Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

35Cubos y ortoedros

Salimos de la página plana: los cuerpos geométricos son las formas del mundo real — dados, cajas de cereales, latas, balones. Este capítulo aprende a nombrarlos, a contar sus caras y aristas, a desplegarlos en desarrollos y a medir su volumen contando cubos pequeños. (Las fórmulas del volumen llegan en el Capítulo 43.)

35.1 La familia de los cuerpos

Definición 35.1 (Los cuerpos y su vocabulario)

Un cuerpo geométrico ocupa espacio. Sus lados planos son las caras; las caras se encuentran a lo largo de las aristas; las aristas se encuentran en los vértices. El retrato de familia:

el cubo: $6$ caras cuadradas, $12$ aristas, $8$ vértices;
el ortoedro (o caja rectangular): $6$ caras rectangulares, $12$ aristas, $8$ vértices;
el cilindro: dos caras circulares y una cara enrollada (una lata);
la pirámide: una base poligonal y triángulos que se encuentran en un vértice;
la bola (esfera): una superficie perfectamente redonda, sin caras ni aristas.

La galería de cuerpos. Las líneas discontinuas marcan las aristas ocultas — la parte de atrás del cuerpo, vista a través de él.

Ejemplo 35.2 (Contar en el cubo)

Compruébalo en un dado: $6$ caras (los números del $1$ al $6$ ), $8$ vértices (las esquinas) y $12$ aristas (recórrelas con el dedo: $4$ arriba, $4$ abajo y $4$ verticales). Y $6 + 8 = 12 + 2$ — el mismo patrón curioso vale para el ortoedro y la pirámide (el Ejemplo 62.2 vuelve sobre ello).

35.2 Desarrollos

Definición 35.3 (Desarrollo)

Un desarrollo de un cuerpo es un dibujo plano de todas sus caras, unidas por las aristas, que se pliega hasta formar el cuerpo — el cuerpo desenvuelto, como una caja de cartón aplastada para reciclar.

Tres disposiciones de seis cuadrados. Las dos primeras se pliegan en un cubo; la tercera no — al plegar, dos cuadrados caen sobre la misma cara y el cubo se queda abierto. ¡Recórtalas y pruébalo!

Ejemplo 35.4 (Leer un desarrollo)

En un dado, las caras opuestas suman $7$ . En un desarrollo, las caras opuestas son las que están separadas por exactamente un cuadrado en una fila (o al doblar una esquina) — ¡no las vecinas! Marcar las parejas en el desarrollo antes de plegar es un ejercicio estupendo para ver el espacio en plano.

35.3 Volumen: contar cubos

Definición 35.5 (Volumen contando cubos)

El volumen de un cuerpo construido con cubos unidad es el número de cubos que contiene. La unidad puede ser el centímetro cúbico (cm $^3$ ) o el metro cúbico (m $^3$ ).

Ejemplo 35.6 (Contar un ortoedro capa a capa)

Un ortoedro de $4$ cubos de largo, $3$ de ancho y $2$ de alto: la capa de abajo tiene $4 \times 3 = 12$ cubos y hay $2$ capas:

12 \times 2 = 24 \text{ cubos} .

Contar por capas funciona siempre — y demuestra en silencio la fórmula $V = L \times a \times h$ del Capítulo 43.

Un ortoedro de 4 × 3 × 2 cubos unidad, contado capa a capa. — Un ortoedro de $4 \times 3 \times 2$ cubos unidad, contado capa a capa.

Ejemplo 35.7 (Los mismos cubos, formas distintas)

Con ocho cubos unidad se puede construir un cubo de $2 \times 2 \times 2$ , una barra de $8 \times 1 \times 1$ o una losa de $4 \times 2 \times 1$ : tres cuerpos distintos, un mismo volumen ( $8$ cubos). El volumen cuenta el material, no la forma.

35.4 Ejercicios

Ejercicio 35.1 ★

Nombra un objeto real con forma de: cubo; ortoedro; cilindro; bola; pirámide.

Solución

Solución de Ejercicio 35.1.

Por ejemplo: un dado (cubo); una caja de cereales (ortoedro); una lata (cilindro); un balón (bola); ciertos tejados o los monumentos de Egipto (pirámide).

Ejercicio 35.2 ★

¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un ortoedro? Comprueba el patrón caras $+$ vértices $=$ aristas $+ 2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 35.2.

