Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

29Los números decimales

Las décimas y las centésimas aparecieron en el Capítulo 25; añadiendo un nivel más, las milésimas, se completa el sistema decimal. Este capítulo consolida la lectura, la descomposición y — sobre todo — la comparación de números decimales sin caer en sus famosas trampas.

29.1 Hasta las milésimas

Definición 29.1 (Las cifras decimales)

Después del punto decimal vienen las décimas, las centésimas y las milésimas — cada una vale diez veces menos que la anterior:

4.362 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{6}{100} + \frac{2}{1000} = \frac{4\,362}{1000}.

La tabla de valor posicional del 4.362: parte entera en azul y parte decimal en rojo, con el punto entre las unidades y las décimas. — La tabla de valor posicional del $4.362$ : parte entera en azul y parte decimal en rojo, con el punto entre las unidades y las décimas.

Ejemplo 29.2 (Muchas lecturas, un solo número)

$4.362$ se puede leer «cuatro punto tres seis dos», o «cuatro y $362$ milésimas», o descomponerse como $4 + 0.3 + 0.06 + 0.002$ . Y añadir ceros al final no cambia nada: $4.362 = 4.3620$ . Pero $4.362 \neq 4.0362$ : un cero intercalado empuja cada cifra a un lugar menor.

Ejemplo 29.3 (¿Dónde está en la recta?)

Para situar $4.362$ : entre $4$ y $5$ ; ampliando, entre $4.3$ y $4.4$ ; ampliando otra vez, entre $4.36$ y $4.37$ , más cerca de $4.36$ . Cada cifra decimal es un nivel más de ampliación.

Ampliación de la recta numérica: el tramo de 4.3 a 4.4, aumentado, está a su vez cortado en diez centésimas — y 4.362 queda justo pasado el 4.36. — Ampliación de la recta numérica: el tramo de $4.3$ a $4.4$ , aumentado, está a su vez cortado en diez centésimas — y $4.362$ queda justo pasado el $4.36$ .

29.2 Comparar decimales

Método 29.4 (Comparar dos decimales)

compara las partes enteras: $6.1 > 5.987$ ;
con la misma parte entera: compara las partes decimales cifra a cifra desde el punto — décimas, luego centésimas y luego milésimas;
completar con ceros finales hace justa la comparación: $2.5$ frente a $2.48$ pasa a ser $2.50$ frente a $2.48$ , y $50 > 48$ centésimas.

La trampa, una vez más: una parte decimal más larga no significa un número mayor — $2.48$ tiene más cifras que $2.5$ y es menor.

Ejemplo 29.5

Ordena $7.3$ ; $7.09$ ; $7.31$ ; $7.299$ . Completa a tres decimales: $7.300$ ; $7.090$ ; $7.310$ ; $7.299$ . Entonces,

7.09 < 7.299 < 7.3 < 7.31 .

Fíjate en que $7.299 < 7.3$ aunque $299$ parezca grande: son $299$ milésimas frente a $300$ milésimas.

Ejemplo 29.6 (Colar un número entre dos decimales)

¿Hay algún número entre $5.7$ y $5.8$ ? Sí, muchísimos: $5.75$ , $5.71$ , $5.799$ … ¿Y entre $5.79$ y $5.8$ ? También muchos: $5.795$ , por ejemplo. Entre dos decimales distintos siempre se puede colar otro — no existe el decimal «siguiente» a uno dado.

29.3 Redondear decimales

Definición 29.7 (Redondeo)

Para redondear a la unidad (o a la décima, o a la centésima), mira la cifra siguiente: con $5$ o más se redondea hacia arriba y, si no, hacia abajo. Así, $4.362$ redondea a $4$ (unidad), a $4.4$ (décima) y a $4.36$ (centésima).

Ejemplo 29.8 (El dinero se redondea a los céntimos)

Un precio calculado como $7.4983$ se muestra como $7.50$ : las cantidades de la vida real se redondean a la centésima. Fíjate en la cascada: $7.4983 \to 7.50$ , donde el $49$ pasó a $50$ — el redondeo puede propagarse por varias cifras.

29.4 Ejercicios

Ejercicio 29.1 ★

Escribe como número decimal: $5 + \frac{2}{10} + \frac{7}{1000}$ ; $\frac{85}{100}$ ; $\frac{4\,507}{1000}$ ; «doce y nueve milésimas».

