Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

24Las primeras fracciones

Media manzana, un cuarto de hora, tres cuartos de la clase: las fracciones nombran los trozos de las cosas. Este capítulo presenta la escritura $\frac{a}{b}$ , lee fracciones en dibujos y en la recta numérica y compara las más sencillas. (Las fracciones crecen en el Capítulo 39.)

24.1 Nombrar los trozos

Definición 24.1 (Fracción)

Corta un todo en partes iguales y toma algunas — eso es una fracción:

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: cuántas partes se toman (el \emph{numerador});}\\ 4 \text{: en cuántas partes iguales se corta el todo (el \emph{denominador}).} \end{array}

$\frac12$ es un medio, $\frac13$ un tercio, $\frac14$ un cuarto y $\frac{1}{10}$ un décimo.

Leer fracciones en dibujos. Las partes tienen que ser iguales: ¡tres trozos desiguales no son tercios! — Leer fracciones en dibujos. Las partes tienen que ser *iguales*: ¡tres trozos desiguales no son tercios!

Ejemplo 24.2 (Fracciones de una colección)

$\frac13$ de $12$ canicas: reparte las $12$ canicas en $3$ grupos iguales de $4$ ; un grupo es $\frac13$ , así que $\frac13$ de $12$ es $4$ — y $\frac23$ de $12$ son dos grupos, $8$ .

24.2 Las fracciones en la recta numérica

Método 24.3 (Situar $\frac{a}{b}$ )

Corta cada unidad de la recta en $b$ pasos iguales; desde $0$ , avanza $a$ pasos. Si $a$ es mayor que $b$ , el recorrido pasa de $1$ : ¡las fracciones pueden ser mayores que un todo!

La recta cortada en cuartos: 2/4 cae en el mismo punto que 1/2; 5/4 está un cuarto pasado el 1; 11/4 es 2 y 3/4. — La recta cortada en cuartos: $\frac24$ cae en el mismo punto que $\frac12$ ; $\frac54$ está un cuarto pasado el $1$ ; $\frac{11}{4}$ es $2$ y $\frac34$ .

Ejemplo 24.4 (Números enteros escondidos en fracciones)

$\frac44 = 1$ (cuatro cuartos hacen el todo); $\frac82 = 4$ ; $\frac{12}{3} = 4$ . Y $\frac74$ es $1 + \frac34$ : un todo y tres cuartos más.

24.3 Comparar y sumar fracciones sencillas

Proposición 24.5 (Mismo denominador)

Con el mismo denominador, los trozos tienen el mismo tamaño — así que basta con contarlos:

\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

Comparar con un todo también es fácil: $\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8}$ (menos y luego más que $8$ octavos).

Con un dibujo. Si sombreas $3$ octavos de una barra y después $4$ octavos más de la misma barra, quedan sombreados $7$ octavos en total. ∎

Ejemplo 24.6 (Denominadores distintos, mismo punto)

En la recta numérica, $\frac12$ , $\frac24$ y $\frac{5}{10}$ caen todas en el mismo punto: son tres nombres del mismo número. Cortar cada mitad en dos da cuartos; en cinco, décimos. (La regla general está en el Capítulo 39.)

Ejemplo 24.7 (Cuartos de hora)

Una hora tiene $60$ minutos, así que un cuarto de hora son $60 \div 4 = 15$ minutos y tres cuartos de hora son $45$ minutos. «Las dos y media» es $\frac12$ hora después de las dos en punto.

24.4 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Escribe la fracción representada: una pizza cortada en $6$ a la que le quedan $5$ porciones; una tableta de chocolate de $8$ onzas con $3$ comidas (fracción comida); una bandera dividida en $3$ franjas verticales iguales con $1$ coloreada.

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

Pizza: quedan $\frac56$ . Chocolate: se han comido $\frac38$ . Bandera: $\frac13$ coloreada.

Ejercicio 24.2 ★

Dibuja una barra cortada en $5$ partes iguales y sombrea $\frac35$ . Después sombrea $\frac{2}{5}$ de otra barra igual. ¿Qué sombreado es mayor?

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$\frac35$ sombrea tres partes y $\frac25$ solo dos: el sombreado mayor es el de $\frac35$ .

Ejercicio 24.3 ★

Calcula: $\frac12$ de $18$ ; $\frac14$ de $20$ ; $\frac13$ de $21$ ; $\frac34$ de $20$ (tres grupos de un cuarto).

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

La mitad de $18$ : $9$ . El cuarto de $20$ : $5$ . El tercio de $21$ : $7$ . $\frac34$ de $20$ : tres cuartos, $3 \times 5 = 15$ .

Ejercicio 24.4 ★

Sitúa en una recta numérica cortada en tercios: $\frac13$ ; $\frac33$ ; $\frac53$ ; $2$ . ¿Qué fracción cae exactamente en $2$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$\frac13$ : un paso; $\frac33$ : en el $1$ ; $\frac53$ : dos pasos pasado el $1$ . La fracción que cae exactamente en $2$ es $\frac63$ .

Ejercicio 24.5 ★

Copia y completa con $<$ , $>$ o $=$ :

\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

$\frac38 < \frac68$ ; $\frac55 = 1$ ; $\frac74 > 1$ ; $\frac12 = \frac24$ .

Ejercicio 24.6 ★

Calcula: $\frac26 + \frac36$ ; $\frac58 - \frac28$ ; $\frac14 + \frac24$ ; $1 - \frac13$ (¿cuántos tercios hacen $1$ ?).

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

$\frac26 + \frac36 = \frac56$ ; $\frac58 - \frac28 = \frac38$ ; $\frac14 + \frac24 = \frac34$ ; $1 = \frac33$ , así que $1 - \frac13 = \frac23$ .

Ejercicio 24.7 ★

Escribe como un número entero más una fracción menor que $1$ : $\frac54$ ; $\frac73$ ; $\frac{9}{2}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

$\frac54 = 1 + \frac14$ ; $\frac73 = 2 + \frac13$ ; $\frac92 = 4 + \frac12$ .

Ejercicio 24.8 ★

¿Cuántos minutos son: media hora; un cuarto de hora; tres cuartos de hora; $\frac13$ de hora?

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

Media hora: $30$ min. Un cuarto: $15$ min. Tres cuartos: $45$ min. Un tercio: $20$ min.

Ejercicio 24.9 ★

En una clase de $24$ alumnos, $\frac14$ llevan gafas. ¿Cuántos alumnos llevan gafas? ¿Cuántos no?

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

$\frac14$ de $24$ son $6$ alumnos con gafas; $24 - 6 = 18$ sin ellas.

Ejercicio 24.10 ★★

Nina se comió $\frac38$ de una pizza y Samuel, $\frac48$ de la misma pizza. ¿Qué fracción se comieron entre los dos? ¿Qué fracción queda? ¿Quién comió más?

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

Entre los dos: $\frac38 + \frac48 = \frac78$ . Queda: $\frac18$ . Comió más Samuel ( $4$ octavos frente a $3$ ).

Ejercicio 24.11 ★★

¿Verdadero o falso? Justifícalo con un dibujo o un ejemplo: «es posible que $\frac12$ de una pizza pequeña sea menos que $\frac14$ de una pizza muy grande». ¿Qué hay que saber siempre antes de comparar dos fracciones de algo?

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

Es posible, en efecto: la mitad de una pizza pequeña puede ser menos comida que un cuarto de una gigante. Las fracciones comparan partes de un mismo todo; antes de comparar $\frac12$ y $\frac14$ «de algo», hay que saber que esos dos algos son iguales.