Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

41Triángulos y cuadriláteros

Los triángulos y los cuadriláteros son las figuras básicas de la geometría. El objetivo de este capítulo es conocer sus familias especiales — isósceles, equiláteros, triángulos rectángulos; rectángulos, rombos, cuadrados — por sus propiedades características y saber construirlos con precisión con regla y compás.

41.1 Los triángulos

Definición 41.1 (Triángulos especiales)

Un triángulo $ABC$ tiene tres vértices y tres lados. Es:

isósceles en $A$ cuando $AB = AC$ (dos lados iguales);
equilátero cuando $AB = BC = CA$ (tres lados iguales);
rectángulo en $A$ cuando el ángulo $\widehat{BAC}$ es un ángulo recto. El lado $[BC]$ , opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa.

Los tres triángulos especiales. Los trazos pequeños indican lados iguales; el cuadradito marca el ángulo recto.

Método 41.2 (Construir un triángulo a partir de sus tres lados)

Para construir $ABC$ con $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm y $BC = 3$ cm:

traza el segmento $[AB]$ de $5$ cm con la regla;
traza un arco de la circunferencia de centro $A$ y radio $4$ cm (todos los puntos a $4$ cm de $A$ );
traza un arco de la circunferencia de centro $B$ y radio $3$ cm;
el punto $C$ es donde se cortan los dos arcos; únelo con $A$ y $B$ .

Construcción de un triángulo con el compás: el vértice C es el punto de corte de los dos arcos. (En el verás cuándo es posible una construcción así.) — Construcción de un triángulo con el compás: el vértice $C$ es el punto de corte de los dos arcos. (En el Capítulo 51 verás cuándo es posible una construcción así.)

41.2 Los cuadriláteros

Definición 41.3 (Cuadriláteros especiales)

Un cuadrilátero tiene cuatro vértices y cuatro lados. Es un:

rectángulo cuando sus cuatro ángulos son rectos;
rombo cuando sus cuatro lados tienen la misma longitud;
cuadrado cuando es las dos cosas: cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales.

Proposición 41.4 (Propiedades de las diagonales)

En estos cuadriláteros, las dos diagonales se cortan en su punto medio común y, además:

en un rectángulo, las diagonales tienen la misma longitud;
en un rombo, las diagonales son perpendiculares;
en un cuadrado, las dos cosas a la vez.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Los tres cuadriláteros especiales con sus diagonales (en rojo). El cuadrado hereda las propiedades del rectángulo y las del rombo.

Observación 41.5

Un cuadrado es automáticamente un rectángulo (tiene cuatro ángulos rectos) y automáticamente un rombo (cuatro lados iguales). ¡Así que «rectángulo» no significa «que no es cuadrado»! En matemáticas, la figura más especial pertenece a la familia más general.

Ejemplo 41.6 (Reconocer una figura por sus propiedades)

Un cuadrilátero tiene cuatro lados de $4$ cm y un ángulo recto. ¿Qué es? Los cuatro lados iguales lo convierten en un rombo. En un rombo, los ángulos opuestos son iguales y los cuatro ángulos suman $360^\circ$ ; un ángulo recto obliga entonces a que los cuatro lo sean (se demostrará con los paralelogramos en el Capítulo 52). Así que la figura es un cuadrado.

Método 41.7 (Programas de construcción)

Un programa de construcción es una lista de instrucciones que cualquiera puede seguir para reproducir una figura exactamente. Escribe una instrucción por línea, nombra cada punto en cuanto se cree y usa solo: «traza el segmento / la recta / la circunferencia…», «coloca el punto donde se cortan …». Prueba tu programa siguiéndolo al pie de la letra.

Ejemplo 41.8

Programa para un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm:

traza un segmento $[AB]$ con $AB = 4$ cm;
traza la perpendicular a $(AB)$ en $A$ ; sobre ella, coloca $D$ a $4$ cm de $A$ (elige un lado de la recta y quédate en él);
traza la perpendicular a $(AB)$ en $B$ ; sobre ella, coloca $C$ a $4$ cm de $B$ , del mismo lado que $D$ ;
une $C$ y $D$ .

Comprueba con la regla: $DC$ debería medir también $4$ cm.

41.3 Ejercicios

Ejercicio 41.1 ★

Construye un triángulo $ABC$ con $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm y $BC = 4$ cm, siguiendo el Método 41.2.

