Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

51Triángulos y ángulos

¿Puedes dibujar un triángulo con lados $10$ , $3$ y $2$ ? Con ángulos ¿ $80^\circ$ , $70^\circ$ y $50^\circ$ ? Este capítulo responde a ambos preguntas con dos de los hechos más útiles de la geometría plana: el desigualdad del triángulo y el ángulo $180^\circ$ suma — más el ángulo Vocabulario que viene con cruce y lineas paralelas.

51.1 Ángulos alrededor de líneas que se cruzan

Definición 51.1 (Pares de ángulos)

Dos ángulos son complementario cuando sus medidas suman a $90^\circ$ , suplementario cuando suman $180^\circ$ .
Cuando dos líneas se cruzan, los ángulos enfrentados a través de la El punto de cruce es verticalmente opuesto.
Cuando una línea cruza otras dos líneas, los ángulos ubicados en la misma posición en cada cruce ángulos correspondientes; ángulos entre las dos líneas en Los lados opuestos de la línea de cruce son alternativo ángulos.

Teorema 51.2 (Igualdades de ángulos)

Ángulos verticalmente opuestos son iguales.
Si dos líneas son paralelo, los ángulos correspondientes son iguales y ángulos alternos son iguales. Por el contrario, igual correspondiente (o alternos) los ángulos fuerzan que las líneas sean paralelo.

Prueba de 1. Los dos ángulos $\widehat{1}$ y $\widehat{2}$ a un lado de una recta formar un ángulo recto: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ . el verticalmente opuesto ángulo $\widehat 3$ de $\widehat 1$ también satisface $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ (mismo motivo). entonces $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ . El punto 2 es admitido en este nivel. ∎

Izquierda: ángulos verticalmente opuestos 1 = 3 (cada uno es complementario de 2). Derecha: lineas paralelas cortado por una tercera línea — los ángulos correspondientes a y b son iguales. — Izquierda: ángulos verticalmente opuestos $\widehat 1 = \widehat 3$ (cada uno es complementario de $\widehat 2$ ). Derecha: lineas paralelas cortado por una tercera línea — los ángulos correspondientes $\widehat a$ y $\widehat b$ son iguales.

51.2 La suma de los ángulos de un triángulo.

Teorema 51.3 (suma de angulos)

En todo triángulo, los tres ángulos suman $180^\circ$ .

Demostración. Sea $ABC$ un triángulo. Dibuja la línea que pasa por $A$ paralelo hasta $(BC)$ . En vértice $A$ , tres ángulos se alinean a lo largo de este paralelo y hacer un ángulo recto, $180^\circ$ : el del medio es $\widehat{A}$ , y los dos exteriores son ángulos alternos con $\widehat B$ y $\widehat C$ (¡lineas paralelas!), por lo que son iguales $\widehat B$ y $\widehat C$ . Por lo tanto $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ . ∎

La prueba en una imagen: a lo largo del paralelo al (BC) pasando A, los ángulos B, A, C (alternativo ángulos en colores coincidentes) llenan un ángulo recto. — La prueba en una imagen: a lo largo del paralelo al $(BC)$ pasando $A$ , los ángulos $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (alternativo ángulos en colores coincidentes) llenan un ángulo recto.

Ejemplo 51.4

Dos ángulos de un triángulo miden $67^\circ$ y $58^\circ$ . el tercero medidas

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

Casos especiales que vale la pena memorizar: cada ángulo de un triangulo equilatero es $180 \div 3 = 60^\circ$ ; en un triangulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios (suman $180 - 90 = 90^\circ$ ); la base Los ángulos de un triangulo isósceles son iguales, por lo que cada uno es $\frac{180 - \text{apex}}{2}$ .

Ejemplo 51.5 (Sin triángulo con dos ángulos rectos)

Un triángulo con dos ángulos de $90^\circ$ ya se consumiría $180^\circ$ , dejando $0^\circ$ para el tercero — imposible. el angulo suma prohíbe muchos triángulos a la vez.

51.3 La desigualdad del triángulo

Teorema 51.6 (Desigualdad del triangulo)

En todo triángulo, cada lado es más corto que el suma de los dos. otros: para un triángulo de lados $a$ , $b$ , $c$ ,

a < b + c .

Por el contrario, tres longitudes con el más grande más pequeño que el suma de los otros dos siempre se puede formar un triángulo. si el mas grande es igual el suma de los demás, el “triángulo” es plano: el tres vértices están alineados.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 51.7

¿Pueden los lados ser $10$ , $3$ y $2$ ? Prueba el más grande: ¿es $10 < 3 + 2 = 5$ ? No…no existe tal triángulo. La brújula muestra por qué: arcos de radios $3$ y $2$ extraídos de los dos extremos de un segmento de longitud $10$ nunca reunirse.

