Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

21Los números grandes

Los millares eran el techo del Capítulo 14; ahora el techo sube hasta los millones. El truco que hace legibles los números enormes es partir sus cifras en grupos de tres — las clases.

21.1 Clases de tres cifras

Definición 21.1 (Clases)

Empezando por la derecha, las cifras de un número se agrupan en clases de tres: la clase de las unidades, la clase de los millares y la clase de los millones. Cada clase tiene sus propias unidades, decenas y centenas. Por ejemplo,

6\,309\,452 = 6 \text{ millones} + 309 \text{ millares} + 452 \text{ unidades},

que se lee «seis millones trescientos nueve mil cuatrocientos cincuenta y dos».

La tabla de clases del 6\,309\,452 (c = centenas, d = decenas, u = unidades de cada clase). Leer un número grande consiste en leer cada clase seguida de su nombre. — La tabla de clases del $6\,309\,452$ (c $=$ centenas, d $=$ decenas, u $=$ unidades de cada clase). Leer un número grande consiste en leer cada clase seguida de su nombre.

Ejemplo 21.2 (Escribir con las clases)

«Doce millones cuarenta mil quinientos» lleva $12$ en la clase de los millones, $040$ en la de los millares y $500$ en la de las unidades:

12\,040\,500 .

Los ceros del $040$ son imprescindibles: cada clase (salvo la de más a la izquierda) debe mostrar sus tres cifras.

Ejemplo 21.3 (¿Cuántos millares?)

El número $6\,309\,452$ contiene $6\,309$ millares (todo lo que hay a la izquierda de la clase de las unidades): $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . Preguntar «cuántos millares» no es preguntar por una cifra, sino por todo un principio del número.

21.2 Comparar y redondear

Método 21.4 (Comparar números grandes)

Exactamente como en el Método 14.4, con las clases como atajo: gana quien tiene más cifras; con la misma cantidad, compara desde la izquierda — clase a clase y luego cifra a cifra.

Ejemplo 21.5

$2\,145\,890$ y $2\,148\,540$ : millones iguales ( $2$ ) y, en la clase de los millares, $145 < 148$ , así que

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Definición 21.6 (Redondear)

Redondear un número al millar más cercano (o a la decena, la centena, el millón …) es sustituirlo por el múltiplo de $1\,000$ más próximo. Si el número queda justo a mitad de camino, se redondea hacia arriba. En la práctica: mira la cifra situada justo por debajo del lugar de redondeo — $5$ o más sube, $4$ o menos baja.

Ejemplo 21.7

$37\,614$ redondeado al millar más cercano: la cifra de las centenas es $6$ , así que redondeamos hacia arriba: $38\,000$ . Redondeado a la centena más cercana: $37\,600$ . Redondeado a la decena de millar más cercana: $40\,000$ .

Redondear 37\,614 al millar más cercano: queda pasada la marca central 37\,500, así que sube a 38\,000. — Redondear $37\,614$ al millar más cercano: queda pasada la marca central $37\,500$ , así que sube a $38\,000$ .

Ejemplo 21.8 (Órdenes de magnitud en el mundo)

Así es como se usan de verdad los números grandes: un país de $67\,842\,591$ habitantes tiene «unos $68$ millones»; una ciudad de $214\,376$ personas tiene «unos $200\,000$ ». De todos modos, la cifra exacta cambia cada día — la redondeada es la que lleva la información útil.

21.3 Ejercicios

Ejercicio 21.1 ★

Escribe con cifras, separando las clases: «tres millones quinientos veinte mil»; «siete millones ocho»; «doscientos cuarenta mil sesenta».

Solución

Solución de Ejercicio 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Ejercicio 21.2 ★

Escribe con letras: $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.2.

$5\,204\,300$ : cinco millones doscientos cuatro mil trescientos.

$10\,050\,000$ : diez millones cincuenta mil.

$999\,999$ : novecientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve.

Ejercicio 21.3 ★

En $8\,472\,156$ : ¿qué cifra ocupa las decenas de millar? ¿Y las centenas de la clase de los millones? ¿Cuántos millares contiene el número (véase el Ejemplo 21.3)?

Solución

Solución de Ejercicio 21.3.

Decenas de millar: $7$ . Centenas de la clase de los millones: en un número de siete cifras no hay cifra de las centenas de millón — la clase de los millones de $8\,472\,156$ solo contiene la cifra $8$ (unidades de millón). Millares contenidos: $8\,472$ (porque $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Ejercicio 21.4 ★

Copia y completa con $<$ o $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Solución

Solución de Ejercicio 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (clase de los millares: $456 < 465$ ); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Ejercicio 21.5 ★

Ordena de menor a mayor: $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Ejercicio 21.6 ★

Redondea $63\,782$ : a la decena más cercana; a la centena; al millar; a la decena de millar.

Solución

Solución de Ejercicio 21.6.

A la decena: $63\,780$ . A la centena: $63\,800$ . Al millar: $64\,000$ . A la decena de millar: $60\,000$ .

Ejercicio 21.7 ★

Redondea al millón más cercano: $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (los $499\,999$ no llegan a medio millón); $10\,000\,000$ (justo a mitad de camino se redondea hacia arriba).

Ejercicio 21.8 ★

Cuenta a pasos: tres pasos de $1\,000$ desde $998\,500$ ; dos pasos de $100\,000$ desde $950\,000$ . ¿Qué les ocurre a las clases al cruzar el millón?

Solución

Solución de Ejercicio 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : el segundo paso cruza el millón y se enciende una clase nueva a la izquierda.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : el mismo cruce en el primer paso.

Ejercicio 21.9 ★

Un estadio tiene $81\,338$ localidades. Un periódico escribe «más de $80\,000$ aficionados»; una radio dice «unos $81\,000$ ». ¿Tienen razón los dos? ¿A qué lugar ha redondeado cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 21.9.

Los dos tienen razón. «Más de $80\,000$ » redondea hacia abajo a la decena de millar ( $81\,338 \to 80\,000$ ); «unos $81\,000$ » redondea al millar más cercano ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Ejercicio 21.10 ★★

Usando cada una de las cifras del $1$ al $7$ exactamente una vez, escribe el mayor número posible de siete cifras, el menor y el más cercano a $4\,000\,000$ .

Solución

Solución de Ejercicio 21.10.

El mayor: $7\,654\,321$ . El menor: $1\,234\,567$ . El más cercano a $4\,000\,000$ : justo por debajo, $3\,765\,421$ , queda a $234\,579$ , mientras que justo por encima, $4\,123\,567$ , queda solo a $123\,567$ : el más cercano es $4\,123\,567$ .

Ejercicio 21.11 ★★

¿Cuál es el mayor número entero que redondea a $50\,000$ al redondear al millar más cercano? ¿Y el menor?

Solución

Solución de Ejercicio 21.11.

Al redondear al millar más cercano se obtiene $50\,000$ para todos los números desde $49\,500$ (la mitad justa sube) hasta $50\,499$ . El mayor: $50\,499$ ; el menor: $49\,500$ .