Solución

Solución de Ejercicio 41.1.

Sigue el método: segmento $[AB]$ de $6$ cm, arco de radio $5$ cm con centro en $A$ , arco de radio $4$ cm con centro en $B$ ; el punto de corte es $C$ .

Ejercicio 41.2 ★

Construye un triángulo isósceles $DEF$ con $DE = DF = 5$ cm y $EF = 3$ cm. ¿Qué dos ángulos de este triángulo parecen iguales? Mídelos para comprobarlo.

Solución

Solución de Ejercicio 41.2.

Base $[EF]$ de $3$ cm y después dos arcos de radio $5$ cm con centro en $E$ y en $F$ ; su cruce es $D$ . Los dos ángulos de la base, $\widehat{DEF}$ y $\widehat{DFE}$ , son iguales (unos $72.5^\circ$ cada uno) — por la simetría del triángulo isósceles (Ejemplo 42.8).

Ejercicio 41.3 ★

Construye un triángulo equilátero de lado $4$ cm usando solo regla y compás. Mide uno de sus ángulos.

Solución

Solución de Ejercicio 41.3.

Segmento de $4$ cm y después dos arcos de radio $4$ cm con centro en sus extremos. Todos los ángulos miden $60^\circ$ .

Ejercicio 41.4 ★

Clasifica cada triángulo a partir de sus datos (isósceles, equilátero o rectángulo — puede valer más de una respuesta): (a) lados $7$ , $7$ , $7$ ; (b) lados $5$ , $5$ , $8$ ; (c) ángulos $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) ángulos $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 41.4.

(a) equilátero (y, por tanto, también isósceles). (b) isósceles ( $5 = 5$ ). (c) rectángulo e isósceles (a dos ángulos iguales de $45^\circ$ se oponen dos lados iguales). (d) equilátero (tres ángulos iguales).

Ejercicio 41.5 ★

En un triángulo rectángulo, ¿qué lado es la hipotenusa? Dibuja un triángulo $MNP$ rectángulo en $N$ y nombra su hipotenusa. ¿Qué vértice no toca nunca la hipotenusa?

Solución

Solución de Ejercicio 41.5.

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, siempre el lado más largo. En $MNP$ , rectángulo en $N$ , la hipotenusa es $[MP]$ : nunca toca el vértice del ángulo recto, $N$ .

Ejercicio 41.6 ★

¿Verdadero o falso? Justifica cada respuesta en una frase.

todo cuadrado es un rectángulo;
todo rectángulo es un cuadrado;
todo cuadrado es un rombo;
un rombo con un ángulo recto es un cuadrado.

Solución

Solución de Ejercicio 41.6.

1. Verdadero: un cuadrado tiene cuatro ángulos rectos, que es la definición de rectángulo.

2. Falso: un rectángulo de $5 \times 3$ tiene los lados desiguales.

3. Verdadero: un cuadrado tiene cuatro lados iguales, la definición de rombo.

4. Verdadero: véase el Ejemplo 41.6.

Ejercicio 41.7 ★

Construye un rectángulo $ABCD$ con $AB = 5$ cm y $BC = 3$ cm. Mide sus dos diagonales: ¿qué observas?

Solución

Solución de Ejercicio 41.7.

Construcción con perpendiculares, como en el Ejemplo 41.8. Las dos diagonales miden unos $5.8$ cm: las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud (Proposición 41.4).

Ejercicio 41.8 ★

Construye un rombo con diagonales de $6$ cm y $4$ cm. (Usa la Proposición 41.4: traza primero las dos diagonales — perpendiculares y cortándose en sus puntos medios — y une después los cuatro extremos.)

Solución

Solución de Ejercicio 41.8.

Traza un segmento de $6$ cm; su punto medio $O$ ; la perpendicular en $O$ ; sobre ella, dos puntos a $2$ cm de $O$ , uno a cada lado. Al unir los cuatro extremos sale el rombo (los cuatro vértices están a distancias $3$ cm y $2$ cm de $O$ sobre rectas perpendiculares, así que los cuatro lados son iguales por simetría).

Ejercicio 41.9 ★★

Escribe un programa de construcción para un triángulo isósceles de base $4$ cm y lados iguales de $6$ cm, al estilo del Ejemplo 41.8. Intercámbialo con un compañero: ¿puede seguirlo sin ver tu figura?

