Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

58El teorema de Pitágoras

El teorema más famoso de todas las matemáticas relaciona los tres lados de a triangulo rectángulo. Con él, las longitudes se vuelven computables que ninguna regla Podría medir directamente: diagonales, distancias, alturas. También es nuestro primer gran encuentro con el diferencia entre un teorema y su conversar.

58.1 el teorema

Teorema 58.1 (Pitágoras)

Si un triángulo $ABC$ es en ángulo recto en $A$ , entonces

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual al suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Idea de prueba. Cuatro copias del triángulo, dispuestas dentro de un gran cuadrado de lado. $AB + AC$ , dejar al descubierto un cuadrado inclinado construido sobre la hipotenusa: comparar áreas da la igualdad. El cálculo detallado es propuesto como Ejercicio 58.11; el teorema también desaparece del escalar producto, estudiado en el volumen de Secundaria. ∎

El teorema como enunciado área: el cuadrado construido sobre el la hipotenusa (25) tiene exactamente el mismo área que los otros dos cuadrados juntos (16 + 9). Aquí los lados son 3, 4, 5. — El teorema como enunciado área: el cuadrado construido sobre el la hipotenusa ( $25$ ) tiene exactamente el mismo área que los otros dos cuadrados juntos ( $16 + 9$ ). Aquí los lados son $3$ , $4$ , $5$ .

Método 58.2 (Calcular una longitud)

En un triangulo rectángulo donde se conocen dos lados:

nombra la hipotenusa (opuesta a ángulo recto — siempre la lado más largo);
escribe la igualdad de Teorema 58.1 con los valores conocidos;
resuelve el cuadrado que falta: agregar los cuadrados si el se desconoce la hipotenusa, sustraer si se desconoce un cateto;
saca la raíz cuadrada, exactamente o con calculadora, y comprueba que la hipotenusa salió más larga.

Ejemplo 58.3 (Encontrar la hipotenusa)

Un triangulo rectángulo tiene patas $6$ y $8$ . Hipotenusa $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(El número $\sqrt{100}$ , el raíz cuadrada de $100$ , es el número positivo cuyo cuadrado es $100$ ; las raíces cuadradas obtienen un completo capítulo en Capítulo 65.)

Ejemplo 58.4 (Encontrando una pierna)

Una escalera $5$ m está apoyada contra una pared, con su pie $1.4$ m alejado de la pared. Altura alcanzada $h$ : la escalera es la hipotenusa, entonces

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Resta, no suma: la incógnita aquí es un pierna.

58.2 lo contrario

Teorema 58.5 (Conversación de Pitágoras)

Si, en un triángulo $ABC$ , los lados satisfacen $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , entonces el triángulo es en ángulo recto en $A$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 58.6 (Probando un ángulo recto)

Dados los tres lados de un triángulo:

calcula por separado el cuadrado del lado más largo y el suma de los cuadrados de los otros dos;
si los dos resultados son iguales, el triángulo es en ángulo recto (inversa), en el vértice opuesto al lado más largo;
si difieren, no es en ángulo recto — porque Pitágoras El teorema obligaría a la igualdad.

Ejemplo 58.7

Lados $5$ , $12$ , $13$ : lado más largo al cuadrado, $13^2 = 169$ ; suma del otros cuadrados, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Igual: en ángulo recto (opuesto al lado $13$ ).

Lados $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ pero $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : no triangulo rectángulo (es “casi” la una — los números deciden, no el ojo).

Observación 58.8 (Teorema vs inverso)

El teorema y su inverso dicen cosas diferentes: el teorema usos a ángulo recto para calcular longitudes; los usos inversos longitudes de probar a ángulo recto. Los constructores han utilizado el conversar durante milenios: una cuerda con nudos en unidades $3$ , $4$ , $5$ tirado tenso da un ángulo recto perfecto.

