Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

49La proporcionalidad

El año pasado vimos las tablas proporcionales (Capítulo 44); este capítulo convierte la proporcionalidad en una herramienta completa: la regla de los productos cruzados para hallar un cuarto valor, los porcentajes y las escalas de mapas y maquetas. La velocidad, la proporcionalidad más famosa de todas, se estudia en el Capítulo 61.

49.1 Reconocer y completar tablas

Definición 49.1 (Tabla de proporcionalidad)

Una tabla de dos filas es una tabla de proporcionalidad cuando los números de la segunda fila son los de la primera multiplicados por un número fijo, el coeficiente. Equivalentemente: todos los cocientes por columnas $\frac{\text{fila de abajo}}{\text{fila de arriba}}$ son iguales.

Ejemplo 49.2

arriba	$4$	$10$	$14$
abajo	$6$	$15$	$21$

Cocientes: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : proporcional, de coeficiente $1.5$ .

Teorema 49.3 (Regla de los productos cruzados)

En una tabla de proporcionalidad con columnas $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , los productos cruzados son iguales:

a \times d = b \times c .

Por consiguiente, el cuarto valor se puede calcular a partir de los otros tres: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Demostración. Sea $k$ el coeficiente: $b = ka$ y $d = kc$ . Entonces

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

los dos productos cruzados valen $k \times ac$ . Dividir $ad = bc$ entre $a$ da la fórmula de $d$ . ∎

Ejemplo 49.4 (La cuarta proporcional)

Si $7$ libros iguales pesan $2.8$ kg, ¿cuánto pesan $12$ libros como esos? Tabla y regla de los productos cruzados:

libros	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Comprobación por la unidad: un libro pesa $0.4$ kg y doce pesan $4.8$ kg.

49.2 Porcentajes

Método 49.5 (Aplicar y hallar porcentajes)

aplicar el $t\,\%$ : multiplica por $\frac{t}{100}$ (el $12\,\%$ de $350$ es $0.12 \times 350 = 42$ );
hallar el porcentaje que representa una parte: calcula $\frac{\text{parte}}{\text{total}}$ y reescríbelo sobre $100$ ( $21$ de $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
pregúntate siempre: ¿porcentaje de qué? El total de referencia importa.

Ejemplo 49.6

En un colegio, $180$ de los $400$ alumnos son chicas. Porcentaje:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

Al revés: ¿cuántos son el $55\,\%$ de chicos? $0.55 \times 400 = 220$ . Comprobación: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Escalas

Definición 49.7 (Escala)

En un mapa o una maqueta a escala $\frac{1}{n}$ (que se escribe $1 : n$ ), las distancias del mapa son proporcionales a las distancias reales, con coeficiente $\frac1n$ :

\text{distancia en el mapa} = \frac{1}{n} \times \text{distancia real},

medidas las dos en la misma unidad.

Ejemplo 49.8

En un mapa $1 : 50\,000$ , dos pueblos distan $7$ cm. Distancia real:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

A la inversa, un sendero de $12$ km mide en el mapa: $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, así que $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Una escala es una proporcionalidad: las distancias del mapa frente a las distancias reales se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, 1 cm 4 km; las líneas discontinuas leen 7 cm 28 km). — Una escala es una proporcionalidad: las distancias del mapa frente a las distancias reales se alinean en una recta que pasa por el origen (aquí, $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; las líneas discontinuas leen $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Observación 49.9

Los gráficos son la prueba más rápida de proporcionalidad (Capítulo 44): puntos alineados en una recta que pasa por el origen significan magnitudes proporcionales; una recta que no pasa por el origen (como la tarifa de un taxi con un cargo fijo) significa que no son proporcionales, aunque sea una recta. Las funciones afines, en el Capítulo 67, precisarán esto.

49.4 Ejercicios

Ejercicio 49.1 ★

¿Cuáles son tablas de proporcionalidad? Da el coeficiente cuando exista.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solución

Solución de Ejercicio 49.1.

