Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

40Rectas, circunferencias y ángulos

La geometría empieza con una regla, una escuadra y un compás. Este capítulo fija el vocabulario — puntos, segmentos, semirrectas, rectas, circunferencias —, presenta las dos posiciones especiales de las rectas (paralelas y perpendiculares) y enseña a medir y a trazar ángulos.

40.1 Puntos, segmentos y rectas

Definición 40.1 (Objetos básicos)

Por dos puntos distintos $A$ y $B$ pasan:

el segmento $[AB]$ : la parte de la recta comprendida entre $A$ y $B$ (tiene longitud, que se escribe $AB$ );
la semirrecta $[AB)$ : empieza en $A$ , pasa por $B$ y continúa indefinidamente;
la recta $(AB)$ : se prolonga indefinidamente por los dos lados. Dos puntos determinan exactamente una recta.

Los puntos que están en una misma recta se llaman alineados.

Los mismos dos puntos, tres objetos distintos. Los corchetes dicen qué se detiene y qué continúa: [ se detiene, ( continúa. — Los mismos dos puntos, tres objetos distintos. Los corchetes dicen qué se detiene y qué continúa: $[$ se detiene, $($ continúa.

40.2 Rectas paralelas y perpendiculares

Definición 40.2 (Perpendiculares, paralelas)

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto; escribimos $d_1 \perp d_2$ y marcamos el ángulo recto con un cuadradito. Dos rectas son paralelas cuando no se encuentran nunca, por mucho que se prolonguen; escribimos $d_1 \parallel d_2$ .

Un cruce en ángulo recto (marcado con el cuadradito) y dos paralelas: la misma dirección, sin punto de corte.

Proposición 40.3 (Dos hechos útiles)

si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, son paralelas entre sí;
si dos rectas son paralelas, toda recta perpendicular a una es perpendicular a la otra.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 40.4 (Dibujar con la escuadra)

Para trazar la perpendicular a una recta $d$ por un punto $P$ :

coloca un borde del ángulo recto de la escuadra sobre $d$ ;
desliza la escuadra a lo largo de $d$ hasta que el otro borde alcance $P$ ;
traza la recta siguiendo ese borde y marca el ángulo recto.

Para una paralela por $P$ : traza una perpendicular a $d$ y después la perpendicular a esa recta por $P$ (Proposición 40.3).

40.3 Circunferencias

Definición 40.5 (Circunferencia)

La circunferencia de centro $O$ y radio $r$ es el conjunto de todos los puntos que están exactamente a distancia $r$ de $O$ . Un segmento que va del centro a la circunferencia es un radio; un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro es un diámetro — su longitud es $2r$ ; un segmento que une dos puntos de la circunferencia es una cuerda.

Una circunferencia con un radio [OM], un diámetro [AB] (una cuerda que pasa por el centro, el doble de larga que el radio) y una cuerda [CD]. — Una circunferencia con un radio $[OM]$ , un diámetro $[AB]$ (una cuerda que pasa por el centro, el doble de larga que el radio) y una cuerda $[CD]$ .

Ejemplo 40.6

«Traza la circunferencia de centro $O$ que pasa por $A$ »: abre el compás de $O$ a $A$ — el radio es la distancia $OA$ — y gira. Todos los puntos de esta circunferencia están a la misma distancia de $O$ que $A$ .

40.4 Ángulos

Definición 40.7 (Ángulo)

Dos semirrectas $[AB)$ y $[AC)$ con el mismo origen $A$ forman el ángulo $\widehat{BAC}$ ; el punto $A$ es su vértice (¡siempre la letra del medio!). Los ángulos se miden en grados ( $^\circ$ ), de $0^\circ$ a $360^\circ$ para una vuelta completa. Un ángulo es:

recto si mide $90^\circ$ ;
agudo si mide menos de $90^\circ$ ;
obtuso si mide entre $90^\circ$ y $180^\circ$ ;
llano si mide $180^\circ$ (las dos semirrectas forman una recta).

Las cuatro familias de ángulos. El ángulo recto (90) es la referencia: agudo significa menor y obtuso, mayor. — Las cuatro familias de ángulos. El ángulo recto ( $90^\circ$ ) es la referencia: agudo significa menor y obtuso, mayor.