Solución

Solución de Ejercicio 41.9.

Un programa correcto: 1. traza un segmento $[BC]$ con $BC = 4$ cm; 2. traza el arco de centro $B$ y radio $6$ cm por encima de $[BC]$ ; 3. traza el arco de centro $C$ y radio $6$ cm por encima de $[BC]$ ; 4. llama $A$ al punto de corte de los dos arcos; 5. traza los segmentos $[AB]$ y $[AC]$ .

Ejercicio 41.10 ★★

Traza una circunferencia de centro $O$ y uno de sus diámetros $[AB]$ . Sitúa un punto cualquiera $M$ sobre la circunferencia y dibuja el triángulo $AMB$ . Mide el ángulo $\widehat{AMB}$ . Mueve $M$ y vuelve a medir. ¿Qué conjeturas? (Este hecho sorprendente se demuestra en el Capítulo 60.)

Solución

Solución de Ejercicio 41.10.

Sea cual sea la posición de $M$ sobre la circunferencia, el ángulo $\widehat{AMB}$ mide $90^\circ$ : el triángulo $AMB$ es rectángulo en $M$ siempre que $[AB]$ sea un diámetro. La demostración espera al Capítulo 60.

Ejercicio 41.11 ★★

Un cuadrilátero tiene las diagonales de la misma longitud y se cortan en su punto medio común. Averigua qué figura tiene que ser, usando la Proposición 41.4: ¿rectángulo, rombo o cuadrado? (Cuidado: solo se da una propiedad.)

Solución

Solución de Ejercicio 41.11.

Diagonales que se cortan en su punto medio y tienen la misma longitud: esa es la lista de propiedades del rectángulo (Proposición 41.4). Nada obliga a que las diagonales sean perpendiculares, así que no tiene por qué ser un rombo ni un cuadrado — un rectángulo es la respuesta correcta (un cuadrado también lo cumpliría, pero no está forzado).

Ejercicio 41.12 ★★★

En una trama de $4 \times 4$ puntos, ¿cuántos cuadrados distintos puedes dibujar con los vértices en los puntos de la trama — contando también los cuadrados «inclinados»? Dibuja al menos un cuadrado inclinado y explica por qué sus lados son iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 41.12.

Con $4 \times 4$ puntos hay $3 \times 3$ casillas. Cuadrados alineados con la trama: lados $1$ , $2$ o $3$ dan $9 + 4 + 1 = 14$ cuadrados. También hay cuadrados inclinados: los pequeños, cuyos lados son diagonales de casillas de $1 \times 1$ (como $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — cuatro; y los mayores, cuyos lados son diagonales de rectángulos de $2 \times 1$ , como $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — dos. Los cuatro lados de un cuadrado así son iguales porque son diagonales de rectángulos idénticos. Total: $14 + 4 + 2 = 20$ cuadrados. (Cualquier recuento con un ejemplo inclinado correcto y los $14$ alineados es un éxito a este nivel.)

41.4 Problema: Lo que saben las diagonales

Problema 41.1

Problema de fin de semana — reconstruir cada cuadrilátero especial a partir únicamente de sus diagonales y contar las diagonales de un polígono cualquiera

La Proposición 41.4 lee una figura y te habla de sus diagonales. Este problema juega al revés: dados solo dos segmentos que se cortan — las futuras diagonales —, ¿qué figura aparece al unir sus cuatro extremos? Construirás un «diccionario de diagonales» completo, entenderás por qué funciona la construcción del rombo del Ejercicio 41.8, conocerás una figura que todavía no tiene nombre y terminarás contando las diagonales de polígonos con muchos más de cuatro lados.

