Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

70Cuerpos y volúmenes

La geometría del espacio empieza con una pequeña familia de cuerpos — prismas, cilindros, pirámides, conos, esferas — y dos preguntas: ¿cuánto caben (volumen) y qué se ve al cortarlos (secciones)? El capítulo se cierra con un hecho de gran importancia práctica: escalar un cuerpo con factor $k$ multiplica su volumen por $k^3$ .

70.1 Los cuerpos clásicos y sus volúmenes

Teorema 70.1 (Fórmulas de volumen)

Escribe $B$ para el área de la base y $h$ para la altura (la distancia entre la base y la cara o el vértice opuestos).

cuerpo	volumen
prisma, cilindro	$V = B \times h$
[5pt] pirámide, cono	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] esfera de radio $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Para un cilindro y un cono de radio $r$ , el área de la base es $B = \pi r^2$ ; el área de la superficie de la esfera es $4\pi r^2$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Los cuerpos de este capítulo. En cada uno, el volumen usa un área de base y una altura — salvo la esfera, a la que solo le hace falta su radio.

Ejemplo 70.2

Un bote cilíndrico tiene radio $4$ cm y altura $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Un cono con la misma base y la misma altura contiene un tercio de eso: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Una esfera de radio $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Ejemplo 70.3 (Una pirámide paso a paso)

Una pirámide tiene base cuadrada de lado $6$ m y altura $5$ m.

área de la base: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ ;
volumen: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Cuidado con las unidades: si el lado viniera en cm y la altura en m, habría que convertir una de las dos primero.

70.2 Secciones por planos

Proposición 70.4 (Secciones de los cuerpos clásicos)

Cortar un cuerpo con un plano produce una figura plana, su sección:

un prisma o un cilindro cortados paralelamente a su base dan una copia de la base, a cualquier altura;
una pirámide o un cono cortados paralelamente a su base dan una reducción de la base: a distancia $d$ del vértice, el factor de escala es $k = \frac{d}{h}$ ;
una esfera de radio $r$ cortada por un plano a distancia $d < r$ del centro da una circunferencia de radio $\sqrt{r^2 - d^2}$ (por el teorema de Pitágoras).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Izquierda: cortar un cono paralelamente a su base a distancia d del vértice da un disco escalado con k = dh. Derecha: un plano a distancia d del centro de una esfera la corta en una circunferencia de radio √r2 - d2. — Izquierda: cortar un cono paralelamente a su base a distancia $d$ del vértice da un disco escalado con $k = \frac dh$ . Derecha: un plano a distancia $d$ del centro de una esfera la corta en una circunferencia de radio $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Ejemplo 70.5

Un cono tiene radio de la base $6$ y altura $9$ . La sección por un plano paralelo a la base, a distancia $3$ del vértice, es un disco escalado con $k = \frac39 = \frac13$ : su radio es $6 \times \frac13 = 2$ .

Una esfera de radio $5$ se corta por un plano a distancia $3$ de su centro: la sección es una circunferencia de radio $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Escalar cuerpos

Teorema 70.6 (Efecto de un escalado sobre longitudes, áreas y volúmenes)

Cuando un cuerpo se amplía o se reduce con el factor de escala $k > 0$ :

todas las longitudes quedan multiplicadas por $k$ ;
todas las áreas quedan multiplicadas por $k^2$ ;
todos los volúmenes quedan multiplicados por $k^3$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 70.7

Un coche a escala $\frac{1}{18}$ : las longitudes son las del coche real multiplicadas por $k = \frac{1}{18}$ , la superficie pintada queda multiplicada por $k^2 = \frac{1}{324}$ y el volumen por $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Duplicar el radio de una esfera ( $k = 2$ ) multiplica su volumen por $2^3 = 8$ : compruébalo en la fórmula, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Ejemplo 70.8 (Tronco de cono)

Un cono de altura $9$ y radio de la base $6$ (volumen $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) se corta a distancia $3$ del vértice y se quita el cono pequeño de encima del corte. El cono pequeño es la reducción con $k = \frac13$ , así que su volumen es $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . El cuerpo que queda (un tronco de cono) tiene volumen $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Ejercicios

Ejercicio 70.1 ★

Calcula los volúmenes: un ortoedro (prisma rectangular) de dimensiones $4 \times 5 \times 12$ ; un cilindro de radio $3$ y altura $7$ (valor exacto con $\pi$ y después redondeado a la unidad).

