $9, 9, 11, 12, 12, 14, 17$ ; el valor central (el $4$ .º) es $12$ .

Recorrido: $17 - 9 = 8$ .

Ejercicio 71.2 ★

Las temperaturas al mediodía a lo largo de una semana fueron $19,\ 21,\ 24,\ 18,\ 22,\ 25,\ 19$ (grados). Calcula la media (a la décima) y la mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 71.2.

Media: $\dfrac{19 + 21 + 24 + 18 + 22 + 25 + 19}{7} = \dfrac{148}{7} \approx 21.1$ grados.

Mediana: ordenada, $18, 19, 19, 21, 22, 24, 25$ ; el $4$ .º valor es $21$ grados.

Ejercicio 71.3 ★

El número de goles marcados por un equipo en $10$ partidos:

goles	$0$	$1$	$2$	$3$
partidos	$2$	$4$	$3$	$1$

Calcula el número medio de goles por partido y la mediana.

Solución

Solución de Ejercicio 71.3.

Media:

\frac{2 \times 0 + 4 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3}{10} = \frac{0 + 4 + 6 + 3}{10} = \frac{13}{10} = 1.3 \text{ goles por partido.}

Mediana: la serie ordenada es $0,0,1,1,1,1,2,2,2,3$ ; el $5$ .º y el $6$ .º valores son los dos $1$ : mediana $1$ .

Ejercicio 71.4 ★

Se lanza una vez un dado equilibrado. Calcula la probabilidad de: «sacar un $3$ »; «sacar un número par»; «sacar al menos un $3$ »; «no sacar un $6$ ».

Solución

Solución de Ejercicio 71.4.

$\P(3) = \frac16$ . $\P(\text{par}) = \frac36 = \frac12$ . $\P(\text{al menos } 3) = \P(\{3,4,5,6\}) = \frac46 = \frac23$ . $\P(\text{no } 6) = 1 - \frac16 = \frac56$ .

Ejercicio 71.5 ★

Una caja contiene $12$ bolas: $5$ blancas, $4$ rojas y $3$ verdes; se saca una bola al azar. Calcula $\P(\text{blanca})$ , $\P(\text{roja o verde})$ y $\P(\text{no blanca})$ . ¿Qué observas en las dos últimas?

Solución

Solución de Ejercicio 71.5.

$\P(\text{blanca}) = \frac{5}{12}$ .

$\P(\text{roja o verde}) = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ .

$\P(\text{no blanca}) = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ .

Las dos últimas son iguales: «no blanca» es el suceso «roja o verde».

Ejercicio 71.6 ★★

Se lanza una moneda y después un dado equilibrado. Dibuja el árbol (o cuenta los resultados) y calcula la probabilidad de sacar cara y un $6$ ; y después la de sacar cara o un $6$ (o las dos cosas).

Solución

Solución de Ejercicio 71.6.

Los $12$ resultados (cara de la moneda, valor del dado) son igual de probables.

Cara y un $6$ : un resultado de $12$ : $\frac{1}{12}$ .

Cara o un $6$ : los resultados con cara ( $6$ de ellos) más el resultado (cruz, $6$ ): $7$ resultados, así que $\frac{7}{12}$ . Contar cada suceso y restar el solapamiento da lo mismo: $\frac{6}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$ .

Ejercicio 71.7 ★★

En la bolsa del Ejemplo 71.9 ( $2$ rojas, $3$ negras), las dos extracciones se hacen ahora sin devolución. Dibuja el árbol nuevo (cuidado: las probabilidades del segundo nivel cambian) y calcula la probabilidad de sacar dos fichas negras y después la de sacar dos fichas de colores distintos.

Solución

Solución de Ejercicio 71.7.

Primera extracción: roja $\frac25$ , negra $\frac35$ . Segunda extracción sin devolución: tras una roja quedan $1$ roja y $3$ negras entre $4$ ; tras una negra, $2$ rojas y $2$ negras entre $4$ .

Dos negras: $\frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Colores distintos (RN o NR): $\frac25 \times \frac34 + \frac35 \times \frac24 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac35$ .

Ejercicio 71.8 ★★

Tras $9$ partidos, una jugadora de baloncesto promedia $14$ puntos por partido.

¿cuántos puntos ha marcado en total?;
¿cuántos puntos tiene que marcar en el $10$ .º partido para promediar $15$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 71.8.

1. $9 \times 14 = 126$ puntos.

2. Un promedio de $15$ en $10$ partidos significa $150$ puntos en total: tiene que marcar $150 - 126 = 24$ puntos.

Ejercicio 71.9 ★★★

Un juego: lanza dos dados equilibrados; ganas si los dos resultados son iguales («un doble»).

calcula la probabilidad de ganar;
juegas dos veces (partidas independientes). Con un árbol, calcula la probabilidad de ganar al menos una vez.

Solución

Solución de Ejercicio 71.9.