Un ortoedro tiene $6$ caras, $12$ aristas y $8$ vértices — y $6 + 8 = 12 + 2$ . ✓

Ejercicio 35.3 ★

¿Qué caras de un ortoedro son iguales? (Agrupa las seis caras en parejas.) ¿Qué tienen de especial las caras del cubo?

Solución

Solución de Ejercicio 35.3.

Las seis caras van en tres parejas de caras opuestas iguales (arriba–abajo, delante–detrás, izquierda–derecha). En un cubo, las seis caras son cuadrados idénticos.

Ejercicio 35.4 ★

Dibuja un desarrollo de un cubo de lado $2$ cm (usa el modelo en forma de cruz del capítulo), recórtalo y pliégalo.

Solución

Solución de Ejercicio 35.4.

Desarrollo en cruz: cuatro cuadrados de $2$ cm en fila, uno encima y otro debajo del segundo. Al plegar el anillo de cuatro se forman los costados; los dos cuadrados sueltos cierran la tapa y el fondo.

Ejercicio 35.5 ★

En el desarrollo en cruz de un dado, coloca los números del $1$ al $6$ de modo que las caras opuestas sumen $7$ . (Usa el Ejemplo 35.4 para hallar antes las parejas opuestas.)

Solución

Solución de Ejercicio 35.5.

En el desarrollo en cruz (cuatro cuadrados en fila, uno encima y otro debajo del segundo), las parejas opuestas son: los cuadrados $1$ y $3$ de la fila; los cuadrados $2$ y $4$ de la fila; el cuadrado de arriba y el de abajo. Una numeración correcta: fila $= 1, 2, 6, 5$ ; arriba $= 3$ ; abajo $= 4$ — así, $1{+}6$ , $2{+}5$ y $3{+}4$ suman $7$ .

Ejercicio 35.6 ★

Cuenta los cubos unidad: un ortoedro de $5$ de largo, $2$ de ancho y $3$ de alto; un cubo de lado $3$ ; una pila en forma de L hecha de una losa de $3 \times 2 \times 1$ con otra de $1 \times 2 \times 1$ encima.

Solución

Solución de Ejercicio 35.6.

Ortoedro: $5 \times 2 = 10$ por capa y $3$ capas: $30$ cubos. Cubo: $3 \times 3 \times 3 = 27$ . Pila en L: $3 \times 2 \times 1 = 6$ más $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ cubos.

Ejercicio 35.7 ★

Un ortoedro contiene exactamente $12$ cubos unidad en una capa. Da dos formas posibles de capa ( $L \times a$ ) y, para cada una, el volumen del ortoedro si tiene $3$ capas iguales.

Solución

Solución de Ejercicio 35.7.

Capas de $12$ : por ejemplo, $4 \times 3$ o $6 \times 2$ (o $12 \times 1$ ). Con $3$ capas, el volumen es $12 \times 3 = 36$ cubos en todos los casos.

Ejercicio 35.8 ★

Con $27$ cubos unidad, ¿qué cubo puedes construir? ¿Y con $64$ ? (Piensa en el recuento por capas al revés.)

Solución

Solución de Ejercicio 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : un cubo de lado $3$ . $64 = 4 \times 4 \times 4$ : un cubo de lado $4$ .

Ejercicio 35.9 ★★

Los terrones de azúcar de $1$ cm de lado vienen en una caja de $10$ cm de largo, $5$ cm de ancho y $4$ cm de alto (medidas interiores). ¿Cuántos terrones caben? Si una familia gasta $6$ terrones al día, ¿para cuántos días le dura una caja (redondea con sentido común)?

Solución

Solución de Ejercicio 35.9.

En la caja caben $10 \times 5 \times 4 = 200$ terrones de azúcar. A $6$ al día: $200 = 6 \times 33 + 2$ , así que la caja dura $33$ días completos (y quedan $2$ terrones para la mañana del día $34$ ).

Ejercicio 35.10 ★★

Un cubo de $3 \times 3 \times 3$ se pinta de rojo por fuera y luego se corta en $27$ cubos unidad. ¿Cuántos cubos pequeños tienen pintura en exactamente $3$ caras? ¿Y en $2$ ? ¿Y en $1$ ? ¿Y en ninguna? (Comprobación: los cuatro recuentos deben sumar $27$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 35.10.

Con pintura en $3$ caras: los $8$ cubos de las esquinas. En $2$ caras: los del medio de las $12$ aristas, $12$ cubos. En $1$ cara: los centros de las $6$ caras, $6$ cubos. En ninguna: el único cubo central escondido, $1$ . Comprobación: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ . ✓