Método 40.8 (Medir un ángulo con el transportador)

coloca el centro del transportador exactamente sobre el vértice del ángulo;
alinea su línea de $0^\circ$ con un lado del ángulo;
lee la graduación por la que pasa el otro lado — usando la escala que empieza en $0$ del lado alineado;
comprueba a ojo: un ángulo agudo tiene que marcar menos de $90^\circ$ y uno obtuso, más.

Ejemplo 40.9

¡Antes de medir, estima! Un ángulo un poco más abierto que la esquina de una hoja de papel pasa un poco de $90^\circ$ ; medio ángulo recto son $45^\circ$ ; un tercio de ángulo recto son $30^\circ$ . Si tu transportador marca $150^\circ$ para un ángulo que parece agudo, has leído la escala equivocada: la medida correcta es $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Ejercicios

Ejercicio 40.1 ★

Traza tres puntos $A$ , $B$ y $C$ no alineados. Traza en colores distintos: el segmento $[AB]$ , la semirrecta $[CA)$ y la recta $(BC)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 40.1.

Construcción libre. El segmento se detiene en $A$ y en $B$ ; la semirrecta empieza en $C$ y sigue más allá de $A$ ; la recta continúa por los dos lados de $B$ y $C$ .

Ejercicio 40.2 ★

¿Verdadero o falso? « $[AB]$ y $[BA]$ son el mismo segmento.» « $[AB)$ y $[BA)$ son la misma semirrecta.» « $(AB)$ y $(BA)$ son la misma recta.» Explica cada respuesta.

Solución

Solución de Ejercicio 40.2.

« $[AB] = [BA]$ »: verdadero — la parte comprendida entre los dos puntos no depende del orden.

« $[AB) = [BA)$ »: falso — $[AB)$ empieza en $A$ y $[BA)$ empieza en $B$ ; apuntan en direcciones opuestas.

« $(AB) = (BA)$ »: verdadero — los dos nombres describen la misma recta ilimitada.

Ejercicio 40.3 ★

Traza una recta $d$ y un punto $P$ que no esté en $d$ . Construye con la escuadra: la perpendicular a $d$ por $P$ y después la paralela a $d$ por $P$ . Describe tus pasos.

Solución

Solución de Ejercicio 40.3.

Pasos: desliza la escuadra a lo largo de $d$ hasta que su borde perpendicular pase por $P$ ; traza esa perpendicular y llámala $p$ . Después traza la perpendicular a $p$ por $P$ del mismo modo: por la Proposición 40.3 es paralela a $d$ .

Ejercicio 40.4 ★

Las rectas $a$ y $b$ son las dos perpendiculares a una recta $c$ , y una cuarta recta $e$ es perpendicular a $a$ . ¿Qué puedes decir de $a$ y $b$ ? ¿Y de $e$ y $c$ ? Justifícalo con la Proposición 40.3.

Solución

Solución de Ejercicio 40.4.

$a$ y $b$ son las dos perpendiculares a la misma recta $c$ , así que $a \parallel b$ (hecho 1). Para $e$ y $c$ : las dos son perpendiculares a la misma recta $a$ (nos dicen que $e \perp a$ , y $a \perp c$ significa también $c \perp a$ ), así que el hecho 1 se aplica otra vez: $e \parallel c$ .

Ejercicio 40.5 ★

Traza una circunferencia de centro $O$ y radio $3$ cm. Sitúa un punto $M$ sobre la circunferencia, un punto $N$ dentro y un punto $P$ fuera. ¿Qué puedes decir de las distancias $OM$ , $ON$ y $OP$ comparadas con $3$ cm?

Solución

Solución de Ejercicio 40.5.

$OM = 3$ cm exactamente ( $M$ está sobre la circunferencia); $ON < 3$ cm ( $N$ dentro); $OP > 3$ cm ( $P$ fuera).

Ejercicio 40.6 ★

Una circunferencia tiene diámetro $9$ cm. ¿Cuál es su radio? Otra tiene radio $2.6$ cm: ¿cuál es su diámetro?

Solución

Solución de Ejercicio 40.6.

