Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

66Álgebra y ecuaciones

Las letras representan números, y calcular con letras demuestra hechos sobre todos los números a la vez. Este capítulo practica el desarrollo y la factorización — incluidas las tres identidades que te acompañarán por todas las matemáticas — y resuelve ecuaciones de primer grado, ecuaciones producto e inecuaciones sencillas, siempre paso a paso y con justificación.

66.1 Desarrollar

Definición 66.1 (Desarrollar)

Desarrollar es transformar un producto en una suma, usando la distributividad:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Ejemplo 66.2

Cada término del primer paréntesis multiplica a cada término del segundo:

\begin{align*} (x + 3)(2x + 5) &= x \times 2x + x \times 5 + 3 \times 2x + 3 \times 5 \\ &= 2x^2 + 5x + 6x + 15 \\ &= 2x^2 + 11x + 15 . \end{align*}

Los signos viajan con los términos:

\begin{align*} (3x - 2)(x - 4) &= 3x^2 - 12x - 2x + 8 = 3x^2 - 14x + 8 . \end{align*}

Teorema 66.3 (Las tres identidades)

Para todos los números $a$ y $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demostración. Desarrolla cada miembro izquierdo. Para la primera: $(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Para la segunda, sustituye $b$ por $-b$ en la primera. Para la tercera: $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ (los términos cruzados se cancelan). ∎

La identidad (a+b)2 = a2 + 2ab + b2, vista como áreas: el cuadrado grande de lado a+b está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el «2ab» es olvidar los dos rectángulos! — La identidad $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , vista como áreas: el cuadrado grande de lado $a+b$ está formado por dos cuadrados y dos rectángulos iguales. ¡Olvidar el « $2ab$ » es olvidar los dos rectángulos!

Ejemplo 66.4

(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25, \qquad (3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1, \qquad (2x + 7)(2x - 7) = 4x^2 - 49 .

Cálculo mental: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$ , y $98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$ .

66.2 Factorizar

Método 66.5 (Factorizar)

Para factorizar una expresión, prueba en este orden:

factor común: $ka + kb = k(a + b)$ , donde $k$ puede ser él mismo un paréntesis;
diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ;
cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ (y, con $-2ab$ , $(a-b)^2$ ).

Comprueba siempre desarrollando el resultado.

Ejemplo 66.6

Factor común: $15x^2 + 10x = 5x \times 3x + 5x \times 2 = 5x(3x + 2)$ .

Paréntesis común:

(x+2)(x-1) + (x+2)(3x+4) = (x+2)\bigl[(x-1) + (3x+4)\bigr] = (x+2)(4x+3).

Diferencia de cuadrados: $x^2 - 81 = (x+9)(x-9)$ , y

(2x+1)^2 - 9 = (2x+1)^2 - 3^2 = (2x+1+3)(2x+1-3) = (2x+4)(2x-2).

Cada factor sigue teniendo un factor común: $(2x+4)(2x-2) = 2(x+2) \times 2(x-1) = 4(x+2)(x-1)$ .

66.3 Ecuaciones

Método 66.7 (Ecuaciones de primer grado)

Para resolver una ecuación como $5x - 3 = 2x + 9$ :

reúne los términos en $x$ en un miembro y los números en el otro, sumando la misma cantidad a los dos miembros;
reduce cada miembro;
divide los dos miembros entre el coeficiente de $x$ ;
comprueba la solución en la ecuación de partida.

Ejemplo 66.8

\begin{align*} 5x - 3 &= 2x + 9 \\ 5x - 2x &= 9 + 3 && \text{(suma $3 - 2x$ a los dos miembros)}\\ 3x &= 12 \\ x &= 4 && \text{(divide entre 3).} \end{align*}

Comprobación: $5 \times 4 - 3 = 17$ y $2 \times 4 + 9 = 17$ . La solución es $4$ .

Con paréntesis, desarrolla primero: $3(x - 2) = x + 8$ se convierte en $3x - 6 = x + 8$ , luego $2x = 14$ y $x = 7$ .

Teorema 66.9 (Regla del producto nulo)

Un producto es cero si y solo si al menos uno de los factores es cero:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ o } \ B = 0 .

Demostración. Si un factor es cero, el producto lo es claramente. Recíprocamente, si $A B = 0$ con $A \neq 0$ , dividir los dos miembros entre $A$ da $B = 0$ . ∎

Ejemplo 66.10

Resuelve $(x - 3)(2x + 10) = 0$ : o bien $x - 3 = 0$ , o bien $2x + 10 = 0$ , así que las soluciones son $3$ y $-5$ .