Primera tabla: cocientes $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : proporcional, de coeficiente $2.5$ .

Segunda tabla: $\frac62 = 3$ y $\frac{15}{5} = 3$ , pero $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : no es proporcional.

Ejercicio 49.2 ★

Completa con la regla de los productos cruzados, escribiendo el cálculo: $5$ kg de patatas cuestan $6$ euros; ¿cuánto cuestan $8$ kg?

Solución

Solución de Ejercicio 49.2.

Con la regla de los productos cruzados: $5 \times p = 6 \times 8$ , así que $p = \frac{48}{5} = 9.60$ euros.

Ejercicio 49.3 ★

Una impresora imprime $36$ páginas en $3$ minutos. Al mismo ritmo, ¿cuántas páginas en $5$ minutos? ¿Cuánto tarda en $96$ páginas?

Solución

Solución de Ejercicio 49.3.

Ritmo: $36 \div 3 = 12$ páginas por minuto. En $5$ minutos: $60$ páginas. Para $96$ páginas: $96 \div 12 = 8$ minutos.

Ejercicio 49.4 ★

Calcula: el $30\,\%$ de $250$ ; el $15\,\%$ de $60$ ; el $t\,\%$ tal que el $t\,\%$ de $80$ sea $20$ .

Solución

Solución de Ejercicio 49.4.

El $30\,\%$ de $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . El $15\,\%$ de $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . El $t\,\%$ de $80$ es $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , así que $t = 25$ .

Ejercicio 49.5 ★

De $25$ lanzamientos, una jugadora de baloncesto encestó $18$ . ¿Cuál es su porcentaje de acierto? (Reescribe la fracción sobre $100$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Ejercicio 49.6 ★

En un mapa $1 : 25\,000$ , un camino mide $9$ cm. ¿Cuál es su longitud real en km? Un lago mide $2$ km de largo: ¿cuánto mide en el mapa?

Solución

Solución de Ejercicio 49.6.

Camino: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lago: $2$ km $= 200\,000$ cm sobre el terreno, así que $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm en el mapa.

Ejercicio 49.7 ★

Una maqueta de coche está construida a escala $1 : 43$ . El coche real mide $4.3$ m de largo. ¿Cuánto mide la maqueta, en cm?

Solución

Solución de Ejercicio 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, y $430 \div 43 = 10$ cm.

Ejercicio 49.8 ★★

Una receta usa $240$ g de chocolate para $8$ raciones. Alina tiene $300$ g de chocolate. ¿Para cuántas raciones le llega (número entero de raciones)?

Solución

Solución de Ejercicio 49.8.

Chocolate por ración: $240 \div 8 = 30$ g. Con $300$ g: $300 \div 30 = 10$ raciones exactas.

Ejercicio 49.9 ★★

El precio de una chaqueta baja de $80$ a $60$ euros.

¿cuál es la rebaja en euros? ¿Y en porcentaje del precio inicial?
más tarde el precio vuelve a subir de $60$ a $80$ euros. Explica por qué esa subida no es del $25\,\%$ — calcula el porcentaje de aumento correcto.

Solución

Solución de Ejercicio 49.9.

1. Rebaja: $20$ euros, es decir, $\frac{20}{80} = 25\,\%$ del precio inicial.

2. La subida de $20$ euros se compara ahora con la referencia nueva, $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Un porcentaje se refiere siempre a un total; el total ha cambiado, así que el porcentaje también.

Ejercicio 49.10 ★★

Dos filas de una tabla son proporcionales:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Halla el coeficiente y después $x$ e $y$ .

Solución

Solución de Ejercicio 49.10.

Coeficiente a partir de la columna completa: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Entonces $y = 4 \times 1.75 = 7$ y $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Ejercicio 49.11 ★★★

Una fotocopiadora reduce los documentos al $80\,\%$ de su tamaño. Se copia un segmento de $10$ cm y después se vuelve a copiar la copia con el mismo ajuste.