1. Entre las $36$ parejas igual de probables, los dobles son $(1,1), (2,2), \dots, (6,6)$ : seis, así que $\P(\text{doble}) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

2. Dos partidas independientes: árbol con ganar ( $\frac16$ ) / perder ( $\frac56$ ) en cada nivel. Probabilidad de no ganar nunca: $\frac56 \times \frac56 = \frac{25}{36}$ . Así que

\P(\text{al menos una victoria}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31 .

71.5 Problema: Las apuestas ruinosas del Caballero

Problema 71.1

Problema de fin de semana — la disputa de juego de 1654 que creó la teoría de la probabilidad, y la coincidencia de cumpleaños que engaña a todas las clases

En 1654, un noble francés jugador empedernido, el Caballero de Méré, se hizo rico con una apuesta de dados y empezó a perder con otra que él creía equivalente. Desconcertado, preguntó al matemático Blaise Pascal; Pascal escribió a Pierre de Fermat; y su intercambio de cartas fundó la teoría de la probabilidad. Este problema repite todo el asunto con las herramientas de este capítulo — resultados igual de probables, árboles y la regla del suceso contrario (Proposición 71.7) — y termina con la coincidencia más contraintuitiva de todas.

Parte I — Los dados, contados con honestidad.

lanza dos veces un dado equilibrado. Con un árbol (o una tabla $6 \times 6$ ), calcula la probabilidad de que no salga ningún seis en los dos lanzamientos, y deduce la probabilidad de al menos un seis;
un compañero argumenta: «una posibilidad entre seis por lanzamiento, dos veces, así que $\frac16 + \frac16 = \frac13$ ». Compara con la pregunta 1 y señala los resultados exactos que su suma cuenta dos veces;
lanzando dos dados y sumando: calcula la probabilidad de una suma de $7$ y la de una suma de $2$ . ¿Por qué es el $7$ el favorito de los jugadores?;
vieja disputa: con dos dados, ¿es más probable una suma de $9$ o una suma de $10$ ? Cuenta los resultados y zanja la cuestión;
generaliza la pregunta 1: explica por qué la probabilidad de al menos un seis en $n$ lanzamientos es

$1 - \left(\frac56\right)^{\!n} ,$

porque las ramas «sin seis» del árbol se multiplican de nivel en nivel.

Parte II — Las dos apuestas del Caballero.

primera apuesta, a partes iguales: al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado. Calcula $\left(\frac56\right)^4$ como fracción y como decimal, y la probabilidad de ganar del Caballero. ¿Era buena la apuesta?;
el propio razonamiento del Caballero era: «cuatro lanzamientos a $\frac16$ cada uno: $\frac46$ de posibilidad». Aquí daba casi la respuesta correcta — pero llévalo hasta $7$ lanzamientos: ¿qué absurdo produce y qué error de la pregunta 2 repite?;
segunda apuesta, que él creía equivalente por proporcionalidad (« $24$ lanzamientos a $\frac1{36}$ cada uno: otra vez $\frac{24}{36} = \frac46$ »): al menos un seis doble en $24$ lanzamientos de dos dados. Calcula la probabilidad verdadera de ganar $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24}$ (con calculadora). ¿Por qué se arruinó poco a poco el Caballero?;
¿cuántos lanzamientos de dos dados le habrían devuelto la ventaja? Prueba $n = 25$ con la calculadora y concluye;
enuncia la moraleja en dos frases: ¿qué falla, en general, al multiplicar una probabilidad por el número de intentos — y qué herramienta correcta sustituye a esa tentación?

Parte III — Medias, medianas y cumpleaños.

una empresa pequeña paga $2\,000$ euros al mes a nueve empleados y $20\,000$ al director. Calcula el salario medio y el mediano (Definición 71.1). ¿Qué número debería dar honestamente el anuncio de empleo?;
construye una lista de cinco notas de examen con media $12$ y mediana $15$ . ¿Qué dice esa pareja (media por debajo de la mediana) sobre la forma de las notas?;
el problema de los cumpleaños: en una clase de $23$ alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos compartan cumpleaños? Plantea el suceso contrario (los $23$ cumpleaños distintos):

$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{343}{365} .$

Calcula el producto de los tres primeros factores, describe cómo evolucionan los factores y — sabiendo que el producto completo vale unos $0.493$ — responde a la pregunta. La mayoría de la gente espera «muy improbable»: ¿qué dicen las matemáticas?;
la intuición reparada: ¿cuántas parejas de alumnos pueden compartir cumpleaños en una clase de $23$ (la cuenta de apretones de manos del Problema 37.1)? Explica en una frase por qué es ese número, y no el propio $23$ , el que provoca la sorpresa;
final: describe un experimento para comprobar cualquiera de los dos resultados — la apuesta de de Méré con un dado real o el problema de los cumpleaños en varias clases — y enuncia con cuidado qué esperas de las frecuencias observadas a medida que crece el número de repeticiones. (Esa expectativa tiene nombre: la ley de los grandes números; su demostración espera en el volumen de secundaria superior.)

