Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

36Problemas y gráficos

El último capítulo del año pone todo a trabajar: problemas de varios pasos con dinero, cantidades y duraciones, y los gráficos que presentan la información de un vistazo. La idea estrella es «por unidad» — hallar el precio de un solo artículo —, que crecerá hasta la proporcionalidad en el Capítulo 44.

36.1 Problemas de varios pasos

Método 36.1 (Domar un problema largo)

lee hasta el final y di cuál es la pregunta final;
planifica hacia atrás: para responderla, ¿qué necesito antes?
resuelve los pasos en orden, escribiendo una operación y una frase corta por paso;
comprueba la respuesta final con el sentido común y con una estimación.

Ejemplo 36.2

«Un colegio encarga $4$ cajas de $25$ libros a $6$ cada uno y paga además $180$ por el envío. ¿Cuál es el coste total?»

libros: $4 \times 25 = 100$ libros;
coste de los libros: $100 \times 6 = 600$ ;
total: $600 + 180 = 780$ .

Comprobación estimada: unos cien libros a $6$ son unos $600$ , más unos $200$ : unos $800$ — la respuesta $780$ es verosímil.

Ejemplo 36.3 (Por unidad)

« $5$ tazas iguales cuestan $12.50$ ; ¿cuánto cuestan $8$ tazas?» Halla primero el precio de una taza:

12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{y después}\qquad 8 \times 2.50 = 20 .

Pasando por la unidad, todo queda al alcance — este esquema de dos pasos resuelve toda una familia de problemas (recetas, velocidades, precios) y es la semilla del Capítulo 44.

Ejemplo 36.4 (Cambio y presupuesto)

Zoe tiene $30$ . Compra un libro de $12.40$ y dos bolígrafos de $2.30$ cada uno. ¿Le llega también para un juego de mesa de $13$ ?

bolígrafos: $2 \times 2.30 = 4.60$ ;
gastado hasta ahora: $12.40 + 4.60 = 17$ ;
le queda: $30 - 17 = 13$ — justo lo necesario para el juego, sin que sobre nada.

36.2 Leer gráficos

Método 36.5 (Leer cualquier gráfico)

lee el título: ¿qué se está contando?
lee los ejes o la clave: ¿qué representa una división de la escala, una barra o un símbolo?
solo entonces responde a las preguntas — señalar el gráfico con una regla ayuda a leer las alturas con exactitud.

Ejemplo 36.6

Precipitaciones de un pueblo, mes a mes:

Un diagrama de barras de las precipitaciones. Una división = 20 mm. — Un diagrama de barras de las precipitaciones. Una división $= 20$ mm.

Lecturas: el mes más lluvioso es mayo ( $80$ mm); ¿llovió en junio la mitad que en abril ( $30$ frente a $70$ )? No — la mitad de $70$ es $35$ , así que no llega a la mitad: ¡leer con precisión importa! Total de los seis meses: $60 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340$ mm.

Ejemplo 36.7 (Una magnitud que cambia)

La altura de una planta, medida cada semana:

Al unir los puntos de medida se ve el crecimiento: cuanto más inclinado es el segmento, más deprisa creció la planta esa semana. — Al unir los puntos de medida se ve el *crecimiento*: cuanto más inclinado es el segmento, más deprisa creció la planta esa semana.

La planta creció más deprisa entre las semanas $3$ y $4$ ( $+5$ cm) y se frenó al final ( $+2$ cm en la semana $6$ ).

36.3 Ejercicios

Ejercicio 36.1 ★

Resuelve por pasos: «Un club alquila un autobús por $240$ y compra $32$ entradas de museo a $7$ cada una. ¿Cuál es el coste total de la excursión?»

Solución

Solución de Ejercicio 36.1.

Entradas: $32 \times 7 = 224$ . Total: $240 + 224 = 464$ .

Ejercicio 36.2 ★

Resuelve con «por unidad»: « $3$ kg de manzanas cuestan $7.50$ . ¿Cuánto cuestan $5$ kg?»

Solución

Solución de Ejercicio 36.2.

Por kg: $7.50 \div 3 = 2.50$ . Cinco kg: $5 \times 2.50 = 12.50$ .

