Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

62Pirámides y Conos

Después del prismas y cilindros de Capítulo 53 — sólidos con sección constante — vienen los sólidos con un punto: pirámides y conos. Su fórmula volumen lleva un famoso factor $\frac13$ , que este capítulo hace plausibles y utiliza; el estudio de sólidos continúa con esferas y secciones en Capítulo 70.

62.1 Describiendo pirámides y conos.

Definición 62.1 (pirámide, cono)

Un pirámide tiene un polígono como base y un punto, el ápex, unido a cada vértice de la base por triangular caras. Su altura es la distancia desde el vértice al plano de la base.
A cono es la misma construcción sobre un disco: un disco base, un ápice y una superficie lateral curva.

Una pirámide es regular cuando su base es una polígono regular (cuadrado, triangulo equilatero, …) y su ápice se encuentra verticalmente encima del centro de la base.

Un pirámide de base cuadrada y un cono: uno poligonal o circular base, un ápice y la altura medida perpendicular hasta la base.

Ejemplo 62.2 (Contando caras, aristas, vértices)

Un pirámide con base cuadrada tiene $5$ caras ( $1$ cuadrado $+ 4$ triángulos), aristas $8$ y $5$ vértices. Con base de lados $n$ : $n + 1$ caras, $2n$ bordes, $n + 1$ vértices. Mira el pequeño de Euler patrón: caras $+$ vértices $=$ bordes $+ 2$ .

62.2 Volumen

Teorema 62.3 (Volumen de una pirámide o cono)

Para un pirámide o un cono con base área $B$ y altura $h$ :

V = \frac{1}{3}\, B \times h

— un tercio del prisma o cilindro con la misma base y altura. Para un cono de base radio $r$ : $V = \frac13 \pi r^2 h$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 62.4 (¿Por qué un tercio?)

Rellenar un hueco pirámide con agua y verterlo en el prisma del mismo. base y altura: se necesitan exactamente tres rellenos. Aún mejor: un cubo se puede cortar en tres pirámides idénticos, cada uno con un rostro del cubo como base y un vértice del cubo como ápice (¡intenta imaginártelo!). Una prueba general utiliza la integración, una herramienta del volumen de High School.

Ejemplo 62.5

Un pirámide tiene una base cuadrada de lado $5$ cm y altura $9$ cm:

base área: $B = 5^2 = 25$ cm $^2$ ;
volumen: $V = \frac13 \times 25 \times 9 = 25 \times 3 = 75$ cm $^3$ .

Un helado cono de radio $3$ cm y altura $10$ cm:

V = \frac13 \times \pi \times 3^2 \times 10 = 30\pi \approx 94 \text{ cm}^3 .

Ejemplo 62.6 (Cuidado con la altura)

Para un cono, no confunda la altura $h$ (ápice al centro del base, perpendicular) con el altura inclinada $s$ (ápice del llanta). Están relacionados por Pitágoras. (Teorema 58.1) en el triangulo rectángulo ápice–centro–borde:

s^2 = h^2 + r^2 .

Un cono con $r = 3$ y $s = 5$ tiene por tanto altura $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ y volumen $\frac13 \pi \times 9 \times 4 = 12\pi$ .

Método 62.7 (Problemas de volumen)

Identifique el sólido (prisma/cilindro: $V = Bh$ ; pirámide/cono: $V = \frac13 Bh$ );
calcula primero la base área $B$ , como un paso separado;
verifique que la altura sea perpendicular hasta la base (use Pitágoras si se da la altura inclinada);
multiplica, mantén las unidades consistentes, convierte al final si es necesario ( $1$ L $= 1000$ cm $^3$ ).

62.3 Redes

Ejemplo 62.8 (Rojo de una pirámide)

Al desplegar un pirámide regular de base cuadrada, se aplana en su neto: la base cuadrada con cuatro triángulos isósceles idénticos pegado a sus costados. Los lados iguales de los triángulos son los bordes laterales del pirámide — su longitud no es ni $h$ ni la altura inclinada de un rostro, así que etiquételo cuidadosamente antes de cortar cartón.

