Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

27La simetría

Mariposas, caras, copos de nieve: a la naturaleza le gustan las figuras cuyas dos mitades encajan al doblarlas. Este capítulo explora la simetría con dobleces y papel cuadriculado — las construcciones con la escuadra esperan al Capítulo 42.

27.1 Doblar y encajar

Definición 27.1 (Eje de simetría)

Una recta es un eje de simetría de una figura cuando, al doblar la figura por esa recta, las dos mitades encajan exactamente. Una figura puede no tener ningún eje, tener uno o tener varios.

Dobla por la línea discontinua: las mitades encajan. El último triángulo no tiene ningún doblez que funcione — ningún eje de simetría.

Ejemplo 27.2 (Comprobar con papel de calco)

Calca la figura, dale la vuelta al papel de calco por el eje candidato y vuelve a ponerlo: si el calco cubre la figura exactamente, el eje es auténtico. La vista sola engaña a menudo — la diagonal de un rectángulo parece un eje, pero la prueba del doblez dice que no (¡pruébalo!).

27.2 Completar figuras en la cuadrícula

Método 27.3 (Simétrica de una figura respecto de una línea de la cuadrícula)

El eje es una línea vertical (u horizontal) de la cuadrícula.

toma uno a uno cada vértice de la figura;
cuenta su distancia al eje en casillas;
coloca el vértice imagen a la misma distancia al otro lado, en la misma fila (o columna);
une los vértices imagen en el mismo orden y comprueba: la imagen es la gemela reflejada de la figura.

Completar respecto del eje rojo: cada vértice salta a la misma distancia al otro lado. Los vértices que tocan el eje se quedarían donde están.

Ejemplo 27.4 (La misma forma, el mismo tamaño, del revés)

La imagen tiene exactamente las mismas longitudes y los mismos ángulos que el original: la simetría copia la figura — pero le da la vuelta, como una mano izquierda y una mano derecha. Si la letra original es una F, su imagen reflejada es una F al revés, no otra F.

27.3 Los ejes de las figuras habituales

Ejemplo 27.5 (Contar ejes)

Doblando:

un cuadrado: $4$ ejes (dos por los puntos medios de lados opuestos y dos por las diagonales);
un rectángulo: $2$ ejes (¡solo los de los puntos medios de lados opuestos!);
un triángulo isósceles: $1$ ; un triángulo equilátero: $3$ ;
un círculo: cualquier recta que pase por su centro — más ejes de los que se pueden contar.

Ejemplo 27.6 (La simetría en el alfabeto)

A, M, T, U y V tienen eje vertical; B, C, D y E tienen uno horizontal; H, I, O y X tienen los dos. Las palabras hechas con las letras adecuadas pueden ser simétricas también: OSO tiene eje vertical; OXO funciona en los dos sentidos.

27.4 Ejercicios

Ejercicio 27.1 ★

Calca y dobla: ¿cuáles de estas figuras tienen un eje de simetría — un cuadrado; un rectángulo (no cuadrado); un triángulo escaleno (con los tres lados distintos); un círculo?

Solución

Solución de Ejercicio 27.1.

Cuadrado: sí ( $4$ ejes). Rectángulo: sí ( $2$ ). Triángulo escaleno: no hay doblez que funcione. Círculo: sí — cualquier recta que pase por el centro.

Ejercicio 27.2 ★

Traza los ejes de simetría de: un cuadrado; un rectángulo; un triángulo equilátero. ¿Cuántos tiene cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 27.2.

Cuadrado: $4$ (dos rectas medias y dos diagonales). Rectángulo: $2$ (solo las rectas medias). Triángulo equilátero: $3$ (una por cada vértice).

Ejercicio 27.3 ★

Usa la prueba del papel de calco del Ejemplo 27.2 para demostrar que la diagonal de un rectángulo de $6 \times 4$ no es un eje de simetría.

Solución

Solución de Ejercicio 27.3.

