Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

45Jerarquía de las operaciones

¿Cuánto vale $3 + 4 \times 5$ ? Si calculas de izquierda a derecha obtienes $35$ ; si multiplicas primero obtienes $23$ . Las matemáticas necesitan una única respuesta, así que hay reglas de tráfico para los cálculos — las prioridades. Este capítulo las enuncia y presenta una primera identidad algebraica, la distributividad.

45.1 Las reglas de prioridad

Teorema 45.1 (Reglas de prioridad)

En un cálculo sin paréntesis:

las multiplicaciones y las divisiones se hacen antes que las sumas y las restas;
las operaciones del mismo nivel se hacen de izquierda a derecha.

Los paréntesis mandan sobre todo lo demás: lo que hay dentro de un paréntesis se calcula primero, empezando por los más interiores.

Ejemplo 45.2

Un paso por línea, subrayando (mentalmente) lo que se calcula:

\begin{align*} 3 + 4 \times 5 &= 3 + 20 = 23 &&\text{(primero la multiplicación)}\\ 20 - 8 + 2 &= 12 + 2 = 14 &&\text{(mismo nivel: de izquierda a derecha)}\\ 18 \div 3 \times 2 &= 6 \times 2 = 12 &&\text{(mismo nivel: de izquierda a derecha)}\\ (3 + 4) \times 5 &= 7 \times 5 = 35 &&\text{(primero los paréntesis).} \end{align*}

Fíjate en las trampas: $20 - 8 + 2$ no es $20 - 10$ , y $18 \div 3 \times 2$ no es $18 \div 6$ .

Ejemplo 45.3 (Paréntesis anidados)

\begin{align*} 50 - 2 \times \bigl(3 + (10 - 4)\bigr) &= 50 - 2 \times (3 + 6) && \text{(el paréntesis interior)}\\ &= 50 - 2 \times 9 && \text{(el paréntesis restante)}\\ &= 50 - 18 && \text{(la multiplicación)}\\ &= 32 . \end{align*}

Observación 45.4 (La barra de fracción esconde paréntesis)

La barra de una fracción agrupa su numerador y su denominador, como si cada uno llevara paréntesis invisibles:

\frac{12 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5, \qquad\text{y no}\quad 12 + \frac{8}{4} = 14 .

Método 45.5 (Calcular sin errores)

localiza la operación que hay que hacer primero (los paréntesis más interiores, luego $\times$ y $\div$ , y luego $+$ y $-$ );
calcula solo esa y reescribe la expresión entera con el resultado en su sitio;
repite hasta que quede un solo número — una operación por línea, sin atajos.

45.2 La distributividad

Teorema 45.6 (Distributividad)

Para todos los números $k$ , $a$ y $b$ :

k \times (a + b) = k \times a + k \times b, \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b .

Demostración con un dibujo. Cuenta el área de un rectángulo de ancho $k$ partido en dos rectángulos menores de largos $a$ y $b$ : entero vale $k \times (a+b)$ ; en dos partes vale $k \times a + k \times b$ . El mismo rectángulo, la misma área. ∎

La distributividad como áreas: el rectángulo grande k × (a + b) es la suma de los dos pequeños. — La distributividad como áreas: el rectángulo grande $k \times (a + b)$ es la suma de los dos pequeños.

Ejemplo 45.7 (Los dos sentidos)

Desarrollar (de izquierda a derecha) facilita el cálculo mental:

7 \times 103 = 7 \times (100 + 3) = 700 + 21 = 721, \qquad 6 \times 98 = 6 \times (100 - 2) = 600 - 12 = 588 .

Factorizar (de derecha a izquierda) saca un factor común:

23 \times 12 + 23 \times 8 = 23 \times (12 + 8) = 23 \times 20 = 460 .

Ejemplo 45.8 (Traducir palabras a un cálculo)

«La suma de $8$ y el producto de $5$ por $3$ » es $8 + 5 \times 3 = 23$ . «El producto de $5$ por la suma de $8$ y $3$ » es $5 \times (8 + 3) = 55$ : las palabras «el producto de … por la suma de…» ponen paréntesis alrededor de la suma.

