Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

67Funciones lineales y afines

"Tres kilogramos cuestan tres veces más que uno": es decir proporcionalidad, la forma más sencilla de relacionar dos cantidades. lineal funciones son proporcionalidad en el lenguaje de funciones; afín funciones agrega un monto inicial fijo. Sus gráficas son líneas rectas, y leer esas líneas es la habilidad que desarrolla este capítulo.

67.1 Proporcionalidad y funciones lineales.

Definición 67.1 (Función lineal)

A función lineal multiplica cada número mediante un número fijo $a$ :

f(x) = a x .

El número $a$ es el coeficiente de $f$ . Dos cantidades son proporcional exactamente cuando uno es lineal función del otro.

Ejemplo 67.2

Si las manzanas cuestan $3$ el kilogramo, el precio de $x$ kilogramos es $f(x) = 3x$ : comprar el doble cuesta el doble, y el precio de $2.5$ kg es $f(2.5) = 7.5$ .

Por el contrario, si función lineal satisface $f(4) = 10$ , entonces $a = \frac{10}{4} = 2.5$ y $f(x) = 2.5x$ : one value determines a función lineal completely.

Proposición 67.3 (Gráfica de una función lineal)

La gráfica de $f(x) = ax$ es una línea recta a través del origen. Por el contrario, cada línea no vertical que pasa por el origen es la gráfica de un función lineal.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Dos funciones lineales: ambas gráficas pasan por el origen; el el coeficiente a es la altura alcanzada en x = 1. — Dos funciones lineales: ambas gráficas pasan por el origen; el el coeficiente $a$ es la altura alcanzada en $x = 1$ .

67.2 Funciones afines

Definición 67.4 (Función afín)

Un función afín tiene la forma

f(x) = a x + b ,

donde $a$ y $b$ son números fijos. Funciones lineales son los especiales caso $b = 0$ ; funciones constantes el caso $a = 0$ .

Ejemplo 67.5

Un gimnasio cobra una tarifa de inscripción de $20$ , luego $5$ por visita: el total El costo de las visitas $x$ es $f(x) = 5x + 20$ . El costo es no proporcional al número de visitas (10 visitas no cuestan el doble como 5), pero cada visita adicional suma la misma cantidad, $5$ .

Proposición 67.6 (Gráfica de una función afín)

La gráfica de $f(x) = ax + b$ es una línea recta:

$b = f(0)$ es el $y$ -intercepción: la línea cruza el eje vertical en $(0, b)$ ;
$a$ es el pendiente: mover una unidad a la hacia la derecha mueve $a$ unidades hacia arriba (hacia abajo si es $a < 0$ ); la función es aumentando cuando $a > 0$ , disminuyendo cuando $a < 0$ ;
para dos entradas cualesquiera $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Prueba del último punto. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; dividir por $v - u$ . el En este nivel se admite el descanso (el volumen de High School da una información completa). tratamiento de líneas y su ecuaciones). ∎

Leyendo y = ax + b en su gráfico: la línea cruza el eje y en la altura b, y sube a por cada paso de unidad hacia la derecha (aquí a = 1, b = 1). — Leyendo $y = ax + b$ en su gráfico: la línea cruza el eje $y$ en la altura $b$ , y sube $a$ por cada paso de unidad hacia la derecha (aquí $a = 1$ , $b = 1$ ).

Método 67.7 (Encontrar una función afín a partir de dos valores)

Dado $f(u)$ y $f(v)$ con $u \neq v$ :

calcula el pendiente $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
sustituya uno de los dos valores conocidos en $f(x) = ax + b$ para encontrar $b$ ;
consultar con el otro valor.

Ejemplo 67.8

Encuentra el función afín con $f(2) = 7$ y $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

luego $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ da $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Comprobar: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Porcentajes

Proposición 67.9 (cambio porcentual)

Aumentar una cantidad en $t\,\%$ la multiplica por $1 + \dfrac{t}{100}$ ; disminuyéndolo en $t\,\%$ se multiplica por $1 - \dfrac{t}{100}$ . Los cambios porcentuales son funciones lineales.

