Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

60El triángulo rectángulo y el coseno

Dos hermosos hechos vinculan el triangulo rectángulo al círculo: un correcto triangulo encaja exactamente en un semicírculo, siendo su hipotenusa una diámetro. Y un número, el coseno de un ángulo, codifica el forma de cada triangulo rectángulo con ese ángulo — el primero razón trigonométrica, por delante de sus hermanos seno y tangente (Capítulo 69).

60.1 El triángulo rectángulo y su círculo.

Teorema 60.1 (Teorema del círculo)

Si un triángulo $ABC$ es en ángulo recto en $A$ , entonces $A$ se encuentra en el círculo cuyo diámetro es la hipotenusa $[BC]$ .
Por el contrario, si $A$ se encuentra en un círculo de diámetro $[BC]$ (con $A \neq B, C$ ), entonces el triángulo $ABC$ es en ángulo recto en $A$ .

De manera equivalente: en un triangulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa es a igual distancia de los tres vértices — la mediana del ángulo recto mide medio la hipotenusa.

Prueba de 1. Sea $O$ el punto medio de $[BC]$ y $D$ el simétrico de $A$ aproximadamente $O$ . Las diagonales de $ABDC$ se cortan en su punto medio común $O$ , por lo que $ABDC$ es un paralelogramo (Definición 52.7) — con un ángulo recto en $A$ : es un rectángulo. Las diagonales de un rectángulo son iguales, entonces $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : el el punto $A$ está a la distancia $\frac{BC}{2}$ de $O$ , es decir, en el círculo de diámetro $[BC]$ . (El punto 2 se prueba ejecutando el argumento hacia atrás.) ∎

Dondequiera que se encuentre A en el círculo, el ángulo BAC es derecha — la conjetura de , ahora un teorema. La mediana roja [OA] es una radio: medio la hipotenusa. — Dondequiera que se encuentre $A$ en el círculo, el ángulo $\widehat{BAC}$ es derecha — la conjetura de Ejercicio 41.10, ahora un teorema. La mediana roja $[OA]$ es una radio: medio la hipotenusa.

Ejemplo 60.2

Un triángulo tiene una hipotenusa de $10$ cm. sin saber nada de lo contrario, la mediana del ángulo recto mide $5$ cm, y el círculo circunscrito del triángulo tiene radio $5$ cm, centrado en el punto medio de la hipotenusa.

60.2 El coseno de un ángulo agudo.

Definición 60.3 (Coseño)

En un triangulo rectángulo, para un ángulo agudo $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{side adjacent to } \theta}{\text{hypotenuse}}

— el cateto que toca $\theta$ , dividido por la hipotenusa. Esta relación depende sólo del ángulo, no del tamaño del triángulo: todos los correcto triangulos con el mismo ángulo agudo son ampliaciones entre sí, y las ampliaciones preservan las proporciones de longitudes (Capítulo 59 comenzó esta historia; Capítulo 68 lo termina).

Dos triangulos rectángulos compartiendo el ángulo : el pequeño es una reducción del grande, por lo que adjacent hypotenuse es igual para ambos — ese valor común es . — Dos triangulos rectángulos compartiendo el ángulo $\theta$ : el pequeño es una reducción del grande, por lo que $\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ es igual para ambos — ese valor común es $\cos\theta$ .

Proposición 60.4 (Primeros valores y límites)

Para cada ángulo agudo $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , y el coseno disminuye a medida que se abre el ángulo: un ángulo más amplio tiene un ángulo más pequeño coseno. Puntos de referencia: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (los valores extremos correspondientes a aplanados triángulos).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 60.5 (Usando el coseno)

En un triangulo rectángulo, cuando las cantidades conocidas y deseadas son una ángulo agudo, su lado adyacente y la hipotenusa:

escribe la definición: $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$ con los valores conocidos vigentes;
resuelve el pequeño ecuación para la incógnita (multiplicar o dividir);
para un ángulo desconocido, aplique la $\cos^{-1}$ a la relación calculada;
controles de cordura: un largo debe salir más corto que el hipotenusa; un ángulo estrictamente entre $0^\circ$ y $90^\circ$ .

Ejemplo 60.6 (Encontrando un lado)

Una rampa de $6$ m forma un ángulo de $20^\circ$ con el suelo horizontal. Distancia horizontal recorrida (adyacente a $20^\circ$ , hipotenusa $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Ejemplo 60.7 (Encontrar un ángulo)

En un triangulo rectángulo, el lado adyacente al ángulo $\theta$ mide $3.5$ y la hipotenusa $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Ceremonias

Ejercicio 60.1 ★

A triangulo rectángulo tiene una hipotenusa de $13$ cm. ¿Cuál es la longitud de la mediana desde el ángulo recto vértice? ¿Qué es el radio del circula por los tres vértices?

