Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

58El teorema de Pitágoras

El teorema más famoso de todas las matemáticas relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo. Con él se vuelven calculables longitudes que ninguna regla podría medir directamente: diagonales, distancias, alturas. Es también nuestro primer gran encuentro con la diferencia entre un teorema y su recíproco.

58.1 El teorema

Teorema 58.1 (Pitágoras)

Si un triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ , entonces

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Idea de la demostración. Cuatro copias del triángulo, colocadas dentro de un cuadrado grande de lado $AB + AC$ , dejan sin cubrir un cuadrado inclinado construido sobre la hipotenusa: comparar áreas da la igualdad. El cálculo detallado se propone como el Ejercicio 58.11; el teorema sale también del producto escalar, que se estudia en el volumen de secundaria superior. ∎

El teorema como afirmación sobre áreas: el cuadrado construido sobre la hipotenusa (25) tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos (16 + 9). Aquí los lados son 3, 4 y 5. — El teorema como afirmación sobre áreas: el cuadrado construido sobre la hipotenusa ( $25$ ) tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos ( $16 + 9$ ). Aquí los lados son $3$ , $4$ y $5$ .

Método 58.2 (Calcular una longitud)

En un triángulo rectángulo del que se conocen dos lados:

identifica la hipotenusa (opuesta al ángulo recto — siempre el lado más largo);
escribe la igualdad del Teorema 58.1 con los valores conocidos;
despeja el cuadrado que falta: suma los cuadrados si la hipotenusa es la incógnita y resta si lo es un cateto;
extrae la raíz cuadrada, exacta o con calculadora, y comprueba que la hipotenusa ha salido la más larga.

Ejemplo 58.3 (Hallar la hipotenusa)

Un triángulo rectángulo tiene catetos $6$ y $8$ . Hipotenusa $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(El número $\sqrt{100}$ , la raíz cuadrada de $100$ , es el número positivo cuyo cuadrado es $100$ ; las raíces cuadradas tienen un capítulo entero en el Capítulo 65.)

Ejemplo 58.4 (Hallar un cateto)

Una escalera de $5$ m se apoya en una pared, con el pie a $1.4$ m de ella. Altura alcanzada $h$ : la escalera es la hipotenusa, así que

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

Resta, no sumes: aquí la incógnita es un cateto.

58.2 El recíproco

Teorema 58.5 (Recíproco de Pitágoras)

Si, en un triángulo $ABC$ , los lados cumplen $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , entonces el triángulo es rectángulo en $A$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 58.6 (Comprobar un ángulo recto)

Dados los tres lados de un triángulo:

calcula por separado el cuadrado del lado mayor y la suma de los cuadrados de los otros dos;
si los dos resultados son iguales, el triángulo es rectángulo (recíproco), en el vértice opuesto al lado mayor;
si difieren, no es rectángulo — porque el teorema de Pitágoras obligaría a la igualdad.

Ejemplo 58.7

Lados $5$ , $12$ , $13$ : el cuadrado del lado mayor, $13^2 = 169$ ; la suma de los otros cuadrados, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ . Iguales: rectángulo (en el vértice opuesto al lado $13$ ).

Lados $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ pero $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : no es un triángulo rectángulo (es «casi» uno — deciden los números, no el ojo).

Observación 58.8 (Teorema frente a recíproco)

El teorema y su recíproco dicen cosas distintas: el teorema usa un ángulo recto para calcular longitudes; el recíproco usa longitudes para demostrar un ángulo recto. Los constructores han usado el recíproco durante milenios: una cuerda con nudos a $3$ , $4$ y $5$ unidades tensada da un ángulo recto perfecto.

Ejemplo 58.9 (Diagonal de un cuadrado)

La diagonal de un cuadrado de lado $1$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $1$ y $1$ :

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

así que $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — un número que no es una fracción, como demostrará el volumen de secundaria superior. Para un cuadrado de lado $c$ , la diagonal es $c\sqrt2$ .