Demostración. Aumentar $x$ en $t\,\%$ significa agregar $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

Mismo cálculo con un signo menos para una disminución. ∎

Ejemplo 67.10

Un precio de $80$ aumenta en $15\%$ : nuevo precio $80 \times 1.15 = 92$ . Un precio de $60$ disminuye en $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Encadenar cambios multiplica los factores. Un aumento $20\%$ seguido de una disminución $20\%$ da $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : un $4\%$ disminuir en general, no un retorno a ¡el comienzo!

67.4 Ceremonias

Ejercicio 67.1 ★

Entre estas funciones, ¿cuáles son lineales? afín? ¿ni?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solución

Solución de Ejercicio 67.1.

Lineal: $f$ y $k$ (formulario $ax$ ). Afín pero no lineal: $g$ (pendiente $3$ , interceptar $-5$ ) y $m$ (constante, pendiente $0$ ). Ninguno de los dos: $h$ , debido a la plaza.

Ejercicio 67.2 ★

Deje $f(x) = 2x - 3$ . Calcule $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ y encuentre el número $x$ tal que $f(x) = 9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . Y $f(x) = 9$ significa $2x - 3 = 9$ , entonces $2x = 12$ y $x = 6$ .

Ejercicio 67.3 ★

A función lineal satisface $f(6) = 15$ . Encuentre su coeficiente, entonces calcular $f(10)$ y $f(-2)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , entonces $f(x) = 2.5x$ . Luego $f(10) = 25$ y $f(-2) = -5$ .

Ejercicio 67.4 ★

Dibujar en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ y $h(x) = -x + 4$ . ¿Qué se puede decir sobre las gráficas de ¿ $f$ y $g$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 67.4.

$f$ pasa por el origen con pendiente $2$ ; $g$ tiene el mismo pendiente pero cruza el eje $y$ en $3$ ; $h$ disminuye de $(0, 4)$ con pendiente $-1$ . Las gráficas de $f$ y $g$ son lineas paralelas (el mismo pendiente, diferentes interceptos).

Ejercicio 67.5 ★

Encuentre función afín tal que $f(1) = 5$ y $f(3) = 11$ ; entonces el uno tal que $g(0) = 4$ y $g(2) = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.5.

Para $f$ : pendiente $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , luego $5 = 3 \times 1 + b$ da $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Para $g$ : pendiente $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ y $g(0) = 4$ ya es el interceptar: $g(x) = -2x + 4$ .

Ejercicio 67.6 ★★

Calcular: el precio después de un aumento de $25\%$ en $120$ ; el precio después de un $40\%$ descuento en $65$ ; el precio original si un artículo cuesta $69$ después de un descuento $25\%$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.6.

Incremento de $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Descuento de $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Precio original $p$ con $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Ejercicio 67.7 ★★

Un plan telefónico A cuesta $10$ por mes más $0.05$ por minuto de llamadas; planear B cuesta $25$ por mes con llamadas ilimitadas.

Expresar el costo mensual del plan A en función del número $x$ de minutos.
¿A partir de cuántos minutos al mes sale más barato el plan B?

Solución

Solución de Ejercicio 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. El Plan B es más barato cuando $25 < 0.05x + 10$ , es decir $15 < 0.05x$ , es decir $x > 300$ . Desde $301$ minutos ( $5$ horas) al mes En adelante, el plan B gana.

Ejercicio 67.8 ★★

Una población de bacterias $2000$ aumenta en $10\%$ cada hora.

¿Cuántas bacterias hay después de una hora? ¿Después de dos horas?
Explique por qué la respuesta después de dos horas no es $2400$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.8.

1. Después de una hora: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Después de dos horas: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. El segundo aumento se aplica a $2200$ , no a $2000$ : creciente por $10\%$ se multiplica dos veces por $1.1^2 = 1.21$ , un aumento de $21\%$ , no $20\%$ .

Ejercicio 67.9 ★★

La gráfica de un función afín pasa por los puntos $(2, 3)$ y $(6, 1)$ .

Calcula su pendiente. ¿La función es creciente o decreciente?
Dé su expresión y calcule la entrada para la cual la salida es $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.9.

1. Pendiente: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : el la función es decreciente.

2. $f(x) = -0.5x + b$ con $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , entonces $b = 4$ y $f(x) = -0.5x + 4$ . Salida $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ da $x = 8$ .

Ejercicio 67.10 ★★★

Una tienda primero aumenta el precio en $t\,\%$ y luego reduce el nuevo precio en $t\,\%$ .

