Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

32División y múltiplos

La división larga aprendida en Capítulo 23 obtiene dos actualizaciones: divisores de dos dígitos y cocientes que continúan más allá del punto — $3 \div 4$ finalmente obtiene una respuesta, $0.75$ . El capítulo termina con múltiplos, divisores y los primeros atajos de divisibilidad.

32.1 Dividiendo por un número de dos dígitos

Método 32.1 (Divisores de dos dígitos)

Mismo método que antes, con una habilidad extra: adivinar cuántas veces El divisor encaja. Escribe una pequeña tabla de múltiplos del divisor. primero. Para $986 \div 23$ (múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ decenas: $23 \times 4 = 92$ encaja, $23 \times 5 = 115$ sí no: dígito $4$ , resto $6$ ;
baje el $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ se ajusta a: dígito $2$ , resto $20$ ;
cociente $42$ , resto $20$ . Comprobar: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Cocientes decimales

Ejemplo 32.2 (La división que se niega a detenerse en el resto)

Compartir pizzas $3$ entre niños $4$ : $3 \div 4$ tiene cociente $0$ y resto $3$ — ¡inútil! Continuar la división más allá del punto:

$3$ unidades $= 30$ décimas; $30 \div 4$ : $7$ décimas, resto $2$ décimas;
$2$ décimas $= 20$ centésimas; $20 \div 4 = 5$ centésimas, resto $0$ .

Entonces $3 \div 4 = 0.75$ : cada niño recibe pizza $0.75$ — tres cuarteles, como ya conocía el idioma fracción (Proposición 31.3).

Método 32.3 (Continuando una división más allá del punto)

Cuando se agotan las unidades y queda un resto:

escribe el coma decimal en el cociente;
agregue un cero al resto (las unidades se convierten en décimos, décimos convertirse en centésimas …) y seguir dividiendo;
se detiene cuando resto es $0$ — o cuando comienzan los dígitos repitiendo para siempre, como $1 \div 3 = 0.333\dots$ : luego dale un valor redondeado.

Ejemplo 32.4

$27 \div 6$ : cociente $4$ , resto $3$ ; punto; $30$ décimas $\div\ 6 = 5$ : entonces $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , resto $6$ ; entonces $60 \div 8 = 7$ r $4$ ; entonces $40 \div 8 = 5$ : entonces $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Múltiplos y divisores

Definición 32.5 (múltiplo, divisor)

Los múltiplos de $6$ son su tabla continuada para siempre: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Cuando $24$ es un múltiplo de $6$ , también se dice que $6$ es un divisor de $24$ , o que $24$ es divisible por $6$ : la división $24 \div 6$ no deja resto.

Proposición 32.6 (Atajos de divisibilidad)

Sin dividir, un número es divisible:

por $2$ cuando su último dígito sea $0$ , $2$ , $4$ , $6$ o $8$ (el números pares);
por $5$ cuando su último dígito sea $0$ o $5$ ;
por $10$ cuando su último dígito es $0$ ;
por $3$ cuando suma of its digits es divisible por $3$ (por ejemplo $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisible — y de hecho $741 = 3 \times 247$ ).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Los números 1 a 30: múltiplos de 2 y de 3 hacen patrones — y los números que llevan ambas marcas (6, 12, 18, 24, 30) son exactamente los múltiplos de 6. — Los números $1$ a $30$ : múltiplos de $2$ y de $3$ hacen patrones — y los números que llevan ambas marcas ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) son exactamente los múltiplos de $6$ .

Ejemplo 32.7

¿ $534$ es divisible por $2$ ? Termina en $4$ : sí. ¿Por $5$ ? No. ¿Por $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : sí. Entonces $534$ también es divisible por $6$ (por $2$ y por $3$ ) — comprobar: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Ceremonias

Ejercicio 32.1 ★

Calcule las divisiones largas (primero la tabla de múltiplos): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.1.

