Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

32División y múltiplos

La división larga aprendida en el Capítulo 23 recibe dos mejoras: divisores de dos cifras y cocientes que continúan pasado el punto — $3 \div 4$ tiene por fin respuesta, $0.75$ . El capítulo termina con los múltiplos, los divisores y los primeros criterios de divisibilidad.

32.1 Dividir por un número de dos cifras

Método 32.1 (Divisores de dos cifras)

El mismo método de antes, con una habilidad más: adivinar cuántas veces cabe el divisor. Escribe primero una tablita de múltiplos del divisor. Para $986 \div 23$ (múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207):

$98$ decenas: $23 \times 4 = 92$ cabe y $23 \times 5 = 115$ no: cifra $4$ , resto $6$ ;
baja el $6$ : $66$ : $23 \times 2 = 46$ cabe: cifra $2$ , resto $20$ ;
cociente $42$ , resto $20$ . Comprobación: $23 \times 42 + 20 = 966 + 20 = 986$ .

32.2 Cocientes decimales

Ejemplo 32.2 (La división que se niega a parar en el resto)

Reparte $3$ pizzas entre $4$ niños: $3 \div 4$ tiene cociente $0$ y resto $3$ — ¡inútil! Sigue la división pasado el punto:

$3$ unidades $= 30$ décimas; $30 \div 4$ : $7$ décimas, resto $2$ décimas;
$2$ décimas $= 20$ centésimas; $20 \div 4 = 5$ centésimas, resto $0$ .

Así, $3 \div 4 = 0.75$ : cada niño recibe $0.75$ de pizza — tres cuartos, como ya sabía el lenguaje de las fracciones (Proposición 31.3).

Método 32.3 (Continuar una división pasado el punto)

Cuando se acaban las unidades y queda resto:

escribe el punto decimal en el cociente;
añade un cero al resto (las unidades pasan a décimas, las décimas a centésimas …) y sigue dividiendo;
para cuando el resto sea $0$ — o cuando las cifras empiecen a repetirse indefinidamente, como en $1 \div 3 = 0.333\dots$ : entonces da un valor redondeado.

Ejemplo 32.4

$27 \div 6$ : cociente $4$ , resto $3$ ; punto; $30$ décimas $\div\ 6 = 5$ : así, $27 \div 6 = 4.5$ . $22 \div 8$ : $2$ , resto $6$ ; luego $60 \div 8 = 7$ y resto $4$ ; luego $40 \div 8 = 5$ : así, $22 \div 8 = 2.75$ .

32.3 Múltiplos y divisores

Definición 32.5 (Múltiplo, divisor)

Los múltiplos de $6$ son su tabla continuada indefinidamente: $0, 6, 12, 18, 24, \dots$ Cuando $24$ es múltiplo de $6$ , también se dice que $6$ es un divisor de $24$ , o que $24$ es divisible entre $6$ : la división $24 \div 6$ no deja resto.

Proposición 32.6 (Criterios de divisibilidad)

Sin dividir, un número es divisible:

entre $2$ cuando su última cifra es $0$ , $2$ , $4$ , $6$ u $8$ (los números pares);
entre $5$ cuando su última cifra es $0$ o $5$ ;
entre $10$ cuando su última cifra es $0$ ;
entre $3$ cuando la suma de sus cifras es divisible entre $3$ (por ejemplo, $741$ : $7 + 4 + 1 = 12$ , divisible — y, en efecto, $741 = 3 \times 247$ ).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Los números del 1 al 30: los múltiplos de 2 y los de 3 dibujan patrones — y los números que llevan las dos marcas (6, 12, 18, 24, 30) son exactamente los múltiplos de 6. — Los números del $1$ al $30$ : los múltiplos de $2$ y los de $3$ dibujan patrones — y los números que llevan las dos marcas ( $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ ) son exactamente los múltiplos de $6$ .

Ejemplo 32.7

¿Es $534$ divisible entre $2$ ? Termina en $4$ : sí. ¿Entre $5$ ? No. ¿Entre $3$ ? $5 + 3 + 4 = 12$ : sí. Por tanto, $534$ también es divisible entre $6$ (entre $2$ y entre $3$ ) — comprobación: $534 = 6 \times 89$ .

32.4 Ejercicios

Ejercicio 32.1 ★

Calcula las divisiones largas (haz antes la tabla de múltiplos): $851 \div 23$ ; $704 \div 32$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.1.

$851 \div 23$ : múltiplos de $23$ : $23, 46, 69, 92, 115, 138, 161, 184, 207$ . Después $85 \div 23$ : $3$ veces ( $69$ ), resto $16$ ; baja el $1$ : $161 \div 23 = 7$ exactamente. Cociente $37$ , resto $0$ ( $23 \times 37 = 851$ ).

