Mathematics · Libro 1 · Grades 1–9

Matemáticas de primaria y secundaria

Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

31Las fracciones como números

Una fracción no es solo el dibujo de una tarta: es un auténtico número, con su sitio en la recta numérica — a veces el mismo sitio que un número decimal. Este capítulo conecta los dos mundos. (Las reglas completas de la aritmética de fracciones llegan en el Capítulo 39 y más adelante.)

31.1 Otra vez las fracciones en la recta

Ejemplo 31.1 (Situar y leer)

En una recta cortada en quintos, 75\frac{7}{5} está a 77 pasos del 00: pasado el 11 (que es 55\frac55), en 1+251 + \frac25. Toda fracción vive en algún punto de la recta; a mayor numerador (con el mismo denominador), más a la derecha.

Proposición 31.2 (Un mismo punto, muchos nombres)

Cortar cada parte en dos (o en tres …) no mueve el punto:

12=24=36=510,23=46=2030.\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}, \qquad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{20}{30}.

Multiplicar (o dividir) el numerador y el denominador por un mismo número da otro nombre de la misma fracción.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Tres barras, tres nombres, una sola cantidad: 1/2 = 2/4 = 5/10.
Tres barras, tres nombres, una sola cantidad: 12=24=510\frac12 = \frac24 = \frac{5}{10}.

31.2 Fracciones y decimales

Proposición 31.3 (Fracciones con nombre decimal)

Las fracciones de décimas, centésimas y milésimas son números decimales:

310=0.3,27100=0.27.\frac{3}{10} = 0.3, \qquad \frac{27}{100} = 0.27 .

Algunas otras fracciones también tienen nombre decimal, que se halla pasando a décimas o a centésimas:

12=510=0.5,14=25100=0.25,34=0.75,15=210=0.2.\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0.5, \qquad \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0.25, \qquad \frac{3}{4} = 0.75, \qquad \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0.2 .

Pero no todas: 13=0.333…\frac13 = 0.333\dots no se acaba nunca — la fracción es su único nombre exacto.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Una recta, dos idiomas: cada punto puede llevar un nombre de fracción y un nombre decimal.
Una recta, dos idiomas: cada punto puede llevar un nombre de fracción y un nombre decimal.

Ejemplo 31.4 (Elegir el nombre más cómodo)

Para pagar tres cuartos de 1212, el nombre de fracción es más cómodo: 34\frac34 de 1212 es 99. Para comparar 34\frac34 y 0.80.8, el nombre decimal es más cómodo: 0.75<0.80.75 < 0.8. Ser bilingüe compensa.

31.3 Comparar fracciones

Método 31.5 (Tres herramientas para comparar)

  1. Mismo denominador: gana quien tiene más partes, 57>37\frac57 > \frac37;
  2. mismo numerador: ganan las partes más grandes, así que gana el denominador menor: 35>38\frac35 > \frac38 (los quintos son mayores que los octavos);
  3. puntos de referencia: compara cada una con 12\frac12 o con 11: 38<12<59\frac38 < \frac12 < \frac59, así que 38<59\frac38 < \frac59.

Ejemplo 31.6

¿Quién comió más pizza: Ali con 58\frac58 o Bea con 54\frac54? La fracción de Bea es mayor que 11 (cinco cuartos es más que una pizza entera) y la de Ali es menor que 11: comió más Bea — de hecho, más de una pizza entera.

31.4 Ejercicios

Ejercicio 31.1 ★

Dibuja una recta numérica cortada en quintos del 00 al 22 y sitúa: 25\frac25; 55\frac55; 85\frac85; 105\frac{10}{5}.

Solución

Solución de Ejercicio 31.1.

25\frac25: dos pasos desde 00; 55\frac55: en el 11; 85\frac85: tres pasos pasado el 11; 105\frac{10}{5}: en el 22.

Ejercicio 31.2 ★

Completa los nombres iguales: 12=?8\frac12 = \frac{?}{8}; 34=?8\frac34 = \frac{?}{8}; 25=4?\frac{2}{5} = \frac{4}{?}; 69=2?\frac{6}{9} = \frac{2}{?}.

Solución

Solución de Ejercicio 31.2.

12=48\frac12 = \frac48; 34=68\frac34 = \frac68; 25=410\frac25 = \frac{4}{10}; 69=23\frac69 = \frac23.

