Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

41Triángulos y Cuadriláteros

Los triángulos y cuadriláteros son las formas básicas de la geometría. el objetivo de este capítulo es conocer sus familias especiales — isósceles, equilátero, triangulos rectángulos; rectángulos, rombos, cuadrados — por su definir propiedades, y construirlos precisamente con regla y compás.

41.1 Triangulos

Definición 41.1 (Triángulos especiales)

Un triángulo $ABC$ tiene tres vértices y tres lados. Es:

isósceles en $A$ cuando $AB = AC$ (dos lados iguales);
equilátero cuando $AB = BC = CA$ (tres lados iguales);
en ángulo recto en $A$ cuando el ángulo $\widehat{BAC}$ es un ángulo recto. El lado $[BC]$ opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Los tres triángulos especiales. Las pequeñas marcas indican igual lados; el cuadrado marca ángulo recto.

Método 41.2 (Construyendo un triángulo a partir de sus tres lados)

Para construir $ABC$ con $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

dibuja el segmento $[AB]$ de $5$ cm con la regla;
dibuja un arco del círculo de centro $A$ y radio $4$ cm (todos los puntos en $4$ cm desde $A$ );
dibuja un arco del círculo de centro $B$ y radio $3$ cm;
el punto $C$ es donde se cruzan los dos arcos; únelo a $A$ y $B$ .

Construyendo un triángulo con el compás: el vértice C es el Punto de cruce de dos arcos. (En verás cuando tal construcción es posible.) — Construyendo un triángulo con el compás: el vértice $C$ es el Punto de cruce de dos arcos. (En Capítulo 51 verás cuando tal construcción es posible.)

41.2 Cuadriláteros

Definición 41.3 (cuadriláteros especiales)

Un cuadrilátero tiene cuatro vértices y cuatro lados. Es un:

rectángulo cuando sus cuatro ángulos son ángulos rectos;
rombo cuando sus cuatro lados tienen iguales longitud;
cuadrado cuando son ambos: cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

Proposición 41.4 (Propiedades de las diagonales)

En estos cuadriláteros, las dos diagonales se cortan en sus punto medio común, y además:

en un rectángulo, las diagonales tienen el misma longitud;
en un rombo, las diagonales son perpendicular;
en un cuadrado, ambos a la vez.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Los tres especiales cuadriláteros con sus diagonales (en rojo). El cuadrado hereda las propiedades tanto del rectángulo como del rombo.

Observación 41.5

Un cuadrado es automáticamente un rectángulo (tiene cuatro ángulos rectos) y automáticamente un rombo (cuatro lados iguales). Entonces "rectángulo" no significa "no un cuadrado"! En matemáticas, la forma más especial pertenece a la familia más general.

Ejemplo 41.6 (Reconocer una forma por sus propiedades.)

Un cuadrilátero tiene cuatro lados de longitud $4$ cm y un ángulo recto. ¿Qué es? Cuatro lados iguales lo convierten en rombo. En un rombo, enfrente los ángulos son iguales y los cuatro ángulos suman $360^\circ$ ; un correcto ángulo luego obliga a los cuatro a tener razón (esto se demostrará con paralelogramos en Capítulo 52). Entonces la forma es un cuadrado.

Método 41.7 (Programas de construcción)

Un programa de construcción es una lista de instrucciones que cualquiera puede siga para reproducir una figura exactamente. Escriba una instrucción por línea, nombra cada punto cuando se crea, y solo usa: “dibuja el segmento /line/circle…”, “coloca el punto donde … cruza”. prueba su programa siguiéndolo literalmente, palabra por palabra.

Ejemplo 41.8

Programa para un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm:

Dibuja un segmento $[AB]$ con $AB = 4$ cm.
Dibuja el perpendicular a $(AB)$ en $A$ ; en él, coloque $D$ en $4$ cm de $A$ (elige un lado de la línea y cíñete a él).
Dibuja el perpendicular a $(AB)$ en $B$ ; en él, coloque $C$ en $4$ cm de $B$ , del mismo lado que $D$ .
Únete a $C$ y $D$ .

Verifique con la regla: $DC$ debe medir $4$ cm también.

41.3 Ceremonias

Ejercicio 41.1 ★

Construya un triángulo $ABC$ con $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm y $BC = 4$ cm, siguiendo a Método 41.2.