Demuestre que el precio final es igual al original multiplicado por $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ .
Deduzca que el precio final siempre es más bajo que el original (para $0 < t \leq 100$ ) y encuentre el porcentaje general cambio para $t = 10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.10.

1. Los dos cambios multiplican el precio por

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(tercera identidad con $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Para $0 < t \leq 100$ , $\frac{t^2}{10000} > 0$ , entonces el factor es inferior a $1$ : el precio final es inferior al original. Para $t = 10$ : factor $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , es decir un total disminución de $1\%$ .

67.5 Problema: Los dos termómetros

Problema 67.1

Problema de fin de semana — Celsius, Fahrenheit y el funciones afines de la vida diaria: una temperatura indica lo mismo en ambas escalas, y la pendiente constante es la firma de la rectitud

Los estadounidenses escuchan “ $68$ grados” y visten con ligereza; los europeos escuchan y coge un abrigo. Los dos termómetros del mundo están vinculados por un función afín — y construirlo a partir de dos hechos es exactamente la habilidad de Método 67.7. esto El problema construye la conversión, encuentra la extraña temperatura en que los dos balanza están de acuerdo, luego lee taxis, grillos y velas con el mismo par de vasos, y finaliza con la prueba que reconoce la rectitud misma.

Parte I — Building the conversion. Dos hechos fijan los grados Fahrenheit escala: el agua se congela a $32\,^\circ$ F y hierve en $212\,^\circ$ F (en $0\,^\circ$ C y $100\,^\circ$ C).

Encuentre el función afín $F = f(C)$ convirtiendo Celsius en Fahrenheit (Método 67.7 con los valores $f(0) = 32$ y $f(100) = 212$ ).
Convertir a Fahrenheit: un día $20\,^\circ$ C templado; el $37\,^\circ$ C del cuerpo; un $-10\,^\circ$ C helado.
Resuelva $C$ para crear la conversión de retorno y utilícela. en $50\,^\circ$ F y en $98.6\,^\circ$ F.
¿Es $f$ una función lineal? (Definición 67.1)? Pruebe los signos reveladores: ¿Qué es $f(0)$ y duplica la lectura en grados Celsius? ¿El doble de Fahrenheit? Concluye con la palabra correcta (Definición 67.4).
El clásico acertijo: ¿hay una temperatura que diga el mismo numero en ambos balanza? resolver $f(x) = x$ y describe lo que significa tu solución en el gráfica de $f$ (¿qué línea cruza la gráfica allí?).

Parte II — Funciones afines in the wild.

El taxi A cobra $3$ euros más $1.50$ por km; taxi B cobra un piso $2$ euros por km. Escribe los dos precios funciones y compararlas para un recorrido de $4$ km y un $8$ km de recorrido.
Encuentra la distancia punto de equilibrio a la que cuestan los dos taxis. lo mismo y describir la situación en un gráfico (dos líneas — qué sucede en el punto de cruce, antes de él, después de eso?).
La regla general de los naturalistas: un grillo canta $N = 7T - 30$ veces por minuto a temperatura $T\,^\circ$ C. ¿Cuántos chirridos en un $20\,^\circ$ C? tarde? Cuentas $82$ chirridos en un minuto: ¿qué ¿Qué temperatura anuncia el grillo?
Un teléfono comprado $600$ euros pierde valor en $15$ euros por mes: escriba la función de valor $v(t)$ , encuentre cuándo El teléfono vale $240$ euros, y cuando lo dice el modelo. no vale nada. ¿La fórmula todavía significa algo? después de esa fecha?
Los movimientos porcentuales son funciones lineales: $+25\,\%$ es multiplicación por $1.25$ y $-20\,\%$ por $0.8$ (Proposición 67.9). Componerlos: qué hace un aumento $+25\,\%$ seguido de un corte $-20\,\%$ para un precio? Explica el pequeño milagro y compáralo con Ejercicio 67.10.

Parte III — The pendiente is everything.

