Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

34Perímetro y Área

Cuadrículas contadas de grado 4 (Capítulo 28); este capitulo gana el primer área fórmula — largo por ancho para el rectángulo — y aprende las unidades cm $^2$ y m $^2$ . Las fórmulas para triángulos y otras formas maduran en Capítulo 43 y Capítulo 53.

34.1 Dos medidas diferentes

Ejemplo 34.1 (Frontera vs superficie)

Un jardinero necesita perímetro para comprar la cerca y área para comprar la semilla de pasto. Los dos no se suceden: estiramientos un rectángulo más delgado y más largo puede mantener su área mientras que su perímetro crece — compare un rectángulo $6 \times 2$ y $4 \times 3$ (mismo área $12$ , perímetros $16$ y $14$ ).

34.2 La fórmula del rectángulo

Proposición 34.2 (Área de un rectángulo)

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $w$ (en la misma unidad) tiene área

A = L \times w ,

en unidades cuadradas: cm $^2$ (cuadrados de lado $1$ cm), m $^2$ (cuadrados de lado $1$ m), …

Por qué, contando. Cubra el rectángulo con cuadrados unitarios: $w$ filas de $L$ cuadrados cada una, entonces $L \times w$ cuadrados en total — exactamente la multiplicación rectángulo de Capítulo 16. ∎

Tres filas de cuadrados de seis centímetros: la fórmula L × w es el conteo, escrito de una vez por todas. — Tres filas de cuadrados de seis centímetros: la fórmula $L \times w$ es el conteo, escrito de una vez por todas.

Ejemplo 34.3

Una alfombra mide $2.5$ m por $2$ m: área $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Un sello mide $3$ cm por $2.4$ cm: área $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . Misma fórmula, cualquier unidad — siempre y cuando ambos lados usen la mismo uno.

Ejemplo 34.4 (Conversión de unidades cuadradas por 100)

$1$ m $= 100$ cm, pero $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : un metro cuadrado es una cuadrícula de centímetros cuadrados $100$ por $100$ . Área las unidades saltan en centenas, no en decenas.

34.3 Figuras compuestas

Método 34.5 (Recortar, sumar, reiniciar)

Para una figura hecha de rectángulos (una L, una T, un marco):

córtalo en rectángulos o complétalo en un rectángulo grande;
calcula cada área rectangular con la fórmula;
suma las piezas — o resta el agujero del grande rectángulo;
comparar con un recuento aproximado de cuadrados de la cuadrícula.

Ejemplo 34.6

Una habitación en forma de L: un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m con un $2$ m $\times$ $2$ m falta esquina.

\text{Area} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

O cortar la L en una tira $6 \times 2$ y una tira $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — dos caminos, una respuesta.

Ejemplo 34.7 (Medio rectángulo)

Al cortar un rectángulo a lo largo de una diagonal se obtienen dos triángulos iguales. área: cada uno es medio el rectángulo. Un triángulo rectángulo con catetos. $6$ cm y $4$ cm por lo tanto tiene área $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — una imagen que vale la pena recordar Capítulo 43, donde se convierte en fórmula.

La diagonal corta el rectángulo 6 × 4 en dos iguales triángulos de 12 cuadrados cada uno. — La diagonal corta el rectángulo $6 \times 4$ en dos iguales triángulos de $12$ cuadrados cada uno.

34.4 Ceremonias

Ejercicio 34.1 ★

Calcular el área y el perímetro de un rectángulo $8$ cm $\times$ $5$ cm. ¿Qué respuesta está en cm y cuál en cm $^2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.1.

Área: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Perímetro: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Ejercicio 34.2 ★

Calcular el áreas: un cuadrado de lado $9$ cm; un rectángulo $12$ m $\times$ $7$ m; un rectángulo $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.3 ★

Un rectángulo tiene área $63$ cm $^2$ y longitud $9$ cm. Encuentra su ancho, entonces es perímetro.

Solución

Solución de Ejercicio 34.3.

Ancho: $63 \div 9 = 7$ cm. Perímetro: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Ejercicio 34.4 ★

Dibuja dos rectángulos diferentes con cuadrados área $24$ en papel cuadriculado, y calcule ambos perímetros. Mismo área — ¿mismo perímetro?

Solución

Solución de Ejercicio 34.4.

Por ejemplo $6 \times 4$ (perímetro $20$ ) y $8 \times 3$ (perímetro $22$ ): mismo área $24$ , diferente perímetros.

Ejercicio 34.5 ★

Convertir: $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ en m $^2$ . (Recuerde Ejemplo 34.4: ¡por cientos!)

Solución

Solución de Ejercicio 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Ejercicio 34.6 ★

Una figura en forma de T está hecha de una barra horizontal $8 \times 2$ encima de una barra vertical $2 \times 5$ (en cm). Calcule su área sumando dos rectángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 34.6.

Barra: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; tallo: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; total $26$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.7 ★

Un marco de imagen: un rectángulo de $30$ cm $\times$ $20$ cm con un $24$ cm $\times$ $14$ cm ventana rectangular recortada. ¿Qué área de ¿Qué madera utiliza el marco?

Solución

Solución de Ejercicio 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ de madera.

Ejercicio 34.8 ★

Calcular el área de un triángulo rectángulo con catetos $8$ cm y $6$ cm. (medio un rectángulo, Ejemplo 34.7).

Solución

Solución de Ejercicio 34.8.

Medio el rectángulo $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.9 ★

Un huerto rectangular mide $7$ m por $4$ m. Costos de semillas $2$ por metro cuadrado y cercado $3$ por metro. Calcular el costo de la semilla, luego el costo de la cerca.

Solución

Solución de Ejercicio 34.9.

Semilla: área $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , costo $28 \times 2 = 56$ . Valla: perímetro $2 \times (7 + 4) = 22$ m, costo $22 \times 3 = 66$ .

Ejercicio 34.10 ★★

El suelo de un pasillo mide $12$ m de largo y $2$ m de ancho y debe cubrirse con tejas cuadradas de lado $50$ cm. ¿Cuántas fichas se necesitan? (Convierta primero o cuente las fichas en cada dirección).

Solución

Solución de Ejercicio 34.10.

Dos tejas de $50$ cm forman un metro: a lo largo de la longitud de $12$ m, $24$ azulejos; a lo largo del ancho $2$ m, tejas $4$ . Totales: $24 \times 4 = 96$ azulejos.

Ejercicio 34.11 ★★

Duplica los lados de un rectángulo de $4$ cm $\times$ $3$ cm. que pasa a su perímetro? ¿A su área? (Calcule tanto antes como después — ¡las dos respuestas difieren!)

Solución

Solución de Ejercicio 34.11.

Antes: perímetro $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, área $12$ cm $^2$ . Después (lados $8$ y $6$ ): perímetro $28$ cm, área $48$ cm $^2$ . El perímetro duplicado; el área fue multiplicado por cuatro ( $2 \times 2$ ): longitudes y áreas no escalan igual manera.