Solución

Solución de Ejercicio 41.1.

Siga el método: segmento $[AB]$ de $6$ cm, arco de radio $5$ cm centrado en $A$ , arco de radio $4$ cm centrado en $B$ ; el cruce El punto es $C$ .

Ejercicio 41.2 ★

Construya un triangulo isósceles $DEF$ con $DE = DF = 5$ cm y $EF = 3$ cm. ¿Cuáles dos ángulos de este triángulo parecen iguales? Mídelos para comprobarlo.

Solución

Solución de Ejercicio 41.2.

Base $[EF]$ de $3$ cm, luego dos arcos de radio $5$ cm centrados en $E$ y $F$ ; su cruce es $D$ . Los dos ángulos base $\widehat{DEF}$ y $\widehat{DFE}$ son iguales (aproximadamente $72.5^\circ$ cada uno) — simetría de el triangulo isósceles (Ejemplo 42.8).

Ejercicio 41.3 ★

Construya un triangulo equilatero de lado $4$ cm usando solo regla y brújula. Mide uno de sus ángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 41.3.

Segmento de $4$ cm, luego dos arcos de radio $4$ cm centrados en su termina. Cada ángulo mide $60^\circ$ .

Ejercicio 41.4 ★

Clasifica cada triángulo a partir de sus datos (isósceles, equilátero, en ángulo recto — pueden aplicarse varias respuestas): (a) lados $7$ , $7$ , $7$ ; (b) lados $5$ , $5$ , $8$ ; (c) ángulos $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) ángulos $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 41.4.

(a) equilátero (de ahí también isósceles). (b) isósceles ( $5 = 5$ ). (c) en ángulo recto y isósceles (dos ángulos iguales de $45^\circ$ rostro dos lados iguales). (d) equilátero (tres ángulos iguales).

Ejercicio 41.5 ★

En un triangulo rectángulo, ¿de qué lado está la hipotenusa? dibuja un triangulo $MNP$ en ángulo recto en $N$ , y nombra su hipotenusa. ¿Qué hace vértice? ¿La hipotenusa nunca se toca?

Solución

Solución de Ejercicio 41.5.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, siempre el más largo lado. En $MNP$ en ángulo recto en $N$ , la hipotenusa es $[MP]$ : nunca toca el vértice del ángulo recto, $N$ .

Ejercicio 41.6 ★

¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta en una frase.

Todo cuadrado es un rectángulo.
Todo rectángulo es un cuadrado.
Cada cuadrado es un rombo.
Un rombo con un ángulo recto es un cuadrado.

Solución

Solución de Ejercicio 41.6.

1. Verdadero: un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos, que es el Definición de rectángulo.

2. Falso: un rectángulo $5 \times 3$ tiene lados desiguales.

3. Verdadero: un cuadrado tiene cuatro lados iguales, la definición de un rombo.

4. Verdadero: ver Ejemplo 41.6.

Ejercicio 41.7 ★

Construya un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm. Medida sus dos diagonales: ¿qué observas?

Solución

Solución de Ejercicio 41.7.

Construcción con perpendiculares, como en Ejemplo 41.8. Ambas diagonales miden aproximadamente $5.8$ cm: las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud (Proposición 41.4).

Ejercicio 41.8 ★

Construya un rombo con diagonales de $6$ cm y $4$ cm. (Usar Proposición 41.4: dibuja primero las dos diagonales — perpendicular, cruzando por sus puntos medios — luego unir los cuatro termina.)

Solución

Solución de Ejercicio 41.8.

Dibuja un segmento de $6$ cm; su punto medio $O$ ; el perpendicular en $O$ ; sobre él, dos puntos a $2$ cm de $O$ a cada lado. Uniéndose a los cuatro Los puntos finales dan el rombo (los cuatro vértices están a distancias $3$ cm y $2$ cm desde $O$ a lo largo de lineas perpendiculares, por lo que los cuatro lados son iguales por simetría).

Ejercicio 41.9 ★★

Escribir un programa de construcción para un triangulo isósceles con base. $4$ cm y lados iguales de $6$ cm, al estilo de Ejemplo 41.8. Intercambio con un compañero: ¿pueden seguir? ¿Sin ver tu figura?