Una vela mide $20$ cm cuando está encendida y $17$ cm medio una hora más tarde. Suponiendo una fusión afín, encuentre $h(t)$ (altura en cm, $t$ en minutos) y predecir cuándo se apaga la vela.
Dos ciclistas recorren el mismo camino: la distancia del primero es $d_1(t) = 24t$ (km después de $t$ horas), el segundo es $d_2(t) = 10 + 18t$ . ¿Quién empezó con ventaja, quién? viaja más rápido, y en qué momento y kilómetro recorre el ¿Primero atrapa al segundo?
Dejemos $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = -0.5x + 7$ . calcular $f(x) + g(x)$ y verifique que sea afín nuevamente. ¿Cuáles son los pendiente e intercepción de un suma, en general?
Discuta completamente el ecuación $mx + p = 0$ : ¿cuántos soluciones cuando $m \neq 0$ (y cuál)? Cuando $m = 0$ y $p \neq 0$ ? ¿Cuándo $m = 0$ y $p = 0$ ? (Cada caso tiene una historia gráfica: ¿dónde se cruza una línea de pendiente $m$ ? el eje horizontal?)
La prueba de alineación: son los puntos $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ en una línea recta? Son $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calcular tasas de cambio entre pares y decidir. Indique la moraleja: un tasa constante de cambiar es la firma de funciones afines — curvo Los gráficos cambian su velocidad, y medir eso es una historia para el volumen de High School.

Solución

Solución de Problema 67.1.

1. Pendiente: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; interceptar $f(0) = 32$ . Por lo tanto

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (el famoso día templado); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. De $F = 1.8C + 32$ : $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Entonces $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C y $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ y $f(20) = 68$ no es el doble de $f(10) = 50$ : no lineal. La gráfica es una recta. A la línea le falta el origen: $f$ es afín, no lineal.

5. $1.8x + 32 = x$ da $0.8x = -32$ , por lo que $x = -40$ : a cuarenta bajo cero, ambos termómetros marcaban $-40$ . En el gráfico, el La línea de $f$ cruza la línea diagonal $y = x$ exactamente allí.

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ y $p_B(k) = 2k$ . Para $4$ kilómetros: $9$ euros frente a $8$ : B más barato. Para $8$ km: $15$ contra $16$ : Un más barato.

7. $1.5k + 3 = 2k$ da $k = 6$ : a los seis kilómetros ambos cuestan $12$ euros. Gráficamente, la línea de B (que pasa por el origen, más empinado) comienza debajo de A y lo cruza en $(6, 12)$ : B gana recorridos cortos, A gana recorridos largos.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ chirridos por minuto. De $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Valor $240$ : $600 - 15t = 240$ , $t = 24$ meses. Valor $0$ : $t = 40$ meses. Más allá de los meses $40$ , la fórmula se vuelve negativa, pero el número de teléfono El valor se detiene en cero: cada modelo afín tiene un dominio donde tiene sentido.

10. Componiendo: $\times 1.25$ luego $\times 0.8$ multiplica por $1.25 \times 0.8 = 1$ : el precio vuelve exactamente a su inicio. Ningún milagro: los porcentajes actúan sobre diferentes referencias (el recorte se aplica al precio elevado), y aquí el los multiplicadores se cancelan — la historia general, con sus pérdida incorporada $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , es Ejercicio 67.10.

11. Pendiente: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm por minuto; $h(t) = 20 - 0.1t$ . Muere a los $h(t) = 0$ : $t = 200$ minutos — tres horas y veinte minutos de luz.

12. El segundo partió $10$ km adelante (intercepción); el El primero es más rápido ( $24 > 18$ km/h). Ponerse al día: $24t = 10 + 18t$ da $6t = 10$ , $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, en el kilómetro $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : afín, con pendiente el suma of the pendientes e interceptar el suma de las intersecciones — claro al recopilar términos similares en $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. Si $m \neq 0$ : exactamente una solución, $x = -\frac pm$ — una línea no horizontal cruza el eje una vez. Si $m = 0$ , $p \neq 0$ : no hay solución — una línea horizontal por encima o por debajo del eje nunca lo toca. Si $m = 0$ , $p = 0$ : cada $x$ es una solución — la línea is el eje.

15. Primer triple: tarifas $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ y $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : igual, los puntos están alineados (en $y = 2x + 3$ ). Segundo triple: $\frac{9-5}{2} = 2$ pero $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : no alineado. afín funciones son exactamente aquellos con una tasa de cambio constante — un número, el pendiente, cuenta toda la historia; para curvas el La tasa misma cambia de un punto a otro, y perseguirla conduce a la derivada, en el volumen High School.