45.3 Ejercicios

Ejercicio 45.1 ★

Calcula, una operación por línea:

5 + 3 \times 6, \qquad (5 + 3) \times 6, \qquad 30 - 12 \div 4, \qquad (30 - 12) \div 4 .

Solución

Solución de Ejercicio 45.1.

$5 + 3 \times 6 = 5 + 18 = 23$ .

$(5 + 3) \times 6 = 8 \times 6 = 48$ .

$30 - 12 \div 4 = 30 - 3 = 27$ .

$(30 - 12) \div 4 = 18 \div 4 = 4.5$ .

Ejercicio 45.2 ★

Calcula:

24 - 6 + 2, \qquad 24 \div 6 \times 2, \qquad 24 - 6 \times 2, \qquad 24 \div (6 \times 2).

Solución

Solución de Ejercicio 45.2.

$24 - 6 + 2 = 18 + 2 = 20$ (de izquierda a derecha).

$24 \div 6 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ (de izquierda a derecha).

$24 - 6 \times 2 = 24 - 12 = 12$ (primero la multiplicación).

$24 \div (6 \times 2) = 24 \div 12 = 2$ .

Ejercicio 45.3 ★

Calcula paso a paso:

7 + 3 \times (10 - 6), \qquad 40 - (2 + 3) \times 4, \qquad 60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr).

Solución

Solución de Ejercicio 45.3.

$7 + 3 \times (10 - 6) = 7 + 3 \times 4 = 7 + 12 = 19$ .

$40 - (2 + 3) \times 4 = 40 - 5 \times 4 = 40 - 20 = 20$ .

$60 \div \bigl(2 \times (7 - 4)\bigr) = 60 \div (2 \times 3) = 60 \div 6 = 10$ .

Ejercicio 45.4 ★

Calcula las fracciones (¡paréntesis invisibles!):

\frac{18 + 6}{8}, \qquad \frac{30}{7 - 2}, \qquad \frac{5 \times 8}{4 + 6} .

Solución

Solución de Ejercicio 45.4.

$\dfrac{18 + 6}{8} = \dfrac{24}{8} = 3$ ; $\dfrac{30}{7 - 2} = \dfrac{30}{5} = 6$ ; $\dfrac{5 \times 8}{4 + 6} = \dfrac{40}{10} = 4$ .

Ejercicio 45.5 ★

Usa la distributividad para calcular de cabeza:

8 \times 102, \qquad 25 \times 99, \qquad 14 \times 12 + 14 \times 8, \qquad 37 \times 45 - 37 \times 35 .

Solución

Solución de Ejercicio 45.5.

$8 \times 102 = 8 \times (100 + 2) = 800 + 16 = 816$ .

$25 \times 99 = 25 \times (100 - 1) = 2500 - 25 = 2475$ .

$14 \times 12 + 14 \times 8 = 14 \times (12 + 8) = 14 \times 20 = 280$ .

$37 \times 45 - 37 \times 35 = 37 \times (45 - 35) = 37 \times 10 = 370$ .

Ejercicio 45.6 ★

Escribe el cálculo en una sola línea, con paréntesis donde haga falta, y calcúlalo: «la diferencia de $50$ y el producto de $6$ por $7$ »; «el producto de la suma de $4$ y $5$ por la diferencia de $10$ y $8$ ”.

Solución

Solución de Ejercicio 45.6.

«La diferencia de $50$ y el producto de $6$ por $7$ »: $50 - 6 \times 7 = 50 - 42 = 8$ (no hacen falta paréntesis, la jerarquía hace el trabajo).

«El producto de la suma de $4$ y $5$ por la diferencia de $10$ y $8$ ”: $(4 + 5) \times (10 - 8) = 9 \times 2 = 18$ .

Ejercicio 45.7 ★

Amir compró $3$ cuadernos a $2.50$ cada uno y $2$ bolígrafos a $1.20$ cada uno. Escribe su total en una sola expresión y calcúlalo después.

Solución

Solución de Ejercicio 45.7.

$3 \times 2.50 + 2 \times 1.20 = 7.50 + 2.40 = 9.90$ euros.

