Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

34Perímetro y área

El año pasado contamos casillas de la cuadrícula (Capítulo 28); este capítulo gana la primera fórmula de área — largo por ancho para el rectángulo — y aprende las unidades cm $^2$ y m $^2$ . Las fórmulas de los triángulos y de otras figuras maduran en los Capítulo 43 y Capítulo 53.

34.1 Dos medidas distintas

Ejemplo 34.1 (Borde frente a superficie)

Un jardinero necesita el perímetro para comprar la valla y el área para comprar la semilla de césped. Los dos no van de la mano: estirar un rectángulo hasta hacerlo más largo y estrecho puede conservar su área mientras su perímetro crece — compara un rectángulo de $6 \times 2$ con uno de $4 \times 3$ (misma área $12$ y perímetros $16$ y $14$ ).

34.2 La fórmula del rectángulo

Proposición 34.2 (Área de un rectángulo)

Un rectángulo de largo $L$ y ancho $a$ (en la misma unidad) tiene área

A = L \times w ,

en unidades cuadradas: cm $^2$ (cuadrados de lado $1$ cm), m $^2$ (cuadrados de lado $1$ m), …

Por qué, contando. Cubre el rectángulo con cuadrados unidad: $a$ filas de $L$ cuadrados cada una, o sea, $L \times a$ cuadrados en total — exactamente el rectángulo de la multiplicación del Capítulo 16. ∎

Tres filas de seis cuadrados de un centímetro: la fórmula L × a es ese recuento, escrito de una vez por todas. — Tres filas de seis cuadrados de un centímetro: la fórmula $L \times a$ es ese recuento, escrito de una vez por todas.

Ejemplo 34.3

Una alfombra mide $2.5$ m por $2$ m: área $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ . Un sello mide $3$ cm por $2.4$ cm: área $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ . La misma fórmula con cualquier unidad — siempre que los dos lados usen la misma.

Ejemplo 34.4 (Las unidades cuadradas se convierten de cien en cien)

$1$ m $= 100$ cm, pero $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : un metro cuadrado es una cuadrícula de $100$ por $100$ centímetros cuadrados. Las unidades de área saltan de cien en cien, no de diez en diez.

34.3 Figuras compuestas

Método 34.5 (Cortar, sumar, restar)

Para una figura hecha de rectángulos (una L, una T, un marco):

córtala en rectángulos o complétala hasta un rectángulo grande;
calcula el área de cada rectángulo con la fórmula;
suma los trozos — o resta el hueco del rectángulo grande;
comprueba con un recuento aproximado de casillas.

Ejemplo 34.6

Una habitación en forma de L: un rectángulo de $6$ m $\times$ $4$ m al que le falta una esquina de $2$ m $\times$ $2$ m.

\text{Área} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

O corta la L en una franja de $6 \times 2$ y otra de $4 \times 2$ : $12 + 8 = 20$ m $^2$ — dos caminos, una respuesta.

Ejemplo 34.7 (La mitad de un rectángulo)

Cortar un rectángulo por una diagonal da dos triángulos de la misma área: cada uno es la mitad del rectángulo. Un triángulo rectángulo de catetos $6$ cm y $4$ cm tiene, por tanto, área $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ — una imagen que conviene recordar para el Capítulo 43, donde se convierte en fórmula.

La diagonal corta el rectángulo de 6 × 4 en dos triángulos iguales de 12 casillas cada uno. — La diagonal corta el rectángulo de $6 \times 4$ en dos triángulos iguales de $12$ casillas cada uno.

34.4 Ejercicios

Ejercicio 34.1 ★

Calcula el área y el perímetro de un rectángulo de $8$ cm $\times$ $5$ cm. ¿Qué respuesta va en cm y cuál en cm $^2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 34.1.

Área: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ . Perímetro: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm.

Ejercicio 34.2 ★

Calcula las áreas: un cuadrado de lado $9$ cm; un rectángulo de $12$ m $\times$ $7$ m; un rectángulo de $4.5$ cm $\times$ $6$ cm.

Solución

Solución de Ejercicio 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.3 ★

Un rectángulo tiene área $63$ cm $^2$ y largo $9$ cm. Halla su ancho y después su perímetro.

Solución

Solución de Ejercicio 34.3.

Ancho: $63 \div 9 = 7$ cm. Perímetro: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm.

Ejercicio 34.4 ★

Dibuja en papel cuadriculado dos rectángulos distintos de área $24$ casillas y calcula los dos perímetros. Misma área, ¿mismo perímetro?

Solución

Solución de Ejercicio 34.4.

Por ejemplo, $6 \times 4$ (perímetro $20$ ) y $8 \times 3$ (perímetro $22$ ): la misma área $24$ y perímetros distintos.

Ejercicio 34.5 ★

Convierte: $3$ m $^2$ en cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2$ en m $^2$ . (Recuerda el Ejemplo 34.4: ¡de cien en cien!)

Solución

Solución de Ejercicio 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ .

Ejercicio 34.6 ★

Una figura en forma de T está hecha de una barra horizontal de $8 \times 2$ encima de una barra vertical de $2 \times 5$ (en cm). Calcula su área sumando dos rectángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 34.6.

Barra: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; pie: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; total, $26$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.7 ★

Un marco de fotos: un rectángulo de $30$ cm $\times$ $20$ cm con una ventana rectangular de $24$ cm $\times$ $14$ cm recortada. ¿Qué área de madera ocupa el marco?

Solución

Solución de Ejercicio 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ de madera.

Ejercicio 34.8 ★

Calcula el área de un triángulo rectángulo de catetos $8$ cm y $6$ cm (la mitad de un rectángulo, Ejemplo 34.7).

Solución

Solución de Ejercicio 34.8.

La mitad del rectángulo de $8 \times 6$ : $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ .

Ejercicio 34.9 ★

Un huerto rectangular mide $7$ m por $4$ m. La semilla cuesta $2$ por metro cuadrado y la valla, $3$ por metro. Calcula el coste de la semilla y después el de la valla.

Solución

Solución de Ejercicio 34.9.

Semilla: área $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , coste $28 \times 2 = 56$ . Valla: perímetro $2 \times (7 + 4) = 22$ m, coste $22 \times 3 = 66$ .

Ejercicio 34.10 ★★

El suelo de un pasillo mide $12$ m de largo y $2$ m de ancho, y hay que cubrirlo con baldosas cuadradas de $50$ cm de lado. ¿Cuántas baldosas hacen falta? (Convierte primero o cuenta las baldosas en cada dirección.)

Solución

Solución de Ejercicio 34.10.

Dos baldosas de $50$ cm hacen un metro: a lo largo de los $12$ m, $24$ baldosas; a lo ancho de los $2$ m, $4$ baldosas. Total: $24 \times 4 = 96$ baldosas.

Ejercicio 34.11 ★★

Duplica los lados de un rectángulo de $4$ cm $\times$ $3$ cm. ¿Qué le pasa a su perímetro? ¿Y a su área? (Calcula las dos cosas antes y después — ¡las dos respuestas son distintas!)

Solución

Solución de Ejercicio 34.11.

Antes: perímetro $2 \times (4 + 3) = 14$ cm y área $12$ cm $^2$ . Después (lados $8$ y $6$ ): perímetro $28$ cm y área $48$ cm $^2$ . El perímetro se ha duplicado; el área se ha multiplicado por cuatro ( $2 \times 2$ ): las longitudes y las áreas no cambian de la misma manera.