Radio $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diámetro $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Ejercicio 40.7 ★

Nombra con tres letras el ángulo marcado y clasifícalo (agudo, recto, obtuso o llano): un ángulo de $72^\circ$ con vértice $R$ entre las semirrectas hacia $S$ y $T$ ; un ángulo de $148^\circ$ con vértice $B$ entre las semirrectas hacia $A$ y $C$ ; un ángulo de $90^\circ$ con vértice $O$ entre las semirrectas hacia $M$ y $N$ .

Solución

Solución de Ejercicio 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : agudo. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtuso. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : recto. (El vértice es siempre la letra del medio.)

Ejercicio 40.8 ★

Estima y después mide con el transportador los tres ángulos de un triángulo que dibujes tú mismo. Suma las tres medidas: ¿qué obtienes? (Guarda tu respuesta para el Capítulo 51.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.8.

Las medidas dependen del triángulo dibujado, pero la suma de los tres ángulos es siempre (muy cercana a) $180^\circ$ — las pequeñas diferencias vienen de la imprecisión al medir. El Capítulo 51 demuestra que la suma es exactamente $180^\circ$ .

Ejercicio 40.9 ★

Traza un ángulo $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ con el transportador y después un ángulo de $130^\circ$ . ¿Cómo podrías obtener el segundo a partir del primero sin transportador?

Solución

Solución de Ejercicio 40.9.

Construcción libre. Para obtener $130^\circ$ a partir de $65^\circ$ sin transportador: copia el ángulo de $65^\circ$ dos veces, uno junto a otro ( $65 + 65 = 130$ ), por ejemplo con papel de calco o con una copia de ángulo hecha con regla y compás.

Ejercicio 40.10 ★★

En un mapa aparecen dos pueblos $A$ y $B$ . ¿Dónde están los puntos que están a $3$ cm de $A$ y a $2$ cm de $B$ ? Haz un dibujo que muestre cuántos puntos así puede haber ( $0$ , $1$ o $2$ , según la distancia $AB$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 40.10.

Los puntos que están a $3$ cm de $A$ forman la circunferencia de centro $A$ y radio $3$ cm; los que están a $2$ cm de $B$ forman la circunferencia de centro $B$ y radio $2$ cm. Los puntos buscados son las intersecciones de las dos circunferencias: dos puntos si las circunferencias se cortan ( $AB$ estrictamente entre $1$ y $5$ cm), uno si son tangentes ( $AB = 5$ cm o $AB = 1$ cm) y ninguno si están demasiado lejos o una dentro de la otra.

Ejercicio 40.11 ★★

Un reloj marca las 3 en punto: ¿qué ángulo forman las dos agujas? La misma pregunta a las 5 en punto y a las 6 en punto. (Una vuelta completa son $360^\circ$ para $12$ horas.)

Solución

Solución de Ejercicio 40.11.

Las $12$ marcas horarias parten la vuelta completa en $12$ ángulos de $360 \div 12 = 30^\circ$ . A las 3 en punto las agujas abarcan $3$ marcas: $90^\circ$ (un ángulo recto). A las 5 en punto: $5 \times 30 = 150^\circ$ . A las 6 en punto: $180^\circ$ (un ángulo llano).

Ejercicio 40.12 ★★★

Traza un segmento $[AB]$ de $6$ cm. Construye el punto $C$ tal que $AC = BC = 6$ cm usando solo el compás, y mide el ángulo $\widehat{CAB}$ . ¿Qué triángulo has construido y qué conjeturas sobre sus ángulos?

Solución

Solución de Ejercicio 40.12.

Traza dos arcos de radio $6$ cm con centro en $A$ y en $B$ ; su punto de corte es $C$ . Los tres lados miden $6$ cm: el triángulo es equilátero y cada ángulo mide $60^\circ$ (la medida lo confirma). Conjetura: un triángulo equilátero tiene tres ángulos iguales de $60^\circ$ .