Solución

Solución de Ejercicio 70.1.

Ortoedro: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cilindro: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Ejercicio 70.2 ★

Calcula el volumen de un cono de radio $5$ y altura $12$ , y el de una pirámide de base rectangular $8 \times 3$ y altura $10$ .

Solución

Solución de Ejercicio 70.2.

Cono: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Pirámide: área de la base $B = 8 \times 3 = 24$ , luego $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Ejercicio 70.3 ★

Calcula el volumen y el área de la superficie de una esfera de radio $6$ (valores exactos con $\pi$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 70.3.

Volumen: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Área de la superficie: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Ejercicio 70.4 ★

Una esfera de radio $10$ se corta por un plano a distancia $8$ de su centro. ¿Cuál es el radio de la circunferencia de la sección?

Solución

Solución de Ejercicio 70.4.

Radio de la sección: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Ejercicio 70.5 ★★

Un cono tiene radio de la base $8$ y altura $12$ . Un plano paralelo a la base lo corta a distancia $9$ del vértice. Calcula el radio de la sección y después el volumen del cono pequeño de encima del corte.

Solución

Solución de Ejercicio 70.5.

Factor de escala del cono entero al pequeño: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Radio de la sección: $8 \times \frac34 = 6$ .

Volumen del cono entero: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volumen del cono pequeño: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Ejercicio 70.6 ★★

Un vaso cilíndrico de radio interior $3$ cm contiene agua hasta una altura de $10$ cm. Se sumerge del todo en él una bola de radio $2$ cm. ¿Cuánto sube el nivel del agua? (El volumen añadido se reparte sobre el área de la base del vaso; da la subida exacta y después redondea al milímetro.)

Solución

Solución de Ejercicio 70.6.

Volumen de la bola: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Ese volumen se reparte sobre el área de la base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , así que el nivel sube

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(unos $12$ mm).

Ejercicio 70.7 ★★

Una receta llena un molde esférico de radio $6$ cm. Solo tienes un molde esférico de radio $3$ cm. ¿Cuántos moldes pequeños puedes llenar? (Responde sin calcular explícitamente ninguno de los dos volúmenes.)

Solución

Solución de Ejercicio 70.7.

El molde pequeño es la reducción del grande con $k = \frac36 = \frac12$ , así que su volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del grande: la receta llena $8$ moldes pequeños.

Ejercicio 70.8 ★★

La Gran Pirámide de Guiza tiene base cuadrada de lado unos $230$ m y una altura de unos $147$ m. Estima su volumen y exprésalo en millones de metros cúbicos.

Solución

Solución de Ejercicio 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — unos $2.6$ millones de metros cúbicos.

Ejercicio 70.9 ★★★

Un embudo con forma de cono de radio $6$ cm y altura $12$ cm, con el vértice hacia abajo, se llena de agua hasta la mitad de su altura (medida desde el vértice).

¿qué fracción del volumen del embudo está llena?;
si, en cambio, se llena con la mitad de su volumen de agua, demuestra que la altura $d$ del agua cumple $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ , y da $d$ al milímetro ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 70.9.

1. El agua forma un cono escalado con $k = \frac12$ (vértice hacia abajo, la mitad de la altura), así que su volumen es $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ del embudo: ¡un octavo, mucho menos que la mitad!

2. El agua hasta la altura $d$ forma un cono escalado con $k = \frac{d}{12}$ , de volumen $k^3$ veces el del embudo. La mitad del volumen significa $k^3 = \frac12$ , es decir $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Entonces $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , luego $d \approx 9.5$ cm: la segunda mitad del volumen ocupa solo los $2.5$ cm de arriba — la parte ancha del cono contiene casi toda el agua.

