Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

51Triángulos y ángulos

¿Se puede dibujar un triángulo de lados $10$ , $3$ y $2$ ? ¿Y con ángulos $80^\circ$ , $70^\circ$ y $50^\circ$ ? Este capítulo responde a las dos preguntas con dos de los hechos más útiles de la geometría plana: la desigualdad triangular y la suma de $180^\circ$ — más el vocabulario de ángulos que llega con las rectas secantes y paralelas.

51.1 Ángulos alrededor de rectas secantes

Definición 51.1 (Parejas de ángulos)

dos ángulos son complementarios cuando sus medidas suman $90^\circ$ , y suplementarios cuando suman $180^\circ$ .
cuando dos rectas se cortan, los ángulos que quedan enfrentados a través del punto de corte son opuestos por el vértice;
cuando una recta corta a otras dos, los ángulos situados en la misma posición en cada corte son ángulos correspondientes; los ángulos situados entre las dos rectas y a lados opuestos de la secante son ángulos alternos.

Teorema 51.2 (Igualdades de ángulos)

los ángulos opuestos por el vértice son iguales;
si dos rectas son paralelas, los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternos son iguales. Recíprocamente, unos ángulos correspondientes (o alternos) iguales obligan a que las rectas sean paralelas.

Demostración de 1. Los dos ángulos $\widehat{1}$ y $\widehat{2}$ situados a un lado de una recta forman un ángulo llano: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . El ángulo $\widehat 3$ , opuesto por el vértice a $\widehat 1$ , cumple también $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (por la misma razón). Así que $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . El punto 2 se admite a este nivel. ∎

A la izquierda: ángulos opuestos por el vértice 1 = 3 (los dos son suplementarios de 2). A la derecha: rectas paralelas cortadas por una tercera recta — los ángulos correspondientes a y b son iguales. — A la izquierda: ángulos opuestos por el vértice $\widehat 1 = \widehat 3$ (los dos son suplementarios de $\widehat 2$ ). A la derecha: rectas paralelas cortadas por una tercera recta — los ángulos correspondientes $\widehat a$ y $\widehat b$ son iguales.

51.2 La suma de los ángulos de un triángulo

Teorema 51.3 (Suma de los ángulos)

En todo triángulo, los tres ángulos suman $180^\circ$ .

Demostración. Sea $ABC$ un triángulo. Traza la recta que pasa por $A$ paralela a $(BC)$ . En el vértice $A$ se alinean tres ángulos sobre esa paralela y forman un ángulo llano, $180^\circ$ : el del medio es $\widehat{A}$ y los dos exteriores son ángulos alternos con $\widehat B$ y $\widehat C$ (¡rectas paralelas!), así que valen $\widehat B$ y $\widehat C$ . Por tanto, $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

La demostración en una imagen: a lo largo de la paralela a (BC) por A, los ángulos B, A y C (ángulos alternos en colores iguales) llenan un ángulo llano. — La demostración en una imagen: a lo largo de la paralela a $(BC)$ por $A$ , los ángulos $\widehat B$ , $\widehat A$ y $\widehat C$ (ángulos alternos en colores iguales) llenan un ángulo llano.

Ejemplo 51.4

Dos ángulos de un triángulo miden $67^\circ$ y $58^\circ$ . El tercero mide

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Casos especiales que conviene memorizar: cada ángulo de un triángulo equilátero mide $180 \div 3 = 60^\circ$ ; en un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios (suman $180 - 90 = 90^\circ$ ); los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales, así que cada uno vale $\frac{180 - \text{ángulo desigual}}{2}$ .

Ejemplo 51.5 (No hay triángulos con dos ángulos rectos)

Un triángulo con dos ángulos de $90^\circ$ ya gastaría $180^\circ$ y dejaría $0^\circ$ para el tercero — imposible. La suma de los ángulos prohíbe muchos triángulos de golpe.

51.3 La desigualdad triangular

Teorema 51.6 (Desigualdad triangular)

En todo triángulo, cada lado es más corto que la suma de los otros dos: para un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ ,

a < b + c .

Recíprocamente, tres longitudes cuya mayor sea menor que la suma de las otras dos siempre forman un triángulo. Si la mayor es igual a la suma de las otras, el «triángulo» queda plano: los tres vértices están alineados.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 51.7

¿Pueden los lados ser $10$ , $3$ y $2$ ? Comprueba el mayor: ¿es $10 < 3 + 2 = 5$ ? No — ese triángulo no existe. El compás muestra por qué: los arcos de radios $3$ y $2$ trazados desde los dos extremos de un segmento de longitud $10$ no se encuentran nunca.