Al doblar por la diagonal, las dos mitades triangulares tienen la misma forma, pero no se superponen — una está «girada del revés»: el calco cae al lado de la figura, no encima. Así que la diagonal no es un eje.

Ejercicio 27.4 ★

En papel cuadriculado, traza un eje vertical y dibuja la letra L (de tres casillas de alto y dos de ancho) a $2$ casillas del eje. Construye su imagen reflejada.

Solución

Solución de Ejercicio 27.4.

La L imagen queda a $2$ casillas al otro lado del eje, escrita del revés (una L reflejada), con los mismos tamaños.

Ejercicio 27.5 ★

En papel cuadriculado, traza un eje horizontal y dibuja encima una banderita (un triángulo de $1 \times 1$ sobre un mástil de $3$ casillas). Completa la figura por simetría por debajo del eje.

Solución

Solución de Ejercicio 27.5.

La figura completa muestra la bandera y su reflejo boca abajo por debajo del eje, mástil bajo mástil.

Ejercicio 27.6 ★

Una figura toca su eje de simetría en un punto $P$ . ¿Dónde está la imagen de $P$ ? Explícalo con el dibujo del doblez.

Solución

Solución de Ejercicio 27.6.

$P$ no se mueve: al doblar por el eje, todo punto que está sobre el eje se queda exactamente donde está — $P$ es su propia imagen.

Ejercicio 27.7 ★

Clasifica las letras mayúsculas A, B, E, F, H, N, O y T: ¿eje vertical? ¿eje horizontal? ¿los dos? ¿ninguno?

Solución

Solución de Ejercicio 27.7.

Eje vertical: A, H, O, T. Eje horizontal: B, E, H, O. Los dos: H, O. Ninguno: F, N.

Ejercicio 27.8 ★

Un triángulo tiene lados de $5$ cm, $5$ cm y $3$ cm. ¿Tiene algún eje de simetría? ¿Qué lados intercambia el doblez?

Solución

Solución de Ejercicio 27.8.

Sí: el triángulo es isósceles y su eje pasa por el vértice que hay entre los dos lados de $5$ cm y por el punto medio de la base de $3$ cm. El doblez intercambia los dos lados iguales.

Ejercicio 27.9 ★★

En papel cuadriculado, dibuja una figura tuya que tenga exactamente dos ejes de simetría y traza los dos. (Pista: piensa en un rectángulo o en una cruz.)

Solución

Solución de Ejercicio 27.9.

Vale cualquier figura con exactamente dos ejes: un rectángulo (no cuadrado), una cruz con brazos de dos longitudes distintas (horizontal larga y vertical corta) o un óvalo. Los dos ejes se cortan siempre en el centro de la figura.

Ejercicio 27.10 ★★

Se da la mitad de un dibujo simétrico: la mitad izquierda de una casa (una pared cuadrada y medio tejado triangular), con un eje vertical a lo largo de su borde derecho. Describe o dibuja la casa completa. ¿Cómo son las longitudes de la mitad derecha completada frente a las de la izquierda?

Solución

Solución de Ejercicio 27.10.

La casa completa es la mitad izquierda más su gemela reflejada: una pared del doble de ancho que la media pared, bajo un tejado triangular entero. Cada longitud de la derecha es igual a su pareja de la izquierda — la simetría copia las longitudes exactamente.

Ejercicio 27.11 ★★

Aya afirma: «todo triángulo con dos lados iguales tiene un eje de simetría, y todo triángulo con un eje de simetría tiene dos lados iguales». Pon a prueba su doble afirmación con dibujos: un triángulo isósceles, uno equilátero y uno escaleno. ¿La respalda el doblez?

Solución

Solución de Ejercicio 27.11.

Los dibujos respaldan las dos direcciones: el triángulo isósceles se dobla por la recta que pasa por su vértice (dos lados iguales $\to$ eje); el equilátero se dobla de tres maneras; el escaleno no tiene ningún eje (sin lados iguales $\to$ sin eje). La doble afirmación de Aya es correcta — se demostrará en el Capítulo 42.