Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

48Expresiones literales

Una letra en un cálculo representa un número que aún no conocemos, o para números todo a la vez: escribir $P = 4c$ da perímetro de cada cuadrado en una fórmula. Este capítulo enseña la escritura. convenciones, cómo sustituir valores y cómo simplificar simples expresiones — el comienzo del álgebra, continúa en Capítulo 57.

48.1 Escribiendo con letras

Definición 48.1 (expresión literal)

A expresión literal es un cálculo que contiene una o más letras, cada una de las cuales representa un número. escribiendo convenciones:

se elimina el signo $\times$ antes de una letra o un corchete: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
pero queda entre dos números: $3 \times 5$ no se puede escrito $35$ !
$a \times a$ se escribe $a^2$ (" $a$ al cuadrado"), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ se escribe $a$ y $0a$ es $0$ .

Ejemplo 48.2

Simplifica la escritura:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(number first)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Ejemplo 48.3 (Las fórmulas son expresiones literales.)

Para un rectángulo de largo $L$ y ancho $w$ : perímetro $P = 2(L + w)$ , área $A = Lw$ . Una fórmula resume la infinitos rectángulos a la vez — ese es el objetivo de letras.

Dos fórmulas, válidas para cada rectángulo: sustituye los valores de L y w para obtener números. — Dos fórmulas, válidas para cada rectángulo: sustituye los valores de $L$ y $w$ para obtener números.

48.2 Sustituyendo

Método 48.4 (Evaluando una expresión)

Para evaluar una expresión para valores dados de sus letras:

reescribe la expresión poniendo de nuevo los signos ocultos $\times$ : $3a + a^2$ es $3 \times a + a \times a$ ;
reemplaza cada letra por su valor, manteniendo corchetes alrededor si es necesario;
computa, respetando las prioridades de Capítulo 45.

Ejemplo 48.5

Evalúe $E = 3x + x^2$ para $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Evalúe $F = 2(a + 3b)$ para $a = 4$ y $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Reducir expresiones

Proposición 48.6 (Recopilación de términos similares)

Los términos que contienen la misma parte de letra se pueden recopilar agregando sus partes numéricas (esto es distributividad, Teorema 45.6, leído al revés):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Términos con diferentes partes de letras (como $3x$ y $5y$ , o $x$ y $x^2$ ) no se puede recopilar.

Ejemplo 48.7

Reducir $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , ordenando los términos:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Cuidado: ¡ $7x + 9$ es no $16x$ ! Prueba con $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ y $7 \times 1 + 9 = 16$ están de acuerdo, pero $16x$ también ser $16$ — prueba con $x = 2$ : el original da $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ y $7 \times 2 + 9 = 23$ , mientras $16 \times 2 = 32$ . La reducción $7x + 9$ es correcta, $16x$ es incorrecta.

Método 48.8 (Probando una igualdad)

Para comprobar si dos expresiones pueden ser iguales para cada valor:

sustituye el mismo valor en ambos, al menos dos veces (p. ej. $x = 2$ y $x = 10$ ; Evite $0$ y $1$ , esconden demasiados. diferencias);
si los resultados difieren aunque sea una vez, las expresiones son no igual — un contraejemplo anula una afirmación general;
si los resultados concuerdan, la igualdad es solo plausible: a la prueba necesita álgebra (expandir, reducir).

Ejemplo 48.9

¿ $2(x + 3)$ es igual a $2x + 6$ por cada $x$ ? La ampliación lo demuestra: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . ¿ $(x + 1)^2$ es igual a $x^2 + 1$ ? Prueba $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ pero $2^2 + 1 = 5$ . No — y un contraejemplo es una prueba completa del "no".

48.4 Producir expresiones

Ejemplo 48.10 (De la situación a la expresión)

Un taxi cuesta $4$ euros más $2$ euros por kilómetro. para un viaje de $k$ kilómetros el precio es

p = 4 + 2k \quad\text{euros}.

Para $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euros. La expresión is la respuesta general; la sustitución produce cada uno en particular.

Ejemplo 48.11 (Trucos de números)

“Piensa en un número, duplícalo, suma $10$ , divide por $2$ , resta tu número.” Llama al número $n$ y sigue los pasos:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Todo el mundo recibe $5$ , sea lo que sea que fuera $n$ — las cartas explican el magia.

