Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

26Rectas y polígonos

Con una regla, una escuadra y un compás, la geometría se convierte en un oficio. Este capítulo enseña las dos posiciones especiales de las rectas — perpendiculares y paralelas — desde las herramientas, y recorre la familia de los polígonos. (La teoría de estas nociones llega en el Capítulo 40.)

26.1 Perpendiculares y paralelas

Definición 26.1 (Perpendiculares, paralelas)

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto (se comprueba con la escuadra y se marca con un cuadradito). Dos rectas son paralelas cuando llevan la misma dirección y no se cortan nunca — como los dos raíles de una vía, siempre a la misma distancia una de otra.

Método 26.2 (Dibujar con la escuadra)

Perpendicular a una recta $d$ que pase por un punto $P$ : apoya un borde del ángulo recto sobre $d$ , desliza hasta que el otro borde alcance $P$ y traza.

Paralela a $d$ que pase por $P$ : apoya un borde de la escuadra sobre $d$ , aprieta la regla contra otro borde a modo de raíl, desliza la escuadra a lo largo de la regla hasta $P$ y traza.

Las dos construcciones. Las rectas paralelas mantienen una separación constante: medirla en dos sitios es una buena comprobación.

Ejemplo 26.3 (Reconocerlas en las figuras)

En un rectángulo, cada lado es perpendicular a sus dos vecinos y paralelo al lado opuesto. El papel cuadriculado es una red ya hecha de paralelas y perpendiculares — por eso resulta tan cómodo dibujar en él.

26.2 Los polígonos

Definición 26.4 (Polígono)

Un polígono es una figura cerrada cuyo borde está hecho de segmentos rectos, sus lados; los puntos de las esquinas son los vértices. Los polígonos se nombran por su número de lados: triángulo ( $3$ ), cuadrilátero ( $4$ ), pentágono ( $5$ ), hexágono ( $6$ ), octógono ( $8$ ).

La familia de los polígonos (el pentágono y el hexágono dibujados aquí son regulares: lados iguales y ángulos iguales). Un círculo no es un polígono: su borde no está hecho de segmentos. — La familia de los polígonos (el pentágono y el hexágono dibujados aquí son *regulares*: lados iguales y ángulos iguales). Un círculo no es un polígono: su borde no está hecho de segmentos.

Ejemplo 26.5 (Describir un polígono)

Un juego muy útil: describe una figura con tanta precisión que un compañero pueda volver a dibujarla sin verla. «Un cuadrilátero $ABCD$ con $AB = 5$ cm, el ángulo en $A$ recto, $AD = 3$ cm …» — el vocabulario es lo que hace que el mensaje funcione.

26.3 La circunferencia y el compás

Definición 26.6 (Circunferencia)

La circunferencia de centro $O$ y radio $3$ cm es el conjunto de todos los puntos que están exactamente a $3$ cm de $O$ . El compás la traza: punta en $O$ , abertura $3$ cm y giro. Un diámetro es un segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia; mide el doble que el radio.

Ejemplo 26.7 (El compás como guardián de distancias)

El compás hace algo más que trazar circunferencias: transporta distancias. Para marcar todos los puntos que están a $4$ cm de un punto $A$ , traza la circunferencia de centro $A$ y radio $4$ cm; para comparar dos segmentos sin regla, abre el compás sobre uno y pruébalo en el otro.

Método 26.8 (Reproducir una figura en la cuadrícula)

elige un vértice de partida y su posición en la cuadrícula vacía;
recorre la figura de vértice en vértice contando los pasos de la cuadrícula (« $3$ a la derecha, $2$ arriba»);
une los vértices en orden y compara con el modelo: mismas longitudes, mismas direcciones.

26.4 Ejercicios

Ejercicio 26.1 ★

Traza una recta $d$ y un punto $P$ que no esté en ella. Construye la perpendicular a $d$ por $P$ y después la paralela a $d$ por $P$ (con el método de la regla-raíl). Marca el ángulo recto.

Solución

Solución de Ejercicio 26.1.

Construcciones con el Método 26.2; el cuadradito marca el ángulo recto entre $d$ y la perpendicular.

Ejercicio 26.2 ★

Fíjate en las letras mayúsculas E, H, N, T y Z. En cada una, busca un par de trazos paralelos y un par de trazos perpendiculares cuando los haya.

Solución

Solución de Ejercicio 26.2.