Parte I — El diccionario de las diagonales. Para cada pregunta, traza los dos segmentos como se describe, une sus cuatro extremos en orden e identifica el cuadrilátero que obtienes.

dos segmentos de $6$ cm cada uno, perpendiculares, que se cortan en su punto medio común. Mide los cuatro lados y los cuatro ángulos de la figura resultante: ¿qué es?
dos segmentos de $8$ cm y $5$ cm, perpendiculares, que se cortan en su punto medio común. ¿Qué figura aparece (Ejercicio 41.8)?
dos segmentos de $7$ cm cada uno — iguales pero no perpendiculares — que se cortan en su punto medio común. Mide los lados y los ángulos: ¿qué conjeturas que es la figura?
dos segmentos de $8$ cm y $5$ cm, no perpendiculares, que se cortan en su punto medio común. La figura que sale no es ninguna de las tres de la Definición 41.3 — describe lo que ves (¿qué lados parecen iguales? ¿paralelos?). Este cuadrilátero recibe su nombre en el Capítulo 52;
resume las preguntas 1–4 en un diccionario de cuatro entradas: diagonales iguales / perpendiculares / las dos cosas / ninguna (cortándose siempre en sus puntos medios) $\rightarrow$ nombre (o descripción) de la figura.

Parte II — Por qué funcionan las construcciones.

en la pregunta 2, las dos diagonales cortan la figura en cuatro triángulos rectángulos alrededor del punto de corte. ¿Cuáles son las longitudes de los dos catetos de cada uno de esos triángulos? Explica por qué los cuatro triángulos son copias exactas unos de otros y deduce por qué los cuatro lados de la figura son iguales — el secreto del Ejercicio 41.8;
deduce una comprobación solo con compás: después de construir una figura cualquiera a partir de sus diagonales, ¿cómo puedes comprobar solo con el compás (sin medir con la regla) que los cuatro lados son iguales?
escribe un programa de construcción (Método 41.7) para un cuadrado cuyas diagonales midan $6$ cm — no sus lados;
en el cuadrado de la pregunta 8, ¿es el lado más largo o más corto que $3$ cm, la mitad de la diagonal? Mide para averiguarlo. Ya se puede demostrar la mitad de la respuesta: ir de una esquina a la siguiente pasando por el centro es un rodeo de $3 + 3$ cm, y un camino recto es siempre más corto que un rodeo — así que el lado es menor que $6$ cm. (Demostrar que además supera los $3$ cm, y calcularlo exactamente, es tarea del Capítulo 58.)
una entrada nueva para el diccionario: traza un segmento $[AC]$ de $8$ cm; sobre él, marca el punto $H$ a $3$ cm de $A$ ; traza por $H$ el segmento perpendicular $[BD]$ de $5$ cm con $H$ como punto medio suyo. Une $ABCD$ . Esta figura es una cometa (una diagonal corta a la otra por la mitad y en ángulo recto). Usando los triángulos de las esquinas como en la pregunta 6, halla qué lados de una cometa son iguales a cuáles.

Parte III — Contar diagonales. Una diagonal de un polígono une dos vértices que no son vecinos.

dibuja un cuadrilátero, un pentágono (cinco vértices) y un hexágono (seis vértices), y traza todas sus diagonales. Cuéntalas: ¿cuántas hay en cada caso?
contando sin dibujar, para el hexágono: desde un vértice, ¿cuántas diagonales salen? (¿Con cuántos de los seis vértices no se puede unir mediante una diagonal?) Multiplicar por los seis vértices cuenta cada diagonal exactamente dos veces — ¿por qué? Recupera tu recuento de la pregunta 11. (El mismo recuento doble apareció en los apretones de manos del Problema 37.1.)
usa el método de la pregunta 12 para contar las diagonales de un polígono de $10$ vértices y después de uno de $20$ vértices;
un polígono tiene exactamente $44$ diagonales. ¿Cuántos vértices tiene? (Prueba el método de la pregunta 13 con unos cuantos candidatos.)
comprueba tu método con el polígono más pequeño de todos: ¿cuántas diagonales tiene un triángulo y qué responde el método de recuento de la pregunta 12? Termina con una frase sobre lo que tienen en común los apretones de manos y las diagonales.

Solución

Solución de Problema 41.1.

1. Los cuatro lados miden lo mismo (unos $4.2$ cm) y los cuatro ángulos son rectos: la figura es un cuadrado. (Las diagonales iguales dan los ángulos rectos, como en el rectángulo; las perpendiculares dan los lados iguales, como en el rombo; las dos cosas a la vez dan el cuadrado, la Proposición 41.4 leída al revés.)

2. Un rombo: cuatro lados iguales (unos $4.7$ cm), pero ningún ángulo recto — exactamente la construcción del Ejercicio 41.8.

3. Los cuatro ángulos salen rectos, pero los lados salen de dos longitudes distintas: un rectángulo — es la situación del Ejercicio 41.11.

