Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

33Construcciones Geométricas

Regla, escuadra, compás: con estas tres herramientas y un poco de método, cualquier figura descrita con palabras se puede construir exactamente. esto construcciones del capítulo perpendiculares, paralelas, triángulos y el especial cuadriláteros — artesanía primero, teoría después (Capítulos 40 y 41).

33.1 Perpendiculares y paralelas que pasan por un punto.

Método 33.1 (Las dos construcciones básicas)

Perpendicular to $d$ through $A$ : deslizar la escuadra a lo largo $d$ hasta que su otro borde en ángulo recto llegue a $A$ ; dibujar; marcar el ángulo recto.

Paralelo to $d$ through $A$ : presionar una regla contra el conjunto cuadrado como un riel colocado a lo largo de $d$ ; deslice la escuadra hasta $A$ ; dibujar. (Compruebe: el espacio entre las dos líneas es el mismo en todas partes.)

Ejemplo 33.2 (Encadenamiento de construcciones)

Muchas figuras son cadenas de estos dos movimientos. Un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm: dibujar $[AB]$ ; perpendicular en $A$ ; perpendicular en $B$ ; marcar $D$ y $C$ en $3$ cm en el mismo lado; unirse. Cada paso es una construcción básica.

33.2 Triángulos con el compás

Método 33.3 (Triangulo de tres lados)

Para construir un triángulo con lados $6$ cm, $5$ cm, $4$ cm:

dibuja el lado más largo, $[AB]$ con $AB = 6$ cm;
arco de centro $A$ y radio $5$ cm;
arco de centro $B$ y radio $4$ cm;
su cruce es el tercero vértice $C$ ; unirse.

La brújula garantiza las longitudes: cada punto del primer arco es exactamente a $5$ cm de $A$ .

Dos arcos, un cruce: el triángulo 6–5–4 construido con la brújula. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que el base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en .) — Dos arcos, un cruce: el triángulo $6$ – $5$ – $4$ construido con la brújula. (Si los dos lados cortos juntos fueran más cortos que el base, los arcos no se encontrarían — más sobre esto en Capítulo 51.)

Ejemplo 33.4 (Isósceles y equiláteros gratis)

Misma apertura del compás para ambos arcos $\Rightarrow$ triángulo isósceles. Apertura igual a la base $\Rightarrow$ equilátera. la brújula no mide: mide copias, lo cual es aún mejor.

33.3 Los cuadriláteros especiales, por construcción.

Método 33.5 (Construyendo la familia)

Rectángulo: dos pares de paralelas cruzando en correcto ángulos — o la cadena de Ejemplo 33.2;
cuadrado: un rectángulo cuyos cuatro lados usan el mismo longitud — llévalo con la brújula;
rombo: cuatro lados iguales — dibuja un lado, luego dos arcos de compás desde sus extremos con la misma abertura fijan el otros dos vértices (un rombo son dos triángulos isósceles pegado a lo largo de una diagonal).

Después de construir, siempre controlar con las herramientas: coloque la escuadra en las esquinas, compás en los lados.

Ejemplo 33.6 (Reconocer por una descripción)

“A cuadrilátero con cuatro lados $4$ cm y un ángulo recto” — construirlo: los cuatro lados iguales fuerzan una forma de rombo, y presionando una esquina de un ángulo recto endereza todas las demás: el resultado es un cuadrado. Algunas descripciones describen en secreto algo más especial. forma de la que anuncian. (¿Por qué el ángulo recto se propaga a los cuatro Las esquinas se explican en Capítulo 52.)

33.4 Círculos en construcciones.

Ejemplo 33.7 (El círculo como herramienta)

“Encontrar todos los puntos en $3$ cm desde $A$ ”: el círculo del centro $A$ , radio $3$ cm. “Encontrar todos los puntos en $3$ cm desde $A$ y $4$ cm de $B$ ”: dibujar ambos círculos; sus cruces (dos, uno o cero puntos) son las respuestas. Mapas del tesoro y triángulo. Las construcciones utilizan exactamente esta idea.

33.5 Ceremonias

Ejercicio 33.1 ★

Dibuja una línea $d$ y un punto $A$ a aproximadamente $3$ cm de ella. construir del perpendicular al $d$ al $A$ , luego del paralelo al $d$ hasta $A$ . Marque el ángulos rectos.

Solución

Solución de Ejercicio 33.1.

Ambas construcciones siguen Método 33.1; el perpendicular y paralelo a $A$ son ellos mismos perpendicular entre sí.

Ejercicio 33.2 ★

Construya un rectángulo $ABCD$ con $AB = 7$ cm y $BC = 4$ cm, siguiente Ejemplo 33.2. Comprueba el cuarto ángulo con La escuadra: si la construcción es exacta, es correcta automáticamente.

Solución

Solución de Ejercicio 33.2.

