Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

67Funciones lineales y afines

«Tres kilogramos cuestan el triple que uno»: eso es la proporcionalidad, la manera más sencilla en que se pueden relacionar dos magnitudes. Las funciones lineales son la proporcionalidad en el lenguaje de las funciones; las funciones afines añaden una cantidad inicial fija. Sus gráficas son rectas, y leer esas rectas es la destreza que construye este capítulo.

67.1 Proporcionalidad y funciones lineales

Definición 67.1 (Función lineal)

Una función lineal multiplica todos los números por un número fijo $a$ :

f(x) = a x .

El número $a$ es el coeficiente de $f$ . Dos magnitudes son proporcionales exactamente cuando una es función lineal de la otra.

Ejemplo 67.2

Si las manzanas cuestan $3$ por kilogramo, el precio de $x$ kilogramos es $f(x) = 3x$ : comprar el doble cuesta el doble, y el precio de $2.5$ kg es $f(2.5) = 7.5$ .

Recíprocamente, si una función lineal cumple $f(4) = 10$ , entonces $a = \frac{10}{4} = 2.5$ y $f(x) = 2.5x$ : un solo valor determina por completo una función lineal.

Proposición 67.3 (Gráfica de una función lineal)

La gráfica de $f(x) = ax$ es una recta que pasa por el origen. Recíprocamente, toda recta no vertical que pasa por el origen es la gráfica de una función lineal.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Dos funciones lineales: las dos gráficas pasan por el origen; el coeficiente a es la altura alcanzada en x = 1. — Dos funciones lineales: las dos gráficas pasan por el origen; el coeficiente $a$ es la altura alcanzada en $x = 1$ .

67.2 Las funciones afines

Definición 67.4 (Función afín)

Una función afín tiene la forma

f(x) = a x + b ,

donde $a$ y $b$ son números fijos. Las funciones lineales son el caso particular $b = 0$ ; las funciones constantes, el caso $a = 0$ .

Ejemplo 67.5

Un gimnasio cobra una cuota de inscripción de $20$ y después $5$ por visita: el coste total de $x$ visitas es $f(x) = 5x + 20$ . El coste no es proporcional al número de visitas (10 visitas no cuestan el doble que 5), pero cada visita de más añade la misma cantidad, $5$ .

Proposición 67.6 (Gráfica de una función afín)

La gráfica de $f(x) = ax + b$ es una recta:

$b = f(0)$ es la ordenada en el origen: la recta corta el eje vertical en $(0, b)$ ;
$a$ es la pendiente: avanzar una unidad hacia la derecha sube $a$ unidades (baja si $a < 0$ ); la función es creciente cuando $a > 0$ y decreciente cuando $a < 0$ ;
para dos entradas cualesquiera $u \neq v$ , $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ .

Demostración del último punto. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; divide entre $v - u$ . El resto se admite a este nivel (el volumen de secundaria superior da un tratamiento completo de las rectas y sus ecuaciones). ∎

Leer y = ax + b en su gráfica: la recta corta el eje y a la altura b y sube a por cada paso de una unidad hacia la derecha (aquí a = 1, b = 1). — Leer $y = ax + b$ en su gráfica: la recta corta el eje $y$ a la altura $b$ y sube $a$ por cada paso de una unidad hacia la derecha (aquí $a = 1$ , $b = 1$ ).

Método 67.7 (Hallar una función afín a partir de dos valores)

Dados $f(u)$ y $f(v)$ con $u \neq v$ :

calcula la pendiente $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ;
sustituye uno de los dos valores conocidos en $f(x) = ax + b$ para hallar $b$ ;
comprueba con el otro valor.

Ejemplo 67.8

Halla la función afín con $f(2) = 7$ y $f(5) = 16$ .

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

y después $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ da $b = 1$ : $f(x) = 3x + 1$ . Comprobación: $f(5) = 15 + 1 = 16$ .

67.3 Los porcentajes

Proposición 67.9 (Variación porcentual)

Aumentar una magnitud un $t\,\%$ la multiplica por $1 + \dfrac{t}{100}$ ; disminuirla un $t\,\%$ la multiplica por $1 - \dfrac{t}{100}$ . Las variaciones porcentuales son funciones lineales.

Demostración. Aumentar $x$ un $t\,\%$ es sumarle $\frac{t}{100}\,x$ :

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

El mismo cálculo con un signo menos para una disminución. ∎

Ejemplo 67.10

Un precio de $80$ aumenta un $15\%$ : precio nuevo $80 \times 1.15 = 92$ . Un precio de $60$ disminuye un $30\%$ : $60 \times 0.7 = 42$ .