Ejercicio 45.8 ★★

Coloca paréntesis en $4 + 2 \times 5 - 1$ para que el resultado sea: (a) $13$ ; (b) $29$ ; (c) $24$ . (Uno de los tres no necesita ningún paréntesis — ¿cuál?)

Solución

Solución de Ejercicio 45.8.

(a) sin paréntesis: $4 + 2 \times 5 - 1 = 4 + 10 - 1 = 13$ .

(b) $(4 + 2) \times 5 - 1 = 30 - 1 = 29$ .

Ejercicio 45.9 ★★

¿Son $12 + 4 \times k$ y $16 \times k$ lo mismo para todo número $k$ ? Pruébalo con $k = 1$ y $k = 2$ y saca una conclusión. ¿Qué error de prioridad llevaría de uno al otro?

Solución

Solución de Ejercicio 45.9.

$k = 1$ : $12 + 4 \times 1 = 16$ y $16 \times 1 = 16$ — coinciden (¡por eso $k = 1$ es una mala prueba!). $k = 2$ : $12 + 4 \times 2 = 20$ pero $16 \times 2 = 32$ : distintos. Así que las dos expresiones no son iguales en general. El error $12 + 4 \times k = 16 \times k$ viene de sumar primero $12 + 4$ , ignorando la prioridad de $\times$ .

Ejercicio 45.10 ★★

Una entrada de cine cuesta $9$ euros, pero un grupo de $n$ personas paga una tarifa fija de $12$ euros más $6$ euros por persona.

escribe una expresión para el precio del grupo y calcúlalo para $n = 5$ .
¿a partir de cuántas personas sale más barata la tarifa de grupo que $n$ entradas individuales? (Prueba con algunos valores de $n$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 45.10.

1. Precio de grupo: $12 + 6 \times n$ . Para $n = 5$ : $12 + 30 = 42$ euros.

2. Precio individual: $9n$ . Comparación: $n = 3$ : $30$ frente a $27$ (sale mejor individual); $n = 4$ : $36$ frente a $36$ (igual); $n = 5$ : $42$ frente a $45$ (gana el grupo). A partir de $5$ personas gana la tarifa de grupo (cada persona de más cuesta $6$ en vez de $9$ , así que la diferencia solo crece).

Ejercicio 45.11 ★★★

Usando cada una de las cifras $1$ , $2$ , $3$ y $4$ exactamente una vez, las cuatro operaciones y todos los paréntesis que quieras, escribe expresiones iguales a $24$ , a $10$ y a $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 45.11.

Respuestas posibles (hay muchas):

24 = 1 \times 2 \times 3 \times 4, \qquad 10 = 1 + 2 + 3 + 4, \qquad 1 = (4 - 3) \times (2 - 1).

45.4 Problema: Multiplicar como un escriba egipcio

Problema 45.1

Problema de fin de semana — trucos de cálculo mental que salen de la distributividad, y la multiplicación por duplicación y mitades usada durante cuatro mil años

Mucho antes de las calculadoras — y antes de que las tablas de multiplicar se machacaran en la escuela —, los escribas egipcios y los campesinos rusos multiplicaban dos números cualesquiera usando solo duplicar, partir por la mitad y sumar. Su método parece magia; en realidad es la distributividad (Teorema 45.6) trabajando a pleno rendimiento. Este problema afila tu cálculo mental, después te enseña el método antiguo y luego levanta el capó para ver exactamente por qué funciona.

Parte I — El arte de no calcular.

calcula de cabeza, desarrollando como en el Ejemplo 45.7: $7 \times 102$ y $9 \times 98$ ;
calcula de cabeza, factorizando: $17 \times 13 + 17 \times 7$ y $45 \times 101 - 45$ .
el truco del «por $5$ »: para multiplicar por $5$ , multiplica por $10$ y parte por la mitad. Calcula $5 \times 87$ así y explica por qué el truco es legítimo;
dos trucos más para justificar y usar: multiplicar por $25$ multiplicando por $100$ y dividiendo entre $4$ (calcula $25 \times 32$ ); multiplicar por $99$ multiplicando por $100$ y restando una vez (calcula $99 \times 47$ );
un aviso: la distributividad reparte un factor sobre una suma, nunca sobre un producto. Compara $8 \times (5 + 3)$ con $8 \times 5 + 8 \times 3$ , y después $8 \times (5 \times 3)$ con $(8 \times 5) \times (8 \times 3)$ : ¿qué pareja coincide y cuál no?

