Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

47Fracciones: comparar y sumar

El grado 6 introdujo fracciones como acciones y como cocientes exacto (Capítulo 39). Este capítulo aprende a calcular con ellos: reconocer igual fracciones, comparar, sumar y restar — por ahora con el amigable denominadores; el caso general entra Capítulo 63.

47.1 fracciones iguales

Teorema 47.1 (fracciones iguales)

Un fracción no cambia cuando sus numerador y denominador son multiplicado o dividido por el mismo número distinto de cero:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , y en el otro sentido $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (simplificado por $6$ ).

Para probar si $\dfrac{8}{12}$ y $\dfrac{10}{15}$ son iguales, simplificar ambos: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ y $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — si, igual.

47.2 Comparar fracciones

Método 47.3 (Comparando dos fracciones)

Same denominador: comparar el numeradores: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
One denominador is a múltiple of the other: reescribe el fracción más grueso, luego compare: $\frac{5}{6}$ frente a $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Compare with $1$ or $\frac12$ cuando sea posible: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ se instala $\frac98$ frente a $\frac79$ al instante.

Comparando 5/6 y 7/12 en barras gemelas: corte los sextos en medio muestran 5/6 = 10/12, más de 7/12. — Comparando $\frac56$ y $\frac{7}{12}$ en barras gemelas: corte los sextos en medio muestran $\frac56 = \frac{10}{12}$ , más de $\frac{7}{12}$ .

47.3 Sumar y restar

Teorema 47.4 (Mismo denominador)

fracciones con el mismo denominador se suman (o restan) por sumando (o restando) el numeradores:

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

¿Por qué?. $a$ piezas del tamaño $\frac1d$ más $b$ piezas del mismo tamaño marca $a + b$ piezas de ese tamaño. ∎

Método 47.5 (Diferentes denominadores)

Cuando un denominador es un múltiple del otro:

reescribe el fracción con el denominador más pequeño para que ambos tengan el más grande (Teorema 47.1);
suma o resta el numeradores;
simplifique el resultado si es posible.

Ejemplo 47.6

Calcula $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , paso a paso:

$8$ es un múltiple de $4$ : reescribir $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
agregar: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
nada que simplificar: el resultado es $\dfrac{11}{8}$ , es decir $1 + \dfrac38$ .

Otro: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (escribe el número entero sobre denominador $5$ primero).

Ejemplo 47.7 (Una trampa clásica)

$\dfrac12 + \dfrac13$ es no $\dfrac{2}{5}$ ! Agregando numeradores y denominadores por separado es incorrecto — la respuesta $\frac25$ sería menor que $\frac12$ , absurdo cuando añadiendo algo positivo a $\frac12$ . (El suma, $\frac56$ correcto, necesita un denominador común $6$ ; el método general está en Capítulo 63.)

47.4 Multiplicar una fracción por un número

Proposición 47.8 (Fracción multiplicada por un número)

Para un número $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

Tomar $\frac ab$ of una cantidad significa multiplicar por $\frac ab$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : seis por dos tercios es cuatro enteros. Y “ $\frac34$ de $60$ euros” es $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ euros — la misma respuesta que dividir por $4$ y luego multiplicar por $3$ (Método 39.8).

47.5 Ceremonias

Ejercicio 47.1 ★

Completo: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Ejercicio 47.2 ★

Simplifique tanto como sea posible: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Ejercicio 47.3 ★

¿Son iguales $\dfrac{15}{35}$ y $\dfrac{21}{49}$ ? Y $\dfrac{16}{28}$ y $\dfrac{20}{36}$ ? Justifica simplificando.

Solución

Solución de Ejercicio 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ y $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : iguales.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ y $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : a comparar, $\frac47 = \frac{36}{63}$ y $\frac59 = \frac{35}{63}$ — no igual.

Ejercicio 47.4 ★

Compara (escribe el razonamiento, no solo la respuesta):

\frac{7}{11} \text{ and } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ and } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ and } \frac{19}{20}.

Solución

Solución de Ejercicio 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (mismo denominador).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ mientras que $\dfrac{19}{20} < 1$ , entonces $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Ejercicio 47.5 ★

Calcula y simplifica si es posible:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Solución

Solución de Ejercicio 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Ejercicio 47.6 ★

Calcule usando Método 47.5:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Solución

Solución de Ejercicio 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Ejercicio 47.7 ★

Calcular:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Solución

Solución de Ejercicio 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Ejercicio 47.8 ★

Calcular:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ of } 45 .

