62Pirámides y conos

Solución de Problema 62.1.

1. $G$ pertenece a la cara superior $EFGH$ y a las dos caras laterales $BCGF$ y $DCGH$. Las tres caras que no contienen $G$ son la de abajo $ABCD$, la de delante $ABFE$ y la cara izquierda $ADHE$ (todas comparten el vértice $A$, la esquina opuesta a $G$). Las tres pirámides son $ABCDG$, $ABFEG$ y $ADHEG$: cada una tiene por base una cara cuadrada del cubo y por vértice el vértice lejano $G$. Cada una es una pirámide de base cuadrada: $5$ caras, $8$ aristas, $5$ vértices (Ejemplo 62.2).

2. La diagonal larga $[AG]$ une los dos únicos vértices que no pertenecen a ninguna de las tres bases. Un giro de un tercio de vuelta alrededor de la recta $(AG)$ lleva el cubo sobre sí mismo (las tres aristas que salen de $A$ — hacia $B$, $D$, $E$ — se permutan en un ciclo, y lo mismo las tres aristas que llegan a $G$). Lleva la base $ABCD$ a $ADHE$, después $ADHE$ a $ABFE$, y vuelve: los vértices se quedan fijos en $G$ y las bases van rotando. Así, cada pirámide se lleva sobre la siguiente: las tres son copias idénticas.

3. Tres piezas idénticas que llenan el cubo se reparten su volumen a partes iguales:

4. La pirámide $ABCDG$ tiene por base $ABCD$, de área $a^2$, y su vértice $G$ está justo encima de la esquina $C$, a la altura $CG = a$ (una arista vertical del cubo). Como en el Ejercicio 62.11, la fórmula se aplica con la altura perpendicular $h = a$:

en perfecto acuerdo con la pregunta 3 — la descomposición y la fórmula se confirman mutuamente.

5. Para $a = 6$: $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$ cada una. El experimento de trasvasar agua es esta descomposición hecha líquida: el prisma sobre la base $ABCD$ de altura $a$ es el propio cubo, y contiene exactamente tres pirámides llenas — y aquí esos tres llenados se ensamblan además geométricamente para formar el cubo.

6. Al unir el centro $O$ con las cuatro esquinas de cada cara salen seis pirámides, una por cara: base cuadrada, vértice $O$. El centro está igual de colocado respecto de las seis caras (cualquier giro o simetría del cubo deja fijo $O$ y permuta las caras), así que las seis pirámides son idénticas. La altura de cada una es la distancia de $O$ a una cara: la mitad del lado, $\frac{a}{2}$.

7. Seis piezas idénticas se reparten el cubo: $V = \frac{a^3}{6}$ cada una.

8. Fórmula: área de la base $a^2$, altura $\frac a2$:

Las dos respuestas coinciden.

9. Las dos descomposiciones tratan de pirámides de proporciones muy especiales talladas en un cubo; una pirámide esbelta, una torcida o un cono no se pueden montar así (no hay tres conos que llenen un cilindro). Por eso el Teorema 62.3 se admite a este nivel: las descomposiciones y el experimento del trasvase hacen el $\frac13$ del todo creíble, y la demostración general honesta — la integración — se da en el volumen de secundaria superior.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; y, por la fórmula, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$. Coinciden.

11. En el triángulo $SAB$, los puntos medios de los lados $[SA]$ y $[SB]$ están unidos por un segmento paralelo a $(AB)$ y de longitud $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (Teorema 59.1). Lo mismo pasa en cada cara lateral, así que los cuatro puntos medios forman un cuadrado de lado $\frac c2$, con los lados paralelos a la base. Sobre la recta vertical que pasa por el vértice, el corte pasa por el punto medio de la altura (de nuevo el teorema de los puntos medios, en un triángulo que pasa por $S$, el centro de la base y un vértice de la base): el plano de corte está a la altura $\frac h2$.

12. La pieza de arriba es una pirámide regular de base cuadrada de lado $\frac c2$ y altura $\frac h2$ (su base es el corte, su vértice es $S$). Su volumen es

una octava parte de la original — no la mitad.

13. El tronco de pirámide se queda con el resto: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$. El corte a media altura reparte el volumen en la razón $1 : 7$ — la losa de abajo, de aspecto humilde, contiene siete veces el volumen de la punta.

14. Por debajo de la media altura está $\frac78$ del volumen. Con $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ (Ejercicio 62.7):

redondeando a la centena — la campaña «mitad inferior» limpia casi ocho veces el volumen de vidrio de la superior.

15. Duplicar todas las dimensiones multiplica el área de la base por $2^2 = 4$ y la altura por $2$, luego el volumen por $4 \times 2 = 8 = 2^3$. Escalar por $k$ multiplica las áreas por $k^2$ y una longitud más por $k$: los volúmenes crecen con el factor $k^3$. La pieza de arriba de la pregunta 12 es una copia a escala de la pirámide entera con $k = \frac12$, así que su volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del total — la explicación en una línea.