Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

30Calcular con decimales

Los números decimales se suman, se restan y se multiplican casi como los enteros — todo el arte está en saber dónde va el punto. Este capítulo cubre los métodos en columna y la magia de multiplicar o dividir por $10$ , $100$ y $1000$ . (Multiplicar dos decimales entre sí espera al Capítulo 38.)

30.1 Sumar y restar

Método 30.1 (Columnas con punto)

escribe los números con los puntos decimales alineados (así, las unidades quedan bajo las unidades y las décimas bajo las décimas);
completa con ceros la parte decimal más corta;
suma o resta como con los números enteros;
baja el punto del resultado en línea recta.

Ejemplo 30.2

$27.5 + 3.86$ (completa $27.5 = 27.50$ ):

\begin{array}{r} 2\,7.5\,0 \\ +\ \ \ 3.8\,6 \\ \hline 3\,1.3\,6 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 1\,2.4\,0 \\ -\ \ \ 5.6\,5 \\ \hline \ \ \,6.7\,5 \end{array}

Para la resta ( $12.4 - 5.65$ ): completa, pide prestado como siempre y comprueba sumando de vuelta: $6.75 + 5.65 = 12.4$ .

Ejemplo 30.3 (Complementos mentales)

¿Qué hay que sumar a $7.6$ para llegar a $10$ ? Sube: de $7.6$ a $8$ hay $0.4$ y de $8$ a $10$ hay $2$ : el complemento es $2.4$ . Muy práctico para el cambio: pagas $10$ por un artículo de $7.60$ y te devuelven $2.40$ .

30.2 Diez veces mayor, diez veces menor

Proposición 30.4 (Por y entre 10, 100, 1000)

Multiplicar por $10$ hace que cada cifra valga diez veces más: las cifras se desplazan un lugar a la izquierda — lo que parece que el punto se mueve un lugar a la derecha. Dividir hace lo contrario:

3.47 \times 10 = 34.7, \qquad 3.47 \times 100 = 347, \qquad 52.1 \div 10 = 5.21, \qquad 6 \div 100 = 0.06 .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Multiplicar por 10: cada cifra sube un lugar hacia la izquierda. El punto no se mueve realmente — las cifras sí. — Multiplicar por $10$ : cada cifra sube un lugar hacia la izquierda. El punto no se mueve realmente — las cifras sí.

Ejemplo 30.5 (Otra vez las conversiones)

Las unidades de medida se diferencian en potencias de diez, así que las conversiones son solo estos desplazamientos: $2.35$ m $= 235$ cm ( $\times 100$ ); $470$ g $= 0.47$ kg ( $\div 1000$ ); $1.5$ L $= 150$ cL.

30.3 Multiplicar un decimal por un número entero

Método 30.6 (Decimal por entero)

Calcula como si no hubiera punto y después da al resultado tantas cifras decimales como tenga el factor decimal:

4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610 \ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .

Estima para colocar el punto con seguridad: $4.35$ está cerca de $4$ y $4 \times 6 = 24$ — así que $26.1$ , ni $2.61$ ni $261$ .

Ejemplo 30.7 (La suma repetida sigue funcionando)

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$ : cuatro cuartos hacen un entero, vestidos de decimal. Multiplicar por un número entero sigue siendo «tantas veces».

Ejemplo 30.8 (De compras)

Tres cuadernos a $2.45$ cada uno y un bolígrafo a $1.20$ :

cuadernos: $2.45 \times 3 = 7.35$ ;
total: $7.35 + 1.20 = 8.55$ ;
cambio de $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

30.4 Ejercicios

Ejercicio 30.1 ★

Calcula en columna: $45.7 + 8.93$ ; $16.25 + 3.75$ ; $0.86 + 12.4$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.1.

$45.7 + 8.93 = 54.63$ ; $16.25 + 3.75 = 20$ ; $0.86 + 12.4 = 13.26$ .

Ejercicio 30.2 ★

Calcula en columna y comprueba: $9.4 - 2.72$ ; $20 - 13.45$ ; $6.03 - 5.9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.2.

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (comprobación: $6.68 + 2.72 = 9.4$ ).

$20 - 13.45 = 6.55$ (comprobación: $6.55 + 13.45 = 20$ ).