48.5 Ceremonias

Ejercicio 48.1 ★

Simplifica la escritura:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solución

Solución de Ejercicio 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Ejercicio 48.2 ★

Vuelva a colocar los carteles $\times$ :

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Ejercicio 48.3 ★

Evaluar para $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.3.

Para $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Ejercicio 48.4 ★

Evalúe $3a + 2b$ y $a b + 5$ para $a = 4$ , $b = 1.5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Ejercicio 48.5 ★

Reducir:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Ejercicio 48.6 ★

Dé una fórmula para: el perímetro de un cuadrado de lado $c$ ; el perímetro de un triangulo isósceles con base $b$ y lados iguales $s$ ; el precio de los panes $n$ a $1.20$ euros cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 48.6.

Cuadrado: $P = 4c$ . Triángulo isósceles: $P = b + 2s$ . Panes: $p = 1.20\,n$ euros.

Ejercicio 48.7 ★

Relaciona cada expresión con una descripción: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Descripciones: “el medio de $n$ ”; “el doble de $n$ ”; “el cuadrado de $n$ ”; “dos más que $n$ ”.

Solución

Solución de Ejercicio 48.7.

$2n$ : el doble; $n + 2$ : dos más que $n$ ; $n^2$ : el cuadrado; $\frac n2$ : el medio.

Ejercicio 48.8 ★★

Utilizando Método 48.8, decida (con prueba o contraejemplo) si estas igualdades se cumplen para cada $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : verdadero por cada $x$ (distributividad — esto es una prueba, no se necesita prueba).

$2x + 5 = 7x$ : prueba $x = 2$ : izquierda $9$ , derecha $14$ — FALSO en general (sólo es válido para $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : prueba $x = 3$ : izquierda $6$ , derecha $9$ — FALSO en generales ( $x + x = 2x$ ).

Ejercicio 48.9 ★★

Un rectángulo tiene ancho $w$ y su largo es $3$ cm mayor que su ancho.

Expresa la longitud, luego perímetro, en términos de $w$ , y reducir.
Calcula el perímetro para $w = 5$ cm, directamente y con tu Fórmula reducida. ¿La misma respuesta?

Solución

Solución de Ejercicio 48.9.

1. Longitud: $w + 3$ . Perímetro:

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. For $w = 5$ : directly, the sides are $5$ and $8$ , so $P = 2 \times 13 = 26$ cm; con la fórmula, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Ellos están de acuerdo.

Ejercicio 48.10 ★★

Sigue el truco de Ejemplo 48.11 con letras: “pensar de un número, suma $6$ , multiplica por $3$ , resta $18$ , divide por tu número inicial” (supongamos que no es cero). ¿Qué obtiene cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 48.10.

Siguiendo los pasos con la letra $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Everyone gets $3$ .

Ejercicio 48.11 ★★★

La siguiente figura es un cuadrado de lado $a$ con una esquina cuadrada de lado $b$ eliminado ( $b$ más pequeño que $a$ ). Escribe dos expresiones diferentes. para su área (uno como diferencia, uno cortando la forma de L en dos rectángulos) y verifique que coincidan con $a = 5$ , $b = 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.11.

Como diferencia: $A = a^2 - b^2$ . Cortando la L en dos rectángulos: una franja de ancho completo de altura $a - b$ y, encima, una rectángulo más estrecho:

A = a(a - b) + b(a - b)

(rectángulo inferior $a$ de ancho y $a - b$ alto, rectángulo superior $a - b$ de ancho y $b$ alto da la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — lo mismo). Para $a = 5$ , $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ y $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Ambas expresiones concuerdan — siempre lo hacen: esta es la identidad $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ de Capítulo 66 disfrazado.

48.6 Problema: el oráculo de las cerillas

Problema 48.1

Problema del fin de semana — patrones de crecimiento y sus $n$ -ésimo término: tres fórmulas para un patrón y el famoso patrón que se rompe en el sexto paso

Coloque las cerillas en una fila de cuadrados: un cuadrado, luego dos, luego tres … ¿Cuántas coincidencias necesitará la centésima cifra? Contarlos uno por uno llevaría todo el fin de semana; un fórmula en $n$ responde instantáneamente para cada cifra a la vez — es decir exactamente para qué sirven las letras (Ejemplo 48.3). Pero ojo: este problema se acaba con un patrón famoso que juega limpio durante cinco pasos y luego traiciona a todos los que confiaron en él.

