Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

69Trigonometría en el triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, en cuanto conoces un ángulo agudo, la forma del triángulo queda fijada — solo puede variar su tamaño. Las razones entre sus lados dependen, por tanto, solo del ángulo: esas razones son el coseno, el seno y la tangente. Junto con el teorema de Pitágoras, permiten calcular todos los lados y todos los ángulos de un triángulo rectángulo a partir de muy poca información.

69.1 El teorema de Pitágoras, otra vez

Teorema 69.1 (Pitágoras)

En un triángulo $ABC$ rectángulo en $A$ , el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los dos catetos:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Recíprocamente, si en un triángulo se cumple $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , entonces el triángulo es rectángulo en $A$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 69.2

Un triángulo rectángulo tiene catetos $AB = 5$ y $AC = 12$ . Entonces

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{luego}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Para hallar un cateto: si $BC = 10$ y $AB = 6$ , entonces $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , luego $AC = 8$ .

69.2 Coseno, seno, tangente

En un triángulo rectángulo, respecto de un ángulo agudo $\theta$ , los tres lados tienen nombre: la hipotenusa (opuesta al ángulo recto, el lado más largo), el lado opuesto a $\theta$ y el lado adyacente a $\theta$ (el cateto que toca a $\theta$ ).

Definición 69.3 (Razones trigonométricas)

Para un ángulo agudo $\theta$ de un triángulo rectángulo:

\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} .

Estas razones solo dependen de $\theta$ , no del tamaño del triángulo (todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son escalados unos de otros, por Tales).

Los tres lados vistos desde el ángulo = B: la hipotenusa [BC], el lado adyacente [BA], el lado opuesto [AC]. — Los tres lados vistos desde el ángulo $\theta = \widehat B$ : la hipotenusa $[BC]$ , el lado adyacente $[BA]$ , el lado opuesto $[AC]$ .

Proposición 69.4 (Primeras propiedades)

Para todo ángulo agudo $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ y $0 < \sin\theta < 1$ (un cateto es más corto que la hipotenusa);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Demostración. Escribe $a$ para el lado adyacente, $o$ para el lado opuesto y $h$ para la hipotenusa de un triángulo rectángulo de ángulo $\theta$ .

1. $0 < a < h$ y $0 < o < h$ , así que las dos razones están estrictamente entre $0$ y $1$ .

2. Por Pitágoras, $a^2 + o^2 = h^2$ . Divide todo entre $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Método 69.5 (Hallar un lado)

Para calcular un lado desconocido cuando se conocen un lado y un ángulo agudo:

marca el ángulo conocido y nombra los tres lados (hipotenusa, opuesto, adyacente) desde ese ángulo;
elige la razón (cos, sen o tg) en la que intervengan el lado conocido y el lado buscado;
escribe la ecuación y resuélvela;
comprueba que tiene sentido: la hipotenusa tiene que salir la más larga.

Ejemplo 69.6

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $8$ y uno de los ángulos es de $35^\circ$ ; calcula el lado opuesto a ese ángulo. La razón en la que intervienen el lado opuesto y la hipotenusa es el seno:

\sin 35^\circ = \frac{\text{opuesto}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{opuesto} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Para el lado adyacente, usa el coseno: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Comprobación con Pitágoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Método 69.7 (Hallar un ángulo)

Cuando se conocen dos lados, calcula la razón que forman, identifícala como coseno, seno o tangente del ángulo desconocido y aplica a esa razón la función inversa de la calculadora ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ o $\tan^{-1}$ ).

Ejemplo 69.8

Una escalera de $5$ m se apoya en una pared, con el pie a $1.4$ m de la pared. El ángulo $\theta$ entre la escalera y el suelo cumple

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{luego}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

El problema de la escalera: se conocen el lado adyacente (1.4 m) y la hipotenusa (5 m), así que el coseno da el ángulo. — El problema de la escalera: se conocen el lado adyacente ( $1.4$ m) y la hipotenusa ( $5$ m), así que el coseno da el ángulo.

