Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

33Construcciones geométricas

Regla, escuadra y compás: con estas tres herramientas y un poco de método, cualquier figura descrita con palabras se puede construir con exactitud. Este capítulo construye perpendiculares, paralelas, triángulos y los cuadriláteros especiales — primero el oficio y después la teoría (Capítulos 40 y 41).

33.1 Perpendiculares y paralelas por un punto

Método 33.1 (Las dos construcciones básicas)

Perpendicular a $d$ por $A$ : desliza la escuadra a lo largo de $d$ hasta que su otro borde del ángulo recto alcance $A$ ; traza y marca el ángulo recto.

Paralela a $d$ por $A$ : aprieta una regla contra la escuadra a modo de raíl, apoyada sobre $d$ ; desliza la escuadra hasta $A$ y traza. (Comprobación: la separación entre las dos rectas es la misma en todas partes.)

Ejemplo 33.2 (Encadenar construcciones)

Muchas figuras son cadenas de estos dos movimientos. Un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm: traza $[AB]$ ; perpendicular en $A$ ; perpendicular en $B$ ; marca $D$ y $C$ a $3$ cm del mismo lado; une. Cada paso es una construcción básica.

33.2 Triángulos con el compás

Método 33.3 (Triángulo a partir de tres lados)

Para construir un triángulo de lados $6$ cm, $5$ cm y $4$ cm:

traza el lado más largo, $[AB]$ con $AB = 6$ cm;
arco de centro $A$ y radio $5$ cm;
arco de centro $B$ y radio $4$ cm;
su cruce es el tercer vértice $C$ ; une.

El compás garantiza las longitudes: todos los puntos del primer arco están exactamente a $5$ cm de $A$ .

Dos arcos, un cruce: el triángulo 6–5–4 construido con el compás. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que la base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en el .) — Dos arcos, un cruce: el triángulo $6$ – $5$ – $4$ construido con el compás. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que la base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en el Capítulo 51.)

Ejemplo 33.4 (Isósceles y equilátero, de regalo)

Con la misma abertura del compás para los dos arcos $\Rightarrow$ triángulo isósceles. Con la abertura igual a la base $\Rightarrow$ equilátero. El compás no mide: copia longitudes, que es todavía mejor.

33.3 Los cuadriláteros especiales, por construcción

Método 33.5 (Construir la familia)

Rectángulo: dos pares de paralelas que se cortan en ángulos rectos — o la cadena del Ejemplo 33.2;
cuadrado: un rectángulo cuyos cuatro lados usan la misma longitud — llévala con el compás;
rombo: cuatro lados iguales — traza un lado y, con dos arcos de compás desde sus extremos con la misma abertura, quedan fijados los otros dos vértices (un rombo son dos triángulos isósceles pegados por una diagonal).

Después de construir, comprueba siempre con las herramientas: la escuadra en las esquinas y el compás en los lados.

Ejemplo 33.6 (Reconocer a partir de una descripción)

«Un cuadrilátero con cuatro lados de $4$ cm y un ángulo recto» — constrúyelo: los cuatro lados iguales obligan a que sea un rombo, y forzar una esquina a ángulo recto endereza todas las demás: el resultado es un cuadrado. Algunas descripciones describen en secreto una figura más especial de lo que anuncian. (Por qué el ángulo recto se contagia a las cuatro esquinas se explica en el Capítulo 52.)

33.4 Circunferencias en las construcciones

Ejemplo 33.7 (La circunferencia como herramienta)

«Halla todos los puntos que están a $3$ cm de $A$ »: la circunferencia de centro $A$ y radio $3$ cm. «Halla todos los puntos que están a $3$ cm de $A$ y a $4$ cm de $B$ »: traza las dos circunferencias; sus cruces (dos, uno o cero puntos) son las respuestas. Los mapas del tesoro y las construcciones de triángulos usan exactamente esta idea.

33.5 Ejercicios

Ejercicio 33.1 ★

Traza una recta $d$ y un punto $A$ a unos $3$ cm de ella. Construye la perpendicular a $d$ por $A$ y después la paralela a $d$ por $A$ . Marca los ángulos rectos.

Solución

Solución de Ejercicio 33.1.

Las dos construcciones siguen el Método 33.1; la perpendicular y la paralela por $A$ son a su vez perpendiculares entre sí.

Ejercicio 33.2 ★

Construye un rectángulo $ABCD$ con $AB = 7$ cm y $BC = 4$ cm, siguiendo el Ejemplo 33.2. Comprueba el cuarto ángulo con la escuadra: si la construcción es exacta, sale recto automáticamente.

Solución

Solución de Ejercicio 33.2.