Cadena de perpendiculares como en Ejemplo 33.2. si el tres ángulos construidos son exactamente correctos y las longitudes exactas, el El cuarto ángulo no tiene más remedio que tener razón también — un bien construido El rectángulo se comprueba solo.

Ejercicio 33.3 ★

Construye un triángulo con lados $7$ cm, $6$ cm y $3$ cm. (Método 33.3).

Solución

Solución de Ejercicio 33.3.

Base $[AB]$ de $7$ cm; arcos de radios $6$ cm (de $A$ ) y $3$ cm (de $B$ ); el cruce es $C$ .

Ejercicio 33.4 ★

Construye un triángulo isósceles con base $5$ cm y lados iguales de $7$ cm; luego un triángulo equilátero de lado $6$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 33.4.

Isósceles: base $5$ cm, ambos arcos con la misma apertura $7$ cm. Equilátero: base $6$ cm, ambos arcos con la abertura $6$ cm.

Ejercicio 33.5 ★

Construye un cuadrado de lado $5$ cm. ¿Qué herramientas garantizan el correcto ángulos? ¿Cuáles garantizan los lados iguales?

Solución

Solución de Ejercicio 33.5.

La escuadra garantiza el ángulos rectos; la brújula (o el regla) lleva el lado $5$ cm a los cuatro lados.

Ejercicio 33.6 ★

Construye un rombo de lado $4$ cm que no sea un cuadrado (elige tu propia apertura para la primera curva). Verifique los cuatro lados con el brújula.

Solución

Solución de Ejercicio 33.6.

Dibuja un lado $[AB]$ de $4$ cm, elige una dirección para $[AD]$ (no perpendicular, para evitar el cuadrado), $AD = 4$ cm; luego arcos de $4$ cm de $B$ y de $D$ cruzan en $C$ . La brújula confirma la cuatro lados iguales.

Ejercicio 33.7 ★

Dibuja dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 5$ cm. Construir todos los puntos que están en $4$ cm de $A$ y en $3$ cm de $B$ . cuantos son ahí?

Solución

Solución de Ejercicio 33.7.

El círculo de centro $A$ , radio $4$ cm y el círculo de centro $B$ , radio $3$ cm, cruz en puntos dos (uno arriba, uno abajo la línea $(AB)$ ), porque $4 + 3 > 5$ y los círculos se superponen.

Ejercicio 33.8 ★

Escriba un programa de construcción (pasos numerados, puntos con nombre) para un rectángulo $6$ cm $\times$ $2$ cm rematado por un triángulo isósceles con lados iguales $4$ cm (forma de lápiz). Haz que un compañero ejecute eso.

Solución

Solución de Ejercicio 33.8.

Un programa correcto: “1. Dibuja un rectángulo $ABCD$ con $AB = 6$ cm (abajo) y $BC = 2$ cm. 2. Dibujar dos arcos de radio $4$ cm centrados en $D$ y $C$ (las esquinas superiores); nombre $S$ su cruce arriba el rectángulo. 3. Dibuja $[DS]$ y $[CS]$ .” (La punta del lápiz es el triángulo isósceles $DSC$ .)

Ejercicio 33.9 ★★

Intenta construir un triángulo con lados $8$ cm, $3$ cm y $4$ cm. ¿Qué pasa con los arcos? Explica en una frase por qué esto El triángulo no puede existir.

Solución

Solución de Ejercicio 33.9.

Los arcos de radios $3$ cm y $4$ cm, dibujados desde los dos extremos del $8$ cm de base, nunca se juntan: incluso de extremo a extremo, $3 + 4 = 7$ cm no puede estirar a lo largo de $8$ cm. Dos lados juntos siempre deben ser más largos que el tercero — de lo contrario el triángulo no puede cerrarse.

Ejercicio 33.10 ★★

Construya un rombo cuyas diagonales midan $6$ cm y $4$ cm, sabiendo que las diagonales de un rombo se cruzan en sus centros en un ángulo recto: dibuja las diagonales primero, luego une sus cuatro termina.

Solución

Solución de Ejercicio 33.10.

Dibujar un segmento de $6$ cm y su punto medio $O$ ; dibujar el perpendicular en $O$ ; marque en él dos puntos en $2$ cm desde $O$ (uno a cada lado); unir los cuatro puntos finales en orden. la brújula confirma los cuatro lados iguales.

Ejercicio 33.11 ★★

Una cabra está atada a una estaca $A$ mediante una cuerda de $4$ m, en un terreno llano con una valla recta que pasa por $3$ m desde $A$ . Dibujar un plano (1 cm por metro): ¿a qué región puede llegar la cabra? ¿Dónde limita la valla? eso?

Solución

Solución de Ejercicio 33.11.

En el plano, la cabra llega al disco del centro $A$ y radio. $4$ cm, cortada por la valla en $3$ cm de $A$ : su región es el disco menos la astilla más allá de la valla. A lo largo de la valla ella puede pastar en un segmento (donde el círculo cruza la línea de la cerca); más allá, nada.