Parte I — A row of squares. La figura $1$ es un cuadrado de cerilla ( $4$ coincide); cada uno de los siguientes La figura suma un cuadrado más compartiendo lado con el anterior.

Dibuja las figuras $1$ a $4$ y cuenta sus coincidencias.
Explica por qué cada cuadrado nuevo cuesta exactamente $3$ extra coincidencias y utilícelo para predecir el recuento de la figura $10$ sin ninguna fórmula.
Justifique la fórmula: la figura $n$ necesita coincidencias $3n + 1$ . (¿De dónde viene el solitario “ $+1$ ”?) Compruébalo contra la pregunta 1.
Amir razona de otra manera: “ $4$ coincide por primera vez cuadrado, luego $3$ para cada uno de los otros $n - 1$ ”, dando $4 + 3(n - 1)$ . Ampliar y reducir su expresión. (Proposición 48.6): ¿está de acuerdo con pregunta 3?
Lena cuenta una tercera vía: “ $2n$ coincidencias horizontales, y $n + 1$ verticales. ” Escribe su fórmula, redúcela, y concluir. Luego responda la pregunta inicial: ¿cuántos coincidencias para la figura $100$ ?

Parte II — Triangles, tables and going backwards.

Una fila de triángulos de cerillas (cada nuevo triángulo se apoya en el anterior): cuenta las coincidencias para $1$ , $2$ , $3$ triángulos, luego justifique la fórmula $2n + 1$ para $n$ triángulos.
Hacia atrás: con coincidencias exactas de $49$ , ¿cuántas ¿Qué triángulos puede tener la fila? (Deshacer la fórmula paso a paso paso.)
Las mesas de banquete cuadradas tienen capacidad para un invitado por lado libre. cuando Las tablas $n$ se colocan en una fila larga, explique por qué La fórmula de asientos es $2n + 2$ y verifíquela para $1$ , $2$ , $3$ tablas.
Una fiesta espera invitados $30$ . ¿Cuántas tablas tiene una fila? necesita? En cambio, el proveedor divide las mismas mesas en dos filas de siete: ¿cuántos invitados caben ahora? Explica la ganancia con la fórmula.
Patrón de puntos: la figura $n$ es una L de puntos, $n$ puntos altos y $n$ puntos de ancho (la esquina se cuenta una vez). contar el puntos de las figuras $1$ , $2$ , $3$ , busque la fórmula y el nombre los números que produce. (Apilados juntos, estos mosaicos L un cuadrado — una historia continuada en Problema 57.1.)

Parte III — Trust, test, prove.

Un compañero reclama la cifra $n$ de la Parte I necesita $3(n + 2) - 5$ coincidencias. Resuelva el reclamo ampliando y reduciendo — no se necesitan pruebas.
“Elevar al cuadrado hace los números más grandes, por lo que $n^2 \geq n$ para cada número $n$ ." Pruebe el reclamo para $n = 2$ , $3$ , $10$ ; luego encuentre un número para el cual falla. ¿Qué hizo el tres pruebas exitosas, ¿y qué significa el único prueba de falla (Método 48.8)?
Marcar puntos en un círculo y dibujar cada segmento entre ellos, luego cuenta las regiones dentro del círculo. Hazlo para los puntos $2$ , $3$ , $4$ y $5$ (coloca los puntos de manera desigual, de modo que no se crucen tres segmentos en un interior punto). Registre los conteos. ¿Qué fórmula tiene el patrón? susurrar?
Ahora $6$ puntos, dibujados de forma grande y desigual, contando con Mucho cuidado (hay muchas regiones pequeñas). cuantos regiones que encuentras — y qué pasó con las conjetura?
La moraleja, en dos frases: lo que hubiera hecho falta a probar la conjetura de la duplicación y por qué se fórmulas de cerillas de las Partes I y II nunca en tal peligro? Celebre con una predicción comprobada: ¿cuántos ¿Coincidencias para la fila de cuadrados $2\,026$ ?