¿Lados $7$ , $5$ y $4$ ? El mayor: $7 < 5 + 4 = 9$ : sí, el triángulo existe (basta con comprobar el lado mayor).

Intento de construir un triángulo de lados 10, 3 y 2: los dos arcos de compás se quedan irremediablemente lejos, porque 3 + 2 < 10. — Intento de construir un triángulo de lados $10$ , $3$ y $2$ : los dos arcos de compás se quedan irremediablemente lejos, porque $3 + 2 < 10$ .

Método 51.8 (Existencia y construcción de un triángulo)

Dadas tres longitudes:

compara la mayor con la suma de las otras dos; si no es estrictamente menor, para: no hay triángulo;
si lo es, construye como en el Método 41.2 (segmento base y dos arcos de compás);
después de cualquier construcción a partir de ángulos, comprueba mentalmente que los ángulos dados suman menos de $180^\circ$ — y que el tercer ángulo completa exactamente $180^\circ$ .

51.4 Ejercicios

Ejercicio 51.1 ★

Da el complementario (a $90^\circ$ ) y el suplementario (a $180^\circ$ ) de: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.1.

Complementarios: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Suplementarios: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Ejercicio 51.2 ★

Dos rectas se cortan; uno de los cuatro ángulos mide $35^\circ$ . Da las medidas de los otros tres, con una razón para cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 51.2.

El ángulo opuesto por el vértice mide también $35^\circ$ (Teorema 51.2); los dos ángulos restantes son suplementarios suyos: $180 - 35 = 145^\circ$ cada uno.

Ejercicio 51.3 ★

Calcula el tercer ángulo de un triángulo cuyos dos primeros ángulos miden: (a) $40^\circ$ y $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ y $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ y $75^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Ejercicio 51.4 ★

Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual igual a $40^\circ$ . Calcula sus dos ángulos de la base. Otro triángulo isósceles tiene un ángulo de la base de $70^\circ$ : calcula su ángulo desigual.

Solución

Solución de Ejercicio 51.4.

Ángulo desigual $40^\circ$ : los ángulos de la base se reparten $180 - 40 = 140^\circ$ por igual: $70^\circ$ cada uno.

Ángulo de la base $70^\circ$ : los dos son iguales, así que el ángulo desigual es $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Ejercicio 51.5 ★

¿Cuáles de estos tríos pueden ser los lados de un triángulo? Justifícalo con la desigualdad triangular (¡el lado mayor!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Solución

Solución de Ejercicio 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : el triángulo existe.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : imposible.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : «triángulo» plano — los puntos están alineados, no hay triángulo de verdad.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : triángulo equilátero.

Ejercicio 51.6 ★

Un triángulo tiene ángulos $x$ , $2x$ y $3x$ . Halla $x$ y los tres ángulos. ¿Qué clase de triángulo es?

Solución

Solución de Ejercicio 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , así que $x = 30^\circ$ : los ángulos son $30^\circ$ , $60^\circ$ y $90^\circ$ — un triángulo rectángulo.

Ejercicio 51.7 ★

Construye un triángulo $ABC$ con $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ y $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (transportador en $B$ y en $C$ ). Antes de construir, predice la medida de $\widehat{BAC}$ y compruébala después en tu figura.

Solución

Solución de Ejercicio 51.7.

Predicción: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; el transportador lo confirma en la figura terminada.

Ejercicio 51.8 ★★

Dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, que forma un ángulo de $54^\circ$ en el primer corte (entre la secante y una de las paralelas). Dibuja la situación y da las medidas de los ocho ángulos que se forman.

Solución

Solución de Ejercicio 51.8.

En el primer corte, los cuatro ángulos son $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ y $126^\circ$ (parejas opuestas por el vértice y suplementos). La recta paralela reproduce las mismas cuatro medidas en el segundo corte (ángulos correspondientes): ocho ángulos en total, cuatro de $54^\circ$ y cuatro de $126^\circ$ .

Ejercicio 51.9 ★★

Dos lados de un triángulo miden $8$ cm y $3$ cm. ¿Entre qué dos valores tiene que estar el tercer lado? Da una longitud entera que valga y otra que no.

Solución

Solución de Ejercicio 51.9.

Sea $c$ el tercer lado. La desigualdad triangular exige $c < 8 + 3 = 11$ y también $8 < c + 3$ , es decir, $c > 5$ . Así que $5 < c < 11$ : la longitud $7$ cm vale; la longitud $12$ cm (o $4$ cm) no.

Ejercicio 51.10 ★★

En un triángulo $ABC$ , $\widehat A = 2\widehat B$ y $\widehat C = 90^\circ$ . Calcula $\widehat A$ y $\widehat B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ y $\widehat A = 2\widehat B$ , así que $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ y $\widehat A = 60^\circ$ .

