Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

60El triángulo rectángulo y el coseno

Dos hechos preciosos atan el triángulo rectángulo a la circunferencia: un triángulo rectángulo encaja exactamente en una semicircunferencia, con la hipotenusa como diámetro. Y un solo número, el coseno de un ángulo, codifica la forma de todos los triángulos rectángulos con ese ángulo — la primera razón trigonométrica, por delante de sus hermanos el seno y la tangente (Capítulo 69).

60.1 El triángulo rectángulo y su circunferencia

Teorema 60.1 (Teorema de la circunferencia)

si un triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ , entonces $A$ está sobre la circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa $[BC]$ ;
recíprocamente, si $A$ está sobre una circunferencia de diámetro $[BC]$ (con $A \neq B, C$ ), entonces el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ .

Equivalentemente: en un triángulo rectángulo, el punto medio de la hipotenusa está a igual distancia de los tres vértices — la mediana desde el ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.

Demostración de 1. Sea $O$ el punto medio de $[BC]$ y $D$ el simétrico de $A$ respecto de $O$ . Las diagonales de $ABDC$ se cortan en su punto medio común $O$ , así que $ABDC$ es un paralelogramo (Definición 52.7) — con un ángulo recto en $A$ : es un rectángulo. Las diagonales de un rectángulo son iguales, así que $OA = \frac{AD}{2} = \frac{BC}{2}$ : el punto $A$ está a distancia $\frac{BC}{2}$ de $O$ , es decir, sobre la circunferencia de diámetro $[BC]$ . (El punto 2 se demuestra recorriendo el argumento al revés.) ∎

Esté donde esté A sobre la circunferencia, el ángulo BAC es recto — la conjetura del , ahora un teorema. La mediana roja [OA] es un radio: la mitad de la hipotenusa. — Esté donde esté $A$ sobre la circunferencia, el ángulo $\widehat{BAC}$ es recto — la conjetura del Ejercicio 41.10, ahora un teorema. La mediana roja $[OA]$ es un radio: la mitad de la hipotenusa.

Ejemplo 60.2

Un triángulo tiene una hipotenusa de $10$ cm. Sin saber nada más, la mediana desde el ángulo recto mide $5$ cm y la circunferencia circunscrita del triángulo tiene radio $5$ cm, con centro en el punto medio de la hipotenusa.

60.2 El coseno de un ángulo agudo

Definición 60.3 (Coseno)

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo $\theta$ :

\cos\theta = \frac{\text{cateto contiguo a } \theta}{\text{hipotenusa}}

— el cateto que toca a $\theta$ , dividido entre la hipotenusa. Esta razón depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo: todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son ampliaciones unos de otros, y las ampliaciones conservan las razones de longitudes (el Capítulo 59 empezó esta historia; el Capítulo 68 la termina).

Dos triángulos rectángulos que comparten el ángulo : el pequeño es una reducción del grande, así que contiguo hipotenusa es el mismo para los dos — ese valor común es . — Dos triángulos rectángulos que comparten el ángulo $\theta$ : el pequeño es una reducción del grande, así que $\frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ es el mismo para los dos — ese valor común es $\cos\theta$ .

Proposición 60.4 (Primeros valores y cotas)

Para todo ángulo agudo $\theta$ : $0 < \cos\theta < 1$ , y el coseno decrece a medida que el ángulo se abre: un ángulo más abierto tiene menor coseno. Referencias: $\cos 0^\circ = 1$ , $\cos 60^\circ = \frac12$ , $\cos 90^\circ = 0$ (los valores extremos corresponden a triángulos aplastados).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 60.5 (Usar el coseno)

En un triángulo rectángulo, cuando lo conocido y lo buscado son un ángulo agudo, su cateto contiguo y la hipotenusa:

escribe la definición: $\cos\theta = \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ con los valores conocidos en su sitio;
resuelve la pequeña ecuación para la incógnita (multiplica o divide);
para un ángulo desconocido, aplica el $\cos^{-1}$ de la calculadora a la razón calculada;
comprobaciones de sentido común: una longitud tiene que salir más corta que la hipotenusa; un ángulo, estrictamente entre $0^\circ$ y $90^\circ$ .

Ejemplo 60.6 (Hallar un lado)

Una rampa de $6$ m forma un ángulo de $20^\circ$ con el suelo horizontal. Distancia horizontal recorrida (contigua a $20^\circ$ , con la hipotenusa $6$ m):

\cos 20^\circ = \frac{d}{6} \quad\Longrightarrow\quad d = 6 \cos 20^\circ \approx 6 \times 0.940 \approx 5.6 \text{ m}.

