Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

66Álgebra y ecuaciones

Las letras representan números y la computación con letras prueba hechos sobre todo números a la vez. Este capítulo practica en expansión y factoraje — incluyendo las tres identidades que lo seguirán a través de todas las matemáticas — y resuelve primer grado ecuaciones, producto ecuaciones, y desigualdades simples, siempre paso a paso justificado.

66.1 En expansión

Definición 66.1 (Ampliable)

En expansión significa transformar un producto en un suma, usando distributividad:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Ejemplo 66.2

Cada término del primer paréntesis multiplica cada término del segundo:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Los signos viajan con los términos:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Teorema 66.3 (las tres identidades)

Para todos los números $a$ y $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demostración. Expande cada lado izquierdo. Para el primero: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Para el segundo, reemplace $b$ por $-b$ en el primero. Para el tercero: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (los términos cruzados se cancelan). ∎

La identidad (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vista como áreas: el grande El cuadrado de lado a+b está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el “2ab” es olvidar los dos rectángulos! — La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , vista como áreas: el grande El cuadrado de lado $a+b$ está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el “ $2ab$ ” es olvidar los dos rectángulos!

Ejemplo 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Aritmética mental: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , y $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Factorización

Método 66.5 (Factoraje)

Para factorizar una expresión, intente en orden:

factor común: $ka + kb = k(a + b)$ , donde $k$ puede ser un soporte;
diferencia of squares: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (y con $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Verifique siempre por en expansión el resultado.

Ejemplo 66.6

Factor común: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Soporte común:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Diferencia of squares: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , y

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Cada factor todavía tiene un factor común: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Ecuaciones

Método 66.7 (Ecuaciones de primer grado)

Para resolver un ecuación como $5x - 3 = 2x + 9$ :

reúne los términos $x$ en un lado y los números en el otro, por añadiendo la misma cantidad a ambos lados;
reducir cada lado;
divide ambos lados por el coeficiente de $x$ ;
verifique la solución en el ecuación original.

Ejemplo 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(add $3 - 2x$ to both sides)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(divide by 3).} \end{align*}

Verifique: $5 \times 4 - 3 = 17$ y $2 \times 4 + 9 = 17$ . La solución es $4$ .

Entre paréntesis, expanda primero: $3(x - 2) = x + 8$ se convierte en $3x - 6 = x + 8$ , entonces $2x = 14$ y $x = 7$ .

Teorema 66.9 (Regla de producto cero)

Un producto es cero si y sólo si al menos un factor es cero:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ or } \ B = 0 .

Demostración. Si un factor es cero, el producto claramente lo es. Por el contrario, si $A B = 0$ con $A \neq 0$ , al dividir ambos lados entre $A$ se obtiene $B = 0$ . ∎

Ejemplo 66.10

Resuelva $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : ya sea $x - 3 = 0$ o $2x + 10 = 0$ , por lo que Las soluciones son $3$ y $-5$ .

Resuelva $x^2 - 49 = 0$ : factor primero, $(x-7)(x+7) = 0$ , soluciones $7$ y $-7$ .

Resuelva $x^2 = 3x$ : ¡nunca divida entre $x$ ! Mover y factorizar: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , soluciones $0$ y $3$ .

66.4 Desigualdades

Proposición 66.11 (Reglas para desigualdades)

Se conserva una desigualdad al sumar el mismo número a ambos lados, y al multiplicar ambos lados por el mismo número positivo. Multiplicar ambos lados por un número negativo invierte el signo de desigualdad.

Demostración. Si $a \leq b$ entonces $b - a \geq 0$ . Agregando $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , entonces $a + c \leq b + c$ . Multiplicando por $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , entonces $ac \leq bc$ . Multiplicando por $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , entonces $ac \geq bc$ : el orden se invierte. ∎

Ejemplo 66.12

Resuelva $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(subtract 7)} \\ x &> -4 && \text{(divide by $-2$: reverse the sign).} \end{align*}

Las soluciones son todos números mayores que $-4$ : en una recta numérica, un punto hueco en $-4$ y sombreado a la derecha.

Las soluciones de 7 - 2x < 15: todas x > -4 (punto hueco: -4 en sí no es una solución). — Las soluciones de $7 - 2x < 15$ : todas $x > -4$ (punto hueco: $-4$ en sí no es una solución).

66.5 Ceremonias

Ejercicio 66.1 ★

Ampliar y reducir:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solución

Solución de Ejercicio 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Ejercicio 66.2 ★

Expandir usando las identidades:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solución

Solución de Ejercicio 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Ejercicio 66.3 ★

Calcula mentalmente, usando una identidad: $101^2$ ; $59^2$ (escriba $59 = 60 - 1$ ); $53 \times 47$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Ejercicio 66.4 ★

Factores:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solución

Solución de Ejercicio 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Ejercicio 66.5 ★

Resuelve, escribiendo cada paso:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solución

Solución de Ejercicio 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , so $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , so $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , entonces $2x = 16$ y $x = 8$ .

Ejercicio 66.6 ★★

Resuelva usando la regla producto cero:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solución

Solución de Ejercicio 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ or $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ or $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : la solución única $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , so $x = 0$ or $x = 8$ .

