Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

42La simetría axial

Dobla una hoja de papel por una recta: cada punto cae sobre otro punto, su imagen reflejada. Ese doblez es la simetría axial (o reflexión), la primera transformación geométrica del libro — la segunda, la simetría central, llega en el Capítulo 52.

42.1 Reflexiones

Definición 42.1 (Punto simétrico)

Sea $d$ una recta. El simétrico de un punto $M$ respecto de $d$ es el punto $M'$ tal que $d$ es la mediatriz de $[MM']$ : el segmento $[MM']$ es perpendicular a $d$ y $d$ lo corta en su punto medio. Un punto que está sobre $d$ es su propio simétrico.

Reflejar respecto de la recta d: el eje es perpendicular a [MM'] y pasa por su punto medio (trazos iguales). Un punto P situado sobre el eje no se mueve. — Reflejar respecto de la recta $d$ : el eje es perpendicular a $[MM']$ y pasa por su punto medio (trazos iguales). Un punto $P$ situado sobre el eje no se mueve.

Método 42.2 (Construir el punto simétrico)

Para construir el simétrico $M'$ de $M$ respecto de la recta $d$ :

traza la perpendicular a $d$ por $M$ (con la escuadra); llama $H$ al punto donde corta a $d$ ;
mide $MH$ con el compás o con la regla;
coloca $M'$ sobre esa misma perpendicular, al otro lado de $d$ , con $HM' = MH$ .

En papel cuadriculado es más rápido: cuenta las casillas de $M$ al eje y cuenta las mismas al otro lado.

Ejemplo 42.3 (En la cuadrícula)

Si el eje es una línea vertical de la cuadrícula y $M$ está $3$ casillas a su izquierda, entonces $M'$ está $3$ casillas a su derecha, en la misma fila. Con un eje diagonal, el recuento se hace por diagonales — siempre perpendiculares al eje.

Una figura y su reflexión respecto del eje vertical: cada vértice se refleja casilla a casilla y se intercambian izquierda y derecha.

Proposición 42.4 (Qué conserva una reflexión)

El simétrico de una figura respecto de una recta es una figura de la misma forma y del mismo tamaño: se conservan longitudes, ángulos, perímetros y áreas. El simétrico de un segmento es un segmento; el de una circunferencia, una circunferencia del mismo radio; el de una recta, una recta.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 42.5

Una cosa no se conserva: la orientación. Una «b» reflejada se convierte en una «d» — escritura en espejo. Si al calcar tu figura y darle la vuelta al papel de calco se reproduce la imagen, la reflexión es correcta.

42.2 Ejes de simetría de una figura

Definición 42.6 (Eje de simetría)

Una recta $d$ es un eje de simetría de una figura cuando la reflexión respecto de $d$ envía la figura exactamente sobre sí misma — doblar por $d$ hace que las dos mitades encajen.

Ejes de simetría de figuras conocidas. Cuidado con el rectángulo: sus diagonales no son ejes de simetría (dobla por una diagonal — las mitades no encajan salvo que sea un cuadrado).

Ejemplo 42.7

Recuento de ejes de simetría:

triángulo isósceles: $1$ (por el vértice superior y el punto medio de la base); triángulo equilátero: $3$ ;
rectángulo: $2$ (las dos «rectas medias», no las diagonales); rombo: $2$ (¡sus diagonales!); cuadrado: $4$ ;
circunferencia: toda recta que pase por el centro — infinitos.

Ejemplo 42.8 (La simetría demuestra igualdades)

¿Por qué son iguales los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles? Dobla el triángulo por su eje de simetría: la mitad izquierda cae exactamente sobre la mitad derecha, así que el ángulo izquierdo de la base cae sobre el derecho — tienen que medir lo mismo (Proposición 42.4: las reflexiones conservan los ángulos).

42.3 La mediatriz

Definición 42.9 (Mediatriz)

La mediatriz de un segmento $[AB]$ es la recta perpendicular a $[AB]$ que pasa por su punto medio — es el eje de simetría que intercambia $A$ y $B$ .

Proposición 42.10 (Equidistancia)

Un punto $M$ está en la mediatriz de $[AB]$ exactamente cuando está a la misma distancia de $A$ y de $B$ : $MA = MB$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 42.11 (Construcción con compás)

Para trazar la mediatriz de $[AB]$ sin medir:

abre el compás más de la mitad de $AB$ ;
traza dos arcos con centro en $A$ , por encima y por debajo del segmento;
con la misma abertura, traza dos arcos con centro en $B$ ;
une los dos puntos de corte: esa recta es la mediatriz (cada punto de corte equidista de $A$ y de $B$ ).