¿Lados $7$ , $5$ y $4$ ? Más grande: $7 < 5 + 4 = 9$ : sí, el triángulo existe (con comprobar el lado más grande es suficiente).

Intentando construir un triángulo con lados 10, 3, 2: los dos Los arcos de la brújula permanecen irremediablemente alejados, porque 3 + 2 < 10. — Intentando construir un triángulo con lados $10$ , $3$ , $2$ : los dos Los arcos de la brújula permanecen irremediablemente alejados, porque $3 + 2 < 10$ .

Método 51.8 (Existencia y construcción de un triángulo.)

Dadas tres longitudes:

compare el más grande con el suma de los otros dos; si es no estrictamente más pequeño, parada: sin triángulo;
, de lo contrario, construya como en Método 41.2 (base segmento, dos arcos de compás);
después de cualquier construcción desde ángulos, comprobar mentalmente que los ángulos dados suman menos de $180^\circ$ — con el tercero ángulo que forma exactamente $180^\circ$ .

51.4 Ceremonias

Ejercicio 51.1 ★

Dar el complemento (a $90^\circ$ ) y el suplemento (a $180^\circ$ ) de: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.1.

Complementos: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ . Suplementos: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ .

Ejercicio 51.2 ★

Dos líneas se cruzan; uno de los cuatro ángulos mide $35^\circ$ . Dale el medidas de los otros tres, con una razón para cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 51.2.

El ángulo verticalmente opuesto también mide $35^\circ$ (Teorema 51.2); los dos ángulos restantes son complementarios al mismo: $180 - 35 = 145^\circ$ cada uno.

Ejercicio 51.3 ★

Calcula el tercer ángulo de un triángulo cuyos dos primeros ángulos miden: (a) $40^\circ$ y $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ y $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ y $75^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

Ejercicio 51.4 ★

Un triangulo isósceles tiene su ángulo de vértice igual a $40^\circ$ . calcular sus dos ángulos base. Otro triangulo isósceles tiene un ángulo base de $70^\circ$ : calcula su ángulo de vértice.

Solución

Solución de Ejercicio 51.4.

Ápice $40^\circ$ : los ángulos base comparten $180 - 40 = 140^\circ$ igualmente: $70^\circ$ cada uno.

Ángulo base $70^\circ$ : los dos ángulos base son iguales, por lo que el vértice es $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ .

Ejercicio 51.5 ★

¿Cuáles de estos triples pueden ser los lados de un triángulo? Justificar por el desigualdad del triángulo (¡lado más grande!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

Solución

Solución de Ejercicio 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : existe triángulo.

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : imposible.

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : “triángulo” plano — los puntos son alineados, no hay un triángulo genuino.

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : triangulo equilatero.

Ejercicio 51.6 ★

Un triángulo tiene los ángulos $x$ , $2x$ y $3x$ . Encuentra $x$ y los tres. ángulos. ¿Qué tipo de triángulo es?

Solución

Solución de Ejercicio 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , entonces $x = 30^\circ$ : los ángulos son $30^\circ$ , $60^\circ$ y $90^\circ$ — a triangulo rectángulo.

Ejercicio 51.7 ★

Construya un triángulo $ABC$ con $BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ y $\widehat{ACB} = 60^\circ$ (transportador en $B$ y en $C$ ). Antes de construir, prediga la medida de $\widehat{BAC}$ , luego revisa tu figura.

Solución

Solución de Ejercicio 51.7.

Predicción: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; el El transportador de la figura terminada lo confirma.

Ejercicio 51.8 ★★

Dos lineas paralelas se cortan por una tercera línea, formando un ángulo de $54^\circ$ en el primer cruce (entre la línea de cruce y una paralelo). Dibuja la situación y da las medidas de los ocho. ángulos formados.

Solución

Solución de Ejercicio 51.8.

En el primer cruce, los cuatro ángulos son $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ (verticalmente opuesto pares y suplementos). La línea paralelo reproduce los mismos cuatro compases en el segundo cruce (ángulos correspondientes): ocho ángulos en total, cuatro de $54^\circ$ y cuatro de $126^\circ$ .

Ejercicio 51.9 ★★

Dos lados de un triángulo miden $8$ cm y $3$ cm. entre cuales dos ¿De qué valores debe estar el tercer lado? Dar una longitud de número entero que funcione y otro que no.

Solución

Solución de Ejercicio 51.9.

Sea $c$ el tercer lado. La desigualdad triangular exige $c < 8 + 3 = 11$ y también $8 < c + 3$ , es decir $c > 5$ . entonces $5 < c < 11$ : la longitud $7$ cm funciona; la longitud $12$ cm (o $4$ cm) no lo hace.