Ejemplo 60.7 (Hallar un ángulo)

En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo al ángulo $\theta$ mide $3.5$ y la hipotenusa, $5$ :

\cos\theta = \frac{3.5}{5} = 0.7, \qquad \theta = \cos^{-1}(0.7) \approx 45.6^\circ .

60.3 Ejercicios

Ejercicio 60.1 ★

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de $13$ cm. ¿Cuánto mide la mediana desde el vértice del ángulo recto? ¿Cuál es el radio de la circunferencia que pasa por los tres vértices?

Solución

Solución de Ejercicio 60.1.

Mediana desde el ángulo recto: la mitad de la hipotenusa, $6.5$ cm (Teorema 60.1). La circunferencia circunscrita tiene su centro en el punto medio de la hipotenusa y radio $6.5$ cm.

Ejercicio 60.2 ★

Traza una circunferencia de diámetro $8$ cm con un diámetro $[BC]$ , elige un punto cualquiera $A$ de la circunferencia y dibuja $ABC$ . ¿Qué ángulo es recto? Cita el teorema. Mide $AB$ y $AC$ y comprueba Pitágoras.

Solución

Solución de Ejercicio 60.2.

El ángulo en $A$ es recto ( $[BC]$ es un diámetro: punto 2 del Teorema 60.1). Las medidas cumplen $AB^2 + AC^2 \approx 64 = BC^2$ , salvo precisión de medida.

Ejercicio 60.3 ★

En un triángulo $DEF$ rectángulo en $D$ , nombra el cateto contiguo al ángulo $\widehat E$ , el cateto opuesto y la hipotenusa. Escribe $\cos \widehat E$ como una razón.

Solución

Solución de Ejercicio 60.3.

Hipotenusa: $[EF]$ (opuesta al ángulo recto $D$ ). Adyacente a $\widehat E$ : $[ED]$ . Opuesto: $[DF]$ . Luego $\cos\widehat E = \dfrac{ED}{EF}$ .

Ejercicio 60.4 ★

Calcula la magnitud que falta ( $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\cos 50^\circ \approx 0.643$ ):

hipotenusa $10$ , ángulo $35^\circ$ : ¿cateto contiguo?
cateto contiguo $6$ , ángulo $50^\circ$ : ¿hipotenusa?

Solución

Solución de Ejercicio 60.4.

1. adyacente $= 10 \cos 35^\circ \approx 8.2$ .

2. hipotenusa $= \dfrac{6}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{6}{0.643} \approx 9.3$ .

Ejercicio 60.5 ★

En un triángulo rectángulo, el cateto contiguo a $\theta$ mide $8$ y la hipotenusa, $10$ . Calcula $\cos\theta$ y después $\theta$ ( $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 60.5.

$\cos\theta = \frac{8}{10} = 0.8$ , luego $\theta = \cos^{-1}(0.8) \approx 37^\circ$ .

Ejercicio 60.6 ★

Explica por qué $\cos\theta$ nunca puede valer $1.2$ para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 60.6.

$\cos\theta$ es un cateto dividido entre la hipotenusa, y la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo: el cociente es siempre menor que $1$ . Un valor de $1.2$ significaría un cateto más largo que la hipotenusa — imposible.

Ejercicio 60.7 ★★

Una tirolina de $25$ m baja desde una plataforma hasta el suelo formando un ángulo de $12^\circ$ con la horizontal ( $\cos 12^\circ \approx 0.978$ ). ¿Qué distancia horizontal cubre?

Solución

Solución de Ejercicio 60.7.

Alcance horizontal $= 25 \cos 12^\circ \approx 25 \times 0.978 \approx 24.5$ m.

Ejercicio 60.8 ★★

Ordena sin calculadora: $\cos 20^\circ$ , $\cos 70^\circ$ y $\cos 45^\circ$ (usa la Proposición 60.4). Compruébalo después con calculadora.

Solución

Solución de Ejercicio 60.8.

El coseno disminuye a medida que el ángulo crece (Proposición 60.4):

\cos 70^\circ < \cos 45^\circ < \cos 20^\circ .

(Calculadora: $0.342 < 0.707 < 0.940$ .)