Ejemplo 58.9 (Diagonal de un cuadrado)

La diagonal de un cuadrado de lado $1$ es la hipotenusa de un correcto triangulo con catetos $1$ y $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

entonces $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — un número que no es fracción, como el volumen de High School lo demostrará. Para un cuadrado de lado $c$ , el diagonal es $c\sqrt2$ .

58.3 Ceremonias

Ejercicio 58.1 ★

En cada triangulo rectángulo, calcula la hipotenusa: patas $9$ y $12$ ; patas $5$ y $12$ ; piernas $8$ y $15$ .

Solución

Solución de Ejercicio 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Ejercicio 58.2 ★

A triangulo rectángulo tiene hipotenusa $25$ y un cateto $7$ . Calcular el otra pierna.

Solución

Solución de Ejercicio 58.2.

Leg $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , entonces la pierna es $\sqrt{576} = 24$ .

Ejercicio 58.3 ★

Calcula la diagonal de un rectángulo de lados $12$ cm y $9$ cm; el diagonal de un cuadrado de lado $5$ cm (valor exacto con raíz cuadrada, luego redondeado a mm).

Solución

Solución de Ejercicio 58.3.

Rectángulo: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ centímetros.

Cuadrado: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Ejemplo 58.9).

Ejercicio 58.4 ★

¿Qué triángulos son en ángulo recto? Justifica con Método 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Solución

Solución de Ejercicio 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ y $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : en ángulo recto.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : no en ángulo recto.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : en ángulo recto (es $(3,4,5)$ reducido a la mitad).

Ejercicio 58.5 ★

Una puerta está apuntalada por una tabla diagonal. La puerta tiene $3$ m de ancho y $1.6$ m de altura: ¿cuánto mide la tabla?

Solución

Solución de Ejercicio 58.5.

Tablón $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Ejercicio 58.6 ★

Un triangulo isósceles tiene dos lados de $10$ cm y una base de $12$ cm. Su altura lo divide en dos triangulos rectángulos: calcula esa altura, luego el área del triángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 58.6.

La altura cae en el punto medio de la base (triangulo isósceles), por lo que cada medio triángulo tiene hipotenusa $10$ y un cateto $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Área: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Ejercicio 58.7 ★★

Una pantalla de televisión es un rectángulo $16{:}9$ que mide $88.5$ cm por $49.8$ cm. Las pantallas se venden por diagonal, en pulgadas. ( $1$ pulgadas $= 2.54$ cm). Calcula la diagonal en cm y luego en pulgadas. (redondo a la pulgada más cercana).

Solución

Solución de Ejercicio 58.7.

Diagonal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. En pulgadas: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ pulgadas.

Ejercicio 58.8 ★★

Un barco navega $24$ km al este, luego $10$ km al norte. ¿Qué tan lejos está de su punto de partida (en línea recta)? Dibuja la situación primero.

Solución

Solución de Ejercicio 58.8.

Los dos tramos son $24$ km y $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ kilómetros.

Ejercicio 58.9 ★★

Una escalera $2.5$ m debe llegar hasta el alféizar de una ventana $2.4$ m por encima del suelo. ¿A qué distancia de la pared debe colocarse su pie? es la respuesta compatible con los consejos de seguridad (pie aproximadamente a cuarto de la escalera longitud desde la pared)?

Solución

Solución de Ejercicio 58.9.

Distancia del pie: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Un cuarto de la escalera es $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: el $0.7$ m encontrado se aproxima al recomendado colocación — aceptable.

Ejercicio 58.10 ★★

En una cuadrícula de coordenadas, trace $A(1, 2)$ y $B(5, 5)$ y dibuje el triangulo rectángulo con catetos paralelo a los ejes cuya hipotenusa es $[AB]$ . Calcule $AB$ . (Esta construcción, para dos puntos cualesquiera, se convierte en la fórmula de distancia de la geometría de coordenadas, en la escuela secundaria volumen.)

Solución

Solución de Ejercicio 58.10.