Encadenar variaciones multiplica los factores. Un aumento del $20\%$ seguido de una bajada del $20\%$ da $1.2 \times 0.8 = 0.96$ : ¡una bajada del $4\%$ en total, y no una vuelta al punto de partida!

67.4 Ejercicios

Ejercicio 67.1 ★

Entre estas funciones, ¿cuáles son lineales? ¿Cuáles afines? ¿Cuáles ninguna de las dos?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

Solución

Solución de Ejercicio 67.1.

Lineales: $f$ y $k$ (de la forma $ax$ ). Afines pero no lineales: $g$ (pendiente $3$ , ordenada en el origen $-5$ ) y $m$ (constante, pendiente $0$ ). Ninguna de las dos: $h$ , por culpa del cuadrado.

Ejercicio 67.2 ★

Sea $f(x) = 2x - 3$ . Calcula $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ y halla el número $x$ tal que $f(x) = 9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ . Y $f(x) = 9$ significa $2x - 3 = 9$ , luego $2x = 12$ y $x = 6$ .

Ejercicio 67.3 ★

Una función lineal cumple $f(6) = 15$ . Halla su coeficiente y calcula después $f(10)$ y $f(-2)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , luego $f(x) = 2.5x$ . Entonces $f(10) = 25$ y $f(-2) = -5$ .

Ejercicio 67.4 ★

Dibuja en el mismo sistema de coordenadas las gráficas de $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ y $h(x) = -x + 4$ . ¿Qué se puede decir de las gráficas de $f$ y $g$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 67.4.

$f$ pasa por el origen con pendiente $2$ ; $g$ tiene la misma pendiente pero corta el eje $y$ en $3$ ; $h$ decrece desde $(0, 4)$ con pendiente $-1$ . Las gráficas de $f$ y $g$ son rectas paralelas (misma pendiente, distinta ordenada en el origen).

Ejercicio 67.5 ★

Halla la función afín tal que $f(1) = 5$ y $f(3) = 11$ ; y después la que cumple $g(0) = 4$ y $g(2) = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.5.

Para $f$ : pendiente $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , y después $5 = 3 \times 1 + b$ da $b = 2$ : $f(x) = 3x + 2$ .

Para $g$ : pendiente $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , y $g(0) = 4$ ya es la ordenada en el origen: $g(x) = -2x + 4$ .

Ejercicio 67.6 ★★

Calcula: el precio tras un aumento del $25\%$ sobre $120$ ; el precio tras un descuento del $40\%$ sobre $65$ ; el precio inicial si un artículo cuesta $69$ tras un descuento del $25\%$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.6.

Aumento del $25\%$ : $120 \times 1.25 = 150$ .

Descuento del $40\%$ : $65 \times 0.6 = 39$ .

Precio inicial $p$ con $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ .

Ejercicio 67.7 ★★

Una tarifa de teléfono A cuesta $10$ al mes más $0.05$ por minuto de llamadas; la tarifa B cuesta $25$ al mes con llamadas ilimitadas.

expresa el coste mensual de la tarifa A en función del número $x$ de minutos;
¿a partir de cuántos minutos al mes sale más barata la tarifa B?

Solución

Solución de Ejercicio 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ .

2. La tarifa B sale más barata cuando $25 < 0.05x + 10$ , es decir $15 < 0.05x$ , es decir $x > 300$ . A partir de $301$ minutos ( $5$ horas) al mes, gana la tarifa B.

Ejercicio 67.8 ★★

Una población de $2000$ bacterias aumenta un $10\%$ cada hora.

¿cuántas bacterias hay al cabo de una hora? ¿Y de dos horas?;
explica por qué la respuesta al cabo de dos horas no es $2400$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.8.

1. Al cabo de una hora: $2000 \times 1.1 = 2200$ . Al cabo de dos horas: $2200 \times 1.1 = 2420$ .

2. El segundo aumento se aplica a $2200$ , no a $2000$ : crecer un $10\%$ dos veces multiplica por $1.1^2 = 1.21$ , un aumento del $21\%$ , no del $20\%$ .

Ejercicio 67.9 ★★

La gráfica de una función afín pasa por los puntos $(2, 3)$ y $(6, 1)$ .

calcula su pendiente. ¿La función es creciente o decreciente?;
da su expresión y calcula la entrada para la que la salida es $0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.9.

1. Pendiente: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : la función es decreciente.

2. $f(x) = -0.5x + b$ con $f(2) = 3$ : $-1 + b = 3$ , luego $b = 4$ y $f(x) = -0.5x + 4$ . Salida $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ da $x = 8$ .