Ejemplo 69.9 (Ángulos especiales)

Dos triángulos dan valores exactos. La mitad de un cuadrado de lado 1 (un triángulo isósceles rectángulo) tiene hipotenusa $\sqrt2$ y ángulos de $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

La mitad de un triángulo equilátero de lado 1 da los ángulos $30^\circ$ y $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Ejercicios

Ejercicio 69.1 ★

Un triángulo rectángulo tiene catetos $9$ y $12$ . Calcula su hipotenusa. Otro tiene hipotenusa $17$ y un cateto $8$ : calcula el otro cateto.

Solución

Solución de Ejercicio 69.1.

Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Otro cateto: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Ejercicio 69.2 ★

Un triángulo tiene lados $7$ , $24$ y $25$ . ¿Es rectángulo? La misma pregunta para los lados $5$ , $6$ y $8$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : sí, rectángulo (recíproco de Pitágoras), con el ángulo recto opuesto al lado $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : no es rectángulo.

Ejercicio 69.3 ★

En un triángulo $DEF$ rectángulo en $D$ , con el ángulo en $E$ llamado $\theta$ : ¿qué lado es la hipotenusa? ¿Qué lado es el opuesto a $\theta$ ? Escribe $\cos\theta$ , $\sin\theta$ y $\tan\theta$ como razones de los lados $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.3.

La hipotenusa es $[EF]$ (opuesta al ángulo recto en $D$ ). El lado opuesto a $\theta = \widehat E$ es $[DF]$ ; el lado adyacente es $[DE]$ . Por tanto

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Ejercicio 69.4 ★

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10$ y uno de los ángulos agudos es de $28^\circ$ . Calcula los dos catetos (redondea a la décima; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 69.4.

Cateto opuesto: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Cateto adyacente: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Comprobación: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Ejercicio 69.5 ★

En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente al ángulo $\theta$ mide $6$ y el cateto opuesto mide $4.5$ . Calcula $\tan\theta$ y después $\theta$ (redondea al grado; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , luego $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Ejercicio 69.6 ★★

Un dron vuela a una altitud de $120$ m. Desde un observador situado en el suelo, se ve con un ángulo de elevación de $32^\circ$ . ¿A qué distancia horizontal del observador está el dron ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Solución

Solución de Ejercicio 69.6.

En el triángulo rectángulo que forman el observador, el punto del suelo bajo el dron y el dron: la altitud de $120$ m es el lado opuesto al ángulo de elevación, y la distancia horizontal $d$ es el adyacente. Así que

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Ejercicio 69.7 ★★

Una rampa de acceso tiene que subir $1.2$ m con un ángulo de como mucho $5^\circ$ respecto de la horizontal. ¿Qué longitud mínima a lo largo de la pendiente tiene que tener la rampa ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Redondea hacia arriba a la décima de metro.

Solución

Solución de Ejercicio 69.7.

La subida ( $1.2$ m) es el lado opuesto al ángulo; la longitud $L$ de la rampa es la hipotenusa:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

La rampa tiene que medir al menos $13.8$ m.

Ejercicio 69.8 ★★

Usando la Proposición 69.4: un ángulo agudo $\theta$ cumple $\cos\theta = 0.6$ . Calcula $\sin\theta$ sin hallar $\theta$ y después $\tan\theta$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.8.

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , y $\sin\theta > 0$ para un ángulo agudo, luego $\sin\theta = 0.8$ . Entonces $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Ejercicio 69.9 ★★★

Justifica los valores exactos del Ejemplo 69.9: en el triángulo isósceles rectángulo de catetos $1$ , calcula la hipotenusa; en el triángulo equilátero de lado $1$ , calcula la altura y deduce el coseno y el seno de $30^\circ$ y de $60^\circ$ .

Solución

Solución de Ejercicio 69.9.

