59Puntos medios y paralelas

Solución de Problema 59.1.

1. Sea cual sea el triángulo dibujado, las tres medianas parecen pasar por un único punto, situado dentro del triángulo, visiblemente más cerca del punto medio de cada lado que del vértice opuesto. El resto del problema lo demuestra.

2. Toma la mediana $[AK]$ del triángulo $ABC$: los triángulos $ABK$ y $AKC$ tienen bases $BK$ y $KC$ de la misma longitud ($K$ es el punto medio de $[BC]$) llevadas por la misma recta $(BC)$, y la misma altura: la distancia de $A$ a $(BC)$. Por la fórmula del área, cada uno tiene área base $\times$ altura $\div\ 2$, con bases iguales y alturas iguales: las áreas son iguales. Para un triángulo de área $36$ cm$^2$: dos trozos de $18$ cm$^2$ cada uno.

3. $I$ y $J$ son los puntos medios de los lados $[AB]$ y $[AC]$ del triángulo $ABC$, así que, por el Teorema 59.1: $(IJ) \parallel (BC)$ y $IJ = \frac{BC}{2}$.

4. $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $[GB]$ y $[GC]$ del triángulo $GBC$, así que, por el mismo teorema: $(MN) \parallel (BC)$ y $MN = \frac{BC}{2}$.

5. Tanto $(IJ)$ como $(MN)$ son paralelas a $(BC)$, luego paralelas entre sí; y $IJ = \frac{BC}{2} = MN$. El cuadrilátero $IJNM$ tiene, pues, dos lados opuestos, $[IJ]$ y $[NM]$, paralelos y de la misma longitud: por el criterio 3 del Teorema 52.9, $IJNM$ es un paralelogramo.

6. $G$ está en la mediana $[CI]$, y $N$ es el punto medio de $[GC]$, un segmento llevado por esa misma recta mediana: así que $I$, $N$ (y $G$, $C$) están todos sobre $(CI)$. Igualmente $J$, $M$ y $G$ están sobre la recta mediana $(BJ)$. En el paralelogramo $IJNM$, las diagonales son $[IN]$ y $[JM]$; están llevadas por las dos rectas medianas, que se cortan en $G$ — luego las diagonales se cortan en $G$. Por la definición de paralelogramo (criterio 1 del Teorema 52.9: las diagonales tienen el mismo punto medio), $G$ es el punto medio de $[IN]$ y de $[JM]$: $GI = GN$ y $GJ = GM$.

7. $M$ es el punto medio de $[GB]$, luego $BM = MG$; y $MG = GJ$ por la pregunta 6. Por tanto $BM = MG = GJ$: el trozo de mediana $[BJ]$ queda cortado en tres partes iguales, de las que $BG$ ocupa dos:

Simétricamente, $N$ es el punto medio de $[GC]$ y $GN = GI$, luego $CN = NG = GI$ y $CG = 2 \times GI$: también sobre la mediana $[CI]$, el punto de corte se sitúa a dos tercios del vértice.

8. El razonamiento no ha usado nada especial de la pareja $[BJ]$, $[CI]$: aplicado a la pareja $[BJ]$, $[AK]$, muestra que su punto de corte también está sobre $[BJ]$ a dos tercios de $B$. Ahora bien, solo hay un punto del segmento $[BJ]$ a distancia $\frac23 BJ$ de $B$ — luego el punto de corte de $[BJ]$ y $[AK]$ es exactamente ese mismo $G$. Las tres medianas pasan, pues, por $G$: son concurrentes.

9. $BG = \frac23 \times 9 = 6$ cm y $GJ = \frac13 \times 9 = 3$ cm.

10. Por la pregunta 8, el mismo cálculo de los dos tercios vale en la mediana $[AK]$ (aplica el razonamiento de las preguntas 4–7 a la pareja $[AK]$, $[BJ]$): $AG = 2 \times GK$.

11. En el triángulo $GBC$, el punto $K$ es el punto medio del lado $[BC]$, luego $[GK]$ es una mediana de $GBC$; por la pregunta 2, los triángulos $GBK$ y $GKC$ tienen áreas iguales.

12. La mediana $[AK]$ corta $ABC$ en $ABK$ y $AKC$, de áreas iguales (pregunta 2). Quitando a cada uno su triangulito de la pregunta 11:

y las áreas quitadas son iguales, luego $\text{área}(ABG) = \text{área}(ACG)$. El mismo cálculo a lo largo de la mediana $[BJ]$ — que parte $ABC$ en $ABJ$ y $CBJ$, mientras que $[GJ]$, mediana del triángulo $GAC$, lo parte en $GAJ$ y $GCJ$ — da $\text{área}(ABG) = \text{área}(CBG)$. Así que los tres triángulos $ABG$, $BCG$, $CAG$ tienen áreas iguales y, como juntos recubren $ABC$, cada uno tiene por área un tercio del total.

13. En el triángulo $ABG$, el punto $I$ es el punto medio del lado $[AB]$, luego $[GI]$ es una mediana de $ABG$ desde el vértice $G$: corta $ABG$ en dos triángulos de áreas iguales (pregunta 2), a saber $AIG$ e $IBG$. Lo mismo ocurre en $BCG$ (mediana $[GK]$) y en $CAG$ (mediana $[GJ]$). Cada tercio de $ABC$ queda cortado por la mitad: las seis porciones alrededor de $G$ tienen cada una área $\frac13 \times \frac12 = \frac16$ del triángulo.

14. En la mediana $[AK]$, de $A(0,0)$ a $K(3,3)$: $G$ se sitúa a dos tercios del camino, así que sus coordenadas son $\left(\frac23 \times 3,\ \frac23 \times 3\right) = (2, 2)$. En la mediana $[BJ]$, de $B(6, 0)$ a $J(0, 3)$: dos tercios del camino significa añadir dos tercios del desplazamiento ($-6$ en horizontal, $+3$ en vertical):

El mismo punto — como prometía la pregunta 8. Y $\frac{0 + 6 + 0}{3} = 2$, $\frac{0 + 0 + 6}{3} = 2$: las coordenadas del centro de gravedad son las medias de las coordenadas de los tres vértices.

15. Por la pregunta 2, el filo de un cuchillo apoyado a lo largo de una mediana deja la misma cantidad de cartón a cada lado (áreas iguales), así que el triángulo se equilibra sobre cada una de las tres rectas medianas. Un punto de equilibrio tiene que estar sobre las tres rectas de equilibrio a la vez y, por la pregunta 8, las tres medianas comparten exactamente un punto: $G$. Ahí es donde va la punta del lápiz. (Las áreas iguales a ambos lados son la versión creíble del argumento; la honesta, que pesa dónde está el cartón y no solo cuánto hay, necesita el cálculo integral de los volúmenes de la universidad — que confirma $G$.)