Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

69Trigonometría en el triángulo rectángulo

En un triangulo rectángulo, una vez que conoces un ángulo agudo, el forma de el triángulo es fijo — sólo su tamaño puede variar. Las proporciones de sus lados. Por lo tanto dependen sólo del ángulo: estas relaciones son coseno, seno y tangente. Junto con el teorema de Pitágoras, te permiten calcular cada lado y cada ángulo de un triangulo rectángulo desde muy poco información.

69.1 El teorema de Pitágoras, de nuevo

Teorema 69.1 (Pitágoras)

En un triángulo $ABC$ en ángulo recto en $A$ , el cuadrado de la hipotenusa es el suma de los cuadrados de los dos catetos:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Por el contrario, si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ está en un triángulo, entonces el triángulo es en ángulo recto en $A$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 69.2

Un triangulo rectángulo tiene patas $AB = 5$ y $AC = 12$ . entonces

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{so}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Para encontrar un pierna: si $BC = 10$ y $AB = 6$ , entonces $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , entonces $AC = 8$ .

69.2 Coseno, seno, tangente

En un triangulo rectángulo, respecto a un ángulo agudo $\theta$ , los tres lados tienen nombres: el hipotenusa (frente al ángulo recto, el más largo lado), el lado opuesto a $\theta$ , y el lado adyacente a $\theta$ (la pierna tocando $\theta$ ).

Definición 69.3 (Razones trigonométricas)

Para un ángulo agudo $\theta$ de un triangulo rectángulo:

\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} .

Estas relaciones dependen únicamente de $\theta$ , no en el tamaño del triángulo (todos triangulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son escalas entre sí, por Tales).

Los tres lados vistos desde el ángulo = B: el hipotenusa [BC], el lado adyacente [BA], el lado opuesto [AC]. — Los tres lados vistos desde el ángulo $\theta = \widehat B$ : el hipotenusa $[BC]$ , el lado adyacente $[BA]$ , el lado opuesto $[AC]$ .

Proposición 69.4 (Primeras propiedades)

Para cada ángulo agudo $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ y $0 < \sin\theta < 1$ (una pierna es más corta que la hipotenusa);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Demostración. Escriba $a$ para el lado adyacente, $o$ para el lado opuesto, $h$ para el hipotenusa de un triangulo rectángulo con ángulo $\theta$ .

1. $0 < a < h$ y $0 < o < h$ , por lo que las dos proporciones están estrictamente entre $0$ y $1$ .

2. Por Pitágoras, $a^2 + o^2 = h^2$ . Dividir todo por $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Método 69.5 (Encontrando un lado)

Para calcular un lado desconocido cuando se conocen un lado y un ángulo agudo:

marque el ángulo conocido y etiquete los tres lados (hipotenusa, opuesto, adyacente) desde ese ángulo;
elige la relación (cos, sen o tan) que involucra al lado conocido y el lado buscado;
escribe el ecuación y resuélvelo;
control de cordura: la hipotenusa debe ser la más larga.

Ejemplo 69.6

En un triangulo rectángulo, la hipotenusa mide $8$ y un ángulo es $35^\circ$ ; Calcula el lado opuesto a él. La relación que involucra la El lado opuesto y la hipotenusa es el seno:

\sin 35^\circ = \frac{\text{opposite}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{opposite} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Para el lado adyacente, utilice el coseno: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Consulte con Pitágoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Método 69.7 (Encontrar un ángulo)

Cuando se conocen dos lados, calcule la razón que forman, identifíquela como coseno, seno o tangente del ángulo desconocido y aplique la ecuación de la calculadora. Función inverso ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ o $\tan^{-1}$ ) a la relación.

Ejemplo 69.8

Una escalera de $5$ m de largo está apoyada contra una pared, su pie $1.4$ m de la pared. El ángulo $\theta$ entre la escalera y el suelo satisface

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{so}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

El problema de la escalera: el lado adyacente (1.4 m) y el Se conocen la hipotenusa (5 m), por lo que coseno da el ángulo. — El problema de la escalera: el lado adyacente ( $1.4$ m) y el Se conocen la hipotenusa ( $5$ m), por lo que coseno da el ángulo.