El neto de un pirámide de base cuadrada: dobla los cuatro triángulos hacia arriba hasta que sus vértices se encuentren.

62.4 Ceremonias

Ejercicio 62.1 ★

¿Cuantos caras, aristas y vértices tiene un pirámide con forma triangular? base (un tetraedro)? ¿Con base hexagonal?

Solución

Solución de Ejercicio 62.1.

Tetraedro: $4$ caras, $6$ aristas, $4$ vértices ( $4 + 4 = 6 + 2$ ). Base hexagonal: $7$ caras, bordes $12$ , $7$ vértices ( $7 + 7 = 12 + 2$ ).

Ejercicio 62.2 ★

Calcular el volumen de un pirámide con base área $36$ cm $^2$ y altura $10$ cm; de un pirámide con base rectangular $6 \times 4$ cm y altura $7.5$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 62.2.

$V = \frac13 \times 36 \times 10 = 120$ cm $^3$ .

Base rectangular: $B = 24$ cm $^2$ , por lo que $V = \frac13 \times 24 \times 7.5 = 60$ cm $^3$ .

Ejercicio 62.3 ★

Calcular el volumen de un cono de radio $5$ cm y altura $9$ cm (exacto con $\pi$ , luego redondeado al cm $^3$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 62.3.

$V = \frac13 \pi \times 25 \times 9 = 75\pi \approx 236$ cm $^3$ .

Ejercicio 62.4 ★

Un cilindro y un cono tienen el mismo radio $4$ cm y la misma altura $12$ cm. Calcule ambos volúmenes. ¿Cuál es su proporción?

Solución

Solución de Ejercicio 62.4.

Cilindro: $\pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 603$ cm $^3$ . Cono: $\frac{192\pi}{3} = 64\pi \approx 201$ cm $^3$ . Relación: el cono es un tercio del cilindro.

Ejercicio 62.5 ★

Un pirámide tiene volumen $56$ cm $^3$ y altura $8$ cm. cual es su base área? (Escribe la fórmula volumen y resuelve.)

Solución

Solución de Ejercicio 62.5.

$56 = \frac13 \times B \times 8$ , so $B = \frac{56 \times 3}{8} = 21$ cm $^2$ .

Ejercicio 62.6 ★

Dibuja el neto de un cono (un disco para la base y un sector de un disco más grande para la superficie lateral). Que medida del cono es el radio de ese sector: la altura $h$ o la altura inclinada $s$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 62.6.

La superficie lateral se desenrolla en un sector del disco cuyo radio es el altura inclinada $s$ (la distancia desde el ápice hasta el borde — que segmento se encuentra en la superficie), no la altura $h$ .

Ejercicio 62.7 ★★

El Louvre pirámide tiene una base cuadrada de lado aproximadamente $35$ m y un altura de aproximadamente $22$ m. Estima su volumen, a la centena más cercana Metros cúbicos.

Solución

Solución de Ejercicio 62.7.

$V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac13 \times 1225 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ — aproximadamente $9\,000$ cúbico metros.

Ejercicio 62.8 ★★

Un cono tiene una altura inclinada $13$ cm y una base radio $5$ cm. Calcular su altura, entonces es volumen (exacto con $\pi$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 62.8.

Altura: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ centímetros. Volumen: $V = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi$ cm $^3$ .

Ejercicio 62.9 ★★

Un vaso cónico de radio $4$ cm y altura $9$ cm se llena hasta el hasta el borde, luego se vierte en un vaso cilíndrico de radio $4$ cm. que ¿Qué altura alcanza el líquido en el cilindro?

Solución

Solución de Ejercicio 62.9.

Mismo radio, por lo que el volumen del cono es un tercio del cilindro. volumen para la misma altura: el líquido llega $\frac{9}{3} = 3$ cm en el cilindro.

