Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

48Expresiones literales

Una letra en un cálculo representa un número que todavía no conocemos, o todos los números a la vez: escribir $P = 4c$ da el perímetro de cualquier cuadrado en una sola fórmula. Este capítulo enseña las convenciones de escritura, cómo sustituir valores y cómo simplificar expresiones sencillas — el comienzo del álgebra, que continúa en el Capítulo 57.

48.1 Escribir con letras

Definición 48.1 (Expresión literal)

Una expresión literal es un cálculo que contiene una o más letras, cada una en lugar de un número. Convenciones de escritura:

el signo $\times$ se omite delante de una letra o de un paréntesis: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
pero se mantiene entre dos números: ¡ $3 \times 5$ no se puede escribir $35$ !
$a \times a$ se escribe $a^2$ (« $a$ al cuadrado»), $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ se escribe $a$ , y $0a$ es $0$ .

Ejemplo 48.2

Simplifica la escritura:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(primero el número)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Ejemplo 48.3 (Las fórmulas son expresiones literales)

Para un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$ : perímetro $P = 2(L + a)$ , área $A = La$ . Una sola fórmula resume infinitos rectángulos a la vez — ese es todo el sentido de las letras.

Dos fórmulas, válidas para cualquier rectángulo: sustituye los valores de L y a para obtener números. — Dos fórmulas, válidas para cualquier rectángulo: sustituye los valores de $L$ y $a$ para obtener números.

48.2 Sustituir

Método 48.4 (Evaluar una expresión)

Para evaluar una expresión con valores dados de sus letras:

reescribe la expresión devolviendo los signos $\times$ escondidos: $3a + a^2$ es $3 \times a + a \times a$ ;
sustituye cada letra por su valor, poniéndole paréntesis si hace falta;
calcula respetando la jerarquía del Capítulo 45.

Ejemplo 48.5

Evalúa $E = 3x + x^2$ para $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Evalúa $F = 2(a + 3b)$ para $a = 4$ y $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Reducir expresiones

Proposición 48.6 (Agrupar términos semejantes)

Los términos que tienen la misma parte literal se pueden agrupar sumando sus partes numéricas (esto es la distributividad, Teorema 45.6, leída al revés):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Los términos con parte literal distinta (como $3x$ y $5y$ , o $x$ y $x^2$ ) no se pueden agrupar.

Ejemplo 48.7

Reduce $E = 4x + 7 + 3x + 2$ ordenando los términos:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Cuidado: ¡ $7x + 9$ no es $16x$ ! Pruébalo con $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ y $7 \times 1 + 9 = 16$ coinciden, pero $16x$ también daría $16$ — prueba con $x = 2$ : la expresión original da $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ y $7 \times 2 + 9 = 23$ , mientras que $16 \times 2 = 32$ . La reducción $7x + 9$ es correcta y $16x$ es falsa.

Método 48.8 (Poner a prueba una igualdad)

Para comprobar si dos expresiones podrían ser iguales para todo valor:

sustituye el mismo valor en las dos, al menos dos veces (por ejemplo, $x = 2$ y $x = 10$ ; evita $0$ y $1$ , que esconden demasiadas diferencias);
si los resultados difieren aunque sea una vez, las expresiones no son iguales — un solo contraejemplo mata una afirmación general;
si los resultados coinciden, la igualdad es solo verosímil: la demostración necesita álgebra (desarrollar, reducir).

Ejemplo 48.9

¿Es $2(x + 3)$ igual a $2x + 6$ para todo $x$ ? Desarrollar lo demuestra: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . ¿Es $(x + 1)^2$ igual a $x^2 + 1$ ? Prueba con $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ pero $2^2 + 1 = 5$ . No — y un solo contraejemplo es una demostración completa del «no».

48.4 Producir expresiones

Ejemplo 48.10 (De la situación a la expresión)

Un taxi cobra $4$ euros más $2$ euros por kilómetro. Para un trayecto de $k$ kilómetros, el precio es

p = 4 + 2k \quad\text{euros}.

Para $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ euros. La expresión es la respuesta general; sustituir produce todas las respuestas particulares.

Ejemplo 48.11 (Trucos con números)

«Piensa un número, dóblalo, súmale $10$ , divide entre $2$ y resta tu número.» Llama $n$ al número y sigue los pasos:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Todo el mundo obtiene $5$ , fuera cual fuera $n$ — las letras explican la magia.