Resuelve $x^2 - 49 = 0$ : factoriza primero, $(x-7)(x+7) = 0$ , soluciones $7$ y $-7$ .

Resuelve $x^2 = 3x$ : ¡nunca dividas entre $x$ ! Pasa todo a un lado y factoriza: $x^2 - 3x = x(x - 3) = 0$ , soluciones $0$ y $3$ .

66.4 Inecuaciones

Proposición 66.11 (Reglas de las desigualdades)

Una desigualdad se conserva al sumar el mismo número a los dos miembros y al multiplicar los dos miembros por el mismo número positivo. Multiplicar los dos miembros por un número negativo invierte el signo de desigualdad.

Demostración. Si $a \leq b$ , entonces $b - a \geq 0$ . Sumando $c$ : $(b+c) - (a+c) = b - a \geq 0$ , luego $a + c \leq b + c$ . Multiplicando por $c > 0$ : $bc - ac = (b-a)c \geq 0$ , luego $ac \leq bc$ . Multiplicando por $c < 0$ : $(b-a)c \leq 0$ , luego $ac \geq bc$ : el orden se invierte. ∎

Ejemplo 66.12

Resuelve $7 - 2x < 15$ :

\begin{align*} 7 - 2x &< 15 \\ -2x &< 8 && \text{(resta 7)} \\ x &> -4 && \text{(divide entre $-2$: invierte el signo).} \end{align*}

Las soluciones son todos los números mayores que $-4$ : en una recta numérica, un punto hueco en $-4$ y sombreado hacia la derecha.

Las soluciones de 7 - 2x < 15: todos los x > -4 (punto hueco: el propio -4 no es solución). — Las soluciones de $7 - 2x < 15$ : todos los $x > -4$ (punto hueco: el propio $-4$ no es solución).

66.5 Ejercicios

Ejercicio 66.1 ★

Desarrolla y reduce:

4(3x - 2), \qquad (x + 6)(x + 2), \qquad (2x - 3)(x + 5), \qquad (x - 1)(x - 9).

Solución

Solución de Ejercicio 66.1.

$4(3x - 2) = 12x - 8$ .

$(x+6)(x+2) = x^2 + 2x + 6x + 12 = x^2 + 8x + 12$ .

$(2x-3)(x+5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$ .

$(x-1)(x-9) = x^2 - 9x - x + 9 = x^2 - 10x + 9$ .

Ejercicio 66.2 ★

Desarrolla usando las identidades:

(x + 8)^2, \qquad (3x - 4)^2, \qquad (x + 10)(x - 10), \qquad (5x + 2)(5x - 2).

Solución

Solución de Ejercicio 66.2.

$(x+8)^2 = x^2 + 16x + 64$ .

$(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16$ .

$(x+10)(x-10) = x^2 - 100$ .

$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4$ .

Ejercicio 66.3 ★

Calcula mentalmente, usando una identidad: $101^2$ ; $59^2$ (escribe $59 = 60 - 1$ ); $53 \times 47$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.3.

$101^2 = (100+1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

$59^2 = (60-1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$ .

$53 \times 47 = (50+3)(50-3) = 2500 - 9 = 2491$ .

Ejercicio 66.4 ★

Factoriza:

9x + 12, \qquad x^2 - 64, \qquad x^2 + 14x + 49, \qquad 18x^2 - 6x .

Solución

Solución de Ejercicio 66.4.

$9x + 12 = 3(3x + 4)$ .

$x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ .

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$ .

$18x^2 - 6x = 6x(3x - 1)$ .

Ejercicio 66.5 ★

Resuelve, escribiendo todos los pasos:

4x + 7 = 19, \qquad 6x - 5 = 2x + 11, \qquad 5(x - 3) = 3x + 1 .

Solución

Solución de Ejercicio 66.5.

$4x + 7 = 19$ : $4x = 12$ , luego $x = 3$ .

$6x - 5 = 2x + 11$ : $4x = 16$ , luego $x = 4$ .

$5(x-3) = 3x + 1$ : $5x - 15 = 3x + 1$ , luego $2x = 16$ y $x = 8$ .

Ejercicio 66.6 ★★

Resuelve usando la regla del producto nulo:

(x + 4)(3x - 12) = 0, \qquad x^2 - 121 = 0, \qquad (2x - 1)^2 = 0, \qquad x^2 = 8x .

Solución

Solución de Ejercicio 66.6.