Solución

Solución de Ejercicio 41.9.

Un programa correcto: 1. dibujar un segmento $[BC]$ con $BC = 4$ cm; 2. trazar el arco del centro $B$ y radio $6$ cm por encima de $[BC]$ ; 3. dibujar el arco del centro $C$ y radio $6$ cm por encima de $[BC]$ ; 4. nombrar $A$ el punto de cruce de los dos arcos; 5. Dibuja segmentos $[AB]$ y $[AC]$ .

Ejercicio 41.10 ★★

Dibuja un círculo de centro $O$ y uno de sus diámetros $[AB]$ . Coloque cualquier Punto $M$ en el círculo y dibuja el triángulo $AMB$ . medir el angulo $\widehat{AMB}$ . Mueva $M$ y mida nuevamente. ¿Qué conjeturas? (Este hecho sorprendente se prueba en Capítulo 60.)

Solución

Solución de Ejercicio 41.10.

Cualquiera que sea la posición de $M$ en el círculo, el ángulo $\widehat{AMB}$ medidas $90^\circ$ : el triángulo $AMB$ es en ángulo recto en $M$ siempre que $[AB]$ sea diámetro. La prueba espera Capítulo 60.

Ejercicio 41.11 ★★

Un cuadrilátero tiene diagonales de la misma longitud que se cortan entre sí en su punto medio común. Determina qué forma debe tener, usando Proposición 41.4: ¿rectángulo, rombo o cuadrado? (Cuidado: sólo se proporciona una propiedad).

Solución

Solución de Ejercicio 41.11.

Diagonales que se cortan en su punto medio y tienen longitudes iguales: esa es la lista de propiedades del rectángulo (Proposición 41.4). Nada obliga a que las diagonales sean perpendicular, por lo que no es necesario que sea rombo o un cuadrado — un rectángulo es la respuesta correcta (un cuadrado también la satisfacería, pero no lo es) forzado).

Ejercicio 41.12 ★★★

En una cuadrícula de puntos $4 \times 4$ , ¿cuántos cuadrados diferentes puedes dibujar? ¿Cuyas esquinas son puntos de la cuadrícula, contando también los cuadrados "inclinados"? Dibuja al menos un cuadrado inclinado y explica por qué sus lados son iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 41.12.

Con puntos $4 \times 4$ hay celdas de cuadrícula $3 \times 3$ . Cuadrados alineados en cuadrícula: los lados $1$ , $2$ o $3$ dan $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados. También existen cuadrados inclinados: los pequeños cuyos lados son diagonales de celdas $1 \times 1$ (como $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — cuatro de ellos; y los más grandes cuyos lados son diagonales de rectángulos $2 \times 1$ , como $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — dos de ellos. Los cuatro lados de dicho cuadrado son iguales. porque son diagonales de rectángulos idénticos. Totales: $14 + 4 + 2 = 20$ cuadrados. (Cualquier cuenta con un ejemplo inclinado correcto y los alineados $14$ son un éxito en este nivel).

41.4 Problema: lo que saben las diagonales

Problema 41.1

Problema del fin de semana — reconstruyendo cada especial cuadrilátero sólo por sus diagonales y contando las diagonales de cualquier polígono

Proposición 41.4 lee una forma y te informa sobre sus diagonales. Este problema juega el juego hacia atrás: dado solo dos se cruzan segmentos — las futuras diagonales — que forma aparece cuando unes sus cuatro extremos? Construirás un completo “diccionario diagonal”, entiende por qué o rombo construcción de las obras Ejercicio 41.8, cumplen con una forma que aún no tiene nombre, y terminamos contando las diagonales de polígonos con muchos más de cuatro lados.

Parte I — The diagonal dictionary. Para cada pregunta, dibuja los dos segmentos como se describe, une sus cuatro extremos en orden e identifique el cuadrilátero que obtiene.