48.5 Ejercicios

Ejercicio 48.1 ★

Simplifica la escritura:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solución

Solución de Ejercicio 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Ejercicio 48.2 ★

Devuelve los signos $\times$ :

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Ejercicio 48.3 ★

Evalúa para $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.3.

Para $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Ejercicio 48.4 ★

Evalúa $3a + 2b$ y $a b + 5$ para $a = 4$ y $b = 1.5$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Ejercicio 48.5 ★

Reduce:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Ejercicio 48.6 ★

Da una fórmula para: el perímetro de un cuadrado de lado $c$ ; el perímetro de un triángulo isósceles de base $b$ y lados iguales $s$ ; el precio de $n$ panes a $1.20$ euros cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 48.6.

Cuadrado: $P = 4c$ . Triángulo isósceles: $P = b + 2s$ . Panes: $p = 1.20\,n$ euros.

Ejercicio 48.7 ★

Empareja cada expresión con una descripción: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Descripciones: «la mitad de $n$ »; «el doble de $n$ »; «el cuadrado de $n$ »; «dos más que $n$ ».

Solución

Solución de Ejercicio 48.7.

$2n$ : el doble; $n + 2$ : dos más que $n$ ; $n^2$ : el cuadrado; $\frac n2$ : la mitad.

Ejercicio 48.8 ★★

Usando el Método 48.8, decide (con demostración o contraejemplo) si estas igualdades valen para todo $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solución

Solución de Ejercicio 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : verdadera para todo $x$ (distributividad — esto es una demostración, no hace falta probar valores).

$2x + 5 = 7x$ : prueba con $x = 2$ : izquierda $9$ , derecha $14$ — falsa en general (solo se cumple para $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : prueba con $x = 3$ : izquierda $6$ , derecha $9$ — falsa en general ( $x + x = 2x$ ).

Ejercicio 48.9 ★★

Un rectángulo tiene ancho $a$ y su largo es $3$ cm mayor que su ancho.

expresa el largo y después el perímetro en función de $a$ , y redúcelo;
calcula el perímetro para $a = 5$ cm, directamente y con tu fórmula reducida. ¿Sale lo mismo?

Solución

Solución de Ejercicio 48.9.

1. Largo: $a + 3$ . Perímetro:

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Para $a = 5$ : directamente, los lados son $5$ y $8$ , así que $P = 2 \times 13 = 26$ cm; con la fórmula, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Coinciden.

Ejercicio 48.10 ★★

Repite el truco del Ejemplo 48.11 con letras: «piensa un número, súmale $6$ , multiplica por $3$ , resta $18$ y divide entre tu número de partida» (supón que no es cero). ¿Qué obtiene todo el mundo?

Solución

Solución de Ejercicio 48.10.

Siguiendo los pasos con la letra $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Todo el mundo obtiene $3$ .

Ejercicio 48.11 ★★★

La figura de abajo es un cuadrado de lado $a$ al que se le ha quitado una esquina cuadrada de lado $b$ ( $b$ menor que $a$ ). Escribe dos expresiones distintas para su área (una como diferencia y otra cortando la figura en L en dos rectángulos) y comprueba que coinciden para $a = 5$ y $b = 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 48.11.

Como diferencia: $A = a^2 - b^2$ . Cortando la L en dos rectángulos: una franja de ancho completo y altura $a - b$ y, encima, un rectángulo más estrecho:

A = a(a - b) + b(a - b)

(el rectángulo de abajo, de ancho $a$ y alto $a - b$ , y el de arriba, de ancho $a - b$ y alto $b$ , dan la variante $a(a-b) + (a-b)b$ — lo mismo). Para $a = 5$ y $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , y $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . Las dos expresiones coinciden — y siempre lo hacen: es la identidad $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ del Capítulo 66 disfrazada.