Ejercicio 67.10 ★★★

Una tienda sube primero un precio un $t\,\%$ y después baja el precio nuevo un $t\,\%$ .

demuestra que el precio final es igual al inicial multiplicado por $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ ;
deduce que el precio final siempre es menor que el inicial (para $0 < t \leq 100$ ), y halla la variación porcentual total para $t = 10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 67.10.

1. Las dos variaciones multiplican el precio por

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(tercera identidad con $a = 1$ , $b = \frac{t}{100}$ ).

2. Para $0 < t \leq 100$ , $\frac{t^2}{10000} > 0$ , así que el factor es menor que $1$ : el precio final es menor que el inicial. Para $t = 10$ : factor $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , es decir una bajada total del $1\%$ .

67.5 Problema: Los dos termómetros

Problema 67.1

Problema de fin de semana — Celsius, Fahrenheit y las funciones afines de la vida diaria: una temperatura se lee igual en las dos escalas, y la pendiente constante es la firma de la rectitud

Los estadounidenses oyen « $68$ grados» y se visten ligeros; los europeos lo oyen y agarran un abrigo. Los dos termómetros del mundo están enlazados por una función afín — y construirla a partir de dos datos es exactamente la destreza del Método 67.7. Este problema construye la conversión, halla la inquietante temperatura en la que las dos escalas coinciden, después lee taxis, grillos y velas con las mismas gafas, y termina con la prueba que reconoce la rectitud misma.

Parte I — Construir la conversión. Dos datos fijan la escala Fahrenheit: el agua se congela a $32\,^\circ$ F y hierve a $212\,^\circ$ F (a $0\,^\circ$ C y $100\,^\circ$ C).

halla la función afín $F = f(C)$ que convierte los grados Celsius en Fahrenheit (Método 67.7 con los valores $f(0) = 32$ y $f(100) = 212$ );
convierte a Fahrenheit: un día templado de $20\,^\circ$ C; los $37\,^\circ$ C del cuerpo; unos gélidos $-10\,^\circ$ C;
despeja $C$ para construir la conversión de vuelta y úsala con $50\,^\circ$ F y con $98.6\,^\circ$ F;
¿es $f$ una función lineal (Definición 67.1)? Prueba las señales delatoras: ¿cuánto vale $f(0)$ y doblar la lectura Celsius dobla la Fahrenheit? Concluye con la palabra correcta (Definición 67.4);
el acertijo clásico: ¿hay una temperatura que se lea con el mismo número en las dos escalas? Resuelve $f(x) = x$ y describe qué significa tu solución en la gráfica de $f$ (¿qué recta corta ahí la gráfica?).

Parte II — Las funciones afines en libertad.

el taxi A cobra $3$ euros más $1.50$ por km; el taxi B cobra $2$ euros por km a secas. Escribe las dos funciones de precio y compáralas para un trayecto de $4$ km y otro de $8$ km;
halla la distancia de equilibrio en la que los dos taxis cuestan lo mismo y describe la situación en una gráfica (dos rectas — ¿qué pasa en el punto de corte, antes de él y después?);
regla práctica de los naturalistas: un grillo canta unas $N = 7T - 30$ veces por minuto a la temperatura $T\,^\circ$ C. ¿Cuántos cantos en una tarde de $20\,^\circ$ C? Cuentas $82$ cantos en un minuto: ¿qué temperatura anuncia el grillo?;
un teléfono comprado por $600$ euros pierde $15$ euros de valor al mes: escribe la función de valor $v(t)$ , halla cuándo el teléfono vale $240$ euros y cuándo el modelo dice que no vale nada. ¿La fórmula sigue significando algo después de esa fecha?;
las variaciones porcentuales son funciones lineales: $+25\,\%$ es multiplicar por $1.25$ , y $-20\,\%$ por $0.8$ (Proposición 67.9). Compónlas: ¿qué le hace a un precio una subida del $+25\,\%$ seguida de una bajada del $-20\,\%$ ? Explica el pequeño milagro y compara con el Ejercicio 67.10.