Las patas miden $5 - 1 = 4$ (horizontal) y $5 - 2 = 3$ (vertical), entonces

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Ejercicio 58.11 ★★★

Cuatro copias de un triangulo rectángulo con catetos $a$ , $b$ e hipotenusa $c$ se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado $a + b$ , dejando un Cuadrado inclinado del lado $c$ descubierto en el medio.

Expresa el área del cuadrado grande de dos maneras: directamente y como (cuatro triángulos) $+$ (cuadrado inclinado).
Expanda $(a + b)^2$ (ver Teorema 57.1) y deduce $c^2 = a^2 + b^2$ : has demostrado el pitagórico teorema.

Solución

Solución de Ejercicio 58.11.

1. Directamente: $(a + b)^2$ . En piezas: cuatro triángulos de área $\frac{ab}{2}$ cada uno, más el cuadrado inclinado $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Expandiendo el lado izquierdo: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . entonces

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Problema: ternas pitagóricas

Problema 58.1

Problema de fin de semana — triángulos rectángulos de números enteros, y la identidad $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ que los generos todos

Un triple pitagórico es un triple de números enteros $(a, b, c)$ con

a^2 + b^2 = c^2 ,

como el $(3, 4, 5)$ de los constructores. Una tablilla de arcilla babilónica catalogada enormes — $(4601,\ 4800,\ 6649)$ entre ellos — más de un mil años antes de Pitágoras. Este problema busca triples, luego construye la máquina que los produce: una identidad algebraica sacado directamente de Capítulo 57, puesto al servicio de geometría.

Parte I — Hunting for triples.

Compruebe que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ y $(20, 21, 29)$ son Triples pitagóricos. ¿Qué hace? Teorema 58.5 dice sobre triángulos con estas longitudes de lado?
Explique por qué una cuerda tensa con doce segmentos iguales, tendidas como un triángulo con lados de $3$ , $4$ y $5$ segmentos, ofrece a los constructores un ángulo recto perfecto.
Demuestre que si $(a, b, c)$ es triple pitagórico, también lo es $(ka, kb, kc)$ para cada número entero $k \geq 1$ . deducir tres nuevos triples de $(3, 4, 5)$ .
Los múltiplos de $(3, 4, 5)$ son los triples $(3k, 4k, 5k)$ . Demuestre que $(5, 12, 13)$ es no uno de ellos.
Explique por qué las preguntas 3 y 4 juntas demuestran que la escala $(3, 4, 5)$ nunca puede producir todos los triple pitagórico: Se necesita alguna otra máquina.

Parte II — The machine. Toma dos números enteros $m > n \geq 1$ y forma los tres números.

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

Usando las notables identidades de Problema 57.1 (escriba $A = m^2$ y $B = n^2$ ), expanda $a^2$ y $b^2$ y demuestre que

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

la máquina siempre genera un triple pitagórico.
Ejecute la máquina en $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ y $(4, 3)$ , y muestra los cinco tripletes en un mesa.
Un triple en su tabla es una copia escalada de un triple más pequeño uno. ¿Cuáles y de cuáles?
Encuentre $(m, n)$ para el cual la máquina genera el triple $(20, 21, 29)$ de la pregunta 1 (patas en cualquier orden).
Encuentre $m$ y $n$ con $m^2 + n^2 = 100$ y deduzca una triple pitagórico cuya hipotenusa es $100$ .

Parte III — Families, and a parity finale.

Ejecute la máquina con $m = n + 1$ . Demuestre que el cateto extraño es $2n + 1$ , el cateto incluso $2n^2 + 2n$ y la hipotenusa $2n^2 + 2n + 1$ — entonces la hipotenusa y el cateto incluso difieren por exactamente $1$ . Escribe los triples para $n = 1, 2, 3, 4$ .
Deduce que cada número impar $3, 5, 7, 9, \dots$ es el lado de algún número entero triangulo rectángulo, y dé un triple que contiene $11$ .
números pares también funciona: ejecute la máquina con $n = 1$ y produce un triple que contiene $14$ . Luego obtenga lo mismo triplicar por segunda vez, escalando uno de tu tabla de pregunta 7.
Demuestre que el cuadrado de un número par es incluso y que el cuadrado de un número impar es extraño. (Escribe el número como $2k$ o $2k + 1$ y use una identidad).
Concluye la final de paridad: no hay triple pitagórico con los tres números extraño — en cada número entero correcto triangulo, al menos un lado es incluso.