Triángulo isósceles rectángulo de catetos $1$ : hipotenusa $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; cada ángulo agudo mide $45^\circ$ , y

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Triángulo equilátero de lado $1$ : su altura lo parte en dos triángulos rectángulos de hipotenusa $1$ , base $\frac12$ y altura $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pitágoras). Los ángulos son $60^\circ$ (en la base) y $30^\circ$ (arriba). Leyendo las razones:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Problema: Medir lo que no se puede alcanzar

Problema 69.1

Problema de fin de semana — el método topográfico de las dos estaciones para alturas inaccesibles, las pendientes de las carreteras, la distancia al horizonte y la carrera de la tangente hacia el infinito

Ninguna cinta métrica llega a la cima de una montaña, a lo alto de una torre al otro lado de un río o al horizonte en el mar — pero un medidor de ángulos y las tres razones de este capítulo sí. La pieza central de este problema es el clásico método de las dos estaciones de los topógrafos, que calcula una altura sin acercarse jamás a su base; a su alrededor: señales de tráfico, escaleras de mano, escalones, la curvatura de la Tierra y un primer vistazo a una función que explota hacia el infinito.

Parte I — Una estación. (Valores: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

desde un punto situado a $60$ m del pie de un faro, se ve lo alto con una elevación de $35^\circ$ (medida desde la horizontal, a la altura de los ojos). ¿Cuánto sobresale lo alto por encima del nivel de los ojos?;
una señal de tráfico anuncia una pendiente del $12\,\%$ : la carretera sube $12$ m por cada $100$ m de avance horizontal. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? ¿Y qué porcentaje de pendiente tendría una carretera de $45^\circ$ ?;
los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, y el lado opuesto de cada uno es el lado adyacente del otro. Deduce las identidades «co»:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
una escalera de mano de $8$ m se apoya formando $60^\circ$ con el suelo. Usando los valores exactos del Ejemplo 69.9, da la altura alcanzada y la distancia del pie a la pared — exactamente y después al centímetro;
verifica $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numéricamente para $\theta = 35^\circ$ y exactamente para $\theta = 60^\circ$ . ¿Por qué es esta identidad (Proposición 69.4) una buena costumbre para comprobar lo que hace la calculadora?

Parte II — Dos estaciones. Se ve la cima de una montaña, pero su base es inalcanzable. Desde un punto $A$ , la elevación de la cima es de $30^\circ$ ; caminando $200$ m en línea recta hacia la montaña, hasta $B$ , la elevación pasa a ser de $40^\circ$ . Escribe $h$ para la altura de la cima sobre el nivel de los ojos y $x$ para la distancia horizontal de $B$ a la vertical de la cima. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

expresa $\tan 40^\circ$ y $\tan 30^\circ$ usando $h$ , $x$ y $x + 200$ : dos ecuaciones para dos incógnitas;
a partir de cada ecuación, expresa la distancia horizontal en función de $h$ , resta y deduce la fórmula de las dos estaciones:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

calcula $h$ redondeando a la decena de metros;
calcula también $x$ y comprueba que tus dos respuestas tienen sentido frente a la visual de $30^\circ$ desde $A$ ;
en una frase: ¿por qué es indispensable el método de las dos estaciones? ¿Qué única medida, aquí imposible, habría exigido el método de una estación de la pregunta 1?;
se ve una torre con $30^\circ$ y, tras caminar $200$ m hacia ella, con $60^\circ$ . Usando $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ y $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calcula la altura exactamente — la respuesta es un múltiplo de $\sqrt3$ — y después al metro.

Parte III — Hasta el horizonte y pared arriba.