Parte III — La pendiente lo es todo.

una vela mide $20$ cm al encenderla y $17$ cm media hora después. Suponiendo que se derrite de forma afín, halla $h(t)$ (altura en cm, $t$ en minutos) y predice cuándo se apaga la vela;
dos ciclistas recorren la misma carretera: la distancia del primero es $d_1(t) = 24t$ (km al cabo de $t$ horas) y la del segundo, $d_2(t) = 10 + 18t$ . ¿Quién salió con ventaja, quién va más rápido y en qué momento y kilómetro alcanza el primero al segundo?;
sean $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = -0.5x + 7$ . Calcula $f(x) + g(x)$ y comprueba que vuelve a ser afín. ¿Cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen de una suma, en general?;
discute por completo la ecuación $mx + p = 0$ : ¿cuántas soluciones hay cuando $m \neq 0$ (y cuál es)? ¿Y cuando $m = 0$ y $p \neq 0$ ? ¿Y cuando $m = 0$ y $p = 0$ ? (Cada caso tiene su historia gráfica: ¿dónde corta al eje horizontal una recta de pendiente $m$ ?);
la prueba de alineación: ¿están los puntos $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ sobre una misma recta? ¿Y $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? Calcula las tasas de variación entre parejas y decide. Enuncia la moraleja: una tasa de variación constante es la firma de las funciones afines — las gráficas curvas cambian de tasa, y medir eso es historia para el volumen de secundaria superior.

Solución

Solución de Problema 67.1.

1. Pendiente: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; ordenada en el origen $f(0) = 32$ . Por tanto

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (el famoso día templado); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F.

3. De $F = 1.8C + 32$ : $C = \frac{F - 32}{1.8}$ . Entonces $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, y $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C.

4. $f(0) = 32 \neq 0$ , y $f(20) = 68$ no es el doble de $f(10) = 50$ : no es lineal. La gráfica es una recta que no pasa por el origen: $f$ es afín, no lineal.

5. $1.8x + 32 = x$ da $0.8x = -32$ , luego $x = -40$ : a cuarenta bajo cero, los dos termómetros marcan $-40$ . En la gráfica, la recta de $f$ corta ahí justamente a la diagonal $y = x$ .

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ y $p_B(k) = 2k$ . Para $4$ km: $9$ euros frente a $8$ : B más barato. Para $8$ km: $15$ frente a $16$ : A más barato.

7. $1.5k + 3 = 2k$ da $k = 6$ : a seis kilómetros los dos cuestan $12$ euros. Gráficamente, la recta de B (que pasa por el origen y es más inclinada) empieza por debajo de la de A y la corta en $(6, 12)$ : B gana en los trayectos cortos y A en los largos.

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ cantos por minuto. De $82 = 7T - 30$ : $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C.

9. $v(t) = 600 - 15t$ . Vale $240$ : $600 - 15t = 240$ , $t = 24$ meses. Vale $0$ : $t = 40$ meses. Pasados los $40$ meses la fórmula se vuelve negativa — pero el valor de un teléfono se para en cero: todo modelo afín tiene un dominio en el que tiene sentido.

10. Componiendo: $\times 1.25$ y después $\times 0.8$ multiplica por $1.25 \times 0.8 = 1$ : el precio vuelve exactamente a su punto de partida. No hay milagro: los porcentajes actúan sobre referencias distintas (la bajada se aplica al precio ya subido) y aquí los multiplicadores se cancelan por casualidad — la historia general, con su pérdida incorporada $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ , es el Ejercicio 67.10.

11. Pendiente: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm por minuto; $h(t) = 20 - 0.1t$ . Se apaga en $h(t) = 0$ : $t = 200$ minutos — tres horas y veinte minutos de luz.

12. El segundo salió $10$ km por delante (ordenada en el origen); el primero es más rápido ( $24 > 18$ km/h). Alcance: $24t = 10 + 18t$ da $6t = 10$ , $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, en el kilómetro $24 \times \frac53 = 40$ .

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : afín, con pendiente la suma de las pendientes y ordenada en el origen la suma de las ordenadas en el origen — se ve al agrupar los términos semejantes en $(mx + p) + (m'x + p')$ .

14. Si $m \neq 0$ : exactamente una solución, $x = -\frac pm$ — una recta no horizontal corta el eje una vez. Si $m = 0$ , $p \neq 0$ : no hay solución — una recta horizontal por encima o por debajo del eje nunca lo toca. Si $m = 0$ , $p = 0$ : todo $x$ es solución — la recta es el eje.

15. Primer terna: tasas $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ y $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : iguales, los puntos están alineados (sobre $y = 2x + 3$ ). Segunda terna: $\frac{9-5}{2} = 2$ , pero $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : no están alineados. Las funciones afines son exactamente las de tasa de variación constante — un solo número, la pendiente, cuenta toda la historia; en las curvas, la tasa cambia de un punto a otro, y perseguirla lleva a la derivada, en el volumen de secundaria superior.

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