Ejercicio 60.9 ★★

Una escalera de longitud $L$ se apoya en una pared formando un ángulo $\theta$ entre la escalera y el suelo. Su pie está a $1.2$ m de la pared y $\theta = 68^\circ$ ( $\cos 68^\circ \approx 0.375$ ). Calcula $L$ y después la altura alcanzada (Pitágoras).

Solución

Solución de Ejercicio 60.9.

La distancia en el suelo es adyacente a $\theta$ : $\cos 68^\circ = \frac{1.2}{L}$ , luego $L = \frac{1.2}{0.375} = 3.2$ m. Altura (Pitágoras): $\sqrt{3.2^2 - 1.2^2} = \sqrt{10.24 - 1.44} = \sqrt{8.8} \approx 3.0$ m.

Ejercicio 60.10 ★★

$[BC]$ es un diámetro de una circunferencia de centro $O$ y radio $4.5$ cm, y $A$ es un punto de la circunferencia con $AB = 5.4$ cm.

¿por qué es $ABC$ rectángulo en $A$ ?
calcula $AC$ y después $\cos \widehat B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 60.10.

1. $A$ está en una circunferencia de diámetro $[BC]$ : ángulo recto en $A$ (Teorema 60.1).

2. $BC = 9$ cm (el doble del radio). Pitágoras: $AC = \sqrt{9^2 - 5.4^2} = \sqrt{81 - 29.16} = \sqrt{51.84} = 7.2$ cm. Y $\cos\widehat B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{5.4}{9} = 0.6$ .

Ejercicio 60.11 ★★★

Usando la mitad de un triángulo equilátero de lado $1$ (cortado por una altura), justifica la referencia $\cos 60^\circ = \frac12$ de la Proposición 60.4. (¿Dónde cae el pie de la altura sobre la base? La versión trigonométrica completa está en el Ejemplo 69.9.)

Solución

Solución de Ejercicio 60.11.

En el triángulo equilátero de lado $1$ , la altura desde un vértice cae en el punto medio del lado opuesto (eje de simetría). La mitad del triángulo es rectángulo, con hipotenusa $1$ (un lado entero), un ángulo de $60^\circ$ en el vértice de la base y lado adyacente $\frac12$ (la mitad de la base). Por tanto

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12 .

60.4 Problema: Las relaciones de Euclides y Pitágoras otra vez

Problema 60.1

Problema de fin de semana — la altura de un triángulo rectángulo: $AB^2 = BH \times BC$ , $AH^2 = BH \times HC$ , una segunda demostración de Pitágoras y una máquina para construir raíces cuadradas

Traza, desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo, la perpendicular a la hipotenusa: ese segmento corto — la altura — cumple relaciones tan útiles que Euclides las puso en el corazón de sus Elementos. En este problema, la propiedad que define al coseno, «la razón depende solo del ángulo» (Definición 60.3), las demuestra todas; por el camino volverás a demostrar el teorema de Pitágoras por una vía completamente distinta y terminarás con una máquina de regla y compás que construye $\sqrt2$ , $\sqrt5$ y $\sqrt{n}$ para todo número entero $n$ .

En todo el problema, $ABC$ es un triángulo rectángulo en $A$ y $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$ a la hipotenusa $[BC]$ , de modo que $H$ está entre $B$ y $C$ y $AH \perp BC$ .

Parte I — Un ángulo, dos triángulos.

usando la suma de los ángulos de un triángulo (Teorema 51.3) en $ABH$ y en $ABC$ , demuestra que $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : la altura corta el triángulo rectángulo en dos triángulos menores que llevan los mismos ángulos que el original;
los triángulos $ABC$ (rectángulo en $A$ ) y $ABH$ (rectángulo en $H$ ) comparten el ángulo $\widehat B$ . Escribe $\cos\widehat B$ en cada uno y deduce de la Definición 60.3 que

$AB^2 = BH \times BC .$

(para pasar de razones iguales a productos iguales, multiplica los dos miembros por los dos denominadores, Teorema 57.5.)
enuncia y demuestra la relación gemela en el vértice $C$ :

$AC^2 = CH \times CB .$
toma el triángulo $3$ – $4$ – $5$ : $AB = 3$ , $AC = 4$ , $BC = 5$ . Calcula $BH$ y $CH$ con las preguntas 2 y 3, y comprueba que $BH + HC = BC$ ;
en general, expresa $BH$ y $CH$ como fracciones en las que solo aparezcan los tres lados. ¿En qué sentido reparte el pie $H$ la hipotenusa «proporcionalmente a los cuadrados de los catetos»?