Ejercicio 51.10 ★★

En un triángulo $ABC$ , $\widehat A = 2\widehat B$ y $\widehat C = 90^\circ$ . Calcule $\widehat A$ y $\widehat B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , y $\widehat A = 2\widehat B$ , entonces $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ y $\widehat A = 60^\circ$ .

Ejercicio 51.11 ★★★

Los tres ángulos de cualquier cuadrilátero $ABCD$ se pueden estudiar mediante cortándolo a lo largo de una diagonal en dos triángulos. Usa esto para demostrar que los cuatro ángulos de cada cuadrilátero suman $360^\circ$ , y deduzca el ángulo suma de un pentágono (cinco lados).

Solución

Solución de Ejercicio 51.11.

La diagonal $[AC]$ divide a $ABCD$ en los triángulos $ABC$ y $ACD$ . Los cuatro ángulos del cuadrilátero son exactamente los seis ángulos del los dos triángulos, reagrupados (los ángulos en $A$ y en $C$ son cada uno partido en dos). Total: $180 + 180 = 360^\circ$ . A pentágono se separa de un vértice en tres triángulos: $3 \times 180 = 540^\circ$ .

51.5 Problema: caminar alrededor de la cuadra

Problema 51.1

Problema de fin de semana — los ángulos de cualquier polígono: $(n-2) \times 180^\circ$ adentro, siempre $360^\circ$ de giro afuera, y por qué solo tres formas regulares embaldosan un piso

Ejercicio 51.11 corta un cuadrilátero en dos triángulos y encontré $360^\circ$ . Este problema lleva la idea a polígonos. con cualquier número de lados, luego descubre un segundo, completamente prueba diferente — por caminando alrededor de la forma y agregando sube las vueltas — y termina en el suelo de tu baño: entre todos regular polígonos, exactamente tres pueden mosaico un plano sin espacios o se superponen y las abejas han elegido el suyo.

Parte I — The angles inside.

De un vértice de un hexágono (seis lados), dibuja todos los diagonales dejando ese vértice. en cuantos triangulos esta el corte hexágono, y cuál es el suma de todo? ¿Ángulos interiores (Teorema 51.3)?
Generalizar: de un vértice de un polígono con lados $n$ , ¿cuantos triangulos produce el abanico de diagonales? Deduzca la fórmula para el suma de los ángulos interiores, y verifíquelo para $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ .
Calcular el suma de los ángulos interiores de un decágono. (lados $10$ ) y de un dodecágono (lados $12$ ).
En un regular polígono todos los ángulos interiores son igual. Calcular el ángulo interior del equilátero triangulo, el cuadrado, el regular pentágono, hexágono y octágono.
Explica, sin ninguna fórmula, por qué el ángulo suma crece exactamente $180^\circ$ cada vez que el polígono gana uno vértice.

Parte II — The walk around the block. Camine por el límite de un bloque poligonal, siempre hacia adelante. en cada esquina te doblar por algún ángulo — el exteriores ángulo de esa esquina; el giro continúa hasta regresar a su punto de partida, mirando hacia su dirección inicial.

En una esquina cuyo ángulo interior es $\widehat A$ , por cómo ¿Cuánto giras? (Los ángulos interior y exterior son suplementario.) Calcular las tres vueltas para un triángulo con ángulos $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ .
Suma los tres giros de la pregunta 6. ¿Qué círculo completo hecho observas?
Explica por qué las vueltas de un paseo completo. cualquier polígono — tres lados o treinta — siempre Total exactamente $360^\circ$ . (¿Qué te ha hecho la nariz, todos? giros combinados, cuando regreses?)
Deduzca la fórmula del ángulo interior por segunda vez: en cada de las esquinas $n$ , interior $+$ gira $= 180^\circ$ ; suma en todas las esquinas y utilice la pregunta 8.
En un polígono normal, todos los giros son iguales, por lo que cada El ángulo exterior es $\frac{360^\circ}{n}$ . Usa esto para Responde al instante: ¿Qué polígono normal tiene interior? ángulos de $150^\circ$ ? ¿Y por qué no es regular? polígono tiene ángulos interiores de $155^\circ$ ?

Parte III — Tiling the floor. Alrededor de cada punto de un suelo de baldosas, las esquinas del encuentro los mosaicos deben sumar exactamente $360^\circ$ — sin espacios ni superposiciones (Problema 40.1).