Ejercicio 62.10 ★★

Un reloj de arena está formado por dos conos (radio $2$ cm, altura $4.5$ cm) unidos en sus ápices. Toda la arena llena exactamente uno. cono. Calcular el volumen de arena (exacto, luego en cm $^3$ redondeado a el décimo), y el fracción del volumen interno total del reloj de arena. ocupada por la arena.

Solución

Solución de Ejercicio 62.10.

Arena $=$ uno cono: $V = \frac13 \pi \times 4 \times 4.5 = 6\pi \approx 18.8$ cm $^3$ . El reloj de arena contiene dos de esos conos, por lo que el la arena llena exactamente medio del volumen interno total.

Ejercicio 62.11 ★★★

Un pirámide de base cuadrada con lado de base $6$ cm tiene su vértice directamente encima de una esquina de la base, a la altura $8$ cm.

¿Aún se aplica la fórmula $V = \frac13 Bh$ ? (Lo hace — no es necesario centrar el ápice. Calcule $V$ .)
Calcular la longitud del borde lateral más largo, desde el vértice. a la esquina opuesta de la base (dos pasos de Pitágoras: el diagonal base primero).

Solución

Solución de Ejercicio 62.11.

1. Sí: la fórmula $V = \frac13 Bh$ es válida para cualquier puesto de el ápice, siempre y cuando $h$ sea la distancia perpendicular a la base avión. $V = \frac13 \times 36 \times 8 = 96$ cm $^3$ .

2. Diagonal base: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt2$ cm. el mas largo borde lateral es la hipotenusa de un triangulo rectángulo con catetos $6\sqrt2$ (en el plano base) y $8$ (vertical):

\sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{72 + 64} = \sqrt{136} \approx 11.7 \text{ cm}.

62.5 Problema: un cubo cortado en tres pirámides

Problema 62.1

Problema de fin de semana — donde el factor $\frac13$ viene, y que pasa con una pirámide cortada a media altura

El comentario después de Teorema 62.3 afirma que un cubo se puede cortar en tres pirámides idénticos — “intenta imaginar ¡Eso! ”. Este problema lo representa con precisión, obtiene el famoso factor $\frac13$ honestamente, luego corta el cubo por una segunda vía seis pirámides, y termina cortando un pirámide en medio su altura — con el resultado de que pocas personas aciertan en el primer intento.

En todo momento, $ABCDEFGH$ es un cubo del lado $a$ : base $ABCD$ , arriba rostro $EFGH$ , con $E$ arriba de $A$ , $F$ arriba de $B$ , $G$ arriba de $C$ y $H$ encima de $D$ .

Parte I — Three pirámides sharing an apex.

El vértice $G$ pertenece a tres caras del cubo. Lista los tres caras que hacen no contienen $G$ , y describir los tres pirámides obtenidos tomando cada uno de ellos como base, con el ápice $G$ cada vez. ¿Cuántos caras, bordes y vértices tiene cada pirámide (Ejemplo 62.2)?
Explique por qué girar el cubo un tercio de vuelta su larga diagonal $(AG)$ deja al cubo sin cambios pero baraja las tres bases de la pregunta 1 en un ciclo — y por qué los tres pirámides son idénticos copias unas de otras.
Admitiendo que los tres pirámides llenan el cubo sin superposición (un modelo de cartón es bastante convincente), deducir el volumen de cada uno.
Verifique esto con la fórmula de Teorema 62.3: el pirámide con base $ABCD$ y el ápice $G$ tiene su ápice directamente encima de un esquina de su base, exactamente como en Ejercicio 62.11. Identifica su altura, aplica la fórmula y compara.
Para un cubo de lado $6$ cm, dé el volumen de cada uno de los tres pirámides — y explica en qué consiste esta descomposición tiene que ver con el experimento de verter agua del capítulo (tres rellenos del pirámide para un prisma).

Parte II — Six pirámides sharing the center. Ahora dejemos que $O$ sea el centro de cubo y unamos $O$ a los cuatro. vértices de cada uno de los seis caras.