Parte II — El método de duplicar y partir por la mitad. Esta es la receta para $13 \times 24$ . Escribe dos columnas. Columna izquierda: empieza en $13$ y parte por la mitad, tirando cualquier resto, hasta llegar a $1$ : $13,\ 6,\ 3,\ 1$ . Columna derecha: empieza en $24$ y duplica otras tantas veces: $24,\ 48,\ 96,\ 192$ . Tacha todas las filas cuyo número de la izquierda sea par y suma los números de la derecha que sobrevivan.

aplica la receta a $13 \times 24$ : ¿qué fila se tacha, qué suma queda y coincide con $13 \times 24$ ?
multiplica $21 \times 17$ con el método (parte $21$ por la mitad y duplica $17$ ) y comprueba la respuesta con la multiplicación ordinaria;
multiplica $16 \times 25$ con el método. ¿Cuántas filas sobreviven y qué tiene de especial una columna izquierda que empieza en $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16, \dots$ ?
ahora, por qué funciona, paso a paso. Justifica cada igualdad con la distributividad:

$13 \times 24 = (12 + 1) \times 24 = 12 \times 24 + 24 = 6 \times 48 + 24 .$

Moraleja: partir por la mitad la izquierda y duplicar la derecha conserva el producto — pero, cuando el número de la izquierda es impar, se desgaja una copia del número de la derecha que hay que guardar. ¿Qué número guarda la primera fila de la tabla?
sigue la contabilidad tabla abajo: $6 \times 48 = 3 \times 96$ , después $3 \times 96 = 1 \times 192 + 96$ , después $1 \times 192 = 192$ . Reúne todo lo que se ha ido guardando por el camino y explica por qué los números guardados son exactamente los de la columna derecha de las filas con izquierda impar — las filas que la receta conserva.

Parte III — Bajo el capó: sumas de duplicaciones.

en la pregunta 6, las filas supervivientes valían $1$ , $4$ y $8$ duplicaciones de $24$ : el método escribió en silencio $13 \times 24 = (1 + 4 + 8) \times 24$ . Comprueba que $1 + 4 + 8 = 13$ y halla qué duplicaciones ( $1$ , $2$ , $4$ , $8$ , $16$ ) conservó el método para $21$ en la pregunta 7;
escribe $25$ y $42$ como sumas de números de la lista de duplicaciones $1, 2, 4, 8, 16, 32$ , usando cada uno como mucho una vez;
explica por qué todo número entero se puede escribir así: toma el mayor número de duplicación que quepa, resta y repite — ¿por qué tiene que pararse esto? Escribe $100$ como una suma así;
los escribas de Egipto hacían exactamente esto hace cuatro mil años: para multiplicar $19 \times 35$ , hacían una tabla de duplicaciones de $35$ ( $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ ), elegían las filas que sumaban $19$ y las sumaban. Haz el cálculo a su manera;
final: los ordenadores modernos, que cuentan con $0$ y $1$ , multiplican esencialmente como los escribas — a base de duplicaciones y sumas. ¿Qué tres sumas haría un ordenador para $13 \times 24$ ? (Por qué todo número se descompone en duplicaciones, y qué tienen que ver los $0$ y los $1$ con ello, es el problema de fin de semana del capítulo de las potencias: Problema 56.1.)

Solución

Solución de Problema 45.1.

1. $7 \times 102 = 7 \times (100 + 2) = 700 + 14 = 714$ ; $9 \times 98 = 9 \times (100 - 2) = 900 - 18 = 882$ .

2. $17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340$ ; $45 \times 101 - 45 = 45 \times (101 - 1) = 45 \times 100 = 4\,500$ .

3. $5 \times 87 = 870 \div 2 = 435$ . Legitimidad: $5 = 10 \div 2$ , así que multiplicar por $5$ es multiplicar por $10$ y después dividir entre $2$ (el orden de $\times$ y $\div$ , del mismo nivel y de izquierda a derecha, hace el resto).