Solución

Solución de Ejercicio 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ of $45$ is $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Ejercicio 47.9 ★★

Marc se comió $\frac14$ de una pizza y Julie $\frac38$ de la misma pizza. ¿Qué fracción de la pizza comieron juntos? ¿Qué es fracción? ¿Izquierda?

Solución

Solución de Ejercicio 47.9.

Juntos: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ de la pizza. Izquierda: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Ejercicio 47.10 ★★

Una botella contiene $\frac34$ L de jugo. Lea derrama $\frac16$ L dos veces. ¿Cuánto jugo queda? (Común denominador: $12$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 47.10.

Derramado: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Restante:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Ejercicio 47.11 ★★

Explique, con el argumento de Ejemplo 47.7, por qué $\frac35 + \frac12$ no puede ser $\frac{4}{7}$ , sin calcular el correcto suma.

Solución

Solución de Ejercicio 47.11.

Sumar la cantidad positiva $\frac12$ a $\frac35$ debe dar un resultado más grande que $\frac35$ . Pero $\frac47 < \frac35$ (de hecho $\frac47 = \frac{20}{35}$ y $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): el reclamado suma es más pequeño que uno de sus términos — imposible.

Ejercicio 47.12 ★★★

Calcular el suma

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

paso a paso (de izquierda a derecha). Observe el patrón del parcial sumas: ¿A qué número se acercan cuando hay más y más términos? ¿Se agregan $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 47.12.

Paso a paso:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

Los parciales sumas $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ son cada vez a medio camino más cerca de $1$ : en cada paso, la parte que falta es cortado en medio. El sumas se acerca al $1$ sin llegar nunca a él.

47.6 Problema: Las fracciones escondidas en un compás de música.

Problema 47.1

Problema de fin de semana — los valores de las notas son fracciones que deben sumar exactamente, el conteo rítmico esconde una secuencia famosa, y la paridad gobierna el ritmo de los Balcanes

La música está escrita en fracciones. A nota completa dura $1$ medida (en el tiempo común "cuatro-cuatro"); a medio note dura $\frac12$ ; luego viene el cuarto note $\frac14$ , el octava nota $\frac18$ y el semicorchea $\frac{1}{16}$ . Una ley inviolable: las duraciones dentro de un La medida debe sumar exactamente el total de la medida. — $1$ en cuatro por cuatro veces. Cada pregunta a continuación es la aritmética de este capítulo. (Teorema 47.4, Método 47.5) configurado en música; en el camino te encontrarás con una secuencia de conteo descubierta por Eruditos indios hace mil años.

Parte I — Notes that must add up.

Comprueba que cada una de estas medidas es legal en cuatro-cuatro hora: (a) medio $+$ cuarto $+$ cuarto; (b)cuarto $+$ octavo $+$ octavo $+$ medio.
Un copista escribió: medio $+$ cuarto $+$ octavo. que fracción de la medida está escrito, y qué único nota lo completa?
¿Cuántas semicorcheas ocupan un compás completo? como ¿Cuántas semicorcheas forman una corchea?
A punto después de una nota agrega medio el valor de la nota: a medio con puntos es $\frac12 + \frac14$ , cuarto con puntos es $\frac14 + \frac18$ . Calcule ambos valores.
Un vals se escribe en compás de tres por cuatro: cada compás debe total $\frac34$ . Compruebe que un único punto medio llene un medida de vals y anota otras dos medidas de vals legales. medidas utilizando sólo cuarteles y octavas.

Parte II — The copyist’s workshop.

Un compás cuatro por cuatro contiene: punteado cuarto $+$ octavo $+$ cuarto. ¿Qué está faltando?
¿Qué dura más, una octava con puntillo o una nota cuarto? Comparar mediante dieciseisavos.
A atar une duraciones en una larga sonido: una nota medio atada a una octava dura ¿cuánto tiempo? como ¿Cuántos dieciseisavos es eso?
Las notas de una medida suman $\frac{11}{16}$ ; el resto es silencio (un descansar). ¿Cuánto dura el descansar?
Un baterista llena una nota cuarto ( $\frac{4}{16}$ de la compás) usando sólo octavos ( $\frac{2}{16}$ ) y dieciseisavos ( $\frac{1}{16}$ ), orden importante: para instancia octava–decimosexta–decimosexta, o decimosexto – octavo – decimosexto. Compruebe que ambos ejemplos son legales, luego enumere todo los ritmos posibles. ¿Cuantos hay?