42.4 Ejercicios

Ejercicio 42.1 ★

Copia en papel cuadriculado: un eje vertical $d$ , un punto $A$ dos casillas a su izquierda y un punto $B$ cinco casillas a su izquierda y una casilla más arriba. Construye sus puntos simétricos $A'$ y $B'$ respecto de $d$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.1.

$A'$ está dos casillas a la derecha de $d$ , en la misma fila que $A$ ; $B'$ está cinco casillas a la derecha y una casilla más arriba — posiciones especulares.

Ejercicio 42.2 ★

Traza una recta $d$ y un punto $M$ a $3$ cm de $d$ (no en papel cuadriculado). Construye el simétrico $M'$ de $M$ respecto de $d$ con escuadra y regla, siguiendo el Método 42.2. ¿A qué distancia están $M$ y $M'$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 42.2.

Perpendicular a $d$ por $M$ , con pie $H$ ; después $M'$ al otro lado con $HM' = MH = 3$ cm. La distancia $MM'$ es $3 + 3 = 6$ cm.

Ejercicio 42.3 ★

¿Qué letras mayúsculas del alfabeto, escritas en su forma más sencilla, tienen un eje de simetría vertical (como la A)? ¿Y uno horizontal (como la B)? ¿Y los dos?

Solución

Solución de Ejercicio 42.3.

Eje vertical (como la A): A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Eje horizontal (como la B): B, C, D, E, H, I, K, O, X. Los dos: H, I, O, X. (Las respuestas exactas dependen un poco de cómo se dibujen las letras.)

Ejercicio 42.4 ★

¿Cuántos ejes de simetría tiene: un triángulo equilátero? ¿Un rectángulo que no sea cuadrado? ¿Un rombo que no sea cuadrado? ¿Un cuadrado? ¿Una circunferencia? Dibuja cada figura con sus ejes.

Solución

Solución de Ejercicio 42.4.

Triángulo equilátero: $3$ ejes. Rectángulo: $2$ (las mediatrices de sus lados). Rombo: $2$ (sus diagonales). Cuadrado: $4$ . Circunferencia: infinitos (toda recta que pase por el centro).

Ejercicio 42.5 ★

¿Verdadero o falso? «Las diagonales de un rectángulo son ejes de simetría del rectángulo.» Explícalo con un argumento de doblez o con un dibujo.

Solución

Solución de Ejercicio 42.5.

Falso. Doblar un rectángulo (no cuadrado) por una diagonal no hace que las dos mitades coincidan: los dos triángulos tienen la misma forma pero quedan colocados de otro modo — pruébalo con una hoja de papel. Solo en un cuadrado funcionan las diagonales como ejes.

Ejercicio 42.6 ★

Un triángulo $ABC$ se refleja respecto de una recta $d$ y da $A'B'C'$ . Sabiendo que $AB = 4$ cm, $\widehat{BAC} = 70^\circ$ y que el perímetro de $ABC$ es $12$ cm: di, sin hacer ninguna construcción, $A'B'$ , $\widehat{B'A'C'}$ y el perímetro de $A'B'C'$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.6.

Las reflexiones conservan longitudes, ángulos y perímetros (Proposición 42.4): $A'B' = 4$ cm, $\widehat{B'A'C'} = 70^\circ$ , perímetro de $A'B'C' = 12$ cm.

Ejercicio 42.7 ★

Traza un segmento $[AB]$ de $7$ cm y construye su mediatriz con el compás (Método 42.11). Elige un punto cualquiera $M$ sobre ella y comprueba con la regla que $MA = MB$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.7.

Construcción con compás como en el Método 42.11. Para cualquier $M$ de la recta, la regla confirma que $MA = MB$ (Proposición 42.10).

Ejercicio 42.8 ★★

Dos árboles están en los puntos $A$ y $B$ de un jardín (llano). ¿Dónde se puede plantar una fuente para que esté a la misma distancia de los dos árboles? Describe todos los sitios posibles.

Solución

Solución de Ejercicio 42.8.

Todos los puntos que equidistan de $A$ y de $B$ forman la mediatriz de $[AB]$ (Proposición 42.10). La fuente puede ir en cualquier punto de esa recta (dentro del jardín).