Cadena de perpendiculares como en el Ejemplo 33.2. Si los tres ángulos construidos son exactamente rectos y las longitudes exactas, el cuarto ángulo no tiene más remedio que ser recto también — un rectángulo bien construido se comprueba solo.

Ejercicio 33.3 ★

Construye un triángulo de lados $7$ cm, $6$ cm y $3$ cm (Método 33.3).

Solución

Solución de Ejercicio 33.3.

Base $[AB]$ de $7$ cm; arcos de radios $6$ cm (desde $A$ ) y $3$ cm (desde $B$ ); el cruce es $C$ .

Ejercicio 33.4 ★

Construye un triángulo isósceles de base $5$ cm y lados iguales de $7$ cm; después un triángulo equilátero de lado $6$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 33.4.

Isósceles: base $5$ cm y los dos arcos con la misma abertura de $7$ cm. Equilátero: base $6$ cm y los dos arcos con abertura de $6$ cm.

Ejercicio 33.5 ★

Construye un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Qué herramientas garantizan los ángulos rectos? ¿Cuáles garantizan los lados iguales?

Solución

Solución de Ejercicio 33.5.

La escuadra garantiza los ángulos rectos; el compás (o la regla) lleva el lado de $5$ cm a los cuatro lados.

Ejercicio 33.6 ★

Construye un rombo de lado $4$ cm que no sea un cuadrado (elige tú la abertura de la primera esquina). Comprueba los cuatro lados con el compás.

Solución

Solución de Ejercicio 33.6.

Traza un lado $[AB]$ de $4$ cm, elige una dirección para $[AD]$ (no perpendicular, para evitar el cuadrado), con $AD = 4$ cm; después, los arcos de $4$ cm desde $B$ y desde $D$ se cortan en $C$ . El compás confirma los cuatro lados iguales.

Ejercicio 33.7 ★

Traza dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 5$ cm. Construye todos los puntos que están a $4$ cm de $A$ y a $3$ cm de $B$ . ¿Cuántos hay?

Solución

Solución de Ejercicio 33.7.

La circunferencia de centro $A$ y radio $4$ cm y la de centro $B$ y radio $3$ cm se cortan en dos puntos (uno encima y otro debajo de la recta $(AB)$ ), porque $4 + 3 > 5$ y las circunferencias se solapan.

Ejercicio 33.8 ★

Escribe un programa de construcción (pasos numerados, puntos con nombre) para un rectángulo de $6$ cm $\times$ $2$ cm rematado por un triángulo isósceles de lados iguales de $4$ cm (la forma de un lápiz). Haz que un compañero lo ejecute.

Solución

Solución de Ejercicio 33.8.

Un programa correcto: «1. Traza un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. Traza dos arcos de radio $4$ cm centrados en $D$ y en $C$ (las esquinas superiores); llama $S$ a su cruce por encima del rectángulo. 3. Traza $[DS]$ y $[CS]$ .» (La punta del lápiz es el triángulo isósceles $DSC$ .)

Ejercicio 33.9 ★★

Intenta construir un triángulo de lados $8$ cm, $3$ cm y $4$ cm. ¿Qué pasa con los arcos? Explica en una frase por qué ese triángulo no puede existir.

Solución

Solución de Ejercicio 33.9.

Los arcos de radios $3$ cm y $4$ cm, trazados desde los dos extremos de la base de $8$ cm, no se encuentran nunca: ni siquiera puestos en fila, $3 + 4 = 7$ cm llegan a cubrir $8$ cm. Dos lados juntos tienen que ser siempre más largos que el tercero — si no, el triángulo no cierra.

Ejercicio 33.10 ★★

Construye un rombo cuyas diagonales midan $6$ cm y $4$ cm, sabiendo que las diagonales de un rombo se cortan en sus puntos medios formando un ángulo recto: traza primero las diagonales y une después sus cuatro extremos.

Solución

Solución de Ejercicio 33.10.

Traza un segmento de $6$ cm y su punto medio $O$ ; traza la perpendicular en $O$ ; marca sobre ella dos puntos a $2$ cm de $O$ (uno a cada lado); une los cuatro extremos en orden. El compás confirma los cuatro lados iguales.

Ejercicio 33.11 ★★

Una cabra está atada a una estaca $A$ con una cuerda de $4$ m, en un prado llano con una valla recta que pasa a $3$ m de $A$ . Dibuja un plano (1 cm por metro): ¿qué región puede alcanzar la cabra? ¿Dónde la limita la valla?

Solución

Solución de Ejercicio 33.11.

En el plano, la cabra alcanza el disco de centro $A$ y radio $4$ cm, cortado por la línea de la valla a $3$ cm de $A$ : su región es el disco menos el casquete que queda al otro lado de la valla. A lo largo de la valla puede pastar en un segmento (donde la circunferencia corta a la línea de la valla); más allá, nada.