Parte III — A thousand-year-old sequence, and an extraño measure.

Contemos los ritmos del baterista para notas más largas. Cada ritmo termina con una semicorchea o con una octavo; explica por qué esto da la regla: (ritmos relleno $n$ semicorcheas) $=$ (relleno de ritmos $n - 1$ ) $+$ (ritmos llenando $n - 2$ ). A partir del ritmo $1$ para un decimosexto y $2$ para dos, construya la tabla hasta $n = 8$ : ¿cuántos ritmos llenan una nota medio?
Los números que encontraste — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — fueron publicados por el erudito indio Hemachandra alrededor del año 1150, contando exactamente esos ritmos, dos generaciones antes de que Fibonacci los escribiera en Italia. Indique su patrón definitorio en una oración y verifique en las últimas tres entradas de su tabla.
El estilo “Swing” reemplaza dos octavos iguales por un par largo-corto: $\frac16$ y luego $\frac{1}{12}$ . verificar que el swap es legal (misma duración total), utilizando el común denominador $12$ .
A trillizo comprime tres notas iguales en una cuarto nota. ¿Cuánto dura cada nota? (comprueba tu respuesta). multiplicándolo por $3$ , Proposición 47.8)? Misma pregunta para tres. notas iguales llenando una nota medio.
La música de baile balcánica utiliza el compás siete-ocho: cada compás totaliza $\frac78$ . Verifique que el punto cuarto $+$ cuarto $+$ cuarto lo llena. Luego explica por qué no combinación de billetes medio y billetes cuarto solos, por muchos que sean, alguna vez podrán llenar un compás siete-ocho. (Cuente en octavos y piense en pares y extraño).

Solución

Solución de Problema 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : legales. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : legal.

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : falta una corchea.

3. Una medida es $1 = \frac{16}{16}$ : dieciséis decimosexto notas. Un octavo es $\frac18 = \frac{2}{16}$ : dos dieciseisavos.

4. Punteado medio: $\frac12 + \frac14 = \frac34$ . punteado cuarto: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ .

5. El medio punteado vale $\frac34$ (pregunta 4): exactamente un compás de vals. Otros rellenos, por ejemplo: cuarto $+$ cuarto $+$ cuarto ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), o cuarto $+$ octavo $+$ octavo $+$ cuarto ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ ).

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : una nota cuarto ( $\frac14$ ) es desaparecido.

7. Octava punteada: $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ . Cuarto: $\frac{4}{16}$ . El cuarto es más largo.

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , es decir $\frac{10}{16}$ : diez dieciseisavos.

9. $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ de la medida es el silencio.

10. Ambos ejemplos suman $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : legal. Todos los ritmos llenando cuatro semicorcheas con piezas de $2$ y $1$ :

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

cinco ritmos.

11. Un ritmo que llena $n$ semicorcheas termina con un decimosexto — y lo que precede llena $n - 1$ — o con un octavo — y lo que precede llena $n - 2$ . Cada ritmo es contado exactamente una vez de esta manera, así que $\text{ways}(n) = \text{ways}(n-1) + \text{ways}(n-2)$ . Tabla:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
ways	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

Una nota medio ( $8$ semicorcheas) se puede tocar de maneras $34$ . ( $n = 4$ recupera los cinco ritmos de la pregunta 10.)

12. Cada número es el suma de los dos anteriores: $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — la regla pregunta 11 probada, mil años de antigüedad y ahora conocida como la regla de Fibonacci.

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : la misma duración que dos octavos seguidos ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ). el columpio el intercambio es legal.

14. Cada nota de tresillo dura $\frac{1}{12}$ : cheque, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (Proposición 47.8). Para una nota medio: cada uno dura $\frac16$ , desde $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ .

15. Con puntos cuarto $+$ cuarto $+$ cuarto: en octavos, $3 + 2 + 2 = 7$ octavos $= \frac78$ : legal. Mitades y cuarteles valen $4$ y $2$ octavos — ambos números incluso. Cualquiera suma de números pares es incluso, pero se necesita una medida de siete u ocho. $7$ octavos, un número impar: imposible. Para completar una medida extraño, debe aparecer algo extraño — una octava o una nota con puntillo —.