Dos segmentos de $6$ cm cada uno, perpendicular, cruce en su punto medio común. Mida los cuatro lados y el cuatro ángulos de la forma resultante: ¿qué es?
Dos segmentos de $8$ cm y $5$ cm, perpendicular, cruce en su punto medio común. ¿Qué forma aparece? (Ejercicio 41.8)?
Dos segmentos de $7$ cm cada uno — iguales pero no perpendicular — cruce en su punto medio común. Mide los lados y los ángulos: ¿cuál conjeturas forma de ser?
Dos segmentos de $8$ cm y $5$ cm, no perpendicular, cruce en su punto medio común. La forma que obtienes es ninguno de los tres Definición 41.3 — describe lo que Ya ves (¿qué lados parecen iguales? paralelo?). esto cuadrilátero recibe su nombre en Capítulo 52.
Resume las preguntas 1 a 4 en un diccionario con cuatro entradas: diagonales equal / perpendicular / both / neither (siempre cruzando en sus puntos medios) $\rightarrow$ nombre (o descripción) de la forma.

Parte II — Why the constructions work.

En la pregunta 2, las dos diagonales cortan la forma en cuatro triangulos rectángulos alrededor del punto de cruce. ¿Cuáles son los ¿La longitud de dos catetos de cada uno de estos triángulos? Explica por qué los cuatro triángulos son copias exactas uno del otro, y deduce por qué los cuatro lados de la figura son iguales — el secreto de Ejercicio 41.8.
Prueba de deducir solo con brújula: después de construir cualquier forma desde sus diagonales, ¿cómo se puede comprobar con la brújula? solo (sin medidas de regla) que los cuatro lados son ¿iguales?
Escribir un programa de construcción. (Método 41.7) para un cuadrado cuyo diagonales mide $6$ cm — no sus lados.
En el cuadrado de la pregunta 8, ¿el lado es más largo o más corto que $3$ cm — medio la diagonal? Medir hasta descúbrelo. Un medio de la respuesta ya puede ser probado: yendo de una esquina a la siguiente por el centro es un desvío $3 + 3$ cm, y un camino recto es siempre más corto que un desvío — entonces el lado es más corto de $6$ cm. (Demostrando que también supera a $3$ cm, y calcularlo exactamente, es un trabajo para Capítulo 58.)
Una nueva entrada para el diccionario: dibuja un segmento $[AC]$ de $8$ cm; en él marcar el punto $H$ a $3$ cm de $A$ ; dibujar a través de $H$ el perpendicular segmento $[BD]$ de $5$ cm con $H$ como punto medio es. Únase a $ABCD$ . esto La forma es cometa (una diagonal biseca el otro, en un ángulo recto). Usando triángulos de esquina como en la pregunta 6, encuentra qué lados de un cometa son iguales a cual.

Parte III — Counting diagonals. Un diagonal de un polígono une dos vértices que no están vecinos.

Dibuja un cuadrilátero, un pentágono (cinco vértices) y un hexágono (seis vértices), y dibuja todas sus diagonales. Cuéntalos: ¿cuántos en cada caso?
Contar sin dibujar, para el hexágono: desde uno vértice, ¿cuántas diagonales quedan? (¿A cuántos de los seis vértices ¿se puede unir no por una diagonal?) Multiplicar por seis vértices cuenta cada diagonal exactamente dos veces — ¿por qué? Recupera tu conteo de pregunta 11. (La misma doble contabilización apareció en los apretones de manos de Problema 37.1.)
Utilice el método de la pregunta 12 para contar las diagonales de a polígono con $10$ vértices, luego con $20$ vértices.
A polígono tiene exactamente $44$ diagonales. Cuantos vértices tiene? (Pruebe el método de la pregunta 13 en algunos candidatos.)
Comprueba tu método en el polígono más pequeño de todos: cómo ¿Cuántas diagonales tiene un triángulo y cuál es? ¿Método de conteo de la respuesta a la pregunta 12? concluir con uno frase sobre lo que tienen los apretones de manos y las diagonales común.

Solución

Solución de Problema 41.1.

1. Los cuatro lados miden todos lo mismo (aproximadamente $4.2$ cm) y los cuatro ángulos son rectos: la forma es una cuadrado. (Las diagonales iguales dan el ángulos rectos, como en el rectángulo; perpendicular dan los lados iguales, como en el rombo; ambos a la vez dan el cuadrado, Proposición 41.4 leer al revés.)

2. A rombo: cuatro lados iguales (aproximadamente $4.7$ cm), pero no ángulo recto — exactamente la construcción de Ejercicio 41.8.