Ejercicio 31.3 ★

¿Qué fracciones nombran números enteros? Di el número entero cuando así sea: 82\frac82; 94\frac{9}{4}; 153\frac{15}{3}; 205\frac{20}{5}.

Solución

Solución de Ejercicio 31.3.

82=4\frac82 = 4; 94\frac94 no es entera (99 no es múltiplo de 44); 153=5\frac{15}{3} = 5; 205=4\frac{20}{5} = 4.

Ejercicio 31.4 ★

Escribe como decimales: 710\frac{7}{10}; 41100\frac{41}{100}; 12\frac12; 34\frac34; 15\frac15.

Solución

Solución de Ejercicio 31.4.

0.70.7; 0.410.41; 0.50.5; 0.750.75; 0.20.2.

Ejercicio 31.5 ★

Escribe como fracciones (décimas o centésimas): 0.90.9; 0.130.13; 2.52.5; 0.750.75 (y da después su nombre en cuartos).

Solución

Solución de Ejercicio 31.5.

0.9=9100.9 = \frac{9}{10}; 0.13=131000.13 = \frac{13}{100}; 2.5=25102.5 = \frac{25}{10}; 0.75=75100=340.75 = \frac{75}{100} = \frac34.

Ejercicio 31.6 ★

Compara y di qué herramienta has usado (Método 31.5):

47  ?  67,35  ?  37,25  ?  712,98  ?  1112.\frac47 \;?\; \frac67, \qquad \frac35 \;?\; \frac37, \qquad \frac25 \;?\; \frac{7}{12}, \qquad \frac98 \;?\; \frac{11}{12} .
Solución

Solución de Ejercicio 31.6.

47<67\frac47 < \frac67 (mismo denominador). 35>37\frac35 > \frac37 (mismo numerador: los quintos son mayores). 25<12<712\frac25 < \frac12 < \frac{7}{12}, así que 25<712\frac25 < \frac{7}{12} (referencia 12\frac12). 98>1>1112\frac98 > 1 > \frac{11}{12} (referencia 11).

Ejercicio 31.7 ★

Ordena con los nombres decimales: 12\frac12; 0.40.4; 34\frac34; 0.60.6; 15\frac15.

Solución

Solución de Ejercicio 31.7.

Decimales: 0.50.5; 0.40.4; 0.750.75; 0.60.6; 0.20.2. Orden:

15<0.4<12<0.6<34.\frac15 < 0.4 < \frac12 < 0.6 < \frac34 .

Ejercicio 31.8 ★

Un cuarto de los alumnos de una clase de 2828 tocan un instrumento y la mitad practican un deporte. ¿Cuántos alumnos son en cada caso? ¿Qué grupo es mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 31.8.

Instrumento: 14\frac14 de 28=728 = 7. Deporte: 12\frac12 de 28=1428 = 14. El grupo del deporte es mayor.

Ejercicio 31.9 ★

Empareja cada fracción con un tiempo: 14\frac14 h, 12\frac12 h, 34\frac34 h, 160\frac{1}{60} h — con 3030 min, 4545 min, 11 min y 1515 min.

Solución

Solución de Ejercicio 31.9.

14\frac14 h =15= 15 min; 12\frac12 h =30= 30 min; 34\frac34 h =45= 45 min; 160\frac{1}{60} h =1= 1 min.

Ejercicio 31.10 ★★

Tomás se bebió 35\frac35 de su botella de 5050 cL; Ana, 12\frac12 de la suya de 6060 cL. ¿Quién bebió más? (Calcula las dos cantidades en cL — aquí no basta con comparar las fracciones a secas; explica por qué.)

Solución

Solución de Ejercicio 31.10.

Tomás: 35\frac35 de 50=3050 = 30 cL. Ana: 12\frac12 de 60=3060 = 30 cL. ¡Bebieron lo mismo! Las fracciones a secas (35>12\frac35 > \frac12) comparan partes de botellas distintas — solo se pueden comparar las cantidades reales.

Ejercicio 31.11 ★★

Da una fracción estrictamente comprendida entre 12\frac12 y 11; después una estrictamente comprendida entre 12\frac12 y 34\frac34. (Los nombres decimales pueden ayudar.)

Solución

Solución de Ejercicio 31.11.

Entre 12\frac12 y 11: por ejemplo, 34\frac34 (es decir, 0.750.75). Entre 12=0.5\frac12 = 0.5 y 34=0.75\frac34 = 0.75: por ejemplo, 0.6=350.6 = \frac35.