$(x+4)(3x-12) = 0$ : $x = -4$ o $x = 4$ .

$x^2 - 121 = (x-11)(x+11) = 0$ : $x = 11$ o $x = -11$ .

$(2x-1)^2 = 0$ : la única solución $x = \frac12$ .

$x^2 = 8x$ : $x(x - 8) = 0$ , luego $x = 0$ o $x = 8$ .

Ejercicio 66.7 ★★

Factoriza $E = (3x + 2)^2 - 25$ y resuelve después $E = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.7.

Diferencia de cuadrados con $a = 3x + 2$ y $b = 5$ :

E = (3x + 2)^2 - 5^2 = (3x + 2 + 5)(3x + 2 - 5) = (3x + 7)(3x - 3).

Regla del producto nulo: $3x + 7 = 0$ da $x = -\frac73$ , y $3x - 3 = 0$ da $x = 1$ .

Ejercicio 66.8 ★★

Resuelve las inecuaciones y representa las soluciones en una recta numérica:

3x - 4 \geq 8, \qquad 5 - 2x > 1, \qquad 4(x + 1) \leq x - 5 .

Solución

Solución de Ejercicio 66.8.

$3x - 4 \geq 8$ : $3x \geq 12$ , luego $x \geq 4$ (punto relleno en $4$ , sombreado a la derecha).

$5 - 2x > 1$ : $-2x > -4$ ; al dividir entre $-2$ se invierte el signo: $x < 2$ (punto hueco en $2$ , sombreado a la izquierda).

$4(x+1) \leq x - 5$ : $4x + 4 \leq x - 5$ , luego $3x \leq -9$ , luego $x \leq -3$ (punto relleno en $-3$ , sombreado a la izquierda).

Ejercicio 66.9 ★★

Pienso un número, lo multiplico por $3$ , le sumo $7$ y obtengo el mismo resultado que si lo hubiera multiplicado por $5$ y le hubiera restado $9$ . ¿Cuál es mi número? (Plantea una ecuación y resuélvela.)

Solución

Solución de Ejercicio 66.9.

Sea $x$ el número: $3x + 7 = 5x - 9$ . Entonces $16 = 2x$ , luego $x = 8$ . Comprobación: $3 \times 8 + 7 = 31$ y $5 \times 8 - 9 = 31$ .

Ejercicio 66.10 ★★★

Sea $n$ un número entero.

desarrolla $(n + 1)(n - 1)$ y deduce que el producto de los dos vecinos de $n$ siempre es $n^2 - 1$ (por ejemplo, $24 \times 26 = 25^2 - 1 = 624$ );
demuestra que la suma de tres enteros consecutivos siempre es múltiplo de $3$ .

Solución

Solución de Ejercicio 66.10.

1. $(n+1)(n-1) = n^2 - 1$ (tercera identidad). Los vecinos de $n$ son $n - 1$ y $n + 1$ , así que su producto es $n^2 - 1$ : por ejemplo, $24 \times 26 = 625 - 1 = 624$ .

2. Tres enteros consecutivos se pueden escribir $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ . Su suma es

(n-1) + n + (n+1) = 3n ,

múltiplo de $3$ (tres veces el del medio).

66.6 Problema: El álgebra de las cifras

Problema 66.1

Problema de fin de semana — por qué funcionan los criterios de divisibilidad, el truco del 1089 desenmascarado y un cálculo mental que parece brujería

En primaria te enseñaron reglas (un número es divisible entre $9$ cuando lo es su suma de cifras); los magos hacen trucos (todo el mundo acaba en $1089$ ); los mercados conocen atajos ( $35^2 = 1225$ , al instante). Todo ello es el mismo secreto: un número de cifras $a$ , $b$ , $c$ es la expresión $100a + 10b + c$ , y el álgebra de este capítulo (Teorema 66.3, desarrollar, factorizar) sabe desmontarlo. Al final de este problema habrás demostrado las reglas, desenmascarado el truco y aprendido la brujería.