Ejercicio 51.11 ★★★

Los ángulos de un cuadrilátero $ABCD$ cualquiera se pueden estudiar cortándolo por una diagonal en dos triángulos. Úsalo para demostrar que los cuatro ángulos de todo cuadrilátero suman $360^\circ$ y deduce la suma de los ángulos de un pentágono (cinco lados).

Solución

Solución de Ejercicio 51.11.

La diagonal $[AC]$ parte $ABCD$ en los triángulos $ABC$ y $ACD$ . Los cuatro ángulos del cuadrilátero son exactamente los seis ángulos de los dos triángulos, reagrupados (los ángulos en $A$ y en $C$ quedan cada uno partido en dos). Total: $180 + 180 = 360^\circ$ . Un pentágono se parte desde un vértice en tres triángulos: $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Problema: Dar la vuelta a la manzana

Problema 51.1

Problema de fin de semana — los ángulos de un polígono cualquiera: $(n-2) \times 180^\circ$ por dentro, siempre $360^\circ$ de giro por fuera, y por qué solo tres figuras regulares embaldosan un suelo

El Ejercicio 51.11 cortó un cuadrilátero en dos triángulos y obtuvo $360^\circ$ . Este problema lleva la idea a polígonos de cualquier número de lados, descubre después una segunda demostración completamente distinta — caminando alrededor de la figura y sumando los giros — y termina en el suelo de tu cuarto de baño: entre todos los polígonos regulares, exactamente tres pueden embaldosar el plano sin huecos ni solapamientos, y las abejas ya han elegido el suyo.

Parte I — Los ángulos de dentro.

desde un vértice de un hexágono (seis lados), traza todas las diagonales que salen de ese vértice. ¿En cuántos triángulos queda cortado el hexágono y cuál es la suma de todos sus ángulos interiores (Teorema 51.3)?
generaliza: desde un vértice de un polígono de $n$ lados, ¿cuántos triángulos produce el abanico de diagonales? Deduce la fórmula de la suma de los ángulos interiores y compruébala para $n = 3$ , $4$ , $5$ y $6$ ;
calcula la suma de los ángulos interiores de un decágono ( $10$ lados) y de un dodecágono ( $12$ lados);
en un polígono regular todos los ángulos interiores son iguales. Calcula el ángulo interior del triángulo equilátero, del cuadrado, del pentágono, el hexágono y el octógono regulares;
explica, sin ninguna fórmula, por qué la suma de los ángulos crece exactamente $180^\circ$ cada vez que el polígono gana un vértice.

Parte II — El paseo alrededor de la manzana. Camina por el borde de una manzana poligonal, siempre hacia delante. En cada esquina giras un cierto ángulo — el ángulo exterior de esa esquina; los giros siguen hasta que vuelves al punto de partida mirando en la dirección de partida.

en una esquina cuyo ángulo interior es $\widehat A$ , ¿cuánto giras? (El ángulo interior y el exterior son suplementarios.) Calcula los tres giros de un triángulo de ángulos $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
suma los tres giros de la pregunta 6. ¿Qué hecho sobre la vuelta completa observas?
explica por qué los giros de un paseo completo alrededor de cualquier polígono — de tres lados o de treinta — suman siempre exactamente $360^\circ$ . (¿Qué ha hecho tu nariz, sumando todos los giros, cuando vuelves al principio?)
deduce por segunda vez la fórmula de los ángulos interiores: en cada una de las $n$ esquinas, interior $+$ giro $= 180^\circ$ ; suma sobre todas las esquinas y usa la pregunta 8;
en un polígono regular todos los giros son iguales, así que cada ángulo exterior es $\frac{360^\circ}{n}$ . Úsalo para responder al instante: ¿qué polígono regular tiene ángulos interiores de $150^\circ$ ? ¿Y por qué ningún polígono regular tiene ángulos interiores de $155^\circ$ ?

Parte III — Embaldosar el suelo. Alrededor de cada punto de un suelo embaldosado, las esquinas de las baldosas que se juntan deben sumar exactamente $360^\circ$ — sin huecos ni solapamientos (Problema 40.1).