Parte II — Pitágoras otra vez y la altura.

suma las relaciones de las preguntas 2 y 3 y usa $BH + HC = BC$ para obtener

$AB^2 + AC^2 = BC^2 :$

el teorema de Pitágoras (Teorema 58.1), demostrado de nuevo — sin ningún rompecabezas de áreas a la vista (compara el Ejercicio 58.11).
aplica Pitágoras en el triángulo pequeño $ABH$ para escribir $AH^2 = AB^2 - BH^2$ , sustituye $AB^2$ por $BH \times BC$ y saca factor común $BH$ para demostrar la relación de la altura de Euclides:

$AH^2 = BH \times HC .$
calcula el área de $ABC$ de dos maneras — con los catetos como base y altura, y después con la hipotenusa como base (Teorema 53.3) — y deduce la tercera relación:

$AB \times AC = BC \times AH .$
de vuelta al triángulo $3$ – $4$ – $5$ : calcula $AH$ con la pregunta 8 y verifica después numéricamente la relación de la altura de la pregunta 7, usando los valores de $BH$ y $CH$ hallados en la pregunta 4;
el pie de la altura parte la hipotenusa de cierto triángulo rectángulo en segmentos $BH = 2$ cm y $HC = 8$ cm. Calcula la altura $AH$ .

Parte III — Una máquina de raíces cuadradas. Traza un segmento $[BC]$ formado por dos trozos puestos uno a continuación del otro: $BH = p$ y $HC = q$ . Traza la semicircunferencia de diámetro $[BC]$ y sea $A$ el punto donde la perpendicular a $(BC)$ en $H$ la corta.

usando el Teorema 60.1, explica por qué el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ — así que se aplica la pregunta 7 y

$AH^2 = p \times q .$

(la longitud $AH$ se llama la media geométrica de $p$ y $q$ );
toma $p = 1$ y $q = 2$ . ¿Cuánto vale $AH^2$ ? ¿Qué longitud famosa del Ejemplo 58.9 acaba de construir tu figura de regla y compás?
describe la receta que construye un segmento de longitud $\sqrt n$ para cualquier número entero $n \geq 1$ , y di qué elección de $p$ y $q$ construye $\sqrt 5$ ;
sea $O$ el centro de la semicircunferencia. Explica por qué $AH$ nunca puede superar el radio $\frac{p + q}{2}$ y para qué posición de $H$ los dos son iguales.
deduce la desigualdad: para todos los números positivos $p$ y $q$ ,

$p \times q \leq \left(\frac{p + q}{2}\right)^2,$

con igualdad exactamente cuando $p = q$ . Vuelve a demostrarla después sin nada de geometría: desarrolla $\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - p q$ y reconoce una identidad notable (Problema 57.1).

Solución

Solución de Problema 60.1.

1. En el triángulo $ABH$ , rectángulo en $H$ , la suma de los ángulos (Teorema 51.3) da $\widehat B + 90^\circ + \widehat{BAH} = 180^\circ$ , luego $\widehat{BAH} = 90^\circ - \widehat B$ . En el triángulo $ABC$ , rectángulo en $A$ : $\widehat B + \widehat C + 90^\circ = 180^\circ$ , luego $\widehat C = 90^\circ - \widehat B$ . Por tanto $\widehat{BAH} = \widehat{ACB}$ : los dos triángulos pequeños repiten los ángulos $\widehat B$ , $\widehat C$ , $90^\circ$ del original.

2. En $ABC$ (rectángulo en $A$ ), el lado adyacente a $\widehat B$ es $AB$ y la hipotenusa es $BC$ : $\cos\widehat B = \frac{AB}{BC}$ . En $ABH$ (rectángulo en $H$ ), el lado adyacente a $\widehat B$ es $BH$ y la hipotenusa es $AB$ : $\cos\widehat B = \frac{BH}{AB}$ . La razón solo depende del ángulo (Definición 60.3), luego

\frac{AB}{BC} = \frac{BH}{AB} ;

multiplicando los dos miembros por $BC \times AB$ (Teorema 57.5): $AB^2 = BH \times BC$ .

3. Los triángulos $ABC$ (rectángulo en $A$ ) y $ACH$ (rectángulo en $H$ ) comparten el ángulo $\widehat C$ . Lado adyacente entre hipotenusa en cada uno:

\cos\widehat C = \frac{AC}{CB} = \frac{CH}{AC} \qquad\Longrightarrow\qquad AC^2 = CH \times CB .