¿cuánto mide el segmento después de una copia? ¿Y después de dos?
¿por qué la respuesta tras dos copias no es el $60\,\%$ del original? ¿Qué porcentaje único corresponde a dos copias?

Solución

Solución de Ejercicio 49.11.

1. Después de una copia: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Después de dos: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. La segunda reducción se aplica a la copia ya reducida, no al original: los factores se multiplican, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , así que dos copias reducen al $64\,\%$ del original — no al $60\,\%$ .

49.5 Problema: Medir la Tierra con un palo

Problema 49.1

Problema de fin de semana — las sombras son una proporcionalidad, y cómo Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra en el año 240 a. C.

Hace veintidós siglos, sin telescopio, sin satélite y sin calculadora, el bibliotecario de Alejandría midió la Tierra — con un palo, un pozo, una caravana de camellos y las matemáticas de este capítulo. Este problema recorre sus pasos: primero la proporcionalidad de las sombras, después el famoso cálculo en sí y, por último, cómo queda su respuesta a escala humana.

Parte I — La sombra de un palo. El Sol está tan lejos que sus rayos nos llegan paralelos unos a otros. En un instante dado, todos los objetos verticales y sus sombras son, por tanto, proporcionales.

a mediodía, un palo vertical de $1$ m proyecta una sombra de $0.4$ m y la sombra de un árbol mide $3.2$ m. ¿Cuánto mide el árbol (Teorema 49.3)?
en el mismo instante, una torre proyecta una sombra de $26$ m: ¿cuánto mide la torre? ¿Y cuánto mide la sombra de un niño de $1.5$ m?
explica en una frase por qué todos estos cálculos solo son válidos en el mismo instante del día;
cuenta la leyenda que Tales midió la Gran Pirámide esperando al momento en que su propia sombra medía exactamente lo mismo que él. ¿Cuál es el coeficiente de proporcionalidad en ese momento y cuánto mide la pirámide si la punta de su sombra queda a $147$ m del punto del suelo situado justo debajo de su cúspide?
resume la Parte I: en un instante dado, ¿qué magnitud es la misma para el palo, el árbol, la torre y la pirámide (Definición 49.1)?

Parte II — El cálculo de Eratóstenes. Eratóstenes sabía dos cosas. En la ciudad de Siena, a mediodía del solsticio de verano, el Sol quedaba exactamente en la vertical: la luz llegaba al fondo de los pozos más profundos y los palos verticales no proyectaban ninguna sombra. En Alejandría, $800$ km al norte, en el mismo instante, un palo vertical sí proyectaba sombra y los rayos del Sol formaban un ángulo de $7.2^\circ$ con la vertical.

explica por qué estas dos observaciones juntas demuestran que el suelo de Siena y el de Alejandría no son paralelos — es decir, que la superficie de la Tierra es curva. (¿Qué harían unos rayos paralelos con dos palos en una Tierra plana?)
en un dibujo de la Tierra redonda con rayos solares paralelos, los $7.2^\circ$ de Alejandría reaparecen en el centro de la Tierra, como el ángulo entre las direcciones de las dos ciudades. Haz el dibujo y convéncete (la justificación limpia usa las parejas de ángulos iguales del Capítulo 51).
¿qué fracción de vuelta completa son $7.2^\circ$ ?
el arco de Siena a Alejandría ( $800$ km) corresponde a $7.2^\circ$ ; la circunferencia entera corresponde a $360^\circ$ . Plantea la proporcionalidad y calcula la circunferencia de la Tierra;
deduce el diámetro de la Tierra usando $\pi \approx 3.14$ (Proposición 43.3) y redondeando a la centena de kilómetros más próxima. (El valor moderno es $12\,742$ km: ¿cuánto se acercó un hombre con un palo en el año 240 a. C.?)