para el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular: ¿cuántas copias se juntan en un punto de esquina del embaldosado? Verifica los $360^\circ$ en cada caso;
demuestra que los pentágonos regulares no pueden embaldosar el suelo: ¿cuánto suman tres esquinas y cuánto sumarían cuatro?
demuestra que ningún polígono regular de más de seis lados puede embaldosar: en cada esquina tienen que juntarse al menos tres baldosas (cada ángulo es menor que $180^\circ$ ), y ¿qué pasa con tres esquinas de $135^\circ$ o más? Concluye con la lista completa de las figuras regulares que embaldosan;
los suelos de los cuartos de baño mezclan a menudo octógonos regulares con cuadrados pequeños. Verifica que esta esquina funciona: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Otro clásico mezcla un cuadrado, un hexágono regular y un dodecágono regular en cada esquina: verifícalo también (el ángulo interior del dodecágono sale del método de la pregunta 10);
la elección de las abejas: las celdas del panal son hexágonos regulares. Verifica sus esquinas ( $3$ ángulos) y explica en una frase — con la ayuda del descubrimiento de Dido (Problema 43.1) — por qué, de las tres baldosas regulares posibles, el hexágono es la más barata en cera para la miel que guarda.

Solución

Solución de Problema 51.1.

1. Las diagonales desde un vértice de un hexágono lo cortan en $4$ triángulos, así que los ángulos interiores suman $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. Desde un vértice salen diagonales hacia todos los vértices salvo él mismo y sus dos vecinos: $n - 3$ diagonales, que cortan el polígono en $n - 2$ triángulos. Cada ángulo interior del polígono queda repartido entre los triángulos, así que la suma es

(n - 2) \times 180^\circ .

Comprobación: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Ejercicio 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Decágono: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Dodecágono: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. Dividiendo entre $n$ : triángulo, $60^\circ$ ; cuadrado, $90^\circ$ ; pentágono, $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; hexágono, $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; octógono, $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Añadir un vértice añade un triángulo más al abanico: el polígono nuevo necesita $n - 1$ triángulos donde el antiguo necesitaba $n - 2$ . Un triángulo de más, $180^\circ$ de más.

6. El caminante gira el suplemento: $180^\circ - \widehat A$ . Para el triángulo $40$ – $60$ – $80$ , los giros son $140^\circ$ , $120^\circ$ y $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : una vuelta completa.

8. A lo largo de todo el paseo, tu nariz empieza y termina apuntando en la misma dirección, después de haber barrido exactamente una vuelta: todos los giros hechos en las esquinas suman una revolución completa, $360^\circ$ — sea cual sea el número de esquinas y la forma de la manzana. (El hecho es maravillosamente independiente de $n$ .)

9. En cada esquina, interior $+$ giro $= 180^\circ$ . Sumando sobre las $n$ esquinas:

\text{(suma de los interiores)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{luego}\qquad \text{suma de los interiores} = (n - 2) \times 180^\circ

— la fórmula de la pregunta 2, demostrada de nuevo caminando.

10. Interior $150^\circ$ significa que cada giro es de $30^\circ$ , y $n = \frac{360}{30} = 12$ : el dodecágono regular. Un interior de $155^\circ$ significaría giros de $25^\circ$ , y $\frac{360}{25} = 14.4$ no es un número entero de esquinas: no existe ese polígono regular.

11. Triángulo ( $60^\circ$ ): se juntan $6$ , $6 \times 60 = 360$ . Cuadrado ( $90^\circ$ ): se juntan $4$ . Hexágono ( $120^\circ$ ): se juntan $3$ , $3 \times 120 = 360$ . Los tres cierran perfectamente.

12. Tres esquinas de pentágono: $3 \times 108 = 324^\circ$ — queda un hueco de $36^\circ$ . Cuatro esquinas: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — se solapan. Ninguna de las dos funciona: los pentágonos regulares no pueden embaldosar el plano.

13. En una esquina del embaldosado se juntan al menos $3$ baldosas. Un polígono regular de más de seis lados tiene ángulos interiores mayores que $120^\circ$ (pregunta 4 y el crecimiento del ángulo con $n$ ), así que tres esquinas superan $3 \times 120 = 360^\circ$ : solapamiento, imposible. Con seis lados exactos, $3 \times 120 = 360$ funciona; por debajo de seis, las preguntas 11 y 12 resuelven los casos. La lista completa de figuras regulares que embaldosan: triángulo, cuadrado y hexágono.

14. Octógonos y cuadrados: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : la esquina cierra — el clásico dibujo de las aceras. Cuadrado, hexágono y dodecágono: el giro del dodecágono es $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , así que su ángulo interior es $150^\circ$ , y $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : también funciona.

15. Esquinas del panal: $3 \times 120 = 360^\circ$ , perfecto. Entre las baldosas de triángulo, cuadrado y hexágono de igual área, el hexágono tiene el borde más corto — es el más parecido de los tres al círculo de Dido (Problema 43.1) —, así que las celdas hexagonales encierran la misma miel con la menor cera: las abejas embaldosan como geómetras.

Términos definidos en este capítulo

Parejas de ángulos

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