$851 \div 23$ : múltiplos de $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Luego $85 \div 23$ : $3$ veces ( $69$ ), resto $16$ ; baje el $1$ : $161 \div 23 = 7$ exactamente. Cociente $37$ , resto $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ veces ( $64$ ), resto $6$ ; traer abajo el $4$ : $64 \div 32 = 2$ . Cociente $22$ , resto $0$ .

Ejercicio 32.2 ★

Calcular el decimal exacto cocientes: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Ejercicio 32.3 ★

Cuatro amigos comparten a partes iguales la cuenta de un restaurante $54$ . cuanto cuesta cada uno paga? (Continúe más allá del punto.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : cada uno paga $13.50$ .

Ejercicio 32.4 ★

Calcule $10 \div 3$ , continuando tres dígitos más allá del punto. ¿Qué hacer? ¿observas? Da el valor redondeado a la centésima.

Solución

Solución de Ejercicio 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : el dígito $3$ se repite para siempre — el La división nunca se detiene. Redondeado a la centésima: $3.33$ .

Ejercicio 32.5 ★

Lista: el múltiplos de $7$ hasta $70$ ; el divisores de $18$ ; el divisores de $24$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.5.

Múltiplos of $7$ up to $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Divisores of $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Divisores of $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Ejercicio 32.6 ★

¿Divisible por $2$ ? por $5$ ? por $10$ ? por $3$ ? Pruebe cada atajo en: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.6.

$470$ : por $2$ (termina en $0$ ), por $5$ , por $10$ ; dígito suma $11$ : no por $3$ .

$735$ : termina en $5$ : por $5$ , no por $2$ ni $10$ ; dígito suma $15$ : por $3$ .

$8\,001$ : extraño; dígito suma $9$ : por $3$ únicamente.

$1\,314$ : incluso; dígito suma $9$ : por $2$ y por $3$ (por lo tanto, por $6$ ), no por $5$ .

Ejercicio 32.7 ★

Encuentra todos los números entre $60$ y $80$ que son divisibles por $3$ y por $5$ . (¿Qué divisibilidad única hace eso? combinar?)

Solución

Solución de Ejercicio 32.7.

Divisible por $3$ y $5$ significa divisible por $15$ : entre $60$ y $80$ , los números $60$ , $75$ .

Ejercicio 32.8 ★

Una cinta de $7.2$ m se corta en $6$ trozos iguales. cuanto mide cada uno pieza? (Dividir un decimal por un entero: compartir los metros, luego el décimas.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : cada pieza mide $1.2$ m (consultar: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Ejercicio 32.9 ★

Las canicas $1\,000$ se envasan en bolsas de $24$ . ¿Cuántas bolsas llenas y ¿Cuántas canicas quedan? (Dos dígitos divisor.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : cuarenta y una bolsas llenas, canicas $16$ izquierda.

Ejercicio 32.10 ★★

¿Pueden los amigos de $5$ compartir barras de chocolate $7$ por igual, sin dejar nada? Da cada acción como un decimal. Misma pregunta para compartir con amigos $7$ Barras $5$ — ¿Qué es diferente?

Solución

Solución de Ejercicio 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : cada uno de los amigos $5$ recibe barras $1.4$ — posible cortando barras en décimas. Para $5 \div 7$ : la división da $0.714285\dots$ , que nunca se detiene — sin porcentaje decimal exacto existe; sólo el fracción $\frac57$ lo nombra exactamente.

Ejercicio 32.11 ★★

Usando el atajo suma de dígitos, encuentre el dígito más pequeño $d$ que hace $52d$ (un número de tres dígitos que termina en $d$ ) divisible por $3$ . entonces encuentre todos esos dígitos $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.11.

Dígito suma: $5 + 2 + d = 7 + d$ . Divisible por $3$ cuando $7 + d$ es $9$ , $12$ o $15$ : $d = 2$ , $5$ o $8$ . El más pequeño es $d = 2$ (dando $522 = 3 \times 174$ ).