Solución

Solución de Ejercicio 60.1.

Mediana de ángulo recto: medio la hipotenusa, $6.5$ cm (Teorema 60.1). El círculo circunscrito está centrado. en el punto medio de la hipotenusa con radio $6.5$ cm.

Ejercicio 60.2 ★

Dibuja un círculo de diámetro $8$ cm con un diámetro $[BC]$ , elige cualquiera apunte $A$ en el círculo y dibuje $ABC$ . ¿Qué ángulo es el correcto? citar el teorema. Mida $AB$ y $AC$ y verifique a Pitágoras.

Solución

Solución de Ejercicio 60.2.

El ángulo en $A$ es recto ( $[BC]$ es un diámetro: punto 2 de Teorema 60.1). Las medidas satisfacen $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , hasta la precisión de medición.

Ejercicio 60.3 ★

En un triángulo $DEF$ en ángulo recto en $D$ , nombre el lado adyacente a el ángulo $\widehat E$ , el lado opuesto a él y la hipotenusa. Escribe $\cos \widehat E$ como una proporción.

Solución

Solución de Ejercicio 60.3.

Hipotenusa: $[EF]$ (frente a ángulo recto $D$ ). Adyacente a $\widehat E$ : $[ED]$ . Opuesto: $[DF]$ . entonces $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Ejercicio 60.4 ★

Calcule la cantidad que falta ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

hipotenusa $10$ , ángulo $35^\circ$ : ¿lado adyacente?
lado adyacente $6$ , ángulo $50^\circ$ : ¿hipotenusa?

Solución

Solución de Ejercicio 60.4.

1. adyacente $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. hipotenusa $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Ejercicio 60.5 ★

En un triangulo rectángulo, el lado adyacente a $\theta$ mide $8$ y la hipotenusa $10$ . Calcule $\cos\theta$ , luego $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , so $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Ejercicio 60.6 ★

Explique por qué $\cos\theta$ nunca puede ser igual a $1.2$ para un ángulo agudo de a triangulo rectángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 60.6.

$\cos\theta$ es un cateto dividido por la hipotenusa y la hipotenusa es el lado más largo de un triangulo rectángulo: el cociente es siempre menor que $1$ . Un valor de $1.2$ significaría una pierna más larga que la hipotenusa — imposible.

Ejercicio 60.7 ★★

Una tirolesa de $25$ m desciende desde una plataforma hasta el suelo, realizando un ángulo de $12^\circ$ con la horizontal ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). ¿Qué distancia horizontal abarca?

Solución

Solución de Ejercicio 60.7.

Luz horizontal $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Ejercicio 60.8 ★★

Pedido sin calculadora: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ , $\cos 45^\circ$ (use Proposición 60.4). Luego consulte con un calculadora.

Solución

Solución de Ejercicio 60.8.

El coseno disminuye a medida que crece el ángulo. (Proposición 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Calculadora: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Ejercicio 60.9 ★★

Una escalera de longitud $L$ se apoya contra una pared con un ángulo $\theta$ entre la escalera y suelo. Su pie está a $1.2$ m de la pared. y $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Calcular $L$ , luego alcanzó la altura (Pitágoras).

Solución

Solución de Ejercicio 60.9.

La distancia del suelo es adyacente a $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , entonces $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Altura (Pitágoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Ejercicio 60.10 ★★

$[BC]$ es un diámetro de un círculo de centro $O$ y radio $4.5$ cm, y $A$ es un punto del círculo con $AB = 5.4$ cm.

¿Por qué $ABC$ en ángulo recto está en $A$ ?
Calcule $AC$ y luego $\cos \widehat B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 60.10.

1. $A$ está en un círculo de diámetro $[BC]$ : ángulo recto en $A$ (Teorema 60.1).

2. $BC = 9$ cm (el doble de radio). Pitágoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ centímetros. Y $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Ejercicio 60.11 ★★★

Usando medio y triangulo equilatero del lado $1$ (cortado a lo largo de una altura), justificar el hito $\cos 60^\circ = \frac12$ de Proposición 60.4. (¿De dónde viene el pie de la altura? caer sobre la base? La versión trigonométrica completa es Ejemplo 69.9.)

Solución

Solución de Ejercicio 60.11.