48.6 Problema: El oráculo de las cerillas

Problema 48.1

Problema de fin de semana — patrones que crecen y su término $n$ -ésimo: tres fórmulas para un mismo patrón y el famoso patrón que se rompe en el sexto paso

Coloca cerillas formando una fila de cuadrados: un cuadrado, luego dos, luego tres … ¿Cuántas cerillas necesitará la centésima figura? Contarlas una a una llevaría todo el fin de semana; una fórmula en $n$ responde al instante para todas las figuras a la vez — que es exactamente para lo que sirven las letras (Ejemplo 48.3). Pero cuidado: este problema termina con un patrón célebre que juega limpio durante cinco pasos y luego traiciona a todo el que se fio de él.

Parte I — Una fila de cuadrados. La figura $1$ es un cuadrado de cerillas ( $4$ cerillas); cada figura siguiente añade un cuadrado más que comparte un lado con el anterior.

dibuja las figuras $1$ a $4$ y cuenta sus cerillas;
explica por qué cada cuadrado nuevo cuesta exactamente $3$ cerillas más y úsalo para predecir el recuento de la figura $10$ sin ninguna fórmula;
justifica la fórmula: la figura $n$ necesita $3n + 1$ cerillas. (¿De dónde sale ese « $+1$ » solitario?) Compruébala con la pregunta 1;
Amir razona de otra manera: « $4$ cerillas para el primer cuadrado y luego $3$ por cada uno de los otros $n - 1$ », lo que da $4 + 3(n - 1)$ . Desarrolla y reduce su expresión (Proposición 48.6): ¿coincide con la pregunta 3?
Lena cuenta de una tercera manera: « $2n$ cerillas horizontales y $n + 1$ verticales». Escribe su fórmula, redúcela y concluye. Después responde a la pregunta inicial: ¿cuántas cerillas para la figura $100$ ?

Parte II — Triángulos, mesas y marcha atrás.

una fila de triángulos de cerillas (cada triángulo nuevo se apoya en el anterior): cuenta las cerillas de $1$ , $2$ y $3$ triángulos y justifica después la fórmula $2n + 1$ para $n$ triángulos;
marcha atrás: con exactamente $49$ cerillas, ¿cuántos triángulos puede tener la fila? (Deshaz la fórmula paso a paso.)
las mesas cuadradas de banquete sientan a un invitado por lado libre. Cuando se juntan $n$ mesas en una fila larga, explica por qué la fórmula de plazas es $2n + 2$ y compruébala para $1$ , $2$ y $3$ mesas;
a una fiesta se esperan $30$ invitados. ¿Cuántas mesas hacen falta en una sola fila? El cáterin reparte en cambio las mismas mesas en dos filas de siete: ¿cuántos invitados caben ahora? Explica la ganancia con la fórmula;
patrón de puntos: la figura $n$ es una L de puntos, de $n$ puntos de alto y $n$ puntos de ancho (la esquina se cuenta una vez). Cuenta los puntos de las figuras $1$ , $2$ y $3$ , halla la fórmula y di el nombre de los números que produce. (Apiladas, estas L recubren un cuadrado — una historia que continúa en el Problema 57.1.)

Parte III — Fiarse, probar, demostrar.

un compañero afirma que la figura $n$ de la Parte I necesita $3(n + 2) - 5$ cerillas. Resuelve la afirmación desarrollando y reduciendo — sin necesidad de probar valores;
«elevar al cuadrado hace los números más grandes, así que $n^2 \geq n$ para todo número $n$ .» Prueba la afirmación con $n = 2$ , $3$ y $10$ ; después halla un número para el que falle. ¿Qué demostraron las tres pruebas con éxito y qué demuestra el único fallo (Método 48.8)?
marca puntos sobre una circunferencia y traza todos los segmentos entre ellos; después cuenta las regiones del interior del círculo. Hazlo con $2$ , $3$ , $4$ y $5$ puntos (coloca los puntos de forma irregular, para que no se corten tres segmentos en un mismo punto interior). Anota los recuentos. ¿Qué fórmula te susurra el patrón?
ahora $6$ puntos, dibujados grandes e irregulares, contando con muchísimo cuidado (hay muchas regiones pequeñas). ¿Cuántas regiones encuentras y qué le ha pasado a la conjetura?
la moraleja, en dos frases: qué habría hecho falta para demostrar la conjetura del doble y por qué las fórmulas de las cerillas de las Partes I y II nunca corrieron ese peligro. Celébralo con una predicción demostrada: ¿cuántas cerillas para la fila de $2\,026$ cuadrados?