Parte I — Las cifras al microscopio.

un número de dos cifras con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b$ es $10a + b$ . Desarrolla y factoriza la diferencia entre el número y su volteado, $(10a + b) - (10b + a)$ , y enuncia el descubrimiento. Compruébalo con $72 - 27$ ;
demuestra el criterio del nueve para los números de tres cifras: verifica la identidad

$100a + 10b + c = 9\,(11a + b) + (a + b + c),$

y explica por qué eso muestra que un número y su suma de cifras dejan el mismo resto en la división entre $9$ — así que uno es divisible entre $9$ exactamente cuando lo es el otro (Proposición 64.3, ahora demostrado);
deduce el criterio del tres de la misma identidad, en una frase;
«la prueba del nueve», la comprobación de los contables: para verificar $47 \times 86 = 4\,042$ , sustituye cada número por la suma de cifras de su suma de cifras: $47 \to 11 \to 2$ , $86 \to 14 \to 5$ , y $2 \times 5 = 10 \to 1$ ; después $4\,042 \to 10 \to 1$ : coherente. Explica por qué un producto correcto tiene que pasar la prueba (escribe $47 = 9k + 2$ , $86 = 9l + 5$ y desarrolla) y encuentra un resultado erróneo que la prueba no detecte (¿por qué son invisibles para ella dos cifras intercambiadas?);
demuestra el criterio del once para los números de cuatro cifras: verifica

$1000a + 100b + 10c + d = 11\,(91a + 9b + c) + (- a + b - c + d),$

y úsalo para decidir si $2\,926$ es divisible entre $11$ .

Parte II — El truco del 1089. El truco: piensa un número de tres cifras cuya primera y última cifras difieran al menos en $2$ ; voltéalo; resta el menor del mayor; voltea el resultado; suma los dos últimos números. El mago anuncia: 1089.

haz el truco con $742$ y con un número que elijas tú;
sea el número de cifras $a$ , $b$ , $c$ con $a > c$ . Factoriza la primera resta, $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)$ , y enumera todos los valores que puede tomar cuando $a - c$ va de $2$ a $9$ ;
cada uno de esos múltiplos de $99$ tiene un patrón de cifras llamativo. Escribiendo $m = a - c$ , verifica la identidad

$99m = 100\,(m - 1) + 90 + (10 - m),$

y lee las tres cifras de $99m$ ;
suma $99m$ con su propio volteado, usando las cifras de la pregunta 8, y demuestra que el total es $1089$ — sea cual sea $m$ . El truco ha muerto; viva el álgebra;
¿por qué exigía el mago que la primera y la última cifra difirieran al menos en $2$ ? Examina los casos $a = c$ y $a - c = 1$ (en el que la resta da $99$ , que hay que escribir $099$ para que el volteo funcione) y enuncia la letra pequeña que mantiene honesto el truco.

Parte III — Brujería de uso diario.

el truco del cumpleaños: «multiplica tu mes de nacimiento por $5$ , súmale $7$ , dóblalo, súmale tu día de nacimiento, réstale $14$ ». Demuestra que el resultado siempre es $10m + d$ — mes y día, legibles de un vistazo. (Pruébalo con alguien.);
rediseñas el truco así: «multiplica el mes por $5$ , súmale $9$ , dóblalo, súmale el día». ¿Qué número tiene que restar ahora el espectador al final para obtener la misma lectura mes–día?;
el truco de la cifra que falta: el espectador elige un número cualquiera, le resta su suma de cifras (la pregunta 2 dice que el resultado es siempre múltiplo de $9$ — explica por qué para un número de tres cifras), después tacha una cifra no nula y te lee las cifras restantes. Explica cómo recuperas la cifra tachada y por qué había que excluir el $0$ ;
brujería de mercado: demuestra la identidad $(10t + 5)^2 = 100\,t(t+1) + 25$ , enuncia la regla para elevar al cuadrado cualquier número terminado en $5$ y calcula $45^2$ , $85^2$ y $105^2$ de cabeza;
final, ampliando el Ejercicio 66.10: demuestra que la suma de cinco enteros consecutivos siempre es múltiplo de $5$ , pero que la suma de cuatro enteros consecutivos nunca es múltiplo de $4$ . (Dos cálculos cortos — y una moraleja sobre lo que el álgebra hace con las palabras «siempre» y «nunca».)

Solución

Solución de Problema 66.1.

1. $(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$ : la diferencia entre un número de dos cifras y su volteado siempre es múltiplo de $9$ . Comprobación: $72 - 27 = 45 = 9 \times 5$ , y $a - b = 7 - 2 = 5$ .

2. Desarrollando el miembro derecho: $9(11a + b) + a + b + c = 99a + 9b + a + b + c = 100a + 10b + c$ . Así que el número es igual a un múltiplo de $9$ más su suma de cifras: al dividir entre $9$ , los dos dejan el mismo resto. En particular, resto $0$ para uno significa resto $0$ para el otro: el criterio del nueve, demostrado.