40.6 Problema: La geometría de la esfera del reloj

Problema 40.1

Problema de fin de semana — los ángulos como fracciones de vuelta: leerlos en un reloj, cazar los momentos en que las agujas coinciden y repartir un día en un diagrama de sectores

Un reloj es un transportador que da la hora: su esfera es una vuelta completa de $360^\circ$ , cortada por las doce marcas horarias en doce ángulos iguales. Ejercicio 40.11 midió las agujas a las 3 y a las 6 en punto; este problema construye la teoría completa — incluidos los momentos en que ninguna aguja apunta a una marca —, responde a una pregunta que pocos adultos aciertan («¿cuántas veces se ponen las dos agujas exactamente una encima de la otra?») y termina repartiendo un día entero en un diagrama de sectores.

Parte I — Fracciones de vuelta.

una vuelta completa mide $360^\circ$ . ¿Cuántos grados son media vuelta, un cuarto de vuelta y un doceavo de vuelta?
las doce marcas horarias cortan la esfera del reloj en doce ángulos iguales en el centro. ¿Cuántos grados hay entre dos marcas vecinas? Recupera la respuesta del Ejercicio 40.11 para las 3 en punto contando marcas;
di el ángulo entre las agujas a la 1, a las 4 y a las 7 en punto. (A las 7 las agujas separan la esfera en dos ángulos; «el ángulo entre las agujas» significa siempre el menor.)
el minutero da una vuelta completa en $60$ minutos. ¿Cuántos grados barre por minuto?
la aguja horaria va de una marca a la siguiente — $30^\circ$ — en $60$ minutos. ¿Cuántos grados barre ella por minuto? (Un número decimal, Capítulo 38.)

Parte II — Momentos en que nada apunta a una marca.

a las 3:30, el minutero apunta al $6$ . ¿Dónde está exactamente la aguja horaria? Calcula el ángulo de cada aguja desde el $12$ (midiendo en el sentido de las agujas del reloj) y deduce el ángulo entre las agujas;
a las 6:30 mucha gente cree que las agujas están una encima de la otra. Adivina primero y calcula después el ángulo como en la pregunta 6. ¿Quién tenía razón?
calcula el ángulo entre las agujas a las 9:15;
explica por qué, en algún momento entre la 1:00 y la 1:10, las dos agujas tienen que estar exactamente una encima de la otra: ¿dónde está el minutero respecto de la aguja horaria a la 1:00 y dónde a la 1:10? ¿Qué aguja va más deprisa y por qué eso lo resuelve?
en doce horas, ¿cuántas veces se ponen las dos agujas exactamente una encima de la otra? (Hay un encuentro en cada tramo entre dos horas sucesivas — con una excepción: ¿qué pasa entre las 11 y las 12? Enumera las horas aproximadas de los encuentros y cuéntalas.) ¿Y en un día entero?

Parte III — Ángulos alrededor de un punto: diagramas de sectores.

los doce sectores de la esfera del reloj llenan juntos la esfera: sus ángulos suman $360^\circ$ . Explica por qué esto vale para cualquier colección de ángulos que comparten vértice y llenan una vuelta completa a su alrededor, sin solaparse y sin dejar huecos;
Zoe anota su día de $24$ horas: dormir $9$ h, colegio $6$ h, juego $3$ h, comidas $2$ h y todo lo demás $4$ h. Quiere un diagrama de sectores: un disco en el que cada actividad recibe un sector, con ángulos proporcionales a los tiempos. ¿Qué fracción del día es cada actividad y cuántos grados recibe su sector? Comprueba que los cinco ángulos suman $360^\circ$ ;
describe, paso a paso, cómo dibujar el diagrama de Zoe con compás y transportador (Método 40.8): dónde va el primer radio y cómo cada sector nuevo empieza donde termina el anterior;
en otro diagrama de sectores de un día, un sector mide exactamente $90^\circ$ . ¿Qué fracción del disco es y cuántas horas representa?
el final, de vuelta al reloj: en $24$ horas, ¿cuántas vueltas completas da la aguja horaria? ¿Y el minutero? ¿Y el segundero? (Una de estas respuestas pasa de mil.)

Solución

Solución de Problema 40.1.