Solución

Solución de Problema 71.1.

1. Cada lanzamiento tiene $5$ resultados sin seis de $6$ ; la tabla $6 \times 6$ muestra $5 \times 5 = 25$ resultados sin ningún seis de $36$ : $P(\text{ningún seis}) = \frac{25}{36}$ , luego $P(\text{al menos uno}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$ .

2. $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$ . La suma cuenta el resultado «seis y después seis» una vez en cada $\frac16$ : una vez de más. Las probabilidades de sucesos que pueden ocurrir a la vez no se suman sin más.

3. Suma $7$ : los seis resultados $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ : $P = \frac{6}{36} = \frac16$ . Suma $2$ : solo $(1,1)$ : $\frac{1}{36}$ . El siete tiene el mayor número de maneras de salir — el grueso central de la tabla de sumas.

4. Suma $9$ : $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — cuatro resultados, $\frac{4}{36}$ . Suma $10$ : $(4,6), (5,5), (6,4)$ — tres, $\frac{3}{36}$ . El nueve es más probable: lo decide el recuento, no el número de «maneras de escribir» la suma con caras sin ordenar.

5. Cada nivel del árbol multiplica la probabilidad de no sacar seis por $\frac56$ , pase lo que pase antes: tras $n$ lanzamientos, $P(\text{ningún seis}) = \left(\frac56\right)^n$ , y la regla del suceso contrario da la fórmula.

6. $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$ , así que el Caballero ganaba con probabilidad $1 - 0.482 = 0.518$ — una ventaja discreta y constante de casi $2\,\%$ por partida: una apuesta excelente, que le pagó sus carruajes.

7. Con $7$ lanzamientos su regla da $\frac76$ — una probabilidad mayor que $1$ , un sinsentido. Es el doble recuento de la pregunta 2, agravado: los éxitos de los lanzamientos se solapan, y sumar sus posibilidades cuenta los solapamientos una y otra vez.

8. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.491$ : por debajo de la mitad. Apostando a partes iguales sobre un suceso del $49.1\,\%$ , el Caballero perdía unas $2$ partidas de cada $100$ de media — despacio, misteriosamente (para él) e inevitablemente.

9. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 = 0.506$ : con $25$ lanzamientos la apuesta pasa a ser favorable. Un solo lanzamiento separaba al Caballero de la rentabilidad.

10. Multiplicar una probabilidad por el número de intentos cuenta varias veces los éxitos que se solapan y acaba produciendo respuestas imposibles, mayores que $1$ . El camino correcto pasa siempre por el suceso contrario: encadena por multiplicación las probabilidades de fallo y resta después de $1$ .

11. Media: $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} = \frac{38\,000}{10} = 3\,800$ euros. Mediana: los salarios centrales son los dos $2\,000$ : mediana $2\,000$ euros. El anuncio debería dar la mediana — nueve de los diez trabajadores no ven nunca nada parecido a $3\,800$ ; la media la arrastra hacia arriba un solo valor atípico (Ejemplo 71.3 avisaba de los pesos).

12. Por ejemplo $2, 8, 15, 17, 18$ : mediana $15$ (valor central) y media $\frac{60}{5} = 12$ . Una media por debajo de la mediana delata una cola de notas bajas que tira del promedio hacia abajo mientras la mitad superior se queda alta.

13. Tres primeros factores: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$ . Cada alumno nuevo tiene que esquivar una fecha ocupada más, así que los factores encogen: $\frac{343}{365} \approx 0.94$ para el $23$ .º. El producto completo cae hasta unos $0.493$ — así que

P(\text{al menos un cumpleaños compartido}) \approx 0.507 :

mejor que jugárselo a cara o cruz, en una clase de solo $23$ . La intuición dice « $23$ personas, $365$ días, ni hablar»; las matemáticas dicen «lanza una moneda».

14. $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ parejas. Cada pareja es una nueva oportunidad de coincidencia, y $253$ oportunidades a $\frac{1}{365}$ cada una ya no son poca cosa: la sorpresa se disuelve en cuanto se cuentan parejas, y no personas.

15. Protocolo de ejemplo: lanza un dado en bloques de cuatro, anotando si en cada bloque sale un seis, durante $100$ bloques; o reúne las listas de cumpleaños de muchas clases de unos $23$ alumnos y anota la proporción de clases con coincidencia. La frecuencia observada oscilará, pero, a medida que crezca el número de repeticiones, debería asentarse cada vez más cerca de las probabilidades calculadas ( $0.518$ ; $0.507$ ) — las frecuencias convergen a las probabilidades: la ley de los grandes números, enunciada aquí como expectativa y demostrada en el volumen de secundaria superior.

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