47Fracciones: comparar y sumar

Problema 47.1

Problema de fin de semana — las figuras musicales son fracciones que tienen que sumar exactamente, contar el ritmo esconde una sucesión famosa y la paridad manda en el compás balcánico

La música se escribe con fracciones. Una redonda dura $1$ compás (en el corriente compás de «cuatro por cuatro»); una blanca dura $\frac12$; después vienen la negra, $\frac14$, la corchea, $\frac18$, y la semicorchea, $\frac{1}{16}$. Una ley inviolable: las duraciones de un compás tienen que sumar exactamente el total del compás — $1$ en el compás de cuatro por cuatro. Todas las preguntas de abajo son la aritmética de este capítulo (Teorema 47.4, Método 47.5) puesta en música; por el camino conocerás una sucesión de recuento descubierta por eruditos indios hace mil años.

Parte I — Figuras que tienen que sumar.

1. comprueba que cada uno de estos compases es legal en el compás de cuatro por cuatro: (a) blanca $+$ negra $+$ negra; (b) negra $+$ corchea $+$ corchea $+$ blanca;
2. un copista escribió: blanca $+$ negra $+$ corchea. ¿Qué fracción del compás está escrita y qué figura única lo completa?
3. ¿cuántas semicorcheas llenan un compás entero? ¿Cuántas semicorcheas hacen una corchea?
4. un puntillo detrás de una figura le añade la mitad de su valor: una blanca con puntillo es $\frac12 + \frac14$ y una negra con puntillo es $\frac14 + \frac18$. Calcula los dos valores;
5. un vals se escribe en compás de tres por cuatro: cada compás debe sumar $\frac34$. Comprueba que una sola blanca con puntillo llena un compás de vals y escribe otros dos compases de vals legales usando solo negras y corcheas.

Parte II — El taller del copista.

6. un compás de cuatro por cuatro contiene: negra con puntillo $+$ corchea $+$ negra. ¿Qué falta?
7. ¿qué dura más, una corchea con puntillo o una negra? Compáralas en semicorcheas;
8. una ligadura pega duraciones en un solo sonido largo: una blanca ligada a una corchea, ¿cuánto dura? ¿Cuántas semicorcheas son?
9. las figuras de un compás suman $\frac{11}{16}$; el resto es un silencio. ¿Cuánto dura ese silencio?
10. un batería rellena una negra ($\frac{4}{16}$ del compás) usando solo corcheas ($\frac{2}{16}$) y semicorcheas ($\frac{1}{16}$), y el orden importa: por ejemplo, corchea–semicorchea–semicorchea o semicorchea–corchea–semicorchea. Comprueba que los dos ejemplos son legales y enumera después todos los ritmos posibles. ¿Cuántos hay?

Parte III — Una sucesión de mil años y un compás impar.

11. contemos los ritmos del batería para figuras más largas. Todo ritmo termina o bien en semicorchea o bien en corchea; explica por qué eso da la regla: (ritmos que llenan $n$ semicorcheas) $=$ (ritmos que llenan $n - 1$) $+$ (ritmos que llenan $n - 2$). Partiendo de $1$ ritmo para una semicorchea y $2$ para dos, construye la tabla hasta $n = 8$: ¿cuántos ritmos llenan una blanca?
12. los números que has hallado — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — los publicó el erudito indio Hemachandra hacia el año 1150, contando exactamente estos ritmos, dos generaciones antes de que Fibonacci los escribiera en Italia. Enuncia en una frase el patrón que los define y compruébalo en las tres últimas entradas de tu tabla;
13. el estilo «swing» sustituye dos corcheas iguales por una pareja larga–corta: $\frac16$ y después $\frac{1}{12}$. Verifica que el cambio es legal (la misma duración total), usando el denominador común $12$;
14. un tresillo mete tres figuras iguales dentro de una negra. ¿Cuánto dura cada una (comprueba tu respuesta multiplicándola por $3$, Proposición 47.8)? La misma pregunta para tres figuras iguales que llenan una blanca;
15. la música de danza balcánica usa el compás de siete por ocho: cada compás suma $\frac78$. Verifica que negra con puntillo $+$ negra $+$ negra lo llena. Después explica por qué ninguna combinación de blancas y negras solamente, por muchas que sean, puede llenar un compás de siete por ocho. (Cuenta en corcheas y piensa en pares e impares.)