$6.03 - 5.9 = 0.13$ .

Ejercicio 30.3 ★

Complementos mentales a $10$ (como en el Ejemplo 30.3): $6.2$ ; $3.75$ ; $9.99$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.3.

$6.2 \to 10$ : $3.8$ . $3.75 \to 10$ : $6.25$ . $9.99 \to 10$ : $0.01$ .

Ejercicio 30.4 ★

Calcula sin columnas:

7.24 \times 10, \qquad 0.58 \times 100, \qquad 34.5 \div 10, \qquad 7 \div 100, \qquad 0.3 \times 1000 .

Solución

Solución de Ejercicio 30.4.

$72.4$ ; $58$ ; $3.45$ ; $0.07$ ; $300$ .

Ejercicio 30.5 ★

Convierte: $4.05$ m en cm; $325$ cm en m; $0.6$ kg en g; $85$ cL en L.

Solución

Solución de Ejercicio 30.5.

$4.05$ m $= 405$ cm; $325$ cm $= 3.25$ m; $0.6$ kg $= 600$ g; $85$ cL $= 0.85$ L.

Ejercicio 30.6 ★

Estima primero y después calcula: $6.2 \times 4$ ; $3.45 \times 8$ ; $12.5 \times 6$ .

Solución

Solución de Ejercicio 30.6.

$6.2 \times 4$ : estimación $24$ ; exactamente $24.8$ .

$3.45 \times 8$ : estimación $28$ ( $3.5 \times 8$ ); exactamente $27.6$ .

$12.5 \times 6$ : estimación $75$ ; exactamente $75$ .

Ejercicio 30.7 ★

Una vuelta a una pista mide $0.4$ km. ¿Cuánto son $7$ vueltas? ¿Y $25$ vueltas?

Solución

Solución de Ejercicio 30.7.

$7$ vueltas: $0.4 \times 7 = 2.8$ km. $25$ vueltas: $0.4 \times 25 = 10$ km.

Ejercicio 30.8 ★

Lea compra $2$ barras de pan a $1.15$ cada una y un pastel de $12.60$ . Paga con un billete de $20$ . Calcula su total y su cambio.

Solución

Solución de Ejercicio 30.8.

Barras de pan: $1.15 \times 2 = 2.30$ . Total: $2.30 + 12.60 = 14.90$ . Cambio: $20 - 14.90 = 5.10$ .

Ejercicio 30.9 ★

Una botella contiene $1.5$ L. ¿Cuántos litros hay en un pack de $6$ botellas? Una familia bebe $0.75$ L al día: ¿para cuántos días le dura un pack? (¿Cuántas veces cabe $0.75$ en $9$ ?)

Solución

Solución de Ejercicio 30.9.

Pack: $1.5 \times 6 = 9$ L. Días: $0.75 + 0.75 = 1.5$ L cada dos días, así que $9$ L duran $12$ días (doce raciones de $0.75$ : $12 \times 0.75 = 9$ ).

Ejercicio 30.10 ★★

Milo calcula $5.6 \times 3 = 15.18$ razonando « $5 \times 3 = 15$ y $6 \times 3 = 18$ ». Usa una estimación para mostrar que la respuesta tiene que ser errónea y después calcula correctamente.

Solución

Solución de Ejercicio 30.10.

Estimación: $5.6$ es más que $5.5$ y $5.5 \times 3 = 16.5$ — así que el producto tiene que ser mayor que $16.5$ , y $15.18$ es demasiado pequeño. Correctamente: $56 \times 3 = 168$ , con una cifra decimal, así que $5.6 \times 3 = 16.8$ . Milo pegó sus dos productos parciales ( $15$ y $18$ ) uno al lado del otro en vez de sumarlos respetando sus lugares: $15 + 1.8 = 16.8$ .

Ejercicio 30.11 ★★

Las cuatro vueltas de una corredora duraron $65.4$ s, $64.9$ s, $65.0$ s y $66.1$ s.

calcula el tiempo total de las cuatro vueltas;
el récord de las cuatro vueltas es de $260$ s. ¿Lo ha batido? ¿Por cuánto?

Solución

Solución de Ejercicio 30.11.

1. $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ s.

2. $261.4 > 260$ : no batió el récord; se quedó a $1.4$ s por encima.