Describe los seis pirámides obtenidos y explica por qué son copias idénticas unas de otras. cual es la altura de cada uno?
Deducir, compartiendo el volumen del cubo, el volumen de cada uno de los seis pirámides.
Vuelva a calcular ese volumen con la fórmula $V = \frac13 B h$ y verifique que las dos respuestas coincidan.
Las dos descomposiciones confirman el factor $\frac13$ para unos pirámides muy especiales. Explique por qué todavía no lo hacen. probar Teorema 62.3 para cada pirámide y cono — y diga cómo trata el capítulo esa brecha: qué afirmación se admite, qué experimento lo admite, y en qué volumen de la serie se encuentra honestamente demostrado.
Se corta un cubo de lado $6$ cm en sus seis centros pirámides. Calcule el volumen de cada uno, en ambos sentidos.

Parte III — Cutting a pirámide at medio height. $SABCD$ es un pirámide regular de base cuadrada: lado base $c$ , altura $h$ , ápice $S$ por encima del centro de la base. Cortalo por el avión a través del puntos medios de los cuatro bordes laterales $[SA]$ , $[SB]$ , $[SC]$ , $[SD]$ .

Aplicar el teorema del punto medio (Teorema 59.1) en el triángulo $SAB$ : ¿Cuáles son la dirección y la longitud de la unión segmento? los puntos medios de $[SA]$ y $[SB]$ ? Deducir que el corte es un cuadrado de lado $\frac{c}{2}$ , paralelo a la base, en altura $\frac{h}{2}$ .
La pieza encima del corte es en sí misma una pirámide de base cuadrada. Indique el lado y la altura de su base y demuestre que es volumen. es exactamente un octavo del volumen $V$ original.
Deducir el volumen de la pieza inferior (el tronco, la forma de un pirámide sin terminar). ¿En qué proporción ¿El corte de media altura comparte el volumen?
El Louvre pirámide (Ejercicio 62.7: lado de la base $35$ m, altura $22$ m) se limpia en dos campañas: la vidrio por encima de la altura medio, luego el vidrio por debajo. que fracción del volumen se encuentra por debajo de la altura de medio? Estímalo en metros cúbicos, a la centena más cercana.
La moraleja general: si todo las dimensiones de un pirámide se multiplican por $2$ , ¿qué pasa con su volumen? ¿En qué factor crece el volumen cuando cada dimensión se multiplica por $k$ — y ¿cómo funciona esto? ¿Explicar, en una línea, el “un octavo” de la pregunta 12?

Solución

Solución de Problema 62.1.

1. $G$ pertenece al top rostro $EFGH$ y a los dos lado caras $BCGF$ y $DCGH$ . Los tres caras no que contienen $G$ son el $ABCD$ inferior, el $ABFE$ frontal y el izquierda rostro $ADHE$ (todos comparten el vértice $A$ , la esquina enfrente de $G$ ). Los tres pirámides son $ABCDG$ , $ABFEG$ y $ADHEG$ : cada uno tiene como base un cuadrado rostro del cubo y el lejano vértice $G$ como ápice. Cada uno es un pirámide de base cuadrada: $5$ caras, Bordes $8$ , $5$ vértices (Ejemplo 62.2).

2. La diagonal larga $[AG]$ se une a las dos únicas vértices no perteneciente a ninguna de las tres bases. Una rotación de un tercio de vuelta sobre la línea $(AG)$ envía el cubo a sí mismo (los tres bordes saliendo de $A$ — hacia $B$ , $D$ , $E$ — se barajan en un ciclo, y también lo son los tres bordes que llegan a $G$ ). lleva la base $ABCD$ a $ADHE$ , luego $ADHE$ a $ABFE$ y viceversa: vértices fijados en $G$ , bases cíclicas. Cada pirámide se transporta así al siguiente: los tres son copias idénticas.

3. Tres piezas idénticas que llenan el cubo comparten su volumen igualmente:

V_{\text{pyramid}} = \frac{a^3}{3} .