Ejercicio 36.3 ★

Resuelve: «Seis amigos comparten a partes iguales los $87$ que cuesta un picnic. ¿Cuánto paga cada uno?»

Solución

Solución de Ejercicio 36.3.

$87 \div 6 = 14.5$ : cada uno paga $14.50$ .

Ejercicio 36.4 ★

Samuel tiene $25$ . Compra una camiseta de $13.90$ y una gorra de $8.50$ . ¿Cuánto dinero le queda?

Solución

Solución de Ejercicio 36.4.

Gasta: $13.90 + 8.50 = 22.40$ . Le quedan: $25 - 22.40 = 2.60$ .

Ejercicio 36.5 ★

Con el gráfico de precipitaciones del Ejemplo 36.6: ¿qué meses superaron los $50$ mm? ¿Cuánta lluvia más cayó en mayo que en junio?

Solución

Solución de Ejercicio 36.5.

Más de $50$ mm: enero ( $60$ ), marzo ( $55$ ), abril ( $70$ ) y mayo ( $80$ ). Mayo menos junio: $80 - 30 = 50$ mm.

Ejercicio 36.6 ★

Con el gráfico de la planta del Ejemplo 36.7: ¿cuánto medía la planta en la semana $2$ ? ¿Entre qué semanas creció exactamente $4$ cm?

Solución

Solución de Ejercicio 36.6.

Semana $2$ : $6$ cm. Crecimiento de $4$ cm: entre las semanas $2$ y $3$ ( $6 \to 10$ ) y entre las semanas $4$ y $5$ ( $15 \to 19$ ).

Ejercicio 36.7 ★

Dibuja un diagrama de barras con los goles marcados por un equipo: septiembre $4$ , octubre $7$ , noviembre $3$ , diciembre $6$ . Elige la escala y da el total.

Solución

Solución de Ejercicio 36.7.

Cuatro barras de alturas $4$ , $7$ , $3$ y $6$ (una división cada $1$ o $2$ goles). Total: $4 + 7 + 3 + 6 = 20$ goles.

Ejercicio 36.8 ★

Un pack de $8$ yogures cuesta $3.20$ ; sueltos, un yogur cuesta $0.50$ . Calcula el precio «por unidad» dentro del pack y cuánto se ahorra por yogur comprando el pack.

Solución

Solución de Ejercicio 36.8.

Por unidad en el pack: $3.20 \div 8 = 0.40$ . Ahorro por yogur: $0.50 - 0.40 = 0.10$ (diez céntimos).

Ejercicio 36.9 ★★

«Un cine vendió $148$ entradas a $9.50$ el sábado y $95$ entradas al mismo precio el domingo. ¿Cuánto dinero más recaudó el sábado que el domingo?» Resuélvelo de dos maneras: calculando la recaudación de cada día o calculando con la diferencia de entradas — y comprueba que las respuestas coinciden.

Solución

Solución de Ejercicio 36.9.

Manera 1: sábado, $148 \times 9.50 = 1\,406$ ; domingo, $95 \times 9.50 = 902.50$ ; diferencia $503.50$ .

Manera 2: $148 - 95 = 53$ entradas más, cada una de $9.50$ : $53 \times 9.50 = 503.50$ . La misma respuesta — la diferencia de las recaudaciones es la recaudación de la diferencia.

Ejercicio 36.10 ★★

Una receta para $4$ personas necesita $300$ g de arroz. Alina cocina para $10$ personas. ¿Cuánto arroz necesita? (Primero por persona — se permiten decimales.)

Solución

Solución de Ejercicio 36.10.

Por persona: $300 \div 4 = 75$ g. Para diez: $10 \times 75 = 750$ g de arroz.

Ejercicio 36.11 ★★

Inventa un problema de tres pasos con dinero cuya respuesta final sea $5.50$ , escribe su solución completa al estilo del Método 36.1 y pruébalo con un compañero.

Solución

Solución de Ejercicio 36.11.

Hay muchos problemas correctos — por ejemplo: «Milo compra $3$ zumos a $1.20$ cada uno y un bocadillo de $3.40$ . Paga con un vale de $12.50$ . ¿Cuánto le queda del vale?» Solución: zumos, $3 \times 1.20 = 3.60$ ; total gastado $3.60 + 3.40 = 7$ ; queda $12.50 - 7 = 5.50$ .