1. Media vuelta: $360 \div 2 = 180^\circ$ . Un cuarto: $360 \div 4 = 90^\circ$ . Un doceavo: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Doce ángulos iguales que llenan $360^\circ$ : $30^\circ$ entre marcas vecinas. A las 3 en punto las agujas abarcan $3$ marcas: $3 \times 30 = 90^\circ$ — un ángulo recto, como se vio en el Ejercicio 40.11.

3. A la 1 en punto: $1 \times 30 = 30^\circ$ . A las 4 en punto: $4 \times 30 = 120^\circ$ . A las 7 en punto las agujas abarcan $7$ marcas por un lado, $7 \times 30 = 210^\circ$ , así que el ángulo entre las agujas es el del otro lado: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ en $60$ minutos: $360 \div 60 = 6^\circ$ por minuto.

5. $30^\circ$ en $60$ minutos: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ por minuto — medio grado. La aguja horaria se arrastra y el minutero corre.

6. En los $30$ minutos transcurridos desde las 3:00, la aguja horaria se ha movido $30 \times 0.5 = 15^\circ$ más allá del $3$ : queda exactamente a mitad de camino entre el $3$ y el $4$ , a $90 + 15 = 105^\circ$ del $12$ . El minutero apunta al $6$ : $180^\circ$ . Ángulo entre las agujas: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. El cálculo vence a la intuición: el minutero está a $180^\circ$ , pero la aguja horaria ha dejado atrás el $6$ — está a $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . El ángulo entre las agujas es $195 - 180 = 15^\circ$ : cerca, pero no una encima de la otra.

8. Minutero en el $3$ : $90^\circ$ . Aguja horaria: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Diferencia: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , así que el ángulo entre las agujas es $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — casi un ángulo llano.

9. A la 1:00 el minutero ( $0^\circ$ ) va por detrás de la aguja horaria ( $30^\circ$ ). A la 1:10 el minutero ( $60^\circ$ ) va por delante de ella ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). El minutero corre más deprisa ( $6^\circ$ por minuto frente a $0.5^\circ$ ), así que entre la 1:00 y la 1:10 la alcanza y la adelanta — en el instante del adelantamiento, las dos agujas están exactamente una encima de la otra.

10. El mismo alcance se repite una y otra vez: las agujas coinciden a las 12:00 exactamente, y después alrededor de la 1:05, las 2:11, las 3:16, las 4:22, las 5:27, las 6:33, las 7:38, las 8:44, las 9:49 y las 10:55. El encuentro que cabría esperar entre las 11 y las 12 cae exactamente a las 12:00, que ya empieza la vuelta siguiente — así que en doce horas las agujas coinciden $11$ veces, no $12$ . En un día entero: $22$ veces.

11. Los ángulos que comparten vértice, sin solaparse y sin dejar huecos, recubren la vuelta completa alrededor de ese vértice: al barrer una vez alrededor del punto se pasa exactamente una vez por cada ángulo, y un barrido completo son $360^\circ$ . Así que las medidas suman $360^\circ$ — sea cual sea el número de ángulos y su tamaño.

12. Cada hora del día vale $360 \div 24 = 15^\circ$ . Así:

\text{dormir } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{colegio } 90^\circ, \quad \text{juego } 45^\circ, \quad \text{comidas } 30^\circ, \quad \text{lo demás } 60^\circ,

y $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : el disco queda lleno, sin huecos ni solapamientos (pregunta 11).

13. Traza una circunferencia con el compás y un radio (la línea de partida). Coloca el centro del transportador sobre el centro de la circunferencia, su línea de $0^\circ$ sobre el radio y marca $135^\circ$ ; traza el radio nuevo: el sector de dormir está hecho. Después coloca la línea de $0^\circ$ sobre ese radio y marca $90^\circ$ para el colegio, y así sucesivamente — cada sector empieza donde termina el anterior. Después del último sector, el dibujo se cierra exactamente sobre el radio de partida.

14. $90^\circ$ son $\frac{90}{360} = \frac14$ del disco (Método 39.7), así que representa un cuarto del día: $24 \div 4 = 6$ horas.

15. La aguja horaria da una vuelta en $12$ horas: $2$ vueltas al día. El minutero, una vuelta por hora: $24$ vueltas. El segundero, una vuelta por minuto: $24 \times 60 = 1\,440$ vueltas al día.