39Fracciones: primeros pasos

Problema 39.1

Problema de fin de semana — mitades de mitades: la suma $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ se acerca a $1$ sin llegar nunca a tocarlo

Coge una tableta de chocolate. Cómete la mitad. Después cómete la mitad de lo que queda. Después otra vez la mitad de lo que queda, y así sucesivamente. Dos cosas parecen ciertas a la vez: nunca terminas la tableta (siempre queda algo) y, sin embargo, te la comes casi entera. Este problema convierte las dos sensaciones en afirmaciones exactas sobre fracciones — y se cruza, por el camino, con un corredor de la antigua Grecia y con un reparto resuelto enteramente con un cuchillo que solo corta por la mitad.

Parte I — Mitades de mitades. La tableta es un rectángulo de $16$ onzas iguales.

1. primer bocado: te comes la mitad de la tableta. ¿Cuántas onzas son? Escribe el bocado como fracción de la tableta de dos maneras, con denominador $2$ y con denominador $16$ (Proposición 39.6).
2. segundo bocado: la mitad de lo que queda. ¿Cuántas onzas? Muestra, con el dibujo o con fracciones equivalentes, que este bocado es $\frac14$ de la tableta entera: la mitad de una mitad es un cuarto;
3. tercer y cuarto bocados, con la misma regla: da cada uno en onzas y como fracción de la tableta. ¿Qué le pasa al denominador de un bocado al siguiente?
4. después de los cuatro bocados, ¿cuántas onzas te has comido en total? ¿Qué fracción de la tableta es y qué fracción queda?

5. la pregunta 4 dice, escrito en dieciseisavos:

   $$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{es decir}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$$

   Comprueba cada una de las cuatro reescrituras ($\frac12 = \frac{8}{16}$, y así con las demás).

Parte II — La escalera hacia $1$. Para seguir mordiendo, imagina una tableta más fina de $64$ onzas.

6. enumera los tamaños de los seis primeros bocados, en onzas ($32$, después …), y comprueba que después del sexto bocado queda exactamente una onza. ¿Qué fracción de la tableta queda?
7. después de cada bocado, ¿qué fracción de la tableta queda? Escribe la lista ($\frac12$, $\frac14$, …) hasta el sexto bocado y describe el patrón. Si un cuchillo imaginario pudiera partir por la mitad incluso la última onza, ¿qué quedaría después de un séptimo bocado?
8. explica por qué el total comido nunca puede llegar a $1$, por muchos bocados que se den. (Compara con los veinte nueves del Problema 38.1: ¿es la misma historia?)
9. y, sin embargo, el total supera cualquier objetivo por debajo de $1$. Un amigo te reta a comerte más de $\frac{99}{100}$ de la tableta. ¿Cuál es menor, $\frac{1}{128}$ o $\frac{1}{100}$, y después de qué bocado queda ganado el reto?
10. en una recta numérica de $0$ a $1$ graduada en dieciseisavos, sitúa los totales comidos después de cada uno de los cuatro primeros bocados: $\frac12$, $\frac34$, $\frac78$, $\frac{15}{16}$. ¿Dónde cae cada total nuevo respecto del anterior y respecto de $1$?

Parte III — El corredor de Zenón y un cuchillo que solo parte por la mitad.

11. hace veinticuatro siglos, el filósofo griego Zenón contó esta historia: para llegar a un muro, un corredor tiene que recorrer primero la mitad de la distancia, luego la mitad de lo que queda, luego otra vez la mitad de lo que queda … «¡así que el corredor no llega nunca al muro!». Usando las preguntas 8 y 9, di qué hay de cierto en la historia de Zenón y dónde está la trampa. (¿De verdad necesita el corredor una eternidad para dar todos esos pasos?)
12. el problema del reparto: reparte $15$ tabletas de chocolate iguales entre $16$ niños a partes iguales, usando solo cortes por la mitad (de una tableta, de media tableta, de un cuarto de tableta …). Describe cómo cortar: cuántas tabletas se cortan por la mitad, cuántas en cuartos, en octavos y en dieciseisavos, de modo que cada niño reciba un trozo de cada tamaño;
13. comprueba tu reparto: escribe la parte de cada niño como suma de fracciones, calcúlala en dieciseisavos y verifica que las $16$ partes juntas gastan exactamente las $15$ tabletas;
14. en la clase de al lado, $7$ tabletas se reparten a partes iguales entre $8$ niños. ¿Qué niño recibe más chocolate: uno de los $16$ o uno de los $8$? (Escribe las dos partes con denominador $16$, Ejercicio 39.8.)
15. el final: un amigo afirma que con infinitos bocados uno se comería exactamente la tableta entera. Dibuja un cuadrado y sombrea dentro los bocados: la mitad del cuadrado, después un cuarto, después un octavo … ¿Qué observas en la esquina sin sombrear? Enuncia con cuidado los dos hechos ciertos de todo este problema: qué queda después de cualquier número finito de bocados y cuán pequeño se vuelve ese resto. (Qué significa exactamente una «suma infinita» es una historia para el volumen de secundaria superior.)