58.3 Ejercicios

Ejercicio 58.1 ★

En cada triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa: catetos $9$ y $12$ ; catetos $5$ y $12$ ; catetos $8$ y $15$ .

Solución

Solución de Ejercicio 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

Ejercicio 58.2 ★

Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa $25$ y un cateto $7$ . Calcula el otro cateto.

Solución

Solución de Ejercicio 58.2.

Cateto $^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , luego el cateto mide $\sqrt{576} = 24$ .

Ejercicio 58.3 ★

Calcula la diagonal de un rectángulo de lados $12$ cm y $9$ cm; y la diagonal de un cuadrado de lado $5$ cm (valor exacto con una raíz cuadrada y después redondeado al mm).

Solución

Solución de Ejercicio 58.3.

Rectángulo: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.

Cuadrado: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (Ejemplo 58.9).

Ejercicio 58.4 ★

¿Qué triángulos son rectángulos? Justifícalo con el Método 58.6:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

Solución

Solución de Ejercicio 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ y $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : rectángulo.

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : no rectángulo.

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : rectángulo (es la $(3,4,5)$ dividida entre dos).

Ejercicio 58.5 ★

Una cancela se refuerza con una tabla en diagonal. La cancela mide $3$ m de ancho y $1.6$ m de alto: ¿cuánto mide la tabla?

Solución

Solución de Ejercicio 58.5.

Tabla $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m.

Ejercicio 58.6 ★

Un triángulo isósceles tiene dos lados de $10$ cm y una base de $12$ cm. Su altura lo parte en dos triángulos rectángulos: calcula esa altura y después el área del triángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 58.6.

La altura cae en el punto medio de la base (triángulo isósceles), así que cada mitad del triángulo tiene hipotenusa $10$ y un cateto $6$ : $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm. Área: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ .

Ejercicio 58.7 ★★

Una pantalla de televisión es un rectángulo $16{:}9$ que mide $88.5$ cm por $49.8$ cm. Las pantallas se venden por la diagonal, en pulgadas ( $1$ pulgada $= 2.54$ cm). Calcula la diagonal en cm y después en pulgadas (redondea a la pulgada más próxima).

Solución

Solución de Ejercicio 58.7.

Diagonal: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm. En pulgadas: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ pulgadas.

Ejercicio 58.8 ★★

Un barco navega $24$ km hacia el este y después $10$ km hacia el norte. ¿A qué distancia está de su punto de partida (en línea recta)? Dibuja antes la situación.

Solución

Solución de Ejercicio 58.8.

Los dos catetos miden $24$ km y $10$ km: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km.

Ejercicio 58.9 ★★

Una escalera de $2.5$ m tiene que llegar al alféizar de una ventana situado a $2.4$ m del suelo. ¿A qué distancia de la pared hay que colocar su pie? ¿Es la respuesta compatible con el consejo de seguridad (el pie a aproximadamente un cuarto de la longitud de la escalera de la pared)?

Solución

Solución de Ejercicio 58.9.

Distancia del pie: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m. Un cuarto de la escalera son $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m: los $0.7$ m hallados están cerca de la colocación recomendada — aceptable.

Ejercicio 58.10 ★★

En una cuadrícula de coordenadas, sitúa $A(1, 2)$ y $B(5, 5)$ , y dibuja el triángulo rectángulo de catetos paralelos a los ejes cuya hipotenusa sea $[AB]$ . Calcula $AB$ . (Esta construcción, para dos puntos cualesquiera, se convierte en la fórmula de la distancia de la geometría analítica, en el volumen de secundaria superior.)

Solución

Solución de Ejercicio 58.10.

Los catetos miden $5 - 1 = 4$ (horizontal) y $5 - 2 = 3$ (vertical), luego

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

Ejercicio 58.11 ★★★

Cuatro copias de un triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado $a + b$ , dejando sin cubrir un cuadrado inclinado de lado $c$ en el centro.

expresa el área del cuadrado grande de dos maneras: directamente y como (cuatro triángulos) $+$ (cuadrado inclinado);
desarrolla $(a + b)^2$ (véase el Teorema 57.1) y deduce $c^2 = a^2 + b^2$ : acabas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Solución

Solución de Ejercicio 58.11.

1. Directamente: $(a + b)^2$ . Por piezas: cuatro triángulos de área $\frac{ab}{2}$ cada uno, más el cuadrado inclinado $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. Desarrollando el miembro de la izquierda: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Luego

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 Problema: Las ternas pitagóricas

Problema 58.1

Problema de fin de semana — triángulos rectángulos de lados enteros y la identidad $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ que las genera todas

Una terna pitagórica es una terna de números enteros $(a, b, c)$ con

a^2 + b^2 = c^2 ,

como la $(3, 4, 5)$ de los constructores. Una tablilla de arcilla babilónica catalogaba ternas enormes — entre ellas, $(4601,\ 4800,\ 6649)$ — más de mil años antes de Pitágoras. Este problema caza ternas y después construye la máquina que las produce: una identidad algebraica sacada directamente del Capítulo 57 y puesta al servicio de la geometría.

Parte I — A la caza de ternas.

comprueba que $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ y $(20, 21, 29)$ son ternas pitagóricas. ¿Qué dice el Teorema 58.5 sobre los triángulos con esas longitudes de lados?
explica por qué una cuerda tensa con doce segmentos iguales, dispuesta como un triángulo de lados de $3$ , $4$ y $5$ segmentos, da a los constructores un ángulo recto perfecto;
demuestra que, si $(a, b, c)$ es una terna pitagórica, también lo es $(ka, kb, kc)$ para todo número entero $k \geq 1$ . Deduce tres ternas nuevas a partir de $(3, 4, 5)$ ;
los múltiplos de $(3, 4, 5)$ son las ternas $(3k, 4k, 5k)$ . Demuestra que $(5, 12, 13)$ no es una de ellas;
explica por qué las preguntas 3 y 4 juntas demuestran que escalar $(3, 4, 5)$ nunca puede producir todas las ternas pitagóricas: hace falta otra máquina.

Parte II — La máquina. Toma dos números enteros $m > n \geq 1$ y forma los tres números

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

usando las identidades notables del Problema 57.1 (escribe $A = m^2$ y $B = n^2$ ), desarrolla $a^2$ y $b^2$ , y demuestra que

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

la máquina produce siempre una terna pitagórica;
aplica la máquina a $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ y $(4, 3)$ , y presenta las cinco ternas en una tabla;
una terna de tu tabla es una copia escalada de otra más pequeña. ¿Cuál y de cuál?
halla $(m, n)$ para los que la máquina produce la terna $(20, 21, 29)$ de la pregunta 1 (con los catetos en cualquier orden);
halla $m$ y $n$ con $m^2 + n^2 = 100$ y deduce una terna pitagórica cuya hipotenusa sea $100$ .

Parte III — Familias y un final de paridad.

aplica la máquina con $m = n + 1$ . Demuestra que el cateto impar es $2n + 1$ , el cateto par es $2n^2 + 2n$ y la hipotenusa, $2n^2 + 2n + 1$ — así que la hipotenusa y el cateto par se diferencian en exactamente $1$ . Escribe las ternas para $n = 1, 2, 3, 4$ ;
deduce que todo número impar $3, 5, 7, 9, \dots$ es lado de algún triángulo rectángulo de lados enteros, y da una terna que contenga $11$ ;
los números pares también valen: aplica la máquina con $n = 1$ y produce una terna que contenga $14$ . Obtén después la misma terna por segunda vez, escalando una de tu tabla de la pregunta 7;
demuestra que el cuadrado de un número par es par y que el cuadrado de un número impar es impar. (Escribe el número como $2k$ o $2k + 1$ y usa una identidad.)
concluye el final de paridad: no hay ninguna terna pitagórica con los tres números impares — en todo triángulo rectángulo de lados enteros, al menos un lado es par.