Ejercicio 66.7 ★★

Factoriza $E = (3x + 2)^2 - 25$ y luego resuelve $E = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.7.

Diferencia de cuadrados con $a = 3x + 2$ y $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Regla Producto cero: $3x + 7 = 0$ da $x = -\frac73$ y $3x - 3 = 0$ da $x = 1$ .

Ejercicio 66.8 ★★

Resuelve las desigualdades y representa las soluciones en una recta numérica:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solución

Solución de Ejercicio 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , entonces $x \geq 4$ (punto relleno en $4$ , sombreado derecha).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ , al dividir por $-2$ se invierte el signo: $x < 2$ (punto hueco en $2$ , sombra a la izquierda).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , entonces $3x \leq -9$ , entonces $x \leq -3$ (punto relleno en $-3$ , sombreado a la izquierda).

Ejercicio 66.9 ★★

Pienso en un número, lo multiplico por $3$ , le sumo $7$ y obtengo el mismo resultado. como si lo hubiera multiplicado por $5$ y restado $9$ . ¿Cuál es mi número? (Configure un ecuación y resuélvalo).

Solución

Solución de Ejercicio 66.9.

Sea $x$ el número: $3x + 7 = 5x - 9$ . Luego $16 = 2x$ , entonces $x = 8$ . Verifique: $3 \times 8 + 7 = 31$ y $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Ejercicio 66.10 ★★★

Sea $n$ un número entero.

Expande $(n + 1)(n - 1)$ y deduce que el producto de los dos Los vecinos de $n$ siempre son $n^2 - 1$ (por ejemplo, $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ ).
Demuestre que el suma de tres enteros consecutivos es siempre un múltiple de $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (tercera identidad). Los vecinos de $n$ son $n - 1$ y $n + 1$ , por lo que su producto es $n^2 - 1$ : por ejemplo $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Se pueden escribir tres números enteros consecutivos $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Su suma es

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

a múltiple de $3$ (tres veces el del medio).

66.6 Problema: El álgebra de dígitos

Problema 66.1

Problema de fin de semana — por qué manda la divisibilidad trabajo, el truco 1089 desenmascarado y la aritmética mental que parece como brujería

La escuela primaria te enseñó normas (un número es divisible por $9$ cuando su dígito sea suma); magos realizan engaños (todos terminan en $1089$ ); los mercados saben atajos ( $35^2 = 1225$ , al instante). Todo ello es el mismo secreto: un número con dígitos $a$ , $b$ , $c$ es la expresión $100a + 10b + c$ y el álgebra de este capítulo. (Teorema 66.3, en expansión, factorización) puede tomar aparte. Al final de este problema habrás demostrado la reglas, desenmascaró el truco y aprendió la hechicería.

Parte I — Digits under the microscope.

Un número de dos dígitos con el dígito de las decenas $a$ y el dígito de las unidades $b$ es $10a + b$ . Expandir y factorizar el diferencia entre el número y su inversión, $(10a + b) - (10b + a)$ e indique el descubrimiento. comprobar en $72 - 27$ .
Demostrar la regla del nueve para números de tres cifras: verificar la identidad

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

y explica por qué muestra que un número y su dígito suma dejar el same resto en la división por $9$ — entonces uno es divisible por $9$ exactamente cuando el otro es (Proposición 64.3, ahora probado).
Deducir la regla de tres a partir de una misma identidad, en uno frase.
“Echando nueves”, el cheque de los contables: a prueba $47 \times 86 = 4\,042$ , reemplace cada número por el dígito suma de su dígito suma: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ y $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; entonces $4\,042 \to 10 \to 1$ : consistente. Explique por qué una correcta producto debe pasar la prueba (escriba $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ y expandir), y encontrar un resultado incorrecto que la prueba no logra detectar (¿por qué se intercambian dígitos? ¿Invisible para él?).
Demostrar la regla de once para números de cuatro dígitos: verificar

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

y utilícelo para decidir si $2\,926$ es divisible por $11$ .

Parte II — The 1089 trick. El truco: piensa en un número de tres dígitos cuyo primer y último los dígitos difieren en al menos $2$ ; invertirlo; restar el menor del más grande; revertir el resultado; suma los dos últimos números. El mago anuncia: 1089.

Realiza el truco en $742$ y en un número de tu elección.
Deje que el número tenga dígitos $a$ , $b$ , $c$ con $a > c$ . Factoriza la primera resta, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ y enumere todos los valores que puede tomar cuando $a - c$ se ejecuta desde $2$ a $9$ .
Cada uno de esos múltiplos de $99$ tiene un dígito llamativo patrón. Escribiendo $m = a - c$ , verificar la identidad

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

y lea los tres dígitos de $99m$ .
Agregue $99m$ a su propia inversión, usando las preguntas 8 dígitos, y demostrar que el total es $1089$ — lo que sea $m$ es. El truco está muerto; ¡Viva el álgebra!
¿Por qué el mago requirió el primer y el último dígito? diferir en al menos $2$ ? Examinar los casos $a = c$ y $a - c = 1$ (donde la resta da $99$ , que debe escribirse $099$ para que la inversión funcione), y Indique la letra pequeña que mantiene el truco honesto.