3. Los cuatro ángulos salen bien pero los lados entran dos longitudes diferentes: un rectángulo — este es el situación de Ejercicio 41.11.

4. Ningún reclamo de igual longitud sobrevive a la medición y no Aparece ángulo recto; pero los lados opuestos son iguales de dos en dos y mira paralelo. Es el "rectángulo inclinado" general cuyo las diagonales simplemente se bisecan entre sí — la paralelogramo, nombrado y estudiado en Capítulo 52.

5. Diagonales que se cruzan en su punto medio común:

diagonals…	shape
equal and perpendicular	square
perpendicular only	rombo
equal only	rectangle
neither	the nameless one (see Capítulo 52)

6. Cada triángulo de esquina tiene un cateto a lo largo de cada diagonal: medio de $8$ cm y medio de $5$ cm, entonces catetos de $4$ cm y $2.5$ cm, con un ángulo recto entre ellos — el mismo dato para los cuatro. Triángulos construidos a partir de los mismos dos catetos y el ángulo recto entre ellos son copias exactas el uno del otro. (constrúyalos: la configuración de la brújula es idéntica). sus cuatro Las hipotenusas — los lados de la figura — son por lo tanto iguales: la forma es rombo.

7. Abra la brújula a lo largo de un lado, luego camine alrededor de la forma: si la punta y el lápiz aterrizan exactamente en cada par de esquinas vecinas, los cuatro lados son iguales a eso una apertura. No se necesita gobernante.

8. Programa:

Dibujar un segmento $[AC]$ con $AC = 6$ cm y colocar su punto medio $O$ (medida $3$ cm desde $A$ ).
Dibuja el perpendicular a $(AC)$ en $O$ .
Sobre él coloque $B$ y $D$ a $3$ cm de $O$ , uno en cada uno. lado.
Únete a $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonales iguales ( $6$ cm), perpendicular, biseccionándose entre sí: según el diccionario, $ABCD$ es un cuadrado.

9. La medición da aproximadamente $4.2$ cm: más extenso que $3$ cm — la suposición común “medio la diagonal” es incorrecta. el demostrable medio: para pasar de la esquina $A$ a la siguiente esquina $B$ , uno Puedes caminar recto por el lado $[AB]$ , o tomar el desvío. $A \to O \to B$ por el centro, con un coste de $3 + 3 = 6$ cm; el El lado recto es más corto, por lo que el lado mide menos de $6$ cm. Que también es más que $3$ cm es lo que muestra la regla; Capítulo 58 lo probará y dará el valor exacto. ( $3$ cm multiplicado por la raíz cuadrada de $2$ , aproximadamente $4.24$ cm).

10. Los cuatro triángulos de las esquinas en $H$ ahora entran dos pares iguales: dos con patas $3$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[AB]$ y $[AD]$ ), dos con catetos $5$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[CB]$ y $[CD]$ ). Entonces $AB = AD$ y $CB = CD$ : un cometa tiene dos pares de vecino iguales lados (el rombo es el cometa especial donde los cuatro coinciden).

11. Cuadrilátero: $2$ diagonales. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ .

12. De un vértice del hexágono, las diagonales van a cada vértice excepto él mismo y sus dos vecinos: $6 - 3 = 3$ diagonales. Seis vértices lanzan $6 \times 3 = 18$ extremos diagonales — pero cada diagonal ha sido contada en ambos de su termina, una vez desde cada punto final, exactamente como un apretón de manos contado por ambos agitadores (Problema 37.1). Conteo verdadero: $18 \div 2 = 9$ . Coincide con el dibujo.

13. Diez vértices: $10 - 3 = 7$ de cada uno, por lo que $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonales. Veinte vértices: $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonales.

14. Prueba candidatos: $10$ vértices dale $35$ (pregunta 13); $11$ vértices da $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Encontrado: el polígono tiene $11$ vértices.

15. Un triángulo no tiene diagonales: cada vértice Los “no vecinos” son … nadie, ya que los otros dos vértices son sus dos vecinos. El método concuerda: $3 - 3 = 0$ de cada vértice, total $0$ . Apretones de manos y las diagonales son iguales en ropa diferente: pares elegidos de un grupo, cada pareja contó una vez — las matemáticas reciclan sus buenas ideas.