4. $AB^2 = BH \times BC$ se lee $9 = BH \times 5$ , luego $BH = 1.8$ ; y $16 = CH \times 5$ da $CH = 3.2$ . Comprobación: $BH + HC = 1.8 + 3.2 = 5 = BC$ — como tenía que ser, ya que $H$ está sobre la hipotenusa, entre $B$ y $C$ .

5. Dividiendo cada relación entre $BC$ :

BH = \frac{AB^2}{BC}, \qquad CH = \frac{AC^2}{BC} .

Así que $BH$ y $CH$ son proporcionales a $AB^2$ y $AC^2$ : el pie de la altura parte la hipotenusa en la razón de los cuadrados de los catetos ( $1.8 : 3.2 = 9 : 16$ en la pregunta 4).

6. Sumando las dos relaciones y sacando factor común $BC$ (distributividad):

AB^2 + AC^2 = BH \times BC + CH \times BC = (BH + CH) \times BC = BC \times BC = BC^2 .

Esto es el Teorema 58.1, obtenido solo a partir del coseno — una demostración auténticamente distinta del rompecabezas de áreas de los cuatro triángulos del Ejercicio 58.11.

7. Pitágoras en $ABH$ (rectángulo en $H$ , hipotenusa $[AB]$ ): $AH^2 = AB^2 - BH^2$ . Sustituyendo $AB^2$ por $BH \times BC$ (pregunta 2) y sacando factor común $BH$ :

AH^2 = BH \times BC - BH^2 = BH \times (BC - BH) = BH \times HC .

8. Tomando los catetos como base y altura, el área de $ABC$ es $\frac{AB \times AC}{2}$ ; tomando la hipotenusa $[BC]$ como base, la altura es exactamente $AH$ , así que el área también es $\frac{BC \times AH}{2}$ (Teorema 53.3). Igualando y multiplicando por dos: $AB \times AC = BC \times AH$ .

9. $AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4$ . Comprobación de la pregunta 7: $AH^2 = 2.4^2 = 5.76$ y $BH \times HC = 1.8 \times 3.2 = 5.76$ . Iguales.

10. $AH^2 = BH \times HC = 2 \times 8 = 16$ , luego $AH = \sqrt{16} = 4$ cm.

11. El punto $A$ está en la circunferencia de diámetro $[BC]$ (y es distinto de $B$ y de $C$ ), así que, por el punto 2 del Teorema 60.1, el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ . Por construcción $(AH) \perp (BC)$ con $H$ entre $B$ y $C$ : el segmento $[AH]$ es precisamente la altura de la pregunta 7, y $AH^2 = BH \times HC = p \times q$ .

12. $AH^2 = 1 \times 2 = 2$ : la figura construye, solo con regla y compás, un segmento cuyo cuadrado es $2$ — la diagonal del cuadrado unidad, $\sqrt2 \approx 1.414$ , del Ejemplo 58.9.

13. Receta: pon uno a continuación del otro dos segmentos de longitudes $p = 1$ y $q = n$ ; traza la semicircunferencia cuyo diámetro es el segmento entero (de longitud $n + 1$ ); levanta la perpendicular en el punto de unión; corta a la semicircunferencia en un punto cuya distancia al punto de unión es $\sqrt{1 \times n} = \sqrt n$ . Para $\sqrt5$ : toma $p = 1$ y $q = 5$ (una semicircunferencia de diámetro $6$ ).

14. $A$ está en la circunferencia de centro $O$ , luego $OA = \frac{p+q}{2}$ , el radio. Si $H \neq O$ , el triángulo $AHO$ es rectángulo en $H$ con hipotenusa $[OA]$ , y un cateto es más corto que la hipotenusa: $AH < OA$ . Si $H = O$ , entonces $AH = OA$ exactamente. En todos los casos $AH \leq \frac{p+q}{2}$ , con igualdad exactamente cuando $H$ es el centro — es decir, cuando $p = q$ .

15. Elevando al cuadrado $AH \leq \frac{p+q}{2}$ (los dos miembros son positivos) y usando $AH^2 = pq$ :

p \times q \leq \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 ,

con igualdad exactamente para $p = q$ . Nueva demostración algebraica, con las identidades notables (Problema 57.1):

\left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - pq = \frac{p^2 + 2pq + q^2 - 4pq}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4} = \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 ,

un cuadrado, luego nunca negativo — y cero exactamente cuando $p = q$ . La media geométrica de dos números nunca supera su semisuma.

Términos definidos en este capítulo

Coseno

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