Ejemplo 69.9 (Ángulos especiales)

Dos triángulos dan valores exactos. Medio un cuadrado de lado 1 (un cuadrado triangulo isósceles) tiene hipotenusa $\sqrt2$ y ángulos de $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

Medio y triangulo equilatero del lado 1 dan los ángulos $30^\circ$ y $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Ceremonias

Ejercicio 69.1 ★

Un triangulo rectángulo tiene patas $9$ y $12$ . Calcula su hipotenusa. otro tiene hipotenusa $17$ y un cateto $8$ : calcula el otro cateto.

Solución

Solución de Ejercicio 69.1.

Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Otro tramo: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Ejercicio 69.2 ★

Un triángulo tiene lados $7$ , $24$ y $25$ . ¿Es en ángulo recto? lo mismo pregunta para los lados $5$ , $6$ y $8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : sí, en ángulo recto (lo contrario de Pitágoras), con el ángulo recto opuesto al lado $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : no en ángulo recto.

Ejercicio 69.3 ★

En un triángulo $DEF$ en ángulo recto en $D$ , con el ángulo en $E$ anotado $\theta$ : ¿de qué lado está la hipotenusa? ¿Qué lado es opuesto a $\theta$ ? Escriba $\cos\theta$ , $\sin\theta$ y $\tan\theta$ como proporciones de los lados $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.3.

La hipotenusa es $[EF]$ (opuesta a ángulo recto en $D$ ). el lado lo opuesto a $\theta = \widehat E$ es $[DF]$ ; el lado adyacente es $[DE]$ . Por lo tanto

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Ejercicio 69.4 ★

En un triangulo rectángulo, la hipotenusa mide $10$ y un ángulo agudo es $28^\circ$ . Calcula los dos catetos (redondo al décimo; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 69.4.

Pierna opuesta: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Pierna adyacente: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Compruebe: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Ejercicio 69.5 ★

En un triangulo rectángulo, el cateto adyacente al ángulo $\theta$ mide $6$ y la pierna opuesta mide $4.5$ . Calcule $\tan\theta$ , luego $\theta$ (redondo al grado; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , so $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Ejercicio 69.6 ★★

Un dron vuela a una altitud de $120$ m. Desde un observador en el terreno, se ve en un ángulo de elevación de $32^\circ$ . ¿En qué horizontal? La distancia del observador es el dron. ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 69.6.

En el triangulo rectángulo formado por el observador, el punto en el suelo debajo del dron, y el dron: la altitud $120$ m es el lado Frente al ángulo de elevación, la distancia horizontal $d$ es adyacente. entonces

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Ejercicio 69.7 ★★

Una rampa de acceso debe elevarse $1.2$ m con un ángulo de como máximo $5^\circ$ hasta la horizontal. ¿Qué longitud mínima a lo largo del pendiente debe tener la rampa? ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Redondear a la décima de a más cercana metro.

Solución

Solución de Ejercicio 69.7.

La subida ( $1.2$ m) es opuesta al ángulo; la longitud de la rampa $L$ es la hipotenusa:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

La rampa debe tener una longitud mínima de $13.8$ m.

Ejercicio 69.8 ★★

Usando Proposición 69.4: un ángulo agudo $\theta$ satisface $\cos\theta = 0.6$ . Calcule $\sin\theta$ sin encontrar $\theta$ , luego $\tan\theta$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.8.

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ y $\sin\theta > 0$ para una enfermedad aguda. ángulo, entonces $\sin\theta = 0.8$ . entonces $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Ejercicio 69.9 ★★★

Justifique los valores exactos de Ejemplo 69.9: a la derecha triangulo isósceles con catetos $1$ , calcula la hipotenusa; en el triangulo equilatero del lado $1$ , calcula la altura y deduce el coseno y seno de $30^\circ$ y $60^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.9.