70.5 Problema: La lápida de Arquímedes

Problema 70.1

Problema de fin de semana — la esfera es dos tercios de su cilindro (por partida doble), la pila 1:2:3 y la ley del cuadrado-cubo que prohíbe los gigantes

Arquímedes demostró muchos teoremas, pero uno le enorgulleció tanto que pidió que se grabara su figura en su tumba: una esfera encajada en su cilindro más ajustado. Un siglo después, el escritor romano Cicerón, buscando entre las zarzas cerca de Siracusa, reconoció la tumba «por la esfera y el cilindro». Este problema recupera lo que el grabado codifica — un doble milagro de dos tercios — y después sigue los volúmenes y las superficies (Teorema 70.1, Teorema 70.6) hasta una ley que gobierna a los gigantes, a las hormigas y a los planetas que se enfrían.

Parte I — El grabado descifrado. Una esfera de radio $r$ está encajada exactamente dentro de un cilindro: mismo radio, altura $2r$ .

calcula el volumen del cilindro en función de $r$ ;
calcula la razón entre el volumen de la esfera y el del cilindro. ¿Por qué le pudo gustar a Arquímedes que la respuesta no contenga ni $\pi$ ni $r$ ?;
ahora las superficies: compara el área de la superficie de la esfera con la superficie total del cilindro (la parte lateral más las dos tapas). ¿Qué razón aparece — otra vez?;
el espacio vacío entre la esfera y el cilindro tiene volumen $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Demuestra que ese sobrante es exactamente igual al volumen de dos conos de radio $r$ y altura $r$ ;
un balón de baloncesto de radio $12$ cm se vende en la caja cilíndrica más ajustada. Calcula los dos volúmenes (redondeando a $100$ cm $^3$ ) y el porcentaje de la caja que queda vacío.

Parte II — Cuencos, moldes y lunas.

un cuenco semiesférico tiene radio $10$ cm. Calcula su capacidad, en cm $^3$ y en litros (al decilitro);
la pila 1:2:3: un cono, una semiesfera y un cilindro, todos de radio $10$ cm y altura $10$ cm. Calcula los tres volúmenes y verifica la legendaria proporción $1 : 2 : 3$ . (Esta también le habría gustado a Arquímedes.);
una esfera de chocolate de radio $3$ cm se funde en un molde cilíndrico de radio $3$ cm. ¿Qué altura alcanza el chocolate? (Fracción exacta y después al milímetro.);
el radio de la Tierra es de unos $6\,371$ km y el de la Luna, de unos $1\,737$ km. Calcula la razón de los radios y después — con el Teorema 70.6 — la razón de los volúmenes: ¿cuántas Lunas cabrían en una Tierra hueca, en volumen?;
del mismo teorema: ¿cuál es la razón Tierra–Luna de las áreas de superficie? Y, en general, cuando el radio de un globo se duplica, ¿qué le pasa a su volumen y a su superficie? Enuncia la ley del cuadrado-cubo: cuando una forma se escala hacia arriba, los volúmenes adelantan a las superficies.

Parte III — La ley del cuadrado-cubo gobierna el mundo.