¿a qué distancia está el horizonte? De pie, con los ojos a $h$ metros sobre una Tierra esférica de radio $R$ , tu línea de visión roza la esfera: la visual, el radio hasta el punto de roce y el radio hasta tus pies forman un triángulo rectángulo. Demuestra con Pitágoras (Teorema 69.1) que la distancia $d$ al horizonte cumple $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , y calcula $d$ para unos ojos a $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m);
la misma pregunta desde lo alto de una torre de $324$ m. (Regla práctica de los marinos: el horizonte en kilómetros es de unos $3.6\sqrt{h}$ con $h$ en metros — contrasta con ella tus dos respuestas.);
tu pulgar, de unos $2$ cm de ancho, con el brazo estirado, a unos $60$ cm del ojo: ¿qué ángulo abarca? La Luna llena abarca unos $0.5^\circ$ : ¿qué parte de tu pulgar tapa la Luna entera?;
una escalera cómoda tiene contrahuellas de $17$ cm y huellas de $29$ cm. ¿Con qué ángulo sube? Compáralo con los $30^\circ$ del Ejemplo 69.9 y con una escalera de desván empinada de $60^\circ$ : ¿qué contrahuella necesitaría esa con una huella de $29$ cm?;
la carrera de la tangente: calcula (con calculadora) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . ¿Qué pasa cuando el ángulo se acerca a $90^\circ$ , y por qué (piensa en el lado adyacente)? La pared es vertical, la razón no tiene valor y la gráfica se dispara hacia el infinito — tu primera asíntota, una criatura que se estudia de cerca en el volumen de secundaria superior.

Solución

Solución de Problema 69.1.

1. La altura por encima del nivel de los ojos es el lado opuesto a $35^\circ$ , con lado adyacente $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ da $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — empinado para una carretera y, aun así, un ángulo modesto. Una carretera de $45^\circ$ tiene $\tan 45^\circ = 1$ : una pendiente del $100\,\%$ . («Cien por cien» está lejos de ser vertical — un malentendido clásico en los telesillas.)

3. En un triángulo rectángulo de ángulos agudos $\theta$ y $90^\circ - \theta$ , el lado opuesto a uno es el adyacente del otro y la hipotenusa es común. Así que $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{su opuesto}}{h} = \frac{\text{adyacente de }\theta}{h} = \cos\theta$ , y simétricamente $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : el coseno es el seno del complementario.

4. Altura: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pie: $8 \cos 60^\circ = 4$ m exactamente.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (salvo redondeo); y $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Cualquier pareja de valores que no cumpla la identidad delata una lectura equivocada o una calculadora en el modo equivocado — un detector de errores gratis.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ y $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ y $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; restando, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , de donde la fórmula. Números: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , diferencia $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Comprobación desde $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : coherente.

9. El método de una estación necesita la distancia horizontal al punto situado justo debajo de la cima — imposible de medir a través de un barranco o dentro de una montaña. El método de las dos estaciones la sustituye por una distancia que puedes recorrer tú mismo: los $200$ m entre tus dos puntos de observación.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — el segundo piso de la torre Eiffel, medido con dos visuales y un paseo.

11. Visual $d$ , radios $R$ (hasta el punto de roce, perpendicular a la visual) y $R + h$ (hasta el ojo): Pitágoras da $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , luego $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ es minúsculo frente a $R$ ). Con los ojos a $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — el horizonte marino está a apenas cinco kilómetros.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km. Regla de los marinos: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km y $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — las dos coinciden.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ da $\theta \approx 1.9^\circ$ . Los $0.5^\circ$ de la Luna son aproximadamente un cuarto de pulgar: la Luna parece enorme y la tapa una uña — el ojo es mal transportador.

14. Escalera: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — una escalera cómoda sube casi exactamente con los $30^\circ$ de los valores especiales. Con $60^\circ$ y una huella de $29$ cm, la contrahuella tendría que ser $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm: una escalera de mano, no una escalera de casa.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Cuando $\theta \to 90^\circ$ , el lado adyacente se encoge hasta nada mientras el opuesto aguanta: el cociente crece por encima de cualquier cota. En $90^\circ$ exactamente no hay triángulo ni valor — la gráfica de la tangente trepa por una asíntota vertical, la primera de muchas en el volumen de secundaria superior.

Términos definidos en este capítulo

Razones trigonométricas

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