Parte III — La Tierra a escala humana.

se construye un globo terráqueo a escala $1 : 40\,000\,000$ . Con la circunferencia hallada en la pregunta 9, muestra que la circunferencia del globo es exactamente $1$ m. ¿Cuál es su diámetro, al centímetro más próximo?
el Mont Blanc se eleva unos $4.8$ km. Convierte $4.8$ km a centímetros, divide entre $40\,000\,000$ y expresa la altura de la montaña en el globo en milímetros. ¿Qué dice la respuesta sobre lo «rugosa» que es en realidad la Tierra?
un caminante recorre $40$ km al día. A ese ritmo, ¿cuántos días necesita para la circunferencia entera de Eratóstenes y aproximadamente cuántos años son?
la atmósfera respirable se concentra aproximadamente en los primeros $10$ km sobre el suelo. ¿Qué porcentaje del radio de la Tierra (unos $6\,370$ km) es eso (Método 49.5)? Redondea a la décima de punto porcentual;
los historiadores estiman que el valor anunciado por Eratóstenes, convertido a unidades modernas, pudo ser de unos $42\,000$ km. Tomando $40\,000$ km como valor verdadero, calcula su porcentaje de error. Concluye en una frase sobre palos, pozos y proporcionalidad.

Solución

Solución de Problema 49.1.

1. Las alturas y las sombras son proporcionales, así que, por la regla de los productos cruzados (Teorema 49.3), con la columna del palo $(1,\ 0.4)$ y la del árbol $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , de donde $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

2. Torre: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Sombra del niño: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (sombra $=$ altura $\times$ el coeficiente $0.4$ del momento).

3. A medida que el Sol recorre el cielo, el coeficiente que liga alturas y sombras cambia; solo las medidas tomadas en el mismo instante comparten el mismo coeficiente.

4. En ese momento el coeficiente vale $1$ : cada altura es igual a su sombra. La cúspide de la pirámide está, por tanto, a $147$ m de altura — la altura de la Gran Pirámide (basta con la punta de su sombra, medida desde el punto situado bajo la cúspide).

5. El cociente por columnas $\frac{\text{sombra}}{\text{altura}}$ — el coeficiente de proporcionalidad del momento — es común a todo objeto vertical: eso es exactamente lo que hace que la tabla de alturas y sombras sea una tabla de proporcionalidad (Definición 49.1).

6. Los rayos del Sol llegan paralelos. En una Tierra plana, dos rayos paralelos incidirían sobre dos palos verticales con el mismo ángulo: los dos proyectarían sombras proporcionales — o los dos sin sombra, o los dos con sombra. Un palo sin sombra (Siena) y otro con sombra (Alejandría), en el mismo instante, es imposible en una Tierra plana: las dos verticales tienen que apuntar en direcciones distintas — la superficie se curva.

7. En el dibujo, la vertical de Siena apunta directamente al Sol; la vertical de Alejandría está inclinada el ángulo que hay entre las direcciones de las dos ciudades, visto desde el centro. Como los rayos son paralelos, esa inclinación es exactamente los $7.2^\circ$ medidos entre el rayo y el palo en Alejandría.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : una cincuentava parte de una vuelta completa.

9. Las longitudes de arco son proporcionales a los ángulos: si $7.2^\circ$ — una cincuentava parte de la vuelta — corresponden a $800$ km, la vuelta entera corresponde a

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diámetro $= \frac{\text{longitud de la circunferencia}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — frente a los $12\,742$ km modernos: correcto con un error muy por debajo del uno por ciento, y con un palo.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, y $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m de circunferencia. Diámetro: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — un bonito globo de escritorio.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, y $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. La montaña más alta de los Alpes es una décima de milímetro en un globo de un metro de contorno: una mota de polvo. A esta escala, la Tierra es más lisa que casi cualquier bola pulida.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ días, y $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : casi tres años de caminata.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , es decir, alrededor del $0.2\,\%$ (más exactamente, el $0.16\,\%$ ): la atmósfera es una piel finísima sobre el planeta.

15. Error: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, y $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . En una frase: con un palo, un pozo, un camino medido y una proporcionalidad, Eratóstenes midió un planeta con un error de pocos puntos porcentuales — las matemáticas llegan muy lejos con muy poco.