Right triangulo isósceles con catetos $1$ : hipotenusa $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; cada ángulo agudo es $45^\circ$ , y

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Triángulo equilátero del lado $1$ : su altura lo divide en dos triangulos rectángulos con hipotenusa $1$ , base $\frac12$ y altura $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pitágoras). Los ángulos son $60^\circ$ (en la base) y $30^\circ$ (en la parte superior). leyendo el proporciones:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Problema: medir lo que no se puede alcanzar

Problema 69.1

Problema del fin de semana — las dos estaciones del topógrafo método para alturas inaccesibles, pendientes de la carretera, la distancia al horizonte y la carrera de la tangente hacia el infinito

Ninguna cinta métrica llega a la cima de una montaña, a la cima de una torre a través de un río, o el horizonte en el mar — pero un ángulo calibre y las tres proporciones de este capítulo lo hacen. La pieza central de este El problema es el clásico método de dos estaciones de los topógrafos, que calcula una altura sin acercarse nunca a su base; a su alrededor: señales de tráfico, escaleras, escaleras, la curvatura de la Tierra y un primer vistazo de una función que explota hasta el infinito.

Parte I — One station. (Valores: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

Desde un punto $60$ m al pie de un faro, el La cima se ve a una elevación de $35^\circ$ (medida desde la horizontal, a la altura de los ojos). ¿Qué altura tiene la cima de arriba? ¿al nivel de los ojos?
Una señal de tráfico anuncia una pendiente $12\,\%$ : la carretera sube $12$ m por $100$ m de recorrido horizontal. ¿Qué ángulo tiene? ¿El camino hace con la horizontal? y que grado ¿Qué porcentaje tendría una carretera $45^\circ$ ?
Los dos ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios, y el lado opuesto de cada uno es el lado adyacente del otro. Deduzca las identidades “co”:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
Una escalera de $8$ m se inclina $60^\circ$ hacia el suelo. Usando los valores exactos de Ejemplo 69.9, dar la altura alcanzada y la distancia del pie desde la pared — exactamente, luego al centímetro.
Verifique $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numéricamente para $\theta = 35^\circ$ y exactamente para $\theta = 60^\circ$ . ¿Por qué esta identidad (Proposición 69.4) un buen hábito para ¿Comprobando el funcionamiento de la calculadora?

Parte II — Two stations. La cima de una montaña es visible, su base inalcanzable. De un punto $A$ , la cota de la cumbre es $30^\circ$ ; caminando $200$ m recto hacia la montaña, hasta $B$ , la elevación se vuelve $40^\circ$ . Escriba $h$ para la altura de la cumbre por encima del nivel de los ojos. y $x$ para la distancia horizontal desde $B$ a la vertical de la cumbre. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

Express $\tan 40^\circ$ y $\tan 30^\circ$ usando $h$ , $x$ y $x + 200$ : dos ecuaciones para dos incógnitas.
De cada ecuación expresar la distancia horizontal en términos de $h$ , restar y derivar las dos estaciones fórmula:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

Calcule $h$ redondeado a la decena de metros más cercana.
Calcule $x$ también y verifique sus dos respuestas. contra el avistamiento $30^\circ$ de $A$ .
En una frase: ¿por qué el método de las dos estaciones? indispensable — que medida única, imposible aquí, ¿el método de una estación de la pregunta 1 tendría requerido?
Se avista una torre en $30^\circ$ , y en $60^\circ$ después de caminar $200$ m hacia él. Usando $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ y $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calcula la altura exactamente — la respuesta es un múltiple de $\sqrt3$ — luego al medidor.

Parte III — To the horizon and up the wall.