Solución

Solución de Ejercicio 29.1.

$5.207$ ; $0.85$ ; $4.507$ ; $12.009$ .

Ejercicio 29.2 ★

En $27.418$ : ¿qué cuenta el $4$ ? ¿Y el $8$ ? Descompón el número como en la Definición 29.1.

Solución

Solución de Ejercicio 29.2.

El $4$ cuenta las décimas y el $8$ , las milésimas:

27.418 = 27 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} + \frac{8}{1000}.

Ejercicio 29.3 ★

¿Verdadero o falso? Explícalo con los lugares. $3.60 = 3.6$ ; $0.5 = 0.05$ ; $2.070 = 2.07$ ; $1.3 = 1.03$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.3.

$3.60 = 3.6$ : verdadero (un cero final no añade nada).

$0.5 = 0.05$ : falso — $5$ décimas frente a $5$ centésimas.

$2.070 = 2.07$ : verdadero.

$1.3 = 1.03$ : falso — $3$ décimas frente a $3$ centésimas.

Ejercicio 29.4 ★

Copia y completa con $<$ , $>$ o $=$ :

4.8 \;?\; 4.79, \qquad 0.302 \;?\; 0.32, \qquad 6.5 \;?\; 6.500, \qquad 9.09 \;?\; 9.1 .

Solución

Solución de Ejercicio 29.4.

$4.8 > 4.79$ ; $0.302 < 0.32$ (décimas iguales y centésimas $0 < 2$ ); $6.5 = 6.500$ ; $9.09 < 9.1$ .

Ejercicio 29.5 ★

Ordena de menor a mayor: $3.14$ ; $3.4$ ; $3.041$ ; $3.104$ ; $3.41$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.5.

$3.041 < 3.104 < 3.14 < 3.4 < 3.41$ .

Ejercicio 29.6 ★

¿Entre qué dos números enteros está cada número? ¿Y entre qué dos números de una cifra decimal? $6.83$ ; $0.492$ ; $12.06$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.6.

$6.83$ : entre $6$ y $7$ ; entre $6.8$ y $6.9$ .

$0.492$ : entre $0$ y $1$ ; entre $0.4$ y $0.5$ .

$12.06$ : entre $12$ y $13$ ; entre $12.0$ y $12.1$ .

Ejercicio 29.7 ★

Redondea $8.276$ : a la unidad; a la décima; a la centésima. Redondea $3.95$ a la décima.

Solución

Solución de Ejercicio 29.7.

$8.276$ : a la unidad, $8$ ; a la décima, $8.3$ ; a la centésima, $8.28$ . Y $3.95$ a la décima: la cifra de las centésimas es $5$ , así que redondea hacia arriba: $4.0$ .

Ejercicio 29.8 ★

Da un número estrictamente comprendido entre: $2.6$ y $2.7$ ; $0.41$ y $0.42$ ; $5.99$ y $6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 29.8.

Por ejemplo, $2.65$ ; $0.415$ ; $5.995$ . (Hay infinitas respuestas en cada caso.)

Ejercicio 29.9 ★

Las alturas de cuatro plantas son $0.85$ m, $1.2$ m, $0.9$ m y $1.02$ m. Ordénalas de la más baja a la más alta.

Solución

Solución de Ejercicio 29.9.

$0.85 < 0.9 < 1.02 < 1.2$ (en metros).

Ejercicio 29.10 ★★

Lucía dice: « $7.12 > 7.9$ porque $12 > 9$ ». Corrige su error comparando primero las décimas.

Solución

Solución de Ejercicio 29.10.

Hay que comparar primero las décimas: $7.12$ tiene $1$ décima y $7.9$ tiene $9$ décimas, así que $7.12 < 7.9$ . Lucía comparó las partes decimales como números enteros ( $12$ frente a $9$ ), olvidando que $12$ centésimas es mucho menos que $90$ centésimas.

Ejercicio 29.11 ★★

Halla todos los números con exactamente dos cifras decimales que redondean a $6.4$ al redondear a la décima. ¿Cuáles son el menor y el mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 29.11.

Al redondear a la décima se obtiene $6.4$ para los números de dos decimales desde $6.35$ (la mitad justa sube) hasta $6.44$ : los números $6.35$ , $6.36$ , …, $6.44$ . El menor: $6.35$ ; el mayor: $6.44$ .