el argumento de Galileo contra los gigantes: imagina un ser humano escalado con un factor $10$ , con las mismas proporciones. ¿Por qué factor crece el peso (el peso sigue al volumen)? ¿Por qué factor crece la sección de los huesos (un área)? ¿Por qué factor crece entonces la presión sobre cada centímetro cuadrado de hueso — y qué le pasa al gigante?;
la misma ley al revés explica las hazañas de las hormigas: la fuerza sigue a la sección del músculo (un área) y el peso sigue al volumen. Para un animal $100$ veces más pequeño en todas las direcciones, ¿por qué factores se encogen el peso y la fuerza, y por qué factor mejora la razón entre fuerza y peso?;
el calor lo produce el volumen del cuerpo y se pierde por su superficie. Demuestra que, para una esfera, la razón superficie-volumen es $\frac{3}{r}$ , y calcúlala para $r = 1$ y $r = 2$ . ¿Quién se enfría antes, un ratón o un oso — y por qué los bebés necesitan gorro en invierno?;
dos naranjas esféricas de radios $4$ cm y $5$ cm se venden al mismo precio. Calcula la razón de sus volúmenes: ¿cuánta más naranja da la grande por el mismo dinero?;
final: describe con precisión qué codifica la figura de la lápida — los dos «dos tercios» de las preguntas 2 y 3 — y responde a Cicerón en una frase: ¿por qué elegiría un matemático, por encima de todas las conquistas de su genio ingenieril, una esfera dentro de un cilindro?

Solución

Solución de Problema 70.1.

1. $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cil}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . El $\pi$ y el $r^3$ se cancelan: la proporción es universal — vale para una canica y para un planeta. Una relación entre formas, no entre números: exactamente el tipo de verdad que merece grabarse en piedra.

3. Esfera: $4\pi r^2$ . Cilindro: lateral $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , más dos tapas $2 \times \pi r^2$ : en total $6\pi r^2$ . Razón: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — los mismos dos tercios, ahora para superficies. (Y una propina: el área de la esfera es exactamente igual al área lateral del cilindro.)

4. Sobrante: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Dos conos de radio $r$ y altura $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Iguales.

5. Balón: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; caja: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Vacío: un tercio de la caja, alrededor del $33\,\%$ — lo garantiza la pregunta 2, sea cual sea el tamaño del balón.

6. Media esfera: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Cono: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Semiesfera: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Cilindro: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Razones: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ exactamente.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ da $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm exactamente.

9. Radios: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Los volúmenes escalan como el cubo (Teorema 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . En la Tierra caben unas cincuenta Lunas.

10. Las superficies escalan como el cuadrado: $3.67^2 \approx 13.5$ . Duplicar el radio de un globo multiplica su volumen por $2^3 = 8$ , pero su superficie solo por $2^2 = 4$ : al crecer las cosas, el volumen (peso, contenido, calor producido) adelanta a la superficie (piel, material, calor perdido) — la ley del cuadrado-cubo.

11. Peso: $\times 10^3 = 1\,000$ . Sección del hueso: $\times 10^2 = 100$ . Presión — peso por área de hueso: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Unos huesos hechos para la presión humana reciben diez veces más: el esqueleto del gigante se parte bajo su propio peso. Los gigantes son geométricamente imposibles; los animales grandes necesitan huesos desproporcionadamente gruesos (compara las patas de un elefante con las de una gacela).

12. Peso: $\div 100^3 = 10^6$ . Fuerza (sección del músculo): $\div 100^2 = 10^4$ . Fuerza entre peso: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . La hormiga que levanta cincuenta veces su peso no es una superatleta — simplemente es pequeña; un humano encogido al tamaño de una hormiga haría lo mismo.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : para $r = 1$ la razón es $3$ y para $r = 2$ es $1.5$ — reducir el tamaño a la mitad duplica la superficie disponible por unidad de volumen productor de calor. Los cuerpos pequeños pierden calor: el ratón tiene que comer sin parar, el oso puede hibernar y el bebé — esfera pequeña, $\frac Sr$ grande — necesita el gorro.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : la naranja grande contiene casi el doble de fruta por el mismo precio. Compra radio.

15. El grabado dice: la esfera es $\frac23$ del cilindro en volumen y $\frac23$ de él en superficie total — dos proporciones exactas y universales que enlazan el cuerpo más redondo con el más sencillo. La respuesta a Cicerón: porque un teorema es el único monumento que no erosionan ni los ejércitos ni los siglos — las máquinas de Arquímedes ardieron con Siracusa, pero los dos tercios siguen siendo exactamente dos tercios.