Ejercicio 42.9 ★★

En papel cuadriculado, traza el eje $d$ (una diagonal de la cuadrícula a $45^\circ$ ) y una figurita en forma de L a un lado. Construye su figura simétrica respecto de $d$ . (Refleja cada vértice: con un eje a $45^\circ$ , un punto que está $2$ casillas a la derecha del eje cae $2$ casillas por encima de él.)

Solución

Solución de Ejercicio 42.9.

Cada vértice se refleja perpendicularmente al eje: con el eje a $45^\circ$ , un punto que está $k$ casillas a la derecha del eje cae $k$ casillas por encima de él (y al revés) — los desplazamientos horizontales y verticales se intercambian. Refleja los vértices uno a uno y después únelos en orden.

Ejercicio 42.10 ★★

Traza una circunferencia de centro $O$ , una recta $d$ que pase por $O$ y un punto $M$ sobre la circunferencia. ¿Dónde está el simétrico de $M$ respecto de $d$ ? Explica por qué la reflexión envía la circunferencia sobre sí misma.

Solución

Solución de Ejercicio 42.10.

El simétrico de $M$ es el segundo corte de la circunferencia con la perpendicular a $d$ por $M$ — está sobre la circunferencia. Razón: la reflexión conserva las distancias y deja fijo $O$ (que está en $d$ ), así que la imagen de cualquier punto que esté a distancia $r$ de $O$ vuelve a estar a distancia $r$ de $O$ : la circunferencia se transforma en sí misma.

Ejercicio 42.11 ★★

Usando la propiedad de equidistancia (Proposición 42.10), explica por qué los dos puntos de corte de los arcos del Método 42.11 están realmente en la mediatriz de $[AB]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 42.11.

Cada punto de corte $P$ se trazó con la misma abertura de compás $\rho$ desde $A$ y desde $B$ : así que $PA = \rho = PB$ . Por la Proposición 42.10, un punto que equidista de $A$ y de $B$ está en la mediatriz de $[AB]$ ; dos puntos así determinan la recta.

Ejercicio 42.12 ★★★

Una bola de billar en el punto $A$ tiene que rebotar en una banda recta $d$ y llegar al punto $B$ (los dos del mismo lado de la banda). Refleja $B$ respecto de $d$ y obtén $B'$ , y traza el segmento $[AB']$ . Explica por qué el mejor punto de rebote es donde $[AB']$ corta a la banda. (Idea: el camino $A \to P \to B$ tiene la misma longitud que $A \to P \to B'$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 42.12.

Para cualquier punto de rebote $P$ de la banda, $PB = PB'$ (la reflexión respecto de $d$ conserva distancias), así que la longitud del camino es $AP + PB = AP + PB'$ . La línea quebrada $A \to P \to B'$ es más corta cuando es recta, es decir, cuando $P$ está en el segmento $[AB']$ . Así que el mejor punto de rebote es el corte de $[AB']$ con la banda.

42.5 Problema: La fuente, el plato roto y el espejo que camina

Problema 42.1

Problema de fin de semana — las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto: la circunferencia que pasa por tres puntos y lo que hacen dos espejos juntos

En el Ejercicio 42.8, una fuente tenía que estar a la misma distancia de dos árboles, y la respuesta era toda una recta de sitios. Este problema planta un tercer árbol — y toda la recta se reduce a un único punto perfectamente determinado. Ese punto esconde un tesoro de la geometría: permite trazar la única circunferencia que pasa por tres puntos dados, reconstruir un plato entero a partir de un fragmento, y pertenece a todo triángulo. La última parte hace un experimento con dos espejos cuyo resultado anuncia la geometría del año que viene.

Parte I — Dos árboles y después un mapa de territorios.