Solución

Solución de Problema 48.1.

1. Las figuras $1$ a $4$ necesitan $4$ , $7$ , $10$ , $13$ . coincidencias.

2. Un nuevo cuadrado comparte un lado con el anterior figura, por lo que solo $3$ de sus lados $4$ son coincidencias nuevas. De figura $4$ ( $13$ coincide), cuestan seis cuadrados más $6 \times 3 = 18$ : la figura $10$ necesita coincidencias $13 + 18 = 31$ .

3. Leyendo la fila de la izquierda: comienza con uno coincidencia vertical, y cada uno de los cuadrados $n$ contribuye con un arriba, abajo y el lado derecho — $3$ coincide con cada uno. Totales: $3n + 1$ ; el “ $+1$ ” es el primer palo vertical. Comprobar: $n = 1, 2, 3, 4$ da $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : Amir la fórmula se expande exactamente a la misma expresión reducida. completo acuerdo.

5. Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — lo mismo otra vez. Tres maneras de ver, una forma reducida. Figura $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ coincidencias.

6. Recuentos: $3$ , $5$ , $7$ coincidencias. Cada nuevo triángulo se apoya en un lado existente y agrega solo coincidencias $2$ , comenzando de $3$ : la figura $n$ necesita coincidencias $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ .

7. Deshacer $2n + 1 = 49$ : eliminar la primera coincidencia deja $48$ , y cada triángulo representa $2$ : $48 \div 2 = 24$ triángulos.

8. En una fila de tablas $n$ , cada tabla ofrece su parte superior e inferior (asientos $2n$ ), y las dos mesas auxiliares ofrecen una lado extra cada uno ( $+2$ ): $2n + 2$ asientos. Verificar: $4$ , $6$ , $8$ para $n = 1, 2, 3$ .

9. Una fila: $2n + 2 \geq 30$ necesita $2n \geq 28$ , entonces $14$ tablas. Dividir las mismas tablas $14$ en dos filas de $7$ : cada fila tiene capacidad para $2 \times 7 + 2 = 16$ , juntos $32$ — dos más que la fila única, porque cada nueva fila trae dos nuevo termina. (Cada división gana asientos $2$ ; los proveedores de catering lo saben).

10. La L de la talla $n$ tiene puntos $n$ subiendo y $n$ al otro lado, el punto de la esquina compartido: $n + n - 1 = 2n - 1$ puntos. Figuras $1$ , $2$ , $3$ : $1$ , $3$ , $5$ puntos — el impar numeros. Anidadas una alrededor de la siguiente, las L llenan un $n \times n$ cuadrado de puntos: la historia de Problema 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : el reclamo se reduce a la fórmula probada, por lo que es adecuada para cada $n$ — establecido por álgebra, no por ejemplos.

12. Pruebas: $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : todas pase. Pero $n = 0.5$ da $n^2 = 0.25 < 0.5$ : el reclamo falla. Las tres pruebas no demostraron nada sobre los números todo (no sólo no pudo encontrar problemas); el único contraejemplo prueba el reclamo general es falso (Método 48.8). Una letra representa cada número. — decimales incluidos.

13. Regiones: $2$ puntos $\to 2$ ; $3$ puntos $\to 4$ ; $4$ puntos $\to 8$ ; $5$ puntos $\to 16$ . El patrón susurra “cada punto duplica el conteo”: $32$ regiones esperadas para $6$ puntos.

14. Un recuento cuidadoso arroja regiones $31$ , no $32$ . La conjetura de la duplicación está muerta: sobrevivió a cuatro controles y Falló el quinto. (Este contraejemplo es lo suficientemente famoso como para tener un nombre, "la trampa de las regiones circulares"; sin atajos espaciados uniformemente — tres acordes que se encuentran en un punto fusionarían regiones y estropear la cuenta.)

15. Una prueba habría necesitado un estructural razón por la cual agregar un punto duplica las regiones — y hay ninguno: la duplicación fue una coincidencia de casos pequeños. el Las fórmulas con cerillas eran seguras porque cada una se leía en el construcción en sí (cada cuadrado cuesta visiblemente $3$ coincidencias, cada mesa ofrece visiblemente asientos $2$ ): estructura, no prueba. Predicción probada: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ coincidencias.