39Fracciones: primeros pasos

Problema 39.1

Problema de fin de semana — mitades de mitades: la suma $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ se arrastra hasta $1$ sin tocándolo

Toma una barra de chocolate. Come medio. Luego come medio de que queda. Luego nuevamente medio de lo que queda, y así sucesivamente. Dos cosas Parece ser cierto a la vez: nunca terminas la barra (algo que siempre restos), y aun así te lo comes casi todo. Este problema convierte a ambos sentimientos en declaraciones exactas sobre fracciones — y se encuentra, en El camino, un corredor de la antigua Grecia y un rompecabezas para compartir resuelto enteramente con un cuchillo que solo corta cosas en medio.

Parte I — Halves of halves. La barra es un rectángulo de $16$ cuadrados iguales.

1. Primer bocado: te comes medio la barra. cuantos cuadrados son eso? Escribe el bocado como fracción de la barra de dos maneras, con denominador $2$ y con denominador $16$ (Proposición 39.6).
2. Segundo bocado: medio de lo que queda. ¿Cuantos cuadrados? mostrar, con la imagen o con equivalente fracciones, que este El bocado es $\frac14$ de toda la barra: medio of a medio is a cuarto.
3. Tercer y cuarto bocado, misma regla: dar cada uno en cuadrados y como fracción de la barra. ¿Qué pasa con el denominador de un bocado a otro?
4. Después de los cuatro bocados, ¿cuántos cuadritos se han comido en todos? Que fracción de la barra es eso, y que fracción queda?

5. La pregunta 4 dice, escrita en semicorcheas:

   $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{that is}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$$

   Consulta cada una de las cuatro reescrituras. ($\frac12 = \frac{8}{16}$, etc.).

Parte II — The staircase towards $1$. Para seguir mordiendo, imagina una barra más fina de cuadrados $64$.

6. Enumere los tamaños de los primeros seis bocados, en cuadrados. ($32$, luego …), y verifique que después del sexto bocado queda exactamente un cuadrado. Lo fracción de la barra queda?
7. Después de cada bocado, ¿qué fracción queda de la barra? escribir la lista ($\frac12$, $\frac14$, …) hasta el sexto muerde y describe el patrón. Si un cuchillo imaginario podría reducir a la mitad incluso el último cuadrado, lo que quedaría después ¿un séptimo bocado?
8. Explique por qué el total consumido puede llegar a nunca y $1$. no importa cuántos bocados se den. (Compárese con el veintinueve de Problema 38.1: ¿la misma historia?)
9. Sin embargo, el total supera cualquier objetivo inferior a $1$. un amigo te desafía a comer más de $\frac{99}{100}$ del barra. ¿Cuál es más pequeño, $\frac{1}{128}$ o $\frac{1}{100}$ — y después de qué morder es el desafío ganó?
10. En una recta numérica de $0$ a $1$ se graduó en dieciseisavos, coloque los totales comidos después de cada uno de los primeros cuatro picaduras: $\frac12$, $\frac34$, $\frac78$, $\frac{15}{16}$. ¿Dónde queda cada nueva tierra total, en comparación con la anterior y con $1$?

Parte III — Zeno’s runner, and a knife that only halves.

11. Hace veinticuatro siglos, el filósofo griego Zenón contó esta historia: para llegar a una pared, un corredor primero debe cubrir medio la distancia, luego medio de lo que queda, luego medio de lo que queda nuevamente … “para que el corredor nunca ¡llega a la pared!” Utilizando las preguntas 8 y 9, diga cuál es bien en la historia de Zenón, y dónde está la trampa. (¿El corredor realmente necesita una eternidad para hacer todos esos pasos?)
12. El rompecabezas de compartir: compartir $15$ barras de chocolate idénticas de manera justa entre los niños $16$, usando solo cortes en mitades (de una barra, de una media barra, de un cuarto de barra …). Describe cómo cortar: cuántas barras se cortan por la mitad, ¿Cuántos en cuarteles, en octavos, en dieciseisavos, para que cada niño reciba una pieza de cada talla.
13. Verifique su participación: escriba la participación de cada niño como suma de fracciones, calculelo en dieciseisavos y verifique que el Las acciones $16$ juntas consumen exactamente las barras $15$.
14. En la clase de al lado, las barras $7$ se reparten equitativamente entre $8$ niños. ¿Qué niño recibe más chocolate? — uno del $16$, o uno del $8$? (Escribe ambas acciones con denominador $16$, Ejercicio 39.8.)
15. El final: un amigo afirma que con infinitamente muchos bocados uno se comería exactamente toda la barra. Dibuja un cuadrado y sombrea las picaduras dentro de él: medio el cuadrado, luego un cuarto, luego un octavo … ¿Qué ¿Observas sobre la esquina sin sombra? Estado cuidadosamente los dos hechos verdaderos de todo este problema: lo que queda después de cada número finito de bocados, y qué pequeño es ese resto se convierte. (Qué “infinito suma” exactamente significa que es una historia para el volumen de High School.)