traza dos puntos $A$ y $B$ con $AB = 6$ cm y construye la mediatriz de $[AB]$ con el compás (Método 42.11). Elige un punto $M$ sobre ella y comprueba con la regla que $MA = MB$ ;
la Proposición 42.10 dice dos cosas a la vez: todo punto de la mediatriz equidista de $A$ y de $B$ , y todo punto equidistante está en la mediatriz. ¿Cuál de las dos responde a la pregunta de la fuente del Ejercicio 42.8? ¿Qué dice la proposición sobre un punto que no está en la mediatriz?
toma un punto $M$ del mismo lado de la mediatriz que $A$ . El segmento $[MB]$ corta a la mediatriz en un punto $P$ . Compara el camino $M \to P \to B$ con el camino $M \to P \to A$ y explica por qué $M$ está más cerca de $A$ que de $B$ : la mediatriz parte la hoja en un «lado de $A$ » y un «lado de $B$ »;
dos colegios $A$ y $B$ sirven a un pueblo. Cada niño va andando al colegio más cercano. Dibuja un mapa pequeño con $A$ y $B$ y sombrea la región exacta del pueblo atendida por el colegio $A$ . ¿Qué recta forma la frontera?
abre un tercer colegio $C$ (colócalo de modo que los tres colegios formen un triángulo). Construye la mediatriz de $[AB]$ y la mediatriz de $[BC]$ , y llama $O$ a su punto de corte. ¿Qué dos igualdades de distancias cumple $O$ y por qué?

Parte II — Tres árboles, un punto, una circunferencia.

deduce de la pregunta 5 que $OA = OC$ — y, por tanto, que $O$ está también en la mediatriz de $[AC]$ , que nunca trazaste. Concluye: las tres mediatrices de los lados de un triángulo pasan todas por un mismo punto;
explica por qué la circunferencia de centro $O$ y radio $OA$ pasa también por $B$ y por $C$ : es la circunferencia que pasa por los tres puntos — la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ ;
construye un triángulo de lados $6$ cm, $5$ cm y $4$ cm (Método 41.2) y después su circunferencia circunscrita. ¿Por qué basta con trazar solo dos mediatrices para hallar el centro?
el plato roto: un arqueólogo desentierra un fragmento cuya única parte intacta es un trozo del borde circular del plato. Describe una receta que recupere el centro y el radio del plato original — y pruébala: traza un arco de circunferencia con tu compás, «olvida» el centro, marca tres puntos del arco y reconstrúyelo;
¿podrían tres puntos no tener ninguna circunferencia que pase por ellos? Supón que $A$ , $B$ y $C$ están alineados. ¿Qué se puede decir de las mediatrices de $[AB]$ y de $[BC]$ (Proposición 40.3)? Concluye.

Parte III — Ejes por todas partes y el espejo que camina.

el Ejemplo 42.7 contó $3$ ejes para el triángulo equilátero y $4$ para el cuadrado. Conjetura el recuento para un pentágono regular y un hexágono regular, y describe por dónde pasan los ejes en cada caso (número impar de lados frente a par: las dos situaciones son distintas);
dobla una hoja de papel una vez y recorta una figura atravesando las dos capas; desdobla. ¿Por qué tiene el agujero siempre un eje de simetría, recortes lo que recortes, y qué recta es el eje?
dobla la hoja dos veces — el segundo doblez perpendicular al primero —, recorta y desdobla. ¿Cuántos ejes de simetría tiene el agujero como mínimo y cuántas copias de tu recorte ves? (Los copos de nieve de papel son esta idea doblada más veces.)
el espejo que camina: en papel cuadriculado, traza un eje vertical $d_1$ , una banderita $F$ a su izquierda y un segundo eje vertical $d_2$ , $4$ casillas a la derecha de $d_1$ . Refleja $F$ respecto de $d_1$ (imagen $F'$ ) y después refleja $F'$ respecto de $d_2$ (imagen $F''$ ). Compara $F$ y $F''$ : ¿misma orientación o reflejada? ¿Cuántas casillas se ha desplazado la figura? Compara con la distancia entre los ejes;
el mismo experimento con $d_2$ perpendicular a $d_1$ : refleja la banderita respecto del eje vertical y después la imagen respecto del horizontal. Describe cómo queda $F''$ respecto de $F$ y del punto de corte de los dos ejes. (Acabas de descubrir la transformación del año que viene: Capítulo 52.)

Solución

Solución de Problema 42.1.

1. Construcción como en el Método 42.11; para cualquier $M$ de la recta, la regla confirma que $MA = MB$ (Proposición 42.10).

2. La pregunta de la fuente necesita el segundo sentido: todos los puntos equidistantes están en la mediatriz, así que los sitios posibles son exactamente esa recta y nada más. Y un punto que no esté en la mediatriz no equidista, por tanto: está estrictamente más cerca de uno de los dos árboles.