Para cada uno de los triangulo equilatero, el cuadrado y el regular hexágono: cuántas copias se encuentran en un punto de esquina del mosaico? Verifique el $360^\circ$ cada vez.
Demuestre que pentágonos normal no puede colocar baldosas en el piso: ¿qué ¿Hacen tres esquinas en total y cuáles serían cuatro en total?
Demuestre que no hay polígono regular con más de seis Los lados pueden colocar mosaicos: al menos tres mosaicos deben encontrarse en cada uno. esquina (cada ángulo es menor que $180^\circ$ ), y qué ¿Qué pasa con tres esquinas de $135^\circ$ o más? Concluir la lista completa de alicatadores habituales.
Los pisos de baño a menudo mezclan octágonos regular con pequeños cuadrados. Verifica que este rincón funcione: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ . Otra mezcla clásica un cuadrado, un hexágono regular y un dodecágono regular en cada esquina: verifíquelo también (el interior del dodecágono ángulo se desprende del método de la pregunta 10).
La elección de las abejas: las celdas del panal son hexágonos normales. Verifique sus esquinas (ángulos $3$ ) y explique en uno. frase — con la ayuda del descubrimiento de Dido (Problema 43.1) — por qué, de los tres posibles azulejos regulares, el hexágono es el más barato en cera para la miel que contiene.

Solución

Solución de Problema 51.1.

1. Las diagonales de un vértice de un hexágono lo cortan en triángulos $4$ , por lo que los ángulos interiores suman $4 \times 180 = 720^\circ$ .

2. De un vértice, las diagonales van a todos los vértices excepto él mismo y sus dos vecinos: $n - 3$ diagonales, cortando el polígono en triángulos $n - 2$ . Cada ángulo interior del polígono se distribuye entre los triángulos, por lo que suma es

(n - 2) \times 180^\circ .

Verificar: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (Ejercicio 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ .

3. Decágono: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ . Dodecágono: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ .

4. Dividiendo por $n$ : triángulo $60^\circ$ ; cuadrado $90^\circ$ ; pentágono $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; hexágono $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; octágono $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ .

5. Agregar un vértice agrega un triángulo más al ventilador: el nuevo polígono necesita triángulos $n - 1$ donde se necesitaba el antiguo $n - 2$ . Un triángulo extra, un $180^\circ$ extra.

6. El andador gira por el suplemento: $180^\circ - \widehat A$ . Para el triángulo $40$ – $60$ – $80$ , el los turnos son $140^\circ$ , $120^\circ$ y $100^\circ$ .

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : una vuelta completa.

8. Durante todo el camino, tu nariz comienza y termina. apuntando en la misma dirección, habiendo dado la vuelta exactamente una vez: todos los el giro realizado en las esquinas equivale a una revolución completa, $360^\circ$ — cualquiera que sea el número de esquinas y la forma de el bloque. (El hecho es maravillosamente independiente de $n$ ).

9. En cada esquina, interior $+$ gire $= 180^\circ$ . Resumiendo las esquinas $n$ :

\text{(sum of interiors)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{so}\qquad \text{sum of interiors} = (n - 2) \times 180^\circ

— la fórmula de la pregunta 2, reprobada caminando.

10. Interior $150^\circ$ significa que cada giro es $30^\circ$ y $n = \frac{360}{30} = 12$ : el dodecágono regular. Interior $155^\circ$ significaría vueltas de $25^\circ$ , y $\frac{360}{25} = 14.4$ no es un número entero de esquinas: no existe tal polígono regular.

11. Triángulo ( $60^\circ$ ): $6$ encuentro, $6 \times 60 = 360$ . Cuadrado ( $90^\circ$ ): $4$ encuentro. Hexágono ( $120^\circ$ ): $3$ encuentro, $3 \times 120 = 360$ . Los tres cierran perfectamente.

12. Tres esquinas pentágono: $3 \times 108 = 324^\circ$ — queda un espacio de $36^\circ$ . Cuatro esquinas: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — superposición. Ninguno funciona: el pentágonos normal no puede colocar mosaicos en el avión.

13. En una esquina del mosaico se juntan al menos los mosaicos $3$ . un polígono regular con más de seis lados tiene ángulos interiores mayor que que $120^\circ$ (pregunta 4 y el crecimiento de el ángulo con $n$ ), por lo que tres esquinas exceden $3 \times 120 = 360^\circ$ : superposición, imposible. Con seis lados exactamente, $3 \times 120 = 360$ funciona; debajo de seis, preguntas 11 y 12 clasifican los casos. La lista completa de alicatadores habituales: triángulo, cuadrado, hexágono.

14. Octágonos y cuadrados: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : se cierra la esquina — el clasico patrón de la calle. Cuadrado, hexágono, dodecágono: el dodecágono el giro es $\frac{360}{12} = 30^\circ$ , por lo que su ángulo interior es $150^\circ$ y $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : también funciona.

15. Esquinas de panal: $3 \times 120 = 360^\circ$ , perfecto. Entre mosaicos triangulares, cuadrados y hexágono de igual área, el hexágono tiene el límite más corto — es el El más cercano de los tres al círculo de Dido. (Problema 43.1) — entonces las celdas hexagonales encierran el La misma miel con la menor cantidad de cera: las abejas tejen como geómetras.