Solución

Solución de Problema 48.1.

1. Las figuras $1$ a $4$ necesitan $4$ , $7$ , $10$ y $13$ cerillas.

2. Un cuadrado nuevo comparte un lado con la figura anterior, así que solo $3$ de sus $4$ lados son cerillas nuevas. Desde la figura $4$ ( $13$ cerillas), seis cuadrados más cuestan $6 \times 3 = 18$ : la figura $10$ necesita $13 + 18 = 31$ cerillas.

3. Leyendo la fila desde la izquierda: empieza con una cerilla vertical y después cada uno de los $n$ cuadrados aporta un lado de arriba, uno de abajo y uno de la derecha — $3$ cerillas cada uno. Total: $3n + 1$ ; el « $+1$ » es la primerísima cerilla vertical. Comprobación: $n = 1, 2, 3, 4$ dan $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : la fórmula de Amir se desarrolla exactamente en la misma expresión reducida. Coincidencia total.

5. Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — otra vez lo mismo. Tres maneras de verlo y una sola forma reducida. Figura $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ cerillas.

6. Recuentos: $3$ , $5$ y $7$ cerillas. Cada triángulo nuevo se apoya en un lado ya existente y solo añade $2$ cerillas, partiendo de $3$ : la figura $n$ necesita $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ cerillas.

7. Deshaciendo $2n + 1 = 49$ : quitando la primera cerilla quedan $48$ , y cada triángulo se lleva $2$ : $48 \div 2 = 24$ triángulos.

8. En una fila de $n$ mesas, cada mesa ofrece su lado de arriba y el de abajo ( $2n$ plazas), y las dos mesas de los extremos ofrecen un lado más cada una ( $+2$ ): $2n + 2$ plazas. Comprobación: $4$ , $6$ y $8$ para $n = 1, 2, 3$ .

9. Una sola fila: $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$ , así que $14$ mesas. Repartiendo esas mismas $14$ mesas en dos filas de $7$ : cada fila sienta a $2 \times 7 + 2 = 16$ y, juntas, a $32$ — dos más que la fila única, porque cada fila nueva aporta dos extremos nuevos. (Cada división gana $2$ plazas; los cáterin lo saben.)

10. La L de tamaño $n$ tiene $n$ puntos hacia arriba y $n$ hacia el lado, compartiendo el punto de la esquina: $n + n - 1 = 2n - 1$ puntos. Figuras $1$ , $2$ y $3$ : $1$ , $3$ y $5$ puntos — los números impares. Encajadas una alrededor de la siguiente, las L llenan un cuadrado de $n \times n$ puntos: la historia del Problema 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : la afirmación se reduce a la fórmula demostrada, así que es correcta para todo $n$ — establecida con álgebra, no con ejemplos.

12. Pruebas: $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : todas pasan. Pero $n = 0.5$ da $n^2 = 0.25 < 0.5$ : la afirmación falla. Las tres pruebas no demostraron nada sobre todos los números (solo no lograron encontrar problemas); el único contraejemplo demuestra que la afirmación general es falsa (Método 48.8). Una letra representa a todos los números — decimales incluidos.

13. Regiones: $2$ puntos $\to 2$ ; $3$ puntos $\to 4$ ; $4$ puntos $\to 8$ ; $5$ puntos $\to 16$ . El patrón susurra «cada punto duplica el recuento»: se esperarían $32$ regiones para $6$ puntos.

14. Un recuento cuidadoso da $31$ regiones — no $32$ . La conjetura del doble ha muerto: sobrevivió a cuatro comprobaciones y falló en la quinta. (Este contraejemplo es tan famoso que tiene nombre, «la trampa de las regiones del círculo»; nada de atajos con puntos regulares — tres cuerdas que se cortasen en un mismo punto fundirían regiones y estropearían el recuento.)

15. Una demostración habría necesitado una razón estructural de por qué añadir un punto duplica las regiones — y no la hay: la duplicación era una casualidad de los casos pequeños. Las fórmulas de las cerillas eran seguras porque cada una se leía en la propia construcción (cada cuadrado cuesta visiblemente $3$ cerillas y cada mesa ofrece visiblemente $2$ plazas): estructura, no pruebas. Predicción demostrada: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ cerillas.

Términos definidos en este capítulo

Expresión literal

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