3. Los dos caminos comparten el tramo $[MP]$ y $PB = PA$ , porque $P$ está en la mediatriz. Así que el camino $M \to P \to B$ tiene la misma longitud que el camino $M \to P \to A$ , o sea, $MP + PA$ . Ahora bien, $MB$ es la ruta recta hacia $B$ — aquí es el camino que pasa por $P$ , así que $MB = MP + PA$ ; y la ruta recta hacia $A$ es más corta que el rodeo por $P$ : $MA < MP + PA = MB$ . Todo punto del lado de $A$ de la mediatriz está más cerca de $A$ .

4. La frontera es la mediatriz de $[AB]$ : el colegio $A$ atiende exactamente la mitad del pueblo que queda de su lado de esa recta (pregunta 3), el colegio $B$ la otra mitad, y los niños que viven sobre la propia recta pueden elegir cualquiera de los dos.

5. $O$ está en la mediatriz de $[AB]$ , así que $OA = OB$ ; y en la de $[BC]$ , así que $OB = OC$ (Proposición 42.10).

6. De $OA = OB$ y $OB = OC$ se sigue $OA = OC$ . Por el segundo sentido de la Proposición 42.10, un punto que equidista de $A$ y de $C$ está en la mediatriz de $[AC]$ : la tercera mediatriz pasa por $O$ sin que se lo hayamos pedido. Las tres mediatrices de cualquier triángulo son concurrentes.

7. La circunferencia de centro $O$ y radio $OA$ está formada por todos los puntos que están a distancia $OA$ de $O$ (Definición 40.5); como $OB = OA$ y $OC = OA$ , los puntos $B$ y $C$ están en ella. Un centro, un radio y tres puntos servidos: es la circunferencia que pasa por $A$ , $B$ y $C$ .

8. Bastan dos mediatrices porque la tercera es automática (pregunta 6): su punto de corte ya cumple las tres igualdades de distancias. La circunferencia se traza con centro $O$ y el compás abierto desde $O$ hasta cualquiera de los tres vértices.

9. Receta: marca tres puntos $A$ , $B$ y $C$ en el arco superviviente; traza las mediatrices de las cuerdas $[AB]$ y $[BC]$ ; su punto de corte es el centro del plato y su distancia a $A$ es el radio. Funciona porque el borde del plato es una circunferencia que pasa por los tres puntos marcados — y la pregunta 8 halla la circunferencia que pasa por ellos. El arco de prueba se reconstruye exactamente.

10. Si $A$ , $B$ y $C$ están alineados, la mediatriz de $[AB]$ y la de $[BC]$ son las dos perpendiculares a la misma recta $(AB) = (BC)$ — así que son paralelas entre sí (Proposición 40.3) y, al ser distintas, no se cortan nunca. Ningún punto equidista de los tres, y ninguna circunferencia pasa por tres puntos alineados.

11. Pentágono regular: $5$ ejes, cada uno por un vértice y el punto medio del lado opuesto (número impar: todos los ejes son de esa única clase). Hexágono regular: $6$ ejes — tres por vértices opuestos y tres por puntos medios de lados opuestos (número par: dos clases, mitad y mitad). El patrón: un polígono regular de $n$ lados tiene $n$ ejes.

12. El corte atraviesa las dos capas a la vez, así que las dos capas pierden trozos exactamente iguales; desdoblar es la reflexión respecto de la línea del doblez, que envía el borde de cada capa sobre el de la otra. El agujero es su propia imagen especular: la línea del doblez es su eje de simetría — se recorte lo que se recorte.

13. El agujero desdoblado tiene al menos $2$ ejes de simetría, las dos líneas de doblez, y el corte aparece en $4$ copias (cada desdoblado duplica el dibujo: $1 \to 2 \to 4$ ). Doblar más veces al estilo de los copos de nieve multiplica todavía más las copias y los ejes.

14. $F''$ tiene la misma orientación que $F$ (dos reflexiones se cancelan), el mismo tamaño y la misma altura — es sencillamente $F$ desplazada hacia la derecha. El desplazamiento mide $8$ casillas: exactamente el doble de la distancia entre los dos ejes. Dos espejos paralelos juntos no reflejan en absoluto: trasladan.

15. $F''$ tiene otra vez el mismo tamaño, pero ahora aparece boca abajo, girada media vuelta alrededor del punto de corte de los dos ejes: cada punto de $F''$ es diametralmente opuesto al punto correspondiente de $F$ respecto de ese centro. Dos espejos perpendiculares se componen en el medio giro — la simetría central del Capítulo 52.