E: los tres trazos horizontales son paralelos y cada uno es perpendicular al vertical. H: los dos trazos verticales son paralelos y el travesaño es perpendicular a los dos. N: los dos trazos verticales son paralelos; la diagonal no es ninguna de las dos cosas. T: los dos trazos son perpendiculares. Z: los trazos de arriba y de abajo son paralelos; la diagonal no es ninguna de las dos cosas.

Ejercicio 26.3 ★

Nombra cada polígono: $6$ lados; $4$ lados; $3$ lados; $8$ lados; $5$ lados. ¿Cuántos vértices tiene cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 26.3.

Hexágono; cuadrilátero; triángulo; octógono; pentágono. Un polígono tiene tantos vértices como lados: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Ejercicio 26.4 ★

Dibuja un pentágono cualquiera (no necesariamente regular) y nombra sus vértices $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ . ¿Cuántos lados tiene? Traza sus diagonales desde $A$ (segmentos que unen $A$ con los vértices no vecinos): ¿cuántas hay?

Solución

Solución de Ejercicio 26.4.

Un pentágono tiene $5$ lados. Desde $A$ , los vértices no vecinos son $C$ y $D$ : dos diagonales, $[AC]$ y $[AD]$ .

Ejercicio 26.5 ★

Traza una circunferencia de centro $O$ y radio $4$ cm; un diámetro $[AB]$ ; y un punto $M$ de la circunferencia que no esté en $[AB]$ . Di las longitudes $OA$ , $OM$ y $AB$ sin medir.

Solución

Solución de Ejercicio 26.5.

$OA = 4$ cm (el radio); $OM = 4$ cm (como todo punto de la circunferencia); $AB = 8$ cm (un diámetro mide el doble que el radio).

Ejercicio 26.6 ★

Con el compás como guardián de distancias (Ejemplo 26.7), compara los lados de un triángulo dibujado por un compañero y decide si tiene dos lados iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 26.6.

Abre el compás sobre un lado y lleva esa abertura a los otros dos: si la abertura encaja exactamente en un segundo lado, esos dos lados son iguales.

Ejercicio 26.7 ★

En papel cuadriculado, reproduce este recorrido y ciérralo en un polígono: sal de un punto $A$ ; $4$ a la derecha; $2$ arriba; $3$ a la izquierda; $2$ arriba; y vuelve a $A$ en línea recta. ¿Cómo se llama el polígono que obtienes (cuenta sus lados)?

Solución

Solución de Ejercicio 26.7.

El recorrido se cierra en un polígono de $5$ lados — un pentágono (¡no regular!).

Ejercicio 26.8 ★

¿Verdadero o falso? Explícalo con un dibujo. «Dos rectas perpendiculares siempre se cortan.» «Dos rectas paralelas no se cortan nunca.» «Una recta puede ser paralela a una recta y perpendicular a otra.»

Solución

Solución de Ejercicio 26.8.

«Dos rectas perpendiculares siempre se cortan»: verdadero — se cortan justo en el ángulo recto.

«Dos rectas paralelas no se cortan nunca»: verdadero — esa es su definición.

«Una recta puede ser paralela a una recta y perpendicular a otra»: verdadero — en papel cuadriculado, una recta horizontal es paralela a todas las horizontales y perpendicular a todas las verticales.

Ejercicio 26.9 ★★

Traza una recta $d$ , después una recta $e$ perpendicular a $d$ y después una recta $f$ perpendicular a $e$ . Mira $d$ y $f$ : ¿qué observas? (Esta observación se convierte en un teorema en el Capítulo 40.)

Solución

Solución de Ejercicio 26.9.

Las rectas $d$ y $f$ parecen paralelas — y siempre lo son: dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas (la Proposición 40.3 lo hace oficial).

Ejercicio 26.10 ★★

Describe con palabras la figura siguiente a un compañero, sin enseñársela: un cuadrado de lado $4$ cm con una circunferencia de radio $2$ cm centrada en el centro del cuadrado (tangente a los cuatro lados). Escribe la descripción como instrucciones numeradas.

Solución

Solución de Ejercicio 26.10.

Un programa correcto: «1. Traza un cuadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Marca el punto $O$ donde se cortan sus diagonales. 3. Traza la circunferencia de centro $O$ y radio $2$ cm.» La circunferencia toca cada lado en su punto medio.

Ejercicio 26.11 ★★

¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero? ¿Y un pentágono? ¿Y un hexágono? Dibuja los tres casos, cuenta con cuidado y describe el patrón que observas.

Solución

Solución de Ejercicio 26.11.

Cuadrilátero: $2$ diagonales. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ . Cada vértice nuevo añade cada vez más diagonales — los recuentos crecen cada vez más deprisa ( $+3$ , luego $+4$ , …).