68El teorema de Tales

Problema 68.1

Problema de fin de semana — Tales en acción: dividir cualquier segmento en partes iguales, medir el Sol con una caja de zapatos y un trapecio donde se dan cita las tres medias famosas

El teorema de Tales es la matemática de los rayos: rayos de sol, rayos de luz por un agujerito, rayos de lápiz desde un vértice. Este problema lo usa de tres maneras — como herramienta de construcción (dividir un segmento de longitud cualquiera, incluso $\sqrt2$, en partes perfectamente iguales), como instrumento de medida (el diámetro del Sol, con una caja de zapatos y una moneda) y como lupa sobre el trapecio del Ejercicio 68.9, donde las medias aritmética, geométrica y armónica de esta serie aparecen todas en una sola figura.

Parte I — Dividir con una regla sin marcas.

1. dibuja un segmento $[AB]$ de $7$ cm. Para cortarlo en tres partes iguales con compás y regla sin marcas: traza un rayo cualquiera desde $A$ (que no pase por $B$); lleva sobre él tres longitudes iguales de compás, lo que da los puntos $P_1$, $P_2$, $P_3$; une $P_3$ con $B$; traza las paralelas a $(P_3 B)$ por $P_1$ y $P_2$. Haz la construcción y marca dónde cortan las paralelas a $[AB]$;
2. justifica con el Teorema 68.1 que los dos puntos marcados cortan $[AB]$ exactamente en sus puntos de trisección;
3. adapta el método para dividir un segmento en $5$ partes iguales y después para construir $\frac35$ de un segmento dado;
4. construye el punto $M$ de $[AB]$ con $\frac{AM}{MB} = \frac23$ (es decir, $M$ a $\frac25$ del camino desde $A$). ¿Cuántos pasos iguales sobre el rayo y qué punto se une con $B$?;
5. ¿por qué es mejor esta construcción que medir con una regla graduada? Piensa en un segmento de longitud $\sqrt2$ (la diagonal de un cuadrado unidad, irracional por el Problema 65.1): ¿qué daría medir y qué da Tales?

Parte II — La cámara estenopeica. Pincha con un alfiler una cara de una caja cerrada: en la cara opuesta aparece una imagen del mundo del revés. Un punto de un objeto, el agujerito y el punto imagen están alineados — la luz viaja en línea recta — así que el objeto (altura $H$, a distancia $D$ delante del agujero) y su imagen (altura $h$, sobre la pared del fondo a profundidad $d$ detrás del agujero) están en la configuración de mariposa de Tales.

6. deduce la fórmula del estenopo $h = H \times \frac dD$ a partir de Tales en la mariposa alrededor del agujero;
7. un árbol de $12$ m está a $30$ m de una caja de zapatos de profundidad $20$ cm. ¿Cuánto mide su imagen y en qué posición?;
8. apunta la caja al Sol: a $d = 1$ m detrás del agujerito, la imagen del Sol es un disco de diámetro de unos $9$ mm. Dada la distancia del Sol $D = 1.5 \times 10^{11}$ m, calcula su diámetro en notación científica (la notación del Problema 63.1 en acción). Compáralo con el valor verdadero, $1.39 \times 10^9$ m;
9. la Luna: diámetro $3.5 \times 10^6$ m, distancia $3.8 \times 10^8$ m. Calcula la razón $\frac{\text{diámetro}}{\text{distancia}}$ para la Luna y para el Sol. ¿Qué afortunada coincidencia revelan los dos números — y qué espectacular fenómeno la hace posible?;
10. en una o dos frases: ¿por qué la imagen del estenopo está del revés y por qué agrandar el agujerito hace la imagen más luminosa pero más borrosa?

Parte III — El trapecio de las tres medias. $ABCD$ es el trapecio del Ejercicio 68.9: $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, con las diagonales cortándose en $O$ y $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$.

11. práctica de mariposa: dos rectas se cortan en $O$ con $(MN) \parallel (PQ)$ en posición de mariposa; $OM = 3$, $OP = 7.5$, $MN = 4$ y $OQ = 6$. Calcula $PQ$ y $ON$;
12. explica cómo Tales, aplicado con razón $\frac12$, contiene el teorema de los puntos medios del Teorema 59.1 como caso particular;
13. traza la paralela a las bases por $O$; corta $[AD]$ en $E$. Trabajando en el triángulo $ACD$ (observa que $\frac{AO}{AC} = \frac25$), calcula $EO$;

14. por el cálculo simétrico en el triángulo $BDC$, el trozo $OF$ (con $F$ sobre $[BC]$) tiene la misma longitud. Concluye que

    $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$

    la paralela por el cruce de las diagonales mide la media armónica de las bases — la media de la ida y vuelta del Problema 61.1, reapareciendo en geometría pura;

15. gran final: calcula las tres medias clásicas de las bases $4$ y $6$ — la aritmética $\frac{4+6}{2}$, la geométrica $\sqrt{4 \times 6}$ y la armónica $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — y ordénalas. Cada una vive en el trapecio: la media aritmética es la paralela media que une los puntos medios de los lados oblicuos (Problema 53.1), la media armónica es tu segmento $EF$ y la media geométrica es la paralela que corta el trapecio en dos trapecios semejantes (comprueba su valor con una calculadora; la demostración es un bonito reto extra). ¿Dónde se ha demostrado en este libro la desigualdad entre las tres (Problema 60.1, Problema 61.1)?