$704 \div 32$ : $70 \div 32$ : $2$ veces ( $64$ ), resto $6$ ; baja el $4$ : $64 \div 32 = 2$ . Cociente $22$ , resto $0$ .

Ejercicio 32.2 ★

Calcula los cocientes decimales exactos: $9 \div 2$ ; $27 \div 4$ ; $33 \div 5$ ; $21 \div 8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.2.

$9 \div 2 = 4.5$ ; $27 \div 4 = 6.75$ ; $33 \div 5 = 6.6$ ; $21 \div 8 = 2.625$ .

Ejercicio 32.3 ★

Cuatro amigos comparten a partes iguales una cuenta de restaurante de $54$ . ¿Cuánto paga cada uno? (Continúa pasado el punto.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.3.

$54 \div 4 = 13.5$ : cada uno paga $13.50$ .

Ejercicio 32.4 ★

Calcula $10 \div 3$ continuando tres cifras pasado el punto. ¿Qué observas? Da el valor redondeado a la centésima.

Solución

Solución de Ejercicio 32.4.

$10 \div 3 = 3.333\dots$ : la cifra $3$ se repite indefinidamente — la división no se acaba nunca. Redondeado a la centésima: $3.33$ .

Ejercicio 32.5 ★

Enumera: los múltiplos de $7$ hasta $70$ ; los divisores de $18$ ; los divisores de $24$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.5.

Múltiplos de $7$ hasta $70$ : $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70$ . Divisores de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Divisores de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ .

Ejercicio 32.6 ★

¿Divisible entre $2$ ? ¿Entre $5$ ? ¿Entre $10$ ? ¿Entre $3$ ? Prueba cada criterio con: $470$ ; $735$ ; $8\,001$ ; $1\,314$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.6.

$470$ : entre $2$ (termina en $0$ ), entre $5$ y entre $10$ ; suma de cifras $11$ : no entre $3$ .

$735$ : termina en $5$ : entre $5$ , no entre $2$ ni entre $10$ ; suma de cifras $15$ : entre $3$ .

$8\,001$ : impar; suma de cifras $9$ : solo entre $3$ .

$1\,314$ : par; suma de cifras $9$ : entre $2$ y entre $3$ (y, por tanto, entre $6$ ), no entre $5$ .

Ejercicio 32.7 ★

Halla todos los números entre $60$ y $80$ que son divisibles entre $3$ y entre $5$ . (¿Qué única divisibilidad resume esa combinación?)

Solución

Solución de Ejercicio 32.7.

Divisible entre $3$ y entre $5$ significa divisible entre $15$ : entre $60$ y $80$ , los números $60$ y $75$ .

Ejercicio 32.8 ★

Una cinta de $7.2$ m se corta en $6$ trozos iguales. ¿Cuánto mide cada trozo? (Divide un decimal entre un entero: reparte los metros y después las décimas.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.8.

$7.2 \div 6 = 1.2$ : cada trozo mide $1.2$ m (comprobación: $1.2 \times 6 = 7.2$ ).

Ejercicio 32.9 ★

Se empaquetan $1\,000$ canicas en bolsas de $24$ . ¿Cuántas bolsas se llenan y cuántas canicas sobran? (Divisor de dos cifras.)

Solución

Solución de Ejercicio 32.9.

$1\,000 = 24 \times 41 + 16$ : cuarenta y una bolsas llenas y sobran $16$ canicas.

Ejercicio 32.10 ★★

¿Pueden $5$ amigos repartirse $7$ tabletas de chocolate a partes iguales sin que sobre nada? Da la parte de cada uno como decimal. La misma pregunta para $7$ amigos que se reparten $5$ tabletas — ¿qué ocurre de distinto?

Solución

Solución de Ejercicio 32.10.

$7 \div 5 = 1.4$ : cada uno de los $5$ amigos recibe $1.4$ tabletas — es posible cortando las tabletas en décimos. Para $5 \div 7$ , la división da $0.714285\dots$ , que no se acaba nunca — no existe un reparto decimal exacto; solo la fracción $\frac57$ lo nombra con exactitud.

Ejercicio 32.11 ★★

Usando el criterio de la suma de cifras, halla la menor cifra $d$ que hace $52d$ (un número de tres cifras terminado en $d$ ) divisible entre $3$ . Después halla todas esas cifras $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 32.11.

Suma de cifras: $5 + 2 + d = 7 + d$ . Es divisible entre $3$ cuando $7 + d$ vale $9$ , $12$ o $15$ : $d = 2$ , $5$ u $8$ . La menor es $d = 2$ (que da $522 = 3 \times 174$ ).

Términos definidos en este capítulo

Múltiplo, divisor

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