4. Ninguna igualdad de longitudes sobrevive a la medición y no aparece ningún ángulo recto; pero los lados opuestos son iguales dos a dos y parecen paralelos. Es el «rectángulo inclinado» general, cuyas diagonales simplemente se cortan por la mitad — el paralelogramo, bautizado y estudiado en el Capítulo 52.

5. Diagonales que se cortan en su punto medio común:

diagonales…	figura
iguales y perpendiculares	cuadrado
solo perpendiculares	rombo
solo iguales	rectángulo
ninguna de las dos cosas	el que aún no tiene nombre (véase el Capítulo 52)

6. Cada triángulo de esquina tiene un cateto sobre cada diagonal: la mitad de $8$ cm y la mitad de $5$ cm, o sea, catetos de $4$ cm y $2.5$ cm, con un ángulo recto entre ellos — los mismos datos para los cuatro. Los triángulos construidos con los mismos dos catetos y el ángulo recto entre ellos son copias exactas unos de otros (constrúyelos: las aberturas del compás son idénticas). Sus cuatro hipotenusas — los lados de la figura — son, por tanto, iguales: la figura es un rombo.

7. Abre el compás con la longitud de un lado y después recórrelo por la figura: si la punta y la mina caen exactamente en cada pareja de esquinas vecinas, los cuatro lados miden esa abertura. No hace falta regla.

8. Programa:

traza un segmento $[AC]$ con $AC = 6$ cm y sitúa su punto medio $O$ (mide $3$ cm desde $A$ );
traza la perpendicular a $(AC)$ en $O$ ;
sobre ella, sitúa $B$ y $D$ a $3$ cm de $O$ , uno a cada lado;
une $A$ , $B$ , $C$ y $D$ .

Diagonales iguales ( $6$ cm), perpendiculares y que se cortan por la mitad: por el diccionario, $ABCD$ es un cuadrado.

9. Al medir salen unos $4.2$ cm: más que $3$ cm — la respuesta intuitiva «la mitad de la diagonal» es falsa. La mitad demostrable: para ir de la esquina $A$ a la esquina siguiente $B$ se puede recorrer el lado $[AB]$ en línea recta o dar el rodeo $A \to O \to B$ por el centro, que cuesta $3 + 3 = 6$ cm; el lado recto es más corto, así que el lado mide menos de $6$ cm. Que además sea más de $3$ cm es lo que muestra la regla; el Capítulo 58 lo demostrará y dará el valor exacto ( $3$ cm multiplicado por la raíz cuadrada de $2$ , unos $4.24$ cm).

10. Los cuatro triángulos de esquina en $H$ van ahora en dos parejas iguales: dos con catetos $3$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[AB]$ y $[AD]$ ) y dos con catetos $5$ cm y $2.5$ cm (hipotenusas $[CB]$ y $[CD]$ ). Así que $AB = AD$ y $CB = CD$ : una cometa tiene dos parejas de lados contiguos iguales (el rombo es la cometa especial en la que los cuatro coinciden).

11. Cuadrilátero: $2$ diagonales. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ .

12. Desde un vértice del hexágono salen diagonales hacia todos los vértices salvo él mismo y sus dos vecinos: $6 - 3 = 3$ diagonales. Los seis vértices lanzan $6 \times 3 = 18$ extremos de diagonal — pero cada diagonal se ha contado en los dos extremos, una vez desde cada uno, igual que un apretón de manos contado por los dos que se saludan (Problema 37.1). Recuento verdadero: $18 \div 2 = 9$ . Coincide con el dibujo.

13. Diez vértices: $10 - 3 = 7$ desde cada uno, así que $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonales. Veinte vértices: $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonales.

14. Prueba con candidatos: $10$ vértices dan $35$ (pregunta 13); $11$ vértices dan $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Encontrado: el polígono tiene $11$ vértices.

15. Un triángulo no tiene ninguna diagonal: los «no vecinos» de cada vértice son … nadie, ya que los otros dos vértices son sus dos vecinos. El método coincide: $3 - 3 = 0$ desde cada vértice, total $0$ . Los apretones de manos y las diagonales son el mismo recuento con ropa distinta: parejas elegidas en un grupo, cada pareja contada una vez — las matemáticas reciclan sus buenas ideas.

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