3. $9(11a + b)$ también es múltiplo de $3$ , así que la misma identidad muestra que el número y su suma de cifras dejan el mismo resto en la división entre $3$ : el criterio del tres.

4. Escribe $47 = 9k + 2$ y $86 = 9l + 5$ . Entonces

47 \times 86 = (9k + 2)(9l + 5) = 9\,(9kl + 5k + 2l) + 10 :

el producto deja el mismo resto que $2 \times 5 = 10$ , es decir $1$ . Por tanto, un resultado correcto también tiene que dejar resto $1$ — y $4\,042$ lo deja. Pero la prueba solo ve restos: $4\,042$ y $4\,402$ (cifras intercambiadas) pasan igual, así que pasarla no demuestra nada — lo que condena es fallarla.

5. Desarrollando: $11(91a + 9b + c) - a + b - c + d = 1001a + 99b + 11c - a + b - c + d = 1000a + 100b + 10c + d$ . Así que el número es divisible entre $11$ exactamente cuando lo es su suma alterna $-a + b - c + d$ . Para $2\,926$ : $-2 + 9 - 2 + 6 = 11$ , divisible entre $11$ : sí, $2\,926 = 11 \times 266$ .

6. $742 - 247 = 495$ ; $495 + 594 = 1\,089$ . Cualquier ejemplo válido aterriza también en $1\,089$ .

7. $(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)$ . Para $a - c = 2, 3, \dots, 9$ :

198,\ 297,\ 396,\ 495,\ 594,\ 693,\ 792,\ 891 .

8. $100(m - 1) + 90 + (10 - m) = 100m - 100 + 90 + 10 - m = 99m$ . Así que las tres cifras de $99m$ son $m - 1$ , después $9$ y después $10 - m$ (comprueba con $495$ : $m = 5$ da $4$ , $9$ , $5$ ).

9. El volteado de $99m$ tiene cifras $10 - m$ , $9$ , $m - 1$ , así que vale $100(10 - m) + 90 + (m - 1)$ . Sumando:

100\,(m - 1 + 10 - m) + 180 + (10 - m + m - 1) = 100 \times 9 + 180 + 9 = 1\,089 ,

independientemente de $m$ . Sea cual sea el número de partida, el mago está a salvo.

10. Si $a = c$ , la resta da $0$ y el truco muere de inmediato. Si $a - c = 1$ , da $99$ , que hay que tratar como la cadena de tres cifras $099$ (volteado $990$ , $99 + 990 = 1\,089$ : ¡salvado!). La letra pequeña: las diferencias de $1$ solo funcionan si el espectador escribe el resultado de la resta con tres cifras, cero inicial incluido — exigir una separación de al menos $2$ evita la discusión.

11. $2(5m + 7) + d - 14 = 10m + 14 + d - 14 = 10m + d$ : las decenas (y las centenas, para octubre–diciembre) dan el mes, y las unidades (y las decenas) el día.

12. $2(5m + 9) + d = 10m + 18 + d$ : hay que restar $18$ .

13. Por la pregunta 2, $n - (\text{suma de cifras de } n) = 9(11a + b)$ para un $n$ de tres cifras: siempre múltiplo de $9$ (identidades parecidas valen para cualquier longitud). Un múltiplo de $9$ tiene suma de cifras múltiplo de $9$ (otra vez la pregunta 2), así que las cifras que el espectador lee hay que completarlas hasta el siguiente múltiplo de $9$ : la cifra que falta es ese complemento. Ambigüedad: si las cifras leídas ya suman un múltiplo de $9$ , la cifra tachada podría ser $0$ o $9$ — excluir el $0$ quita la duda.

14. $(10t + 5)^2 = 100t^2 + 100t + 25 = 100\,t(t + 1) + 25$ : escribe $t(t+1)$ y pega $25$ detrás. $45^2$ : $4 \times 5 = 20$ , así que $2\,025$ . $85^2$ : $8 \times 9 = 72$ , así que $7\,225$ . $105^2$ : $10 \times 11 = 110$ , así que $11\,025$ .

15. Cinco consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)$ : múltiplo de $5$ , siempre. Cuatro consecutivos: $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4(n + 1) + 2$ : resto $2$ en la división entre $4$ , nunca múltiplo. El álgebra convierte «parece funcionar» en siempre, y «no he encontrado ningún ejemplo» en nunca — dos palabras a las que ninguna cantidad de pruebas puede llegar (Método 48.8).

Términos definidos en este capítulo

Desarrollar

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