4. $25 \times 32 = 3\,200 \div 4 = 800$ , porque $25 = 100 \div 4$ . Y $99 \times 47 = (100 - 1) \times 47 = 4\,700 - 47 = 4\,653$ : la distributividad sobre la diferencia (Teorema 45.6).

5. $8 \times (5 + 3) = 64$ y $8 \times 5 + 8 \times 3 = 40 + 24 = 64$ : coinciden — eso es la distributividad. Pero $8 \times (5 \times 3) = 8 \times 15 = 120$ , mientras que $(8 \times 5) \times (8 \times 3) = 40 \times 24 = 960$ : no coinciden. El factor se reparte sobre los términos de una suma, no sobre los factores de un producto.

$13$	$24$	se conserva ( $13$ impar)
$6$	$48$	se tacha ( $6$ par)
$3$	$96$	se conserva
$1$	$192$	se conserva

Suma de los números de la derecha supervivientes: $24 + 96 + 192 = 312$ , y, en efecto, $13 \times 24 = 312$ .

7. Mitades de $21$ : $21, 10, 5, 2, 1$ ; dobles de $17$ : $17, 34, 68, 136, 272$ . Las izquierdas pares $10$ y $2$ se tachan; supervivientes $17 + 68 + 272 = 357$ . Comprobación: $21 \times 17 = 357$ .

8. Mitades de $16$ : $16, 8, 4, 2, 1$ ; dobles de $25$ : $25, 50, 100, 200, 400$ . Todos los números de la izquierda salvo el $1$ final son pares: sobrevive una sola fila y la respuesta es $400$ . Una columna izquierda hecha de duplicaciones puras conserva solo su última fila — el método se reduce a duplicar.

9. $13 = 12 + 1$ , así que, por la distributividad, $13 \times 24 = 12 \times 24 + 1 \times 24$ ; y $12 \times 24 = 6 \times 48$ , porque partir un factor por la mitad y duplicar el otro deja igual el producto ( $12 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 6 \times 48$ ). El número de la izquierda impar $13$ desgajó una copia del número de la derecha: la primera fila guarda $24$ .

10. $6 \times 48 = 3 \times 96$ (mitad y doble, sin guardar nada: $6$ es par). $3 \times 96 = 2 \times 96 + 96 = 1 \times 192 + 96$ : el $3$ impar guarda $96$ . Por último, $1 \times 192 = 192$ : el $1$ impar guarda $192$ y la tabla se acaba. Total guardado: $24 + 96 + 192 = 312$ . Una fila guarda su número de la derecha exactamente cuando su número de la izquierda es impar — así que la receta «conserva las filas de izquierda impar y suma» es precisamente la contabilidad de la distributividad.

11. $1 + 4 + 8 = 13$ . Para $21$ , las filas supervivientes fueron las de $17$ , $68 = 4 \times 17$ y $272 = 16 \times 17$ : las duplicaciones $1 + 4 + 16 = 21$ .

12. $25 = 16 + 8 + 1$ y $42 = 32 + 8 + 2$ .

13. Toma el mayor número de duplicación que no supere el objetivo y réstalo; lo que queda es menor y menor que la duplicación que acabas de usar (si no, habría cabido una mayor). Repitiendo, el resto mengua estrictamente y tiene que llegar a $0$ : el proceso se para y las duplicaciones usadas son todas distintas. Para $100$ : cabe $64$ (quedan $36$ ), cabe $32$ (quedan $4$ ), cabe $4$ (queda $0$ ): $100 = 64 + 32 + 4$ .

14. Tabla de duplicaciones de $35$ : $1 \to 35$ , $2 \to 70$ , $4 \to 140$ , $8 \to 280$ , $16 \to 560$ . Como $19 = 16 + 2 + 1$ , se eligen esas filas: $560 + 70 + 35 = 665$ . Comprobación: $19 \times 35 = 665$ .

15. Las mismas tres que el escriba y el campesino: $24 + 96 + 192$ — las duplicaciones de $24$ seleccionadas por $13 = 1 + 4 + 8$ . Escribir números como sumas de duplicaciones es exactamente escribirlos con $0$ y $1$ ; la historia completa se cuenta en el Problema 56.1.