Parte III — Sorcery for daily use.

El truco del cumpleaños: “multiplica tu mes de nacimiento por $5$ , suma $7$ , duplica, suma tu día de nacimiento, resta $14$ .” Demuestre que el resultado es siempre $10m + d$ — mes y día, legible de un vistazo. (Pruébelo con alguien).
Rediseñas el truco como: “multiplica el mes por $5$ , agregue $9$ , doble, agregue el día". ¿Qué número debe espectador ahora resta al final por lo mismo lectura mes-día?
El truco de los dígitos faltantes: el espectador elige cualquier número, resta su dígito suma (la pregunta 2 dice que el resultado es siempre un múltiple de $9$ — explica por qué para un número de tres dígitos), luego tacha un distinto de cero dígito y le lee los dígitos restantes. Explica como recuperas el dígito tachado, y por qué $0$ tuvo que ser excluido.
Brujería en el mercado: probar la identidad $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , indique la regla para elevar al cuadrado cualquier número que termine en $5$ y calcular $45^2$ , $85^2$ y $105^2$ en tu cabeza.
Final, prolongando Ejercicio 66.10: demostrar que el suma de cinco enteros consecutivos es siempre un múltiple de $5$ , pero que el suma de cuatro enteros consecutivos es nunca a múltiple de $4$ . (Dos cálculos breves — y una moraleja sobre lo que el álgebra hace con las palabras "siempre" y "nunca".)

Solución

Solución de Problema 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : el diferencia entre un número de dos cifras y su inversión siempre es un múltiple de $9$ . Verificar: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ , y $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. En expansión el lado derecho: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . Entonces el número es igual a múltiple de $9$ más su dígito suma: dividiendo por $9$ , ambos quedan igual resto. En particular, resto $0$ para uno significa resto $0$ para el otro: la regla del nueve, demostrada.

3. $9(11a + b)$ también es múltiple de $3$ , por lo que lo mismo La identidad muestra el número y dígito suma y deja el mismo resto en la división por $3$ : la regla de tres.

4. Escriba $47 = 9k + 2$ y $86 = 9l + 5$ . entonces

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

el producto deja el mismo resto que $2 \times 5 = 10$ , a saber, $1$ . Por lo tanto, un resultado correcto también debe salir de resto. $1$ — lo que hace $4\,042$ . Pero la prueba sólo ve restos: $4\,042$ y $4\,402$ (dígitos intercambiados) pasan de manera idéntica, por lo que Pasar no prueba nada; fallar es lo que condena.

5. En expansión: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . Entonces el número es divisible por $11$ exactamente cuando está alternando suma $-a + b - c + d$ . Para $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ , divisible por $11$ : sí, $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$ . Cualquiera válida El ejemplo también llega a $1\,089$ .

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . Para $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . Entonces los tres dígitos de $99m$ son $m - 1$ , luego $9$ , luego $10 - m$ (verifique $495$ : $m = 5$ da $4$ , $9$ , $5$ ).

9. La reversión de $99m$ tiene los dígitos $10 - m$ , $9$ , $m - 1$ , por lo que es igual a $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . Añadiendo:

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

independiente de $m$ . Cualquiera que sea el número inicial, el mago es seguro.

10. Si $a = c$ , la resta da $0$ y el truco muere de una vez. Si $a - c = 1$ , da $99$ , que debe ser tratado como la cadena de tres dígitos $099$ (inversión $990$ , $99 + 990 = 1\,089$ : ¡salvado!). La letra pequeña: diferencias de $1$ funciona solo si el espectador escribe el resultado de la resta con tres dígitos, incluyendo cero inicial — requiriendo un espacio de al menos $2$ evita la discusión.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : se muestran las decenas (y las centenas, de octubre a diciembre) el mes, las unidades (y decenas) el día.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : resta $18$ .

13. Por pregunta 2, $n - (\text{digit sum of } n) = 9(11a + b)$ para un $n$ de tres dígitos: siempre un múltiple de $9$ (Las identidades similares funcionan para cualquier duración). Un múltiple de $9$ tiene dígito suma a múltiple de $9$ (pregunta 2 nuevamente), por lo que los dígitos el espectador lee en voz alta debe completarse hasta el siguiente múltiple de $9$ : el dígito que falta es ese complemento. Ambigüedad: si el Los dígitos leídos ya suman múltiple de $9$ , el dígito cruzado podría ser $0$ o $9$ — excluyendo $0$ elimina la duda.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : escribe $t(t+1)$ , luego pega $25$ detrás. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ , entonces $2\,025$ . $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , entonces $7\,225$ . $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ , entonces $11\,025$ .

15. Cinco consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : un múltiple de $5$ , siempre. cuatro consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : resto $2$ en la división por $4$ , nunca un múltiple. El álgebra convierte "parece funcionar" en siempre y “No encontré ningún ejemplo” en nunca — dos palabras que ninguna cantidad de pruebas puede alcanzar (Método 48.8).