Solución

Solución de Problema 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Los tres son triples, y por Teorema 58.5 un triangulo con estos longitudes laterales es en ángulo recto, el ángulo recto mirando hacia el más largo lado.

2. La cuerda forma un triángulo con lados $3$ , $4$ , $5$ . (en segmentos), y $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : por el contrario (Teorema 58.5), el ángulo entre los lados de $3$ y $4$ segmentos es exactamente correcto — sin transportador necesario, sólo nudos.

3. Si $a^2 + b^2 = c^2$ , entonces

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

De $(3, 4, 5)$ : por ejemplo $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ y $(30, 40, 50)$ .

4. A múltiple $(3k, 4k, 5k)$ que contiene $5$ como El número más pequeño necesitaría $3k = 5$ y ningún número entero $k$ . satisface que ( $k = 1$ da $3$ , $k = 2$ da $6$ ). entonces $(5, 12, 13)$ no es un múltiple de $(3, 4, 5)$ .

5. La pregunta 3 muestra que el escalamiento produce solo los triples $(3k, 4k, 5k)$ ; La pregunta 4 exhibe un triplete genuino que no es de esta forma. Entonces la familia de todos los Triples pitagóricos es estrictamente más grande que el múltiplos de $(3, 4, 5)$ : producirlos requiere algo nuevo.

6. Escriba $A = m^2$ y $B = n^2$ . por lo notable identidades (Problema 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

Añadiendo:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ es el doble de $(4, 3, 5)$ — que es, del $(3, 4, 5)$ de los constructores. La máquina a veces redescubre un viejo triple disfrazado.

9. Necesitamos $m^2 - n^2 = 21$ y $2mn = 20$ , entonces $mn = 10$ : probando $m = 5$ , $n = 2$ da $25 - 4 = 21$ y $2 \times 10 = 20$ , con hipotenusa $25 + 4 = 29$ . la maquina salidas $(21, 20, 29)$ para $(m, n) = (5, 2)$ .

10. $m = 8$ , $n = 6$ da $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . el triple es

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

y de hecho $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Con $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(diferencia de cuadrados consecutivos, Problema 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; y $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . la hipotenusa excede el tramo incluso exactamente $1$ . Para $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Cada número impar al menos $3$ es $2n + 1$ para algunos $n \geq 1$ , y la pregunta 11 proporciona un triple cuyo tramo extraño es exactamente $2n + 1$ . Para $11 = 2 \times 5 + 1$ , tome $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Con $n = 1$ la máquina da $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , cuyo tramo incluso $2m$ puede ser cualquier número par desde $4$ hacia arriba. Para $14 = 2 \times 7$ , tome $m = 7$ : el triple $(48, 14, 50)$ . El mismo triple aparece por duplicando $(7, 24, 25)$ de la tabla de la pregunta 7: $(14, 48, 50)$ — los mismos tres números.

14. Un número par es $2k$ y $(2k)^2 = 4k^2$ es incluso (un múltiple de $4$ , incluso). Un número impar es $2k + 1$ y el primera identidad notable da

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

un número par más $1$ : extraño.

15. Supongamos que todos $a$ , $b$ , $c$ fueran extraño. Por pregunta 14, $a^2$ y $b^2$ son extraño, por lo que $a^2 + b^2$ es un suma de dos impar numeros: incluso. Pero $c^2$ sería extraño. la igualdad $a^2 + b^2 = c^2$ es entonces imposible. Entonces en cada pitagórico triplicar al menos uno de los tres números es incluso — como cada La línea del cuadro de la pregunta 7 lo confirma.