4. El pirámide $ABCDG$ tiene base $ABCD$ , de área $a^2$ , y su vértice $G$ se asienta verticalmente sobre la esquina $C$ , a la altura $CG = a$ (un borde vertical del cubo). Como en Ejercicio 62.11, la fórmula se aplica con el perpendicular altura $h = a$ :

V = \frac13 \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} ,

en perfecto acuerdo con la pregunta 3 — la descomposición y las fórmulas se confirman entre sí.

5. Para $a = 6$ : $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm $^3$ cada uno. el experimento de vertido de agua es esta descomposición hecha líquida: el prisma sobre la base $ABCD$ con altura $a$ es el propio cubo, y contiene exactamente tres rellenos piramidales — aquí los tres los rellenos incluso se ensamblan geométricamente en el cubo.

6. Uniendo el centro $O$ a las cuatro esquinas de cada uno rostro produce seis pirámides, uno por rostro: base cuadrada, ápice $O$ . El centro está igualmente colocado con respecto a los seis caras (cualquier La rotación o simetría del cubo fija $O$ y permuta el caras), por lo que los seis pirámides son idénticos. La altura de cada uno es la distancia de $O$ a rostro: medio el lateral, $\frac{a}{2}$ .

7. Seis piezas idénticas comparten el cubo: $V = \frac{a^3}{6}$ cada uno.

8. Fórmula: base área $a^2$ , altura $\frac a2$ :

V = \frac13 \times a^2 \times \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6} .

Las dos respuestas coinciden.

9. Ambas descomposiciones se refieren a pirámides de muy especial proporciones talladas en un cubo; un pirámide delgado, un torcido uno, o un cono no se puede ensamblar de esta manera (no se pueden completar tres conos a cilindro). Esta es la razón por la que Teorema 62.3 es aceptado a este nivel: las descomposiciones y las experimento de vertido de agua hace que el $\frac13$ sea completamente creíble, y la prueba general honesta — integración — se da en el Volumen de secundaria.

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm $^3$ ; y por la fórmula, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm $^3$ . Ellos están de acuerdo.

11. En el triángulo $SAB$ , los puntos medios de los lados $[SA]$ y $[SB]$ están unidos por un segmento paralelo a $(AB)$ y de longitud $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ (Teorema 59.1). Lo mismo se aplica en cada lateral. rostro, por lo que los cuatro puntos medios forman un cuadrado de lado $\frac c2$ , con los lados paralelo a la base. En la línea vertical que pasa por el ápice, el corte pasa por el punto medio de la altura (punto medio teorema nuevamente, en un triángulo que pasa por $S$ , el centro de la base y un base vértice): el plano de corte se encuentra a la altura $\frac h2$ .

12. La pieza superior es un pirámide regular de base cuadrada de lado base $\frac c2$ y altura $\frac h2$ (su base es el corte, su vértice es $S$ ). Su volumen es

\frac13 \times \left(\frac c2\right)^2 \times \frac h2 = \frac13 \times \frac{c^2}{4} \times \frac h2 = \frac{1}{8} \times \frac{c^2 h}{3} = \frac{V}{8} :

un octavo del original — ni un medio.

13. El tronco se queda con el resto: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$ . El corte de media altura comparte la volumen en la proporción $1 : 7$ — la losa inferior de aspecto humilde sostiene siete veces el volumen de la punta puntiaguda.

14. Por debajo de la altura de medio se encuentra el $\frac78$ del volumen. con $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m $^3$ (Ejercicio 62.7):

\frac78 \times \frac{26\,950}{3} \approx 7\,860 \approx 7\,900 \text{ m}^3

a la centena más cercana — la campaña “medio inferior” limpia casi ocho veces el cristal volumen del superior.

15. Duplicar cada dimensión multiplica la base área por $2^2 = 4$ y la altura por $2$ , de ahí el volumen por $4 \times 2 = 8 = 2^3$ . Escalar por $k$ multiplica áreas por $k^2$ y una longitud más por $k$ : volúmenes crece por el factor $k^3$ . el La parte superior de la pregunta 12 es una copia a escala del pirámide completo. con $k = \frac12$ , por lo que su volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del todo — el unifilar explicación.