¿Qué tan lejos está el horizonte? De pie con ojos $h$ metros sobre una Tierra esférica de radio $R$ , su línea de La vista roza la esfera: la línea de visión, el radio a El punto de pastoreo y el radio a tus pies forman un triangulo rectángulo. Espectáculo con Pitágoras (Teorema 69.1) que la distancia $d$ a el horizonte satisface $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , y calcular $d$ para ojos en $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
Misma pregunta desde lo alto de una torre de $324$ m. (Marineros regla general: el horizonte en kilómetros es aproximadamente $3.6\sqrt{h}$ con $h$ en metros — revisa tus dos respuestas en contra.)
Su pulgar, de aproximadamente $2$ cm de ancho, sostenido con el brazo extendido, aproximadamente $60$ cm de tu ojo: ¿qué ángulo cubre? La Luna llena cubre aproximadamente $0.5^\circ$ : ¿cuánto de tu ¿El pulgar esconde toda la Luna?
Las cómodas escaleras tienen contrahuellas de $17$ cm y peldaños de $29$ cm. ¿Qué ángulo suben? Comparar con el $30^\circ$ de Ejemplo 69.9, y con un empinada escalera del ático en $60^\circ$ : ¿qué contrahuella ¿Necesita it una banda de rodadura de $29$ cm?
La carrera del tangente: cálculo (calculadora) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . ¿Qué sucede cuando el ángulo se acerca? $90^\circ$ y por qué (piense en el lado adyacente). la pared es vertical, la relación no tiene valor y el gráfico se dispara hasta el infinito — tu primer asíntota, una criatura estudiado detenidamente en el volumen de High School.

Solución

Solución de Problema 69.1.

1. La altura sobre el nivel de los ojos es el lado opuesto $35^\circ$ , con lado adyacente $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ da $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — empinado para un camino, aunque un ángulo modesto. Una carretera $45^\circ$ tiene $\tan 45^\circ = 1$ : un grado $100\,\%$ . ("Cien ciento” está lejos de ser vertical — un remonte favorito malentendido.)

3. En un triangulo rectángulo con ángulos agudos $\theta$ y $90^\circ - \theta$ , el lado opuesto es adyacente al el otro y la hipotenusa es compartida. entonces $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{its opposite}}{h} = \frac{\text{adjacent of }\theta}{h} = \cos\theta$ , y simétricamente $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : el coseno es el seno del implemento co.

4. Altura: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pie: $8 \cos 60^\circ = 4$ m exactamente.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (a redondeo); y $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Cualquiera par de valores que fallan en la identidad delata una lectura errónea o una calculadora en el modo incorrecto — un detector de errores gratuito.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ y $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ y $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; restando, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , de ahí la fórmula. Números: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , diferencia $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Verifique desde $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : consistente.

9. El método de una estación necesita la horizontal distancia al punto directamente debajo de la cumbre — inmensurable a través de un desfiladero o dentro de una montaña. el El método de dos estaciones lo reemplaza por una distancia que puedes recorrer. usted mismo: el $200$ m entre sus dos puntos de vista.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m— El segundo piso de la Torre Eiffel, medido con dos avistamientos y un paseo.

11. Línea de visión $d$ , radios $R$ (hasta el punto de pastoreo, perpendicular a la línea de visión) y $R + h$ (al ojo): Pitágoras da $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , entonces $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ es minúsculo frente a $R$ ). Ojos en $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — el horizonte del mar es apenas cinco kilómetros de distancia.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ kilómetros. Regla de regatistas: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km y $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — ambos coinciden.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ da $\theta \approx 1.9^\circ$ . El $0.5^\circ$ de la Luna tiene aproximadamente un cuarto de un pulgar: la Luna parece enorme y queda oculta por una uña — el ojo es un mal transportador.

14. Escaleras: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — escaleras cómodas suben casi exactamente al $30^\circ$ de los valores especiales. En $60^\circ$ en un $29$ cm peldaño, la contrahuella sería $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm: una escalera, no una escalera.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Como $\theta \to 90^\circ$ el El lado adyacente se reduce a nada mientras que el lado opuesto se mantiene: El cociente crece más allá de todos los límites. En $90^\circ$ exactamente no hay triángulo ni valor — la gráfica del tangente sube una asíntota vertical, la primera de muchas en la escuela secundaria volumen.