Solución

Solución de Problema 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ . Las tres son ternas y, por el Teorema 58.5, un triángulo con estas longitudes de lado es rectángulo, con el ángulo recto frente al lado más largo.

2. La cuerda forma un triángulo de lados $3$ , $4$ , $5$ (en segmentos), y $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : por el recíproco (Teorema 58.5), el ángulo entre los lados de $3$ y $4$ segmentos es exactamente recto — no hace falta transportador, solo nudos.

3. Si $a^2 + b^2 = c^2$ , entonces

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

A partir de $(3, 4, 5)$ : por ejemplo $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ y $(30, 40, 50)$ .

4. Un múltiplo $(3k, 4k, 5k)$ que tuviera $5$ como número más pequeño necesitaría $3k = 5$ , y ningún número entero $k$ cumple eso ( $k = 1$ da $3$ , $k = 2$ da $6$ ). Así que $(5, 12, 13)$ no es múltiplo de $(3, 4, 5)$ .

5. La pregunta 3 muestra que agrandar solo produce las ternas $(3k, 4k, 5k)$ ; la pregunta 4 exhibe una terna auténtica que no es de esa forma. Así que la familia de todas las ternas pitagóricas es estrictamente mayor que la de los múltiplos de $(3, 4, 5)$ : producirlas exige algo nuevo.

6. Escribe $A = m^2$ y $B = n^2$ . Por las identidades notables (Problema 57.1):

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

Sumando:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ es el doble de $(4, 3, 5)$ — es decir, de la $(3, 4, 5)$ de los constructores. La máquina a veces redescubre disfrazada una terna ya conocida.

9. Hace falta $m^2 - n^2 = 21$ y $2mn = 20$ , luego $mn = 10$ : probando $m = 5$ , $n = 2$ sale $25 - 4 = 21$ y $2 \times 10 = 20$ , con hipotenusa $25 + 4 = 29$ . La máquina devuelve $(21, 20, 29)$ para $(m, n) = (5, 2)$ .

10. $m = 8$ , $n = 6$ da $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ . La terna es

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

y, en efecto, $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ .

11. Con $m = n + 1$ :

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(diferencia de cuadrados consecutivos, Problema 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; y $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ . La hipotenusa supera al cateto par exactamente en $1$ . Para $n = 1, 2, 3, 4$ :

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. Todo número impar de al menos $3$ es $2n + 1$ para algún $n \geq 1$ , y la pregunta 11 da una terna cuyo cateto impar es exactamente $2n + 1$ . Para $11 = 2 \times 5 + 1$ , toma $n = 5$ :

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. Con $n = 1$ la máquina da $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ , cuyo cateto par $2m$ puede ser cualquier número par a partir de $4$ . Para $14 = 2 \times 7$ , toma $m = 7$ : la terna $(48, 14, 50)$ . La misma terna aparece al duplicar $(7, 24, 25)$ de la tabla de la pregunta 7: $(14, 48, 50)$ — los mismos tres números.

14. Un número par es $2k$ , y $(2k)^2 = 4k^2$ es par (un múltiplo de $4$ , par). Un número impar es $2k + 1$ , y la primera identidad notable da

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

un número par más $1$ : impar.

15. Supón que $a$ , $b$ , $c$ fueran los tres impares. Por la pregunta 14, $a^2$ y $b^2$ son impares, luego $a^2 + b^2$ es suma de dos números impares: par. Pero $c^2$ sería impar. La igualdad $a^2 + b^2 = c^2$ es entonces imposible. Así que en toda terna pitagórica al menos uno de los tres números es par — como confirma cada línea de la tabla de la pregunta 7.