En el triangulo equilatero del lado $1$ , la altura de un vértice aterriza en el punto medio del lado opuesto (eje de simetría). Medio el triángulo es en ángulo recto con hipotenusa $1$ (un lado completo), un ángulo de $60^\circ$ en la base vértice, y lado adyacente $\frac12$ (medio la base). Por lo tanto

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 Problema: las relaciones de Euclides y Pitágoras por todos lados otra vez

Problema 60.1

Problema de fin de semana — la altitud de una derecha triangulo: $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , un segundo prueba de Pitágoras y una máquina para construir raíces cuadradas

Soltar, del ángulo recto de un triangulo rectángulo, el perpendicular a la hipotenusa: este corto segmento — el altitud — satisface relaciones tan útiles que Euclides las puso en el centro de su Elementos. En este problema el coseno define propiedad, “la relación depende sólo del ángulo” (Definición 60.3), prueba todas ellas; en el camino tu volverá a demostrar el teorema de Pitágoras por una ruta completamente diferente, y terminar con una máquina de regla y compás que construye $\sqrt2$ , $\sqrt5$ , $\sqrt{n}$ para cada número entero $n$ .

En todo momento, $ABC$ es un triángulo en ángulo recto en $A$ y $H$ es el pie del perpendicular desde $A$ hasta la hipotenusa $[BC]$ , de modo que $H$ se encuentra entre $B$ , $C$ y $AH \perp BC$ .

Parte I — One angle, two triangles.

Usando el ángulo suma de un triángulo (Teorema 51.3) en $ABH$ y en $ABC$ , mostrar que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : la altitud corta el triangulo rectángulo en dos triángulos más pequeños que llevan El mismos ángulos como el original.
Los triángulos $ABC$ (en ángulo recto en $A$ ) y $ABH$ (en ángulo recto en $H$ ) comparten el ángulo $\widehat B$ . escribir $\cos\widehat B$ en cada uno de ellos, y deducir de Definición 60.3 que

$AB^2 = BH \times BC .$

(Para pasar de razones iguales a igual productos, multiplicar ambos lados por ambos denominadores, Teorema 57.5.)
Indique y pruebe la relación de gemela en el vértice $C$ :

$AC^2 = CH \times CB .$
Tome el triángulo $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calcule $BH$ y $CH$ a partir de las preguntas 2 y 3, y verifique que $BH + HC = BC$ .
En general, exprese $BH$ y $CH$ como fracciones que involucran sólo los tres lados. ¿En qué sentido el pie $H$ dividir la hipotenusa "proporcionalmente a los cuadrados de las piernas”?

Parte II — Pythagoras again, and the altitude.

Agregue las relaciones de las preguntas 2 y 3 y use $BH + HC = BC$ para obtener

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

Teorema de Pitágoras (Teorema 58.1), re-probado — sin ningún rompecabezas área a la vista (comparar Ejercicio 58.11).
Aplica Pitágoras en el pequeño triángulo $ABH$ para escribir $AH^2 = AB^2 - BH^2$ , sustituir $AB^2$ por $BH \times BC$ y factorice $BH$ para demostrar Relación de altitud de Euclides:

$AH^2 = BH \times HC .$
Calcule el área de $ABC$ de dos maneras: patas como base y altura, luego hipotenusa como base (Teorema 53.3) — y deducir el tercero relación:

$AB \times AC = BC \times AH .$
Regresar al triángulo $3$ – $4$ – $5$ : calcular $AH$ con pregunta 8, luego verifique la relación de altitud de la pregunta 7 numéricamente, usando los valores de $BH$ y $CH$ que se encuentran en pregunta 4.
El pie de altitud divide la hipotenusa de algunos correcto triangulo en segmentos $BH = 2$ cm y $HC = 8$ cm. Calcule la altitud $AH$ .

Parte III — A machine for square roots. Dibuja un segmento $[BC]$ formado por dos piezas colocadas una al lado de la otra: $BH = p$ y $HC = q$ . Dibuja el semicírculo de diámetro $[BC]$ , y sea $A$ el punto donde perpendicular a $(BC)$ en $H$ lo cumple.

Utilizando Teorema 60.1, explique por qué el triángulo $ABC$ es en ángulo recto en $A$ — entonces la pregunta 7 aplica y

$AH^2 = p \times q .$

(La longitud $AH$ se denomina geométrico significar de $p$ y $q$ ).
Tome $p = 1$ y $q = 2$ . ¿Qué es $AH^2$ ? cual famoso longitud de Ejemplo 58.9 tiene su ¿Se acaba de construir la figura de regla y compás?
Describe la receta que construye un segmento de longitud. $\sqrt n$ para cualquier número entero $n \geq 1$ y diga cuál elección de las construcciones $p$ y $q$ $\sqrt 5$ .
Sea $O$ el centro del semicírculo. Explica por qué $AH$ nunca puede exceder el radio $\frac{p + q}{2}$ , y para cuya posición de $H$ los dos son iguales.
Deducir la desigualdad: para todos los números positivos $p$ y $q$ ,

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

con igualdad exactamente cuando $p = q$ . Luego repréndelo con sin geometría en absoluto: expandir $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ y reconocer un identidad notable (Problema 57.1).

Solución

Solución de Problema 60.1.

1. En el triángulo $ABH$ , en ángulo recto en $H$ , el ángulo suma (Teorema 51.3) da $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , entonces $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . En el triángulo $ABC$ , en ángulo recto en $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , entonces $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . Por lo tanto $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : ambos triángulos pequeños repiten el ángulos $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ del original.

2. En $ABC$ (en ángulo recto en $A$ ), el lado adyacente a $\widehat B$ es $AB$ y la hipotenusa es $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . En $ABH$ (en ángulo recto en $H$ ), el lado adyacente a $\widehat B$ es $BH$ y la hipotenusa es $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . La relación depende sólo de el ángulo (Definición 60.3), entonces

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

multiplicando ambos lados por $BC \times AB$ (Teorema 57.5): $AB^2 = BH \times BC$ .

3. Los triángulos $ABC$ (en ángulo recto en $A$ ) y $ACH$ (en ángulo recto en $H$ ) comparten el ángulo $\widehat C$ . Lado adyacente sobre hipotenusa en cada uno:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ lee $9 = BH \times 5$ , entonces $BH = 1.8$ ; y $16 = CH \times 5$ da $CH = 3.2$ . Comprobar: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — como debe, ya que $H$ se encuentra en la hipotenusa entre $B$ y $C$ .

5. Dividiendo cada relación por $BC$ :

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

Entonces $BH$ y $CH$ son proporcional a $AB^2$ y $AC^2$ : el pie de la altitud divide la hipotenusa en la proporción de los cuadrados de las piernas ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ en la pregunta 4).

6. Sumando las dos relaciones y factorizando $BC$ (distributividad):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

Este es Teorema 58.1, obtenido del coseno. solo — una prueba genuinamente diferente de los cuatro triángulos área rompecabezas de Ejercicio 58.11.

7. Pitágoras en $ABH$ (en ángulo recto en $H$ , hipotenusa $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . Sustituyendo $AB^2$ por $BH \times BC$ (pregunta 2) y factorizando $BH$ :

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. Con las patas como base y altura, el área de $ABC$ es $\frac{AB \times AC}{2}$ ; con la hipotenusa $[BC]$ como base, la altura es exactamente $AH$ , por lo que área también es $\frac{BC \times AH}{2}$ (Teorema 53.3). equiparando y duplicando: $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . Verificación de la pregunta 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ y $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . Igual.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , so $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

11. El punto $A$ se encuentra en el círculo de diámetro $[BC]$ (y difiere de $B$ y $C$ ), por lo que por el punto 2 de Teorema 60.1 el triángulo $ABC$ es en ángulo recto en $A$ . Por construcción $(AH) \perp (BC)$ con $H$ entre $B$ y $C$ : el segmento $[AH]$ es precisamente la altitud de la pregunta 7, y $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : la figura construye, con regla y compás solos, un segmento cuyo cuadrado es $2$ — el diagonal del cuadrado unitario, $\sqrt2 \approx 1.414$ , de Ejemplo 58.9.

13. Receta: colocar extremo con extremo dos segmentos de largos $p = 1$ y $q = n$ ; dibuja el semicírculo cuyo diámetro es el entero segmento (longitud $n + 1$ ); levante el perpendicular en el punto de unión; se encuentra con el semicírculo en un punto cuyo La distancia hasta el cruce es $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ . Para $\sqrt5$ : tome $p = 1$ y $q = 5$ (un semicírculo de diámetro $6$ ).

14. $A$ está en el círculo del centro $O$ , por lo que $OA = \frac{p+q}{2}$ , el radio. Si $H \neq O$ , el triángulo $AHO$ es en ángulo recto en $H$ con hipotenusa $[OA]$ , y un cateto es más corto que la hipotenusa: $AH < OA$ . Si $H = O$ , entonces $AH = OA$ exactamente. En todos los casos $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , con igualdad precisamente cuando $H$ es el centro — es decir, cuando $p = q$ .

15. Cuadratura $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (ambos lados positivo) y usando $AH^2 = pq$ :

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

con igualdad exactamente para $p = q$ . Reprueba algebraica, con la identidades notables (Problema 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

un cuadrado, por lo tanto nunca negativo — y